5.1.2 弧度制同步练习-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以弧度制核心概念为基础，通过基础理解、综合应用到实际情境解决的三层递进设计，实现知识巩固与数学思维培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|弧度定义、角度弧度互化、弧长公式|单选题1（弧度概念）、填空题12（时针转角）等直接应用概念，培养抽象能力与运算能力| |提升层|扇形周长与面积关系、最值问题、终边相同的角|单选题3/7（扇形最值）、多选题10/11（综合判断），融合基本不等式与逻辑推理，发展推理意识| |应用层|实际情境中的扇形与弓形计算、图形综合问题|单选题9（射箭图标弓形面积）、解答题20/21（图形面积与坐标），体现数学建模与应用意识，培养用数学眼光观察现实世界的能力|

5.1.2 弧度制 同步练习 （附解析） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．半径为2的圆上长度为1的圆弧所对的圆心角的弧度数为（   ） A．4 B．2 C．1 D． 2．若扇形的圆心角为，半径为3，则此扇形的弧长为（    ） A． B． C． D． 3．已知一扇形的周长为8，当该扇形的面积最大时，其圆心角为（    ） A． B． C． D． 4．化为弧度为（   ） A． B． C． D． 5．与相等的角度是（    ） A． B． C． D． 6．已知某扇形的圆心角为，半径为12，则此扇形的弧长为（   ） A． B． C． D． 7．已知一个扇形的周长为16，当扇形的面积取得最大值时，它的圆心角为（    ） A． B． C． D． 8．与终边相同的角所构成的集合是（    ） A． B． C． D． 9．第31届世界大学生夏季运动会的官方体育图标是十八墨宝，射箭项目体育图标为水墨熊猫（如图所示），它是以真实的射箭运动为原型，拉满弓箭时，弓臂为圆弧形，弧中点到弦中点的距离为，弦长为，求弓形的面积约为（    ）（参考数据：，） A． B． C． D． 二、多选题 10．下列说法正确的是（   ） A． B．1弧度的角比1°的角大 C．若角是第二象限角，则是第一或第三象限角 D．扇形的周长为6厘米，面积为2平方厘米，则扇形的圆心角的弧度数为4 11．已知扇形的半径为，弧长为，若其周长为4，则下列说法正确的是（   ） A．若该扇形的半径为1，则其面积为2 B．该扇形面积的最大值为1 C．当该扇形面积最大时，其圆心角弧度数的绝对值为2 D．的最小值为 三、填空题 12．从凌晨点到点，时针转了______弧度． 13．将弧度化为角度：弧度=___________． 14．已知半径为1的扇形面积为2，则扇形圆心角的弧度数为________． 15．面积为16的扇形周长取到最小值时，扇形圆心角的大小是______. 16．已知一个扇形的弧所对的圆心角为，半径，则该扇形的弧长为___________（结果保留） 17．已知平面直角坐标系中，角的始边与轴正半轴重合，终边落在直线上，则满足条件的角的集合是___________． 四、解答题 18．已知扇形的圆心角是，半径为，弧长为. (1)若，，求扇形的弧长； (2)若扇形的周长是6 cm，面积是，求该扇形的圆心角的弧度数. 19．已知扇形的圆心角是，半径为r，弧长为l. (1)若，，求扇形的弧长l； (2)若扇形的周长为，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大，最大值是多少？ 20．如图，已知扇形AOB的面积是，圆心角． (1)求扇形AOB的周长； (2)求图中阴影部分的面积． 21．如图，以轴的非负半轴为始边的角，的终边分别交圆（为坐标原点）于，两点，其中点在第一象限，已知扇形的弧长与面积的数值都是． (1)求圆心角的弧度数； (2)若点的横坐标为，求点的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《5.1.1� 弧度制� 同步练习� （附解析）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A A A D C A D B ABC 题号 11 答案 BCD 1．D 【知识点】弧度的概念 【分析】由弧度制的定义计算求解. 【详解】半径为2的圆上长度为1的圆弧所对的圆心角的弧度数为. 2．A 【知识点】弧长的有关计算、扇形弧长公式与面积公式的应用 【详解】扇形的弧长. 3．A 【知识点】基本（均值）不等式的应用、扇形中的最值问题、扇形面积的有关计算 【详解】设扇形的圆心角为，半径为，则扇形的周长为， 所以，所以扇形的面积为， 因为，所以，当且仅当时等号成立， 所以， 所以当时，扇形的面积取得最大值. 4．A 【知识点】角度化为弧度 【详解】，故化为弧度为. 5．D 【知识点】弧度化为角度 【分析】借助弧度与角度的关系计算即可得. 【详解】. 6．C 【知识点】弧长的有关计算 【详解】已知圆心角，半径， 利用扇形弧长公式得： . 7．A 【知识点】扇形中的最值问题、基本不等式求积的最大值、扇形面积的有关计算、扇形弧长公式与面积公式的应用 【分析】设扇形的圆心角为，所在圆的半径为，弧长为，根据题意，得到，利用扇形的面积公式和基本不等式，即可求解. 【详解】设扇形的圆心角为，所在圆的半径为，弧长为， 因为扇形的周长为，可得，即， 则扇形的面积为， 当且仅当时，即时，等号成立，此时， 所以. 8．D 【知识点】找出终边相同的角、用弧度制表示角的集合 【分析】根据终边相同的角的集合的表示方法求解即可. 【详解】由各选项分析可知，弧度制和角度在同一集合内不可混合出现，故A、B错误. 与终边相同的角的集合为，表示为角度制为，C错误，D正确. 故选：D 9．B 【知识点】扇形面积的有关计算、扇形弧长公式与面积公式的应用 【分析】根据题意，求得扇形所在圆的圆心角，结合扇形的面积公式和三角形的面积公式，即可求解. 【详解】如图所示，设扇形所在圆的半径为， 则弦长的一半为，弦的中点到圆心的距离为， 根据勾股定理得，整理得，解得， 设扇形所对的圆心角为，因为弦长为， 在直角中，可得，所以，即 所以扇形的面积为， 三角形的面积为， 因为，所以弓形的面积为. 10．ABC 【知识点】确定n分角所在象限、扇形弧长公式与面积公式的应用、角度化为弧度 【分析】根据角度制与弧度制的互化公式，可判定A正确；由，可判定B正确；根据象限角的表示，求得，可判定C正确；根据扇形的弧长和面积公式，列出方程组，求得的值，可判定D错误. 【详解】对于A，由角度制与弧度制的互化，可得，所以A正确； 对于B，由，所以弧度的角比的角大，所以B正确； 对于C，由角是第二象限角，可得， 则， 当为偶数时，为第一象限角；当为奇数时，为第三象限角， 综上可得，角是第一或第三象限角，所以C正确； 对于D，设扇形的圆心角为，扇形所在圆的半径为， 因为扇形的周长为6厘米，面积为2平方厘米， 可得，解得或，所以D错误. 故选：ABC. 11．BCD 【知识点】基本不等式求和的最小值、扇形中的最值问题、扇形面积的有关计算、扇形弧长公式与面积公式的应用 【分析】由题意可知，，，直接利用公式可判断选项A，将扇形的面积表示为再利用二次函数的性质可判断选项BC，应用基本不等式计算判断选项D. 【详解】由题意知：，，， 对于选项A：当时，，可得，故选项A不正确； 对于选项B、C：，当时取等，该扇形面积的最大值为1，此时，，故选项B、C正确； 对于选项D： 当且仅当时，取最小值为，故选项D正确． 故选：BCD 12． 【知识点】弧度的概念、角度化为弧度 【详解】因为是顺时针所以是负角， 所以时针从时走到时，三小时时针转动角度为弧度. 13．20° 【知识点】弧度化为角度 【详解】弧度. 14．4 【知识点】扇形面积的有关计算 【详解】设圆心角为，半径，故，解得. 15．2 【知识点】扇形中的最值问题、扇形面积的有关计算 【分析】设出扇形所在圆半径，借助扇形面积公式建立函数关系，再求出最小值即得. 【详解】解：设扇形的半径为，圆心角为，则， 即，则扇形周长， 当且仅当时取等，此时. 16． 【知识点】弧长的有关计算、扇形弧长公式与面积公式的应用 【详解】因为扇形的弧所对的圆心角为，半径， 则该扇形的弧长为 17． 【知识点】用弧度制表示角的集合 【分析】根据终边相同角的定义求解. 【详解】终边落在直线上，则或， 所以， 故答案为：. 18．(1)cm (2)或 【知识点】弧长的有关计算、扇形弧长公式与面积公式的应用 【详解】（1）由题设，则cm； （2）由题设，可得， 所以cm或cm， 当cm，则，当cm，则，均满足题设， 所以或. 19．(1)； (2)圆心角，面积的最大值为. 【知识点】弧长的有关计算、扇形中的最值问题、扇形弧长公式与面积公式的应用 【分析】（1）利用弧长公式可得答案； （2）利用扇形的周长和面积公式，结合二次函数可得答案. 【详解】（1）， ∴扇形的弧长； （2）由已知得，，所以，因为，所以， 所以扇形的面积，， 所以当时，面积取得最大值， 此时，圆心角. 20．(1) (2)． 【知识点】弧长的有关计算、扇形面积的有关计算 【分析】（1）利用扇形的面积、弧长公式求扇形周长； （2）扇形面积减去三角形面积为所求面积． 【详解】（1）设扇形AOB的半径为r，弧长为l， 则，解得， 所以扇形的周长为． （2）过O作，垂足为D， 由（1）知，，， 则，，． 所以的面积为， 所以图中阴影部分的面积为． 21．(1) (2) 【知识点】扇形弧长公式与面积公式的应用 【分析】（1）由扇形的面积和弧长公式，可以计算圆的半径，再由弧长与半径的比值得出圆心角； （2）通过点的横坐标，可以计算角的正弦与余弦，再通过角，的关系计算角的正余弦，由计算坐标. 【详解】（1）记圆的半径为，扇形的弧长为，圆心角为，面积为， 则由，且，，解得． 又因为，则．故圆心角的弧度数为． （2）因为点的横坐标为， 所以，则， 所以， 则． 所以，． 故点的坐标为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $