5.1.2　弧度制 同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以“概念理解-情境应用-综合探究”分层设计，覆盖弧度制核心知识点，通过基础运算到数学文化应用的梯度进阶，培养数学眼光与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|弧度定义、角度互化、扇形公式|单选聚焦基础运算（如40°弧度数），夯实概念理解| |提升层|终边相同角、角的范围表示|结合生活情境（齿轮传动、密位制），设置多选与填空，发展推理能力| |综合层|数学文化与实际问题|解答题融入《九章算术》弧田面积、翻滚路径计算，培养模型意识与创新思维|

5.1.2　弧度制 1. 40°角的弧度数为(　 　) A. 40 B. C. D. 2. 若α＝－2 rad，则角α的终边在(　 　) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知某扇形的弧长是6，半径为2，则该扇形的圆心角的弧度数是(　 　) A. B. 1 C. 2 D. 3 4. (2024·北京十一学校高一期末) 下列与角的终边相同的角的表达式中，正确的是(　 　) A. 2kπ＋315°(k∈Z) B. k·360°－45°(k∈Z) C. k·360°＋(k∈Z) D. 2kπ＋(k∈Z) 5. (2024·福建龙岩高一期末) 已知扇形的周长为8 cm，圆心角为2 rad，则此扇形的面积是(　 　) A. 2 cm2 B. 4 cm2 C. 6 cm2 D. 8 cm2 6. 集合{α|kπ＋≤α≤kπ＋，k∈Z}中角所表示的范围(阴影部分)是(　 　) A.　　 B.　 　C.　 　D. 7. 已知某机械采用齿轮传动，由主动轮M带着从动轮N转动，如图所示，设主动轮M的直径为150 mm，从动轮N的直径为300 mm，若主动轮M顺时针旋转，则从动轮N逆时针旋转(　 　) A. B. C. D. π 8. (多选)下列各角中，与角终边相同的有(　 　) A. B. － C. 2kπ－(k∈Z) D. 2kπ－(k∈Z) 9. (多选)(2024·安徽池州一中高一月考) 北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，如图所示，卫星图片可以看成一个圆形，将其一分为二成两个扇形，设其中一个扇形的面积为S1，圆心角为α1，另一个扇形的面积为S2，圆心角为α2(α1＜α2).当S1与S2的比值为≈0.618时，裁剪出来的扇形看上去较为美观，此时(　 　) A. α1≈137.5° B. α1≈127.5° C. α2＝(－1)π D. 10. 密位广泛用于航海和军事，我国采取的“密位制”是6 000密位制，即将一个圆周分成6 000等份，每一等份是一个密位，那么60密位等于 　 rad.  11. 把－表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小时，θ的值是　 　.  12. 如图①所示为一款扇形组合团圆拼盘，其示意图如图②所示，中间是一个直径为24 cm的圆盘，四周是8个相同的扇环形小拼盘，组拼后形成一个大圆盘，寓意“八方来财，阖家团圆.”若的长为 cm，则每个扇环形小拼盘的面积为  　.  ①　　② 13. 将下列各角转化成2kπ＋α(k∈Z，且0≤α＜2π)的形式，并指出它们是第几象限角. (1)－1 725°； (2). 14. 某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面(由扇形OAD挖去扇形OBC后构成的).已知OA＝10 m，OB＝x(0＜x＜10)，线段BA，CD与的长度之和为30 m，设圆心角为θ弧度. (1)求θ关于x的函数解析式； (2)记铭牌的截面面积为y，试问：x取何值时，y的值最大?请求出最大值. 15. 《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作.其中“方田”章给出了计算弧田面积所用的经验公式：弧田面积＝(弦×矢＋矢2).弧田(如图所示)由圆弧和其所对的弦围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为，半径为4 m的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是　 　m2(结果精确到1 m2).  16. (2024·黄岩中学高一检测)如图所示，已知一长为 dm，宽为1 dm的长方体木块在桌面上做无滑动的翻滚，翻滚到第四次时被一小木板挡住，使木块底面与桌面成的角.求点A走过的路径长及走过的弧所在扇形的总面积. 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.1.2　弧度制 1. 40°角的弧度数为(　B　) A. 40 B. C. D. 【解析】依题意，40°角的弧度数为40×. 2. 若α＝－2 rad，则角α的终边在(　C　) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【解析】α＝－2 rad≈－2×57.30°＝－114.6°，故角α的终边在第三象限. 3. 已知某扇形的弧长是6，半径为2，则该扇形的圆心角的弧度数是(　D　) A. B. 1 C. 2 D. 3 【解析】由扇形的弧长是6，半径为2，得该扇形的圆心角的弧度数是＝3. 4. (2024·北京十一学校高一期末) 下列与角的终边相同的角的表达式中，正确的是(　B　) A. 2kπ＋315°(k∈Z) B. k·360°－45°(k∈Z) C. k·360°＋(k∈Z) D. 2kπ＋(k∈Z) 【解析】∵π rad＝315°，其终边落在第四象限，且与－45°角的终边相同， ∴与角的终边相同的角的集合S＝{α|α＝315°＋k·360°}＝{α|α＝－45°＋k·360°}(k∈Z)，B正确；A，C书写不规范，D表示的角的终边在第三象限. 5. (2024·福建龙岩高一期末) 已知扇形的周长为8 cm，圆心角为2 rad，则此扇形的面积是(　B　) A. 2 cm2 B. 4 cm2 C. 6 cm2 D. 8 cm2 【解析】设扇形的半径为r cm，∵扇形的圆心角α＝2 rad，扇形的周长为8 cm，∴2r＋2r＝8，解得r＝2，∴此扇形的面积S＝αr2＝×2×22＝4(cm2). 6. 集合{α|kπ＋≤α≤kπ＋，k∈Z}中角所表示的范围(阴影部分)是(　C　) A.　　 B.　 　C.　 　D. 【解析】当k为偶数时，集合对应的区域为第一象限内直线y＝x的左上部分(包含边界)；当k为奇数时，集合对应的区域为第三象限内直线y＝x的右下部分(包含边界). 7. 已知某机械采用齿轮传动，由主动轮M带着从动轮N转动，如图所示，设主动轮M的直径为150 mm，从动轮N的直径为300 mm，若主动轮M顺时针旋转，则从动轮N逆时针旋转(　B　) A. B. C. D. π 【解析】设从动轮N逆时针旋转θ rad，由题意，知主动轮M与从动轮N转动的弧长相等，∴××θ，解得θ＝. 8. (多选)下列各角中，与角终边相同的有(　BC　) A. B. － C. 2kπ－(k∈Z) D. 2kπ－(k∈Z) 【解析】 A错误，＝2π＋，与角终边相同；B，C正确，2kπ－，k∈Z，当k＝2时，得[0，2π)之间的角为，与角有相同的终边；D错误，2kπ－，k∈Z，当k＝1时，得[0，2π)之间的角为，故与角有相同的终边. 9. (多选)(2024·安徽池州一中高一月考) 北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，如图所示，卫星图片可以看成一个圆形，将其一分为二成两个扇形，设其中一个扇形的面积为S1，圆心角为α1，另一个扇形的面积为S2，圆心角为α2(α1＜α2).当S1与S2的比值为≈0.618时，裁剪出来的扇形看上去较为美观，此时(　ACD　) A. α1≈137.5° B. α1≈127.5° C. α2＝(－1)π D. 【解析】设圆形的半径为R，则，D正确；∵α1＋α2＝2π，∴α2＋α2＝2π，解得α2＝(－1)π，C正确；∵≈0.618，得－1≈1.236，∴α2＝(－1)π≈1.236×180°≈222.5°，∴α1≈360°－222.5°＝137.5°， A正确，B错误. 10. 密位广泛用于航海和军事，我国采取的“密位制”是6 000密位制，即将一个圆周分成6 000等份，每一等份是一个密位，那么60密位等于 　rad.  【解析】∵圆周角为2π，∴1密位＝，∴60密位＝×60＝. 11. 把－表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小时，θ的值是　－　.  【解析】－＝－404π－＝－406π＋，∵，∴使|θ|最小时，θ的值是－. 12. 如图①所示为一款扇形组合团圆拼盘，其示意图如图②所示，中间是一个直径为24 cm的圆盘，四周是8个相同的扇环形小拼盘，组拼后形成一个大圆盘，寓意“八方来财，阖家团圆.”若的长为 cm，则每个扇环形小拼盘的面积为  cm2　.  ①　　② 【解析】如图所示，设小圆的圆心为O，则OC＝OD＝12 cm，设OA＝OB＝R，又每个扇环形小拼盘对应的圆心角为α＝，则的长为αR＝ cm，解得R＝30 cm，∴每个扇环形小拼盘的面积为××302－××122＝(cm2). 13. 将下列各角转化成2kπ＋α(k∈Z，且0≤α＜2π)的形式，并指出它们是第几象限角. (1)－1 725°；(2). 解：(1)－1 725°＝－5×360°＋75°＝－10π＋，∴－1 725°与的终边相同，又是第一象限角，∴－1 725°角是第一象限角. (2)＝20π＋，∴与的终边相同，又是第三象限角，∴是第三象限角. 14. 某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面(由扇形OAD挖去扇形OBC后构成的).已知OA＝10 m，OB＝x(0＜x＜10)，线段BA，CD与的长度之和为30 m，设圆心角为θ弧度. (1)求θ关于x的函数解析式； (2)记铭牌的截面面积为y，试问：x取何值时，y的值最大?请求出最大值. 解：(1)根据题意，可算得＝θx(m)，＝10θ(m).∵AB＋CD＋＝30，∴2(10－x)＋θx＋10θ＝30，∴θ＝(0＜x＜10). (2)根据题意，可知y＝θ(102－x2)＝×＝(x＋5)(10－x)＝－x2＋5x＋50＝－，当x＝(m)时，ymax＝(m2). 综上所述，当x＝ m时铭牌的截面面积最大，且最大面积为 m2. 15. 《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作.其中“方田”章给出了计算弧田面积所用的经验公式：弧田面积＝(弦×矢＋矢2).弧田(如图所示)由圆弧和其所对的弦围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为，半径为4 m的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是　9　m2(结果精确到1 m2).  【解析】＝120°，根据题意得，弦＝2×4sin 60°＝4(m)，矢＝4－2＝2(m)，∴弧田面积＝×(弦×矢＋矢2)＝×(4×2＋22)＝4＋2≈9(m2). 16. (2024·黄岩中学高一检测)如图所示，已知一长为 dm，宽为1 dm的长方体木块在桌面上做无滑动的翻滚，翻滚到第四次时被一小木板挡住，使木块底面与桌面成的角.求点A走过的路径长及走过的弧所在扇形的总面积. 解：∵AA1所在的圆半径是2 dm，圆心角为；A1A2所在的圆半径是1 dm，圆心角为；A2A3所在的圆半径是 dm，圆心角为，∴点A走过的路径长是三段圆弧之和，即2×＋1××(dm).三段圆弧所在扇形的总面积是×π×2＋××1＋××(dm2) 学科网（北京）股份有限公司 $