精品解析：第26章 二次函数y=ax2 bx c的性质 基础训练2022-2023学年华东师大版九年级下册期末数学复习

2022-2023学年华师版九年级下册期末复习之二次函数y=ax2+bx+c的性质基础训练 一、单选题 1. 已知实数a、b、c满足，，，则（　　） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 2. 如图，若二次函数的图象的对称轴为直线，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点，则：①二次函数的最大值为；②；③；④当时，；其中正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 抛物线可由抛物线平移得到，平移方法是（） A. 先向右平移3个单位，再向下平移4个单位 B. 先向左平移6个单位，再向下平移5个单位 C. 先向右平移6个单位，再向上平移5个单位 D. 先向左平移3个单位，再向下平移4个单位 4. 已知二次函数的图象如图所示，有下列4个结论：①；②；③；④关于x的方程有四个根，且这四个根的和为4，其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5. 若为二次函数的图象上的三点，则的大小关系是（　　） A. B. C. D. 6. 抛物线的图象与x轴交点的横坐标分别是（ ） A. 0，1 B. 1，2 C. 0，2 D. －1，－2 7. 抛物线经过原点，与轴正半轴交于点A，顶点为B，则的形状较为精确的是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 8. 如图，二次函数图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为，3．与y轴负半轴交于点C，在下面五个结论中：①；②；③当时，；④若，且，则；⑤使为等腰三角形的a值可以有三个．其中正确的结论个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 9. 已知是二次函数图象上的三点，则的大小关系为( ) A. B. C. D. 10. 二次函数的图像的一部分如图所示．已知图像经过点，其对称轴为直线．下列结论：①；②，③﹔④关于x的方程的两根分别为，3．上述结论中正确结论的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题 11. 如图，二次函数的对称轴为，给出下列结论：①；②；③；④（m为任意实数）．其中错误的序号是____． 12. 将二次函数化为的形式，那么的值为_____． 13. 已知抛物线，当时，随的增大而增大，的取值范围是 __． 14. 抛物线与轴的交点坐标分别是，则___． 15. 把二次函数的图象向上平移1个单位长度，如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么m应满足条件：_____． 16. 若抛物线与轴两交点分别是，则_____． 17. 二次函数的部分对应值如下表： x … 0 1 3 5 … y … 7 0 7 … 则二次函数在时，_______． 18. 抛物线的对称轴为直线， （1）_____． （2）若抛物线在内与x轴只有一个交点，则t的取值范围是_____． 19. 如图，将抛物线的图象位于直线以上的部分向下翻折，得到新的图象（实线部分），若直线与新图象只有四个交点，则m的取值范围是___________． 20. 若二次函数的图像与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围是_____． 21. 函数与x轴的交点坐标是___________，与y轴的交点坐标是___________． 22. 已知二次函数（）的部分图象如图所示，其顶点坐标为，且与轴的一个交点在和之间，则下列结论：①；②；③；④一元二次方程有两个不相等的实数根．其中正确的结论是________．（填写序号） 23. 二次函数，关于该函数在的取值范围内，函数值的范围是______． 24. 二次函数图象的顶点在轴上，则__． 三、解答题 25. 某班数学兴趣小组对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请完成下面各小题． （1）自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值如下表： 0 1 2 3 3 0 0 3 其中，　　； （2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分； （3）利用表格与图象指出，当x取何值时，函数值y随x的增大而增大； （4）进一步探究函数图象，直接写出： ①方程的实数根有___________个； ②关于x的方程有4个实数根时，则a的取值范围是___________． 26. 如图，抛物线向右平移1个单位得到的抛物线，回答下列问题： （1）抛物线的解析式是______，顶点坐标为______； （2）阴影部分的面积______； （3）若再将抛物线绕原点O旋转得到抛物线，则抛物线的开口方向______，解析式为______； 27. 如图，若二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C点． （1）求A、B两点的坐标； （2）当时，函数值y的取值范围为 ；（直接写出答案即可） （3）若为二次函数图象上一点，求m的值． 28. 已知二次函数（a是常数）． （1）求证：无论a为何值，二次函数的图像与x轴总有两个交点； （2）已知二次函数的图像的顶点在直线上，求顶点坐标． 29. 已知二次函数的图像经过点和． （1）求该二次函数的表达式； （2）求该二次函数的顶点坐标； （3）若，则直接写出y的取值范围：____________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022-2023学年华师版九年级下册期末复习之二次函数y=ax2+bx+c的性质基础训练 一、单选题 1. 已知实数a、b、c满足，，，则（　　） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】构造一个二次函数背景，利用二次函数图象与系数的关系求解：把a、b、c看作二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项，由于，抛物线开口向上，由于，自变量为时，函数值大于0，说明抛物线的顶点在x轴上下，根据二次函数图象与系数的关系即可得到，再判断出a与b的关系，即可得出答案． 【详解】解：可把a、b、c看作二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项， ， ∴抛物线开口向上， ，即时，，，即时，， ∴抛物线与x轴有两个公共点， ． ． ， ， ， 由得，， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象与x轴的交点问题，熟练掌握和运用二次函数图象与系数的关系是解决本题的关键． 2. 如图，若二次函数的图象的对称轴为直线，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点，则：①二次函数的最大值为；②；③；④当时，；其中正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】函数图象开口向下，则在对称轴处函数有最大值，结合对称轴为直线可判断①；根据点B的坐标可判断②；根据二次函数与x轴有两个交点可判断③；根据对称性求出点A的坐标，结合函数图象可判断④． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下， ∴在对称轴处函数有最大值， ∵对称轴为直线， ∴把代入得， ∴函数的最大值为，故①正确； ∵二次函数与交于点， ∴当时，，故②错误； ∵二次函数与x轴交于点A、点， ∴关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，故③正确； 由对称性可知，点A的坐标为， ∴由函数图象可知，当时，，故④正确； 综上所述，正确的有①③④，共3个． 3. 抛物线可由抛物线平移得到，平移方法是（） A. 先向右平移3个单位，再向下平移4个单位 B. 先向左平移6个单位，再向下平移5个单位 C. 先向右平移6个单位，再向上平移5个单位 D. 先向左平移3个单位，再向下平移4个单位 【答案】D 【解析】 【分析】原抛物线顶点坐标为，平移后抛物线顶点坐标为，由此确定平移规律． 【详解】解∶， 该抛物线的顶点坐标是， 抛物线的顶点坐标是， 平移的方法可以是∶将抛物线向左平移3个单位，再向下平移4个单位． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换．关键是将抛物线的平移问题转化为顶点的平移，寻找平移方法． 4. 已知二次函数的图象如图所示，有下列4个结论：①；②；③；④关于x的方程有四个根，且这四个根的和为4，其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的开口向下，对称轴方程以及图象与y轴的交点得到a，b，c的取值，于是可对①进行判断；根据抛物线与x轴的交点的个数可对②进行判断；当时，的值最大，即当时，即，则可对③进行判断；由于方程有2个根，方程有2个根，则利用根与系数的关系可对④进行判断． 【详解】解：①∵抛物线开口方向向下， ∴， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴， ∵对称轴在y轴右侧， ∴， ∴，故①错误； ②∵抛物线与x轴有两个交点 ∴ ∴，故②正确； ③当时，的值最大， ∴当时，， ∴， ∴，故③正确； ④∵方程有四个根， ∴方程有2个根，方程有2个根， ∴所有根之和为，故④正确． ∴正确的结论是②③④， 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数图象与系数关系，需要对二次函数各项系数对图象的决定作用理解透彻，同时需要理解二次函数与方程的关系．会用数形结合的思想是解题关键． 5. 若为二次函数的图象上的三点，则的大小关系是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出二次函数的对称轴，根据时，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∵， ∴， 故选B． 【点睛】本题考查比较二次函数的函数值大小．熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键． 6. 抛物线的图象与x轴交点的横坐标分别是（ ） A. 0，1 B. 1，2 C. 0，2 D. －1，－2 【答案】C 【解析】 【分析】令，则，解一元二次方程即可求解 【详解】解：令，则， ∴， 解得，， ∴抛物线的图象与x轴交点的横坐标分别是0，2， 故选：C 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点坐标，解题关键是掌握二次函数与方程的关系． 7. 抛物线经过原点，与轴正半轴交于点A，顶点为B，则的形状较为精确的是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数表达式，求出点A的坐标和函数顶点B坐标，再分别求出的长度，即可进行解答． 【详解】解：由题意可得： 当时，， ， ， 故，抛物线顶点为， ∴，，， ∴， ∴为为等腰直角三角形． 故选∶D． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，等腰三角形的判定，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质，会求函数的顶点坐标和与坐标轴的交点坐标． 8. 如图，二次函数图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为，3．与y轴负半轴交于点C，在下面五个结论中：①；②；③当时，；④若，且，则；⑤使为等腰三角形的a值可以有三个．其中正确的结论个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】①根据对称轴，可得答案；②根据点坐标，可得答案；③根据顶点是函数的最值，可得答案；④根据函数值相等两点关于对称轴对称，可得答案；⑤分类讨论：时，当时，根据点坐标，对称轴，可得方程组，根据解方程组，可得答案；，根据勾股定理，可得答案． 【详解】解：①图象与轴的交点，的横坐标分别为，3， ， 对称轴， 即． 故①错误； ②点坐标为， ，而， ，即． 故②正确； ③由，顶点是函数的最小值，时，得 ，两边都减，得 ， 故③正确； ④，得 ， 且，则，故④正确； ⑤要使为等腰三角形，则必须保证或或， 当时， ，为直角三角形， 又的长即为， ， 由抛物线与轴的交点在轴的负半轴上， ， ，解得； 同理当时， ，为直角三角形， 又的长即为， ， 由抛物线与轴的交点在轴的负半轴上， ， ，解得； 同理当时 在中，， 在中， ， ，此方程无解． 经解方程组可知只有两个值满足条件，故⑤错误， 故正确的有②③④共3个正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数综合题，利用了对称轴公式，顶点是函数的最值，函数值相等两点关于对称轴对称，等腰三角形的判定，要分类讨论，以防遗漏． 9. 已知是二次函数图象上的三点，则的大小关系为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出抛物线的对称轴为直线，然后根据二次函数的增减性和对称性解答即可． 【详解】抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴当，随的增大而增大， ∵关于直线的对称点是， 且， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性和对称性，求出对称轴是解题的关键． 10. 二次函数的图像的一部分如图所示．已知图像经过点，其对称轴为直线．下列结论：①；②，③﹔④关于x的方程的两根分别为，3．上述结论中正确结论的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】①根据抛物线的开口方向，对称轴的位置，与轴的交点位置，得到的符号，进行判断；②利用对称性，得到和的函数值相同，判断式子的符号即可；③利用对称轴和图像经过点，进行判断即可；④利用对称性和图像经过点，确定图象与轴的另一个交点坐标，进行判断即可． 【详解】解：①∵抛物线的开口向下， ∴， ∵对称轴为：， ∴， ∵图象与轴交于正半轴， ∴， ∴；故①正确； ∵抛物线关于对称， ∴和的函数值相同，即；故②错误； ∵图像经过点， ∴， ∵， ∴，故③正确； ∵图像经过点，抛物线关于对称， ∴图象与轴的另一个交点坐标为：， ∴关于x的方程的两根分别为，3．故④正确； 综上：正确的个数为：3个． 故选C． 【点睛】本题考查根据二次函数的图象，确定二次函数系数和式子的符号．熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键． 二、填空题 11. 如图，二次函数的对称轴为，给出下列结论：①；②；③；④（m为任意实数）．其中错误的序号是____． 【答案】③④##④③ 【解析】 【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置可判断①；由时，时可判断②③；由时y取最小值可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∵抛物线与y轴交点在x轴下方， ∴， ∴，∴①正确． 由图象可得时，，∴②正确； 时，，∴③错误． 由图象可得时，函数取最小值， ∴，即，④错误． 综上，错误的有③④． 故答案为：③④． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系． 12. 将二次函数化为的形式，那么的值为_____． 【答案】5 【解析】 【分析】利用配方法将化成，即可求出a、b值，代入计算即可． 【详解】解：， ，， ， 故答案为：5． 【点睛】本题考查将二次函数解析式化成顶点式，熟练掌握配方法是解题的关键． 13. 已知抛物线，当时，随的增大而增大，的取值范围是 __． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得对称轴，求解即可． 【详解】解：， 抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，随增大而增大， 当时，随的增大而增大， ， 故答案为：． 【点睛】此题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的有关性质． 14. 抛物线与轴的交点坐标分别是，则___． 【答案】 【解析】 【分析】由抛物线与轴的交点坐标分别是，得到为方程的两根，利用根与系数的关系得到，，将原式变形代入计算可得． 【详解】解：抛物线与轴的交点坐标分别是， ∴为方程的两根， ，， ． 故答案为． 【点睛】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，二次函数与x轴交点坐标与一元二次方程的关系，分式的化简求值，正确理解二次函数与一元二次方程的根的关系是解题的关键． 15. 把二次函数的图象向上平移1个单位长度，如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么m应满足条件：_____． 【答案】 【解析】 【分析】先对原二次函数配方得到顶点坐标，再根据函数图象平移规则得到平移后抛物线的顶点坐标，结合抛物线开口方向，根据平移后抛物线与坐标轴有且只有一个公共点的条件，得到顶点纵坐标的不等式，求解即可得到结果． 【详解】解：，原抛物线顶点坐标为， 将图象向上平移1个单位长度后，顶点坐标变为，即， 平移后抛物线解析式为， 抛物线开口向上，且平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点， 抛物线与轴无交点，仅与轴有一个公共点，顶点纵坐标大于，即：，解得， 故答案为． 16. 若抛物线与轴两交点分别是，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，是方程的两个解，进而根据一元二次方程根与系数关系得出，进而即可求解． 【详解】解：依题意，是方程的两个解， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数与轴交点问题，一元二次方程根与系数的关系，理解题意是解题的关键． 17. 二次函数的部分对应值如下表： x … 0 1 3 5 … y … 7 0 7 … 则二次函数在时，_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据表格可知，和的函数值相等，可以得到抛物线的对称轴，再利用抛物线的对称性，找到表格中与关于对称轴对称的对应的函数值，即为所求． 【详解】解：由表格可知，和的函数值相等， ∴抛物线的对称轴为：， ∴与的函数值相等， 即：当时，； 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的对称性．通过表格确定二次函数的对称轴，是解题的关键． 18. 抛物线的对称轴为直线， （1）_____． （2）若抛物线在内与x轴只有一个交点，则t的取值范围是_____． 【答案】 ①. 2 ②. 或 【解析】 【分析】（1）抛物线的对称轴为直线，由即可求得； （2）由，得出抛物线在内与x轴只有一个交点，可以理解为与在有一个交点，画出草图，数形结合即可求解． 【详解】解：（1）∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴； 故答案为：2； （2）由（1）知：， ∴抛物线抛物线为， ∵抛物线在内与x轴只有一个交点， ∴方程在内只有一个实数解， 可看作与在有一个交点， 当时，， 当时，， 当时，， 如图所示： ∴当时，与在有一个交点， ∴， 当经过顶点时，与在有一个交点， ∴． 综上，t的取值范围是或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查二次函数图象及性质，解题的关键是数形结合． 19. 如图，将抛物线的图象位于直线以上的部分向下翻折，得到新的图象（实线部分），若直线与新图象只有四个交点，则m的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】先找到一次函数与新图象有三个交点的l1和l2，再求出此时m的取值，即可得到答案． 【详解】令，则, 解得或, ∴， 平移直线知：直线位于l1和l2时，它与新图象有三个不同的公共点，如图所示： ①当直线位于l1时,此时l1过点， ∴，即； ②当直线位于l2时，此时l2与函数的图象有一个公共点， ∴方程， 即有两个相等实根， ∴, 即 由①②知若直线与新图象只有四个交点，m的取值范围为． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换、一次函数的性质及函数图象交点问题，解题关键是掌握一次函数在坐标系中的平移与变换后的二次函数图象的位置关系． 20. 若二次函数的图像与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围是_____． 【答案】且 【解析】 【分析】根据二次函数的定义可得二次项系数不为零，再结合二次函数图象与轴交点个数和判别式的关系，列出不等式组求解即可． 【详解】解：是二次函数 ， ， 二次函数的图象与轴有两个不同的交点， 一元二次方程有两个不相等的实数根， 即判别式， ， 解不等式得， ∴的取值范围是且． 21. 函数与x轴的交点坐标是___________，与y轴的交点坐标是___________． 【答案】 ①. 和 ②. 【解析】 【分析】令，解方程即可求得二次函数的图象与轴的交点坐标，令，即可求得二次函数的图象与轴的交点坐标． 【详解】解：令，得， 解得：，， 二次函数的图象与轴的交点坐标是和， 令，得， 二次函数的图象与轴的交点坐标是， 故答案为：和，． 【点睛】本题考查了抛物线与坐标轴的交点，解一元二次方程等，掌握坐标轴上坐标特征是解题关键． 22. 已知二次函数（）的部分图象如图所示，其顶点坐标为，且与轴的一个交点在和之间，则下列结论：①；②；③；④一元二次方程有两个不相等的实数根．其中正确的结论是________．（填写序号） 【答案】①③④ 【解析】 【分析】根据二次函数的图象与系数的关系及二次函数的性质依次判断即可． 【详解】解：由图象得， ∵对称轴在y轴的左侧， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点在和之间， ∴抛物线与x轴有两个不同的交点， ∴， ∴，故②错误； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴，即， ∵抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点在和之间， ∴抛物线与x轴的另一个交点在和之间， ∴当时，，即， ∴，即，故③正确； ∵抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线与直线只有一个交点， ∴抛物线与直线有两个交点， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根．故④正确； 故答案为：①③④． 【点睛】此题考查了二次函数的图象与系数的关系，利用二次函数的图象判断式子的正负，二次函数的图象与性质，正确理解二次函数的图象与系数的关系是解题的关键． 23. 二次函数，关于该函数在的取值范围内，函数值的范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】把函数解析式整理成顶点式解析式的形式，然后根据二次函数的最值问题解答． 【详解】解：，抛物线开口向上， 该函数在的取值范围内，当时，有最小值， 当时，；当时，， ∴当时，有最大值， ∴函数值的范围是， 故答案为： 【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，把函数解析式转化为顶点式形式是解题的关键． 24. 二次函数图象的顶点在轴上，则__． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的图象的顶点在轴上，可知该函数顶点的纵坐标为0，即，然后求解即可． 【详解】解：二次函数的顶点纵坐标为：． 二次函数图象的顶点在轴上， ． 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确二次函数图象顶点在轴上时，顶点的纵坐标都是0． 三、解答题 25. 某班数学兴趣小组对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请完成下面各小题． （1）自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值如下表： 0 1 2 3 3 0 0 3 其中，　　； （2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分； （3）利用表格与图象指出，当x取何值时，函数值y随x的增大而增大； （4）进一步探究函数图象，直接写出： ①方程的实数根有___________个； ②关于x的方程有4个实数根时，则a的取值范围是___________． 【答案】（1）10 （2） 描点画出如下函数图象： （3）时，随的增大而增大（答案不唯一） （4）①2；② 【解析】 【分析】（1）根据函数的对称性，即可求解； （2）描点即可画出函数图象； （3）任意指出函数的两条性质即可，如函数的最小值为；时，随的增大而增大，答案不唯一； （4）①设，从图象看与有两个交点，即可求解；②当与有4个交点时，在轴的下方，即可求解． 【小问1详解】 解：根据函数的对称性，， 故答案为：0； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：函数的最小值为； 时，随的增大而增大（答案不唯一）； 【小问4详解】 解：①设，从图象看与有2个交点， 故答案为：2； ②与有4个交点时，在轴的下方， 故， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是抛物线与轴的交点，函数图象上点的坐标特征，解题的关键是要熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征． 26. 如图，抛物线向右平移1个单位得到的抛物线，回答下列问题： （1）抛物线的解析式是______，顶点坐标为______； （2）阴影部分的面积______； （3）若再将抛物线绕原点O旋转得到抛物线，则抛物线的开口方向______，解析式为______； 【答案】（1）， （2）2 （3）向上， 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的移动规律左加右减可直接得出抛物线的解析式，再根据的解析式求出顶点坐标即可； （2）根据平移的性质知，阴影部分的面积等于底高，列式计算即可； （3）先求出二次函数旋转后的开口方向和顶点坐标，从而得出抛物线的解析式． 【小问1详解】 解：∵抛物线向右平移1个单位得到的抛物线， ∴抛物线的解析式是，顶点坐标为． 故答案为：，； 【小问2详解】 解：阴影部分的面积是：． 故答案为：2； 【小问3详解】 解：∵将抛物线绕原点O旋转后，得到抛物线的顶点坐标为：， ∴抛物线的解析式为，开口方向向上． 故答案为：向上，． 【点睛】此题考查了二次函数的图像与几何变化，用到的知识点是二次函数的图像和性质、顶点坐标，关键是掌握二次函数的移动规律和几何变换． 27. 如图，若二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C点． （1）求A、B两点的坐标； （2）当时，函数值y的取值范围为 ；（直接写出答案即可） （3）若为二次函数图象上一点，求m的值． 【答案】（1），； （2） （3）m的值为0或1 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点∶把求二次函数 (a，b，c是常数，)与x轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程，也考查了二次函数图象上点的坐标特征． （1）通过解方程得的坐标； （2）当时，函数取得最大值，当时，函数取得最小值，进而求解； （3）把代入得，然后解关于的方程即可． 【小问1详解】 解：当时，， 解得，， ，； 【小问2详解】 解：抛物线的对称轴为直线， ， 当时，函数取得最大值，， 当时，函数取得最小值，， 函数值的取值范围为∶ ； 故答案为：； 【小问3详解】 解：把代入得， 解得，， 的值为0或1． 28. 已知二次函数（a是常数）． （1）求证：无论a为何值，二次函数的图像与x轴总有两个交点； （2）已知二次函数的图像的顶点在直线上，求顶点坐标． 【答案】（1）见解析 （2）当时为；当时为 【解析】 【分析】（1）无论a为何值，二次函数的图像与x轴总有两个交点即有两个不相等的实数根，直接根据根的判别式计算即可； （2）设顶点坐标为，先将代入求出，，再分别计算即可． 【小问1详解】 解：∵二次函数（a是常数）的图像与x轴相交，即， ∴， 由题意，可得：， ∵， ∴恒成立， 故无论a为何值，二次函数的图像与x轴总有两个交点． 【小问2详解】 由二次函数的性质可知对称轴为直线， 设顶点坐标为， 将代入得： ， 解得，， 当时，为； 当时，为； 故当时为；当时为． 【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次函数的图像和性质，解一元二次方程，解题的关键是找到每个题中a的定位． 29. 已知二次函数的图像经过点和． （1）求该二次函数的表达式； （2）求该二次函数的顶点坐标； （3）若，则直接写出y的取值范围：____________． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）把点和代入求解即可； （2）将二次函数一般式化为顶点式即可得出顶点坐标； （3）由二次函数的性质可得出y的取值范围． 【小问1详解】 ∵抛物线经过点和，则 ， 解得 ∴该二次函数的表达式为； 【小问2详解】 ∵， ∴该二次函数的顶点坐标为：； 【小问3详解】 当时，，当x=4时，， 又∵，顶点坐标为：， ∴当时，y的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了二次函数的性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $