精品解析：山东临沂市费县2025-2026学年七年级下学期期末数学试题

七年级数学质量监测试题 注意事项： 1．本试卷满分120分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座号填写在试卷和答题卡规定的位置．考试结束后，只上交答题卡． 2．答题注意事项见答题卡，答在本试卷上不得分． 一．选择题：（本大题共10小题，每小题3分）请将唯一正确答案的代号填涂在答题卡上 1. 下列实数，，，，，，，…（相邻两个之间的个数逐次加）中，无理数的个数是（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 2. 下列调查中，最适合全面调查的是（ ） A. 对某个航班乘机人员携带物品情况调查 B. 对临沂市年空气质量情况的调查 C. 对一批新生产的鞭炮质量的调查 D. 对黄河流域水质情况的调查 3. 下列说法不一定成立的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 一个等腰直角三角尺和一把直尺按如图所示的位置摆放（厚度忽略不计），若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 下列判断：①的平方根是；②与互为相反数；③，则；④的算术平方根是．其中正确的有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 6. 在平面直角坐标系中，已知点，点，平移线段，使点A落在点处，则点B的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 已知关于的方程组的解满足，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 《算法统宗》中有一道题为“隔沟计算”，其原文是：甲乙隔沟放牧，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多你一倍之上；乙说得甲九只羊，二家之数相当，两人都在暗思对方有多少只羊，甲对乙说：“我若得你9只羊，我的羊多你一倍．”乙对甲说：“我若得你9只羊，我们两家的羊数就一样多．”设甲有x只羊，乙有y只羊，根据题意列出二元一次方程组为（ ） A. B. C. D. 9. 若关于x的不等式组恰有3个整数解，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 已知关于，的方程组，以下结论：①当时，方程组的解也是方程的解；②存在实数，使得；③不论取什么实数，的值始终不变；④若将方程组的每一组解都写成有序数对，并在坐标系中描出所有点，则这些点不可能落在第三象限．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二．选择题：（本大题共5小题，每小题3分） 11. 64的算术平方根是______． 12. 若方程是关于x，y的二元一次方程，则n的值为___________． 13. 已知点，点，且轴，则的长度为______． 14. 如图，将矩形沿折叠得到，折叠后与交于点，已知，则的大小为______． 15. 在数学游艺会上，有一个卡片游戏：50张卡片分别写有1到中的整数，记为、、、、（按环形排列）（如图）．已知相邻两张卡片上的数的和为：，，，，．将卡片上的数从小到大排列，顺序为______（用字母表示）． 三．解答题（本大题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 按要求完成下列各题： （1）计算：； （2）解方程组：． 17. 按要求解下列不等式（组）： （1）解关于x的不等式，并将解集在数轴上表示出来． （2）解不等式组：，并求出它的所有整数解之和． 18. 某学校为调研学生的睡眠情况，随机抽取了名学生，调查他们过去一周的平均睡眠时间并绘制了两幅不完整的统计图： a．名学生平均睡眠时间的频数分布直方图如图①； （将调查数据分成5组，分别是A：，B：，C：，D：，E：） b．名学生平均睡眠时间的扇形统计图如图②； 根据以上信息，回答下列问题： （1）本次调查的学生总数的值为________； （2）补全频数分布直方图； （3）在扇形统计图中，B组所在扇形区域的圆心角大小为________度； （4）学校共有2400名在校学生，请估计睡眠时间在9小时及以上的学生有多少名？ 19. 三角形与其平移后得到的三角形在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）分别写出下列各点的坐标：____；____；____； （2）若点是三角形内部一点，则平移后三角形内的对应点的坐标为______； （3）求三角形的面积． 20. 小明在学完立方根后，不知道如何在不使用计算器的情况下求出的立方根．同桌小华提醒他可以按照教材上数学家华罗庚的方法口算立方根，于是他们进行了下面的探究： ①首先进行估算：因为，，，所以，所以能确定是两位数． ②其次观察立方数：，，，，，，，，．由的个位上的数是，，确定的个位上的数是． ③接着划去后面的三位得到数，而，，，所以，所以，所以的十位上的数是，于是得到，即的立方根是． 请你根据小明和小华探究的方法完成下列问题： （1）填空：的立方根是一个______位数，其个位上的数是_______； （2）根据上面的步骤，请计算的立方根，并书写详细过程． 21. 为了筹备初三学生的心理赋能活动，学校准备采购心愿卡和明信片用于本次活动．心愿卡每件元，明信片每件元．计划一共采购件，总费用不超过元，且心愿卡的数量不少于明信片数量的．则至少需要采购心愿卡多少件？ 22. 项目主题：探究纸盒配套的最优方案 素材一 甲车间的工人负责生产如图所示的长方形纸板和正方形纸板． 素材二 乙车间的工人负责用甲车间工人生产的纸板制作出如图所示的竖式和横式两种不同长方体形状的无盖纸盒（不考虑裁剪和接缝）． （1）任务一：请根据以上信息，填写下表： 无盖纸盒 所需长方形纸板/张 所需正方形纸板/张 竖式 横式 （2）任务二：若甲车间工人生产了长方形纸板张，正方形纸板张，且乙车间工人在制作竖式、横式两种纸盒时将纸板恰好用完，则乙车间工人制作的竖式、横式两种纸盒的个数分别为多少？ （3）任务三：若甲车间共有名工人，每名工人一天能生产张长方形纸板或张正方形纸板，已知个竖式纸盒与个横式纸盒配成一套，要使甲车间一天生产的纸板与乙车间所做成的产品恰好配套，则甲车间应该如何安排工人生产两种纸板？ 23. 汛期即将来临，防汛指挥部在某水域一危险地带的两岸各安置了一探照灯，便于夜间察看河水及两岸河堤的情况．如图，探照灯A射出的光束自顺时针旋转至便立即回转，探照灯B射出的光束自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若探照灯A射出的光束的转动速度是/秒，探照灯B射出的光束的转动速度是/秒，且，满足．假定这一带水域两岸河堤是平行的，即，且． （1）求，的值． （2）如图，两探照灯同时转动，在探照灯A射出的光束到达之前，两探照灯射出的光束交于点，若，求的度数． （3）若探照灯B射出的光束先转动秒，探照灯A射出的光束才开始转动，在探照灯B射出的光束第一次到达之前，当两探照灯的光束互相平行时，请直接写出探照灯A转动的时间． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级数学质量监测试题 注意事项： 1．本试卷满分120分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座号填写在试卷和答题卡规定的位置．考试结束后，只上交答题卡． 2．答题注意事项见答题卡，答在本试卷上不得分． 一．选择题：（本大题共10小题，每小题3分）请将唯一正确答案的代号填涂在答题卡上 1. 下列实数，，，，，，，…（相邻两个之间的个数逐次加）中，无理数的个数是（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】先化简，再根据无理数的定义判断各数并统计个数． 【详解】解：因为， 所以，，为整数，为有限小数，为分数，均属于有理数， ，，（相邻两个之间的个数逐次加）是无限不循环小数，均为无理数，共个无理数． 2. 下列调查中，最适合全面调查的是（ ） A. 对某个航班乘机人员携带物品情况调查 B. 对临沂市年空气质量情况的调查 C. 对一批新生产的鞭炮质量的调查 D. 对黄河流域水质情况的调查 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了判断全面调查与抽样调查，根据全面调查与抽样调查的特点逐项分析即可求解． 【详解】解：A、单个航班乘机人员数量有限，携带物品调查需逐一核查，适合全面调查，故A选项符合题意； B、对临沂市年空气质量情况的调查，调查范围广，适合抽样调查，故B选项不符合题意； C、对一批新生产的鞭炮质量的调查具有破坏性，适合抽样调查，故C选项不符合题意； D、对黄河流域水质情况的调查，调查范围广，适合抽样调查，故D选项不符合题意． 3. 下列说法不一定成立的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐一分析判断即可. 【详解】解：A、若，则 正确； B、若，则 正确； C、若，当c=0时，，此项错误； D、若，则此项正确. 故选 C. 【点睛】本题主要考查了不等式的性质，不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变.熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键. 4. 一个等腰直角三角尺和一把直尺按如图所示的位置摆放（厚度忽略不计），若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线的知识，解题的关键是掌握平行线的性质，等腰三角形的性质，即可． 【详解】∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 5. 下列判断：①的平方根是；②与互为相反数；③，则；④的算术平方根是．其中正确的有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】依次根据平方根、立方根、算术平方根的定义以及非负数的性质，对四个判断进行分析． 【详解】解：∵正数的平方根有两个且互为相反数， ∴的平方根是，故①错误； ∵， ∴与互为相反数，故②正确； ∵，，且二者和为， ∴，， 解得，， ∴，故③正确； ∵， ∴的算术平方根不是，故④错误． 综上，正确的结论有个． 6. 在平面直角坐标系中，已知点，点，平移线段，使点A落在点处，则点B的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】图形平移时所有点的坐标变化规律相同，先由点A平移前后的坐标得到平移规律，再计算点B对应点的坐标即可． 【详解】解：∵点平移后得到， ∴平移规律为：横坐标加，纵坐标减， ∵点的坐标为， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标为． 7. 已知关于的方程组的解满足，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】将求出x，y的值，再代入计算即可． 【详解】解：由题意得 由②，得， 将③代入①，得， 解得， ∴， ∴． 8. 《算法统宗》中有一道题为“隔沟计算”，其原文是：甲乙隔沟放牧，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多你一倍之上；乙说得甲九只羊，二家之数相当，两人都在暗思对方有多少只羊，甲对乙说：“我若得你9只羊，我的羊多你一倍．”乙对甲说：“我若得你9只羊，我们两家的羊数就一样多．”设甲有x只羊，乙有y只羊，根据题意列出二元一次方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根据题意列二元一次方程组． 根据甲和乙的陈述，甲得乙9只羊后，羊数是乙的2倍；乙得甲9只羊后，两人羊数相等．由此列出二元一次方程组． 【详解】解：设甲有x只羊，乙有y只羊， 甲得乙9只羊后，甲有只，乙有只，且； 乙得甲9只羊后，乙有只，甲有只，且； ∴方程组为． 故选：B． 9. 若关于x的不等式组恰有3个整数解，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀不等式组的整数解个数即可得出答案． 【详解】解：解不等式，得：， 解不等式，得：， ∵不等式组只有3个整数解，即5，6，7， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式，并根据不等式组整数解的个数得出关于的不等式组． 10. 已知关于，的方程组，以下结论：①当时，方程组的解也是方程的解；②存在实数，使得；③不论取什么实数，的值始终不变；④若将方程组的每一组解都写成有序数对，并在坐标系中描出所有点，则这些点不可能落在第三象限．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】先通过消元法解方程组，得到用表示的，再逐一验证四个结论，用到二元一次方程组解法，象限内点的坐标特征等知识点． 【详解】解：， 由，可得， 把代入，得， 即方程组的解为， 当时，，， 代入，满足方程，故①正确； 若，则，整理得，解得， 即存在实数满足条件，故②正确； ∵， ∴不论取何值，恒为，值不变，故③正确； 若点落在第三象限，需满足且，即， 解得，该不等式组无解， ∴没有点落在第三象限，故④正确． 综上，四个结论都正确，选项D符合题意． 二．选择题：（本大题共5小题，每小题3分） 11. 64的算术平方根是______． 【答案】8 【解析】 【详解】解：的算术平方根是． 12. 若方程是关于x，y的二元一次方程，则n的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程． 【详解】解：由方程是关于x，y的二元一次方程， 得|n|＝1且n﹣1≠0； 解得n＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点睛】此题主要考查了二元一次方程定义，关键是掌握二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程． 13. 已知点，点，且轴，则的长度为______． 【答案】6 【解析】 【分析】根据轴可得两点横坐标相等，先求出的值，再计算的长度． 【详解】解：∵轴，点，点， ∴与的横坐标相等，即， 解得， 将代入坐标得，，， ∵平行于轴的两点间距离等于纵坐标差的绝对值， ∴． 14. 如图，将矩形沿折叠得到，折叠后与交于点，已知，则的大小为______． 【答案】##24度 【解析】 【分析】首先根据矩形的性质可得，由平行线的性质可得；结合折叠的性质可得，然后在中，由三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴， ∴， 由折叠可知，， 又∵， ∴， 解得． 15. 在数学游艺会上，有一个卡片游戏：50张卡片分别写有1到中的整数，记为、、、、（按环形排列）（如图）．已知相邻两张卡片上的数的和为：，，，，．将卡片上的数从小到大排列，顺序为______（用字母表示）． 【答案】 【解析】 【分析】将所有的式子相加可得出，再通过移项得出每个字母的值等于减去另外四个字母的和，即可求出每个字母的值，最后比较大小即可． 【详解】解：∵，，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴顺序为． 三．解答题（本大题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 按要求完成下列各题： （1）计算：； （2）解方程组：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分别计算乘方、绝对值、立方根，然后去括号合并常数项化简； （2）用加减消元法消去求出，再代回方程算出，得到方程组的解． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：已知， 得， 解得， 将代入， 得， 解得， 故原方程组的解为． 17. 按要求解下列不等式（组）： （1）解关于x的不等式，并将解集在数轴上表示出来． （2）解不等式组：，并求出它的所有整数解之和． 【答案】（1），数轴见解析 （2），所有整数解的和为11 【解析】 【分析】（1）先去括号，再移项，合并同类项，系数化为1，最后在数轴上表示即可； （2）根据解不等式的步骤分别解出①②，得到不等式组的解集，再找出整数解即可． 【小问1详解】 解：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 不等式的解集为：， 不等式的解集在数轴上表示如下： . 【小问2详解】 解：， 解不等式①，得． 解不等式②，得． ∴原不等式组的解集为． ∴整数解为5，6， ∴， ∴所有整数解的和为11. 18. 某学校为调研学生的睡眠情况，随机抽取了名学生，调查他们过去一周的平均睡眠时间并绘制了两幅不完整的统计图： a．名学生平均睡眠时间的频数分布直方图如图①； （将调查数据分成5组，分别是A：，B：，C：，D：，E：） b．名学生平均睡眠时间的扇形统计图如图②； 根据以上信息，回答下列问题： （1）本次调查的学生总数的值为________； （2）补全频数分布直方图； （3）在扇形统计图中，B组所在扇形区域的圆心角大小为________度； （4）学校共有2400名在校学生，请估计睡眠时间在9小时及以上的学生有多少名？ 【答案】（1）30 （2） （3）48 （4）睡眠时间在小时及以上的学生有名 【解析】 【分析】（1）利用“D组学生人数除以其占比”，即可计算本次调查的学生总数； （2）首先计算C组学生人数，然后补全频数分布直方图即可； （3）利用“乘以B组学生占比”，即可获得答案； （4）利用“在校学生总数乘以参与调查的学生中睡眠时间在9小时及以上的学生占比”，即可获得答案． 【小问1详解】 解：（人）， ∴本次调查的学生总数的值为30人； 【小问2详解】 C组学生人数：（人）； 【小问3详解】 B组所在扇形区域的圆心角， ∴B组所在扇形区域的圆心角为； 【小问4详解】 （人）， ∴睡眠时间在小时及以上的学生有名． 19. 三角形与其平移后得到的三角形在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）分别写出下列各点的坐标：____；____；____； （2）若点是三角形内部一点，则平移后三角形内的对应点的坐标为______； （3）求三角形的面积． 【答案】（1）；； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）直接根据图形读出坐标即可； （2）结合（1）问的坐标规律即可对应点的坐标； （3）利用割补法求解即可. 【小问1详解】 解：根据图形得；；； 【小问2详解】 解：∵，， ∴三角形向下平移4个单位，再向左平移4个单位可得三角形， ∴点的坐标为； 【小问3详解】 解：． 20. 小明在学完立方根后，不知道如何在不使用计算器的情况下求出的立方根．同桌小华提醒他可以按照教材上数学家华罗庚的方法口算立方根，于是他们进行了下面的探究： ①首先进行估算：因为，，，所以，所以能确定是两位数． ②其次观察立方数：，，，，，，，，．由的个位上的数是，，确定的个位上的数是． ③接着划去后面的三位得到数，而，，，所以，所以，所以的十位上的数是，于是得到，即的立方根是． 请你根据小明和小华探究的方法完成下列问题： （1）填空：的立方根是一个______位数，其个位上的数是_______； （2）根据上面的步骤，请计算的立方根，并书写详细过程． 【答案】（1）两， （2）解：． 详细过程如下： ，，， ， 的立方根是一个两位数， 由的个位上的数是，，可得的个位数为， 接着划去后面的三位得到数，而，，则， ， ， ， 的十位上的数是，结合其个位上的数是，于是得到， 即的立方根是． 【解析】 【分析】（1）类比材料中的解法步骤①②求解即可； （2）类比材料中的解法步骤①②③求解即可． 【小问1详解】 解：，，， ， 的立方根是一个两位数， 由的个位上的数是，，可得的个位数为； 【小问2详解】 略 21. 为了筹备初三学生的心理赋能活动，学校准备采购心愿卡和明信片用于本次活动．心愿卡每件元，明信片每件元．计划一共采购件，总费用不超过元，且心愿卡的数量不少于明信片数量的．则至少需要采购心愿卡多少件？ 【答案】至少需要采购心愿卡件 【解析】 【分析】设需要采购心愿卡件，由题意列一元一次不等式组求解即可得到答案． 【详解】解：设需要采购心愿卡件，根据题意，得 ， 解得， 为正整数， 的最小值为， 答：则至少需要采购心愿卡件． 22. 项目主题：探究纸盒配套的最优方案 素材一 甲车间的工人负责生产如图所示的长方形纸板和正方形纸板． 素材二 乙车间的工人负责用甲车间工人生产的纸板制作出如图所示的竖式和横式两种不同长方体形状的无盖纸盒（不考虑裁剪和接缝）． （1）任务一：请根据以上信息，填写下表： 无盖纸盒 所需长方形纸板/张 所需正方形纸板/张 竖式 横式 （2）任务二：若甲车间工人生产了长方形纸板张，正方形纸板张，且乙车间工人在制作竖式、横式两种纸盒时将纸板恰好用完，则乙车间工人制作的竖式、横式两种纸盒的个数分别为多少？ （3）任务三：若甲车间共有名工人，每名工人一天能生产张长方形纸板或张正方形纸板，已知个竖式纸盒与个横式纸盒配成一套，要使甲车间一天生产的纸板与乙车间所做成的产品恰好配套，则甲车间应该如何安排工人生产两种纸板？ 【答案】（1） 无盖纸盒 所需长方形纸板/张 所需正方形纸板/张 竖式 横式 （2）乙车间工人制作的竖式、横式两种纸盒的个数分别为个和个 （3）甲车间安排名工人生产长方形纸板，名工人生产正方形纸板 【解析】 【分析】（1）分析两种无盖纸盒构造，数出各自所需长方形、正方形纸板数量填表； （2）设工人制作的竖式、横式两种纸盒的个数分别为，个，根据长、正方形纸板总量列二元一次方程组，求解得纸盒数量； （3）设甲车间安排名工人生产长方形纸板，名工人生产正方形纸板，结合总人数和竖横的配套比例列方程组，算出工人分配方案． 【小问1详解】 解：据图可知，竖式无盖纸盒侧面需要个长方形纸板，底面需要个正方形纸板， 横式无盖纸盒侧面需要个长方形纸板和个正方形纸板，底面需要个长方形纸板． 【小问2详解】 解：设乙车间工人制作的竖式、横式两种纸盒的个数分别为，个， 根据题意可得， 解得， 故乙车间工人制作的竖式、横式两种纸盒的个数分别为个和个． 【小问3详解】 解：设甲车间安排名工人生产长方形纸板，名工人生产正方形纸板， 根据题意可得， 解得， 故甲车间安排名工人生产长方形纸板，名工人生产正方形纸板． 23. 汛期即将来临，防汛指挥部在某水域一危险地带的两岸各安置了一探照灯，便于夜间察看河水及两岸河堤的情况．如图，探照灯A射出的光束自顺时针旋转至便立即回转，探照灯B射出的光束自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若探照灯A射出的光束的转动速度是/秒，探照灯B射出的光束的转动速度是/秒，且，满足．假定这一带水域两岸河堤是平行的，即，且． （1）求，的值． （2）如图，两探照灯同时转动，在探照灯A射出的光束到达之前，两探照灯射出的光束交于点，若，求的度数． （3）若探照灯B射出的光束先转动秒，探照灯A射出的光束才开始转动，在探照灯B射出的光束第一次到达之前，当两探照灯的光束互相平行时，请直接写出探照灯A转动的时间． 【答案】（1）、的值分别为， （2） （3）当秒或77.5秒时，两探照灯的光束互相平行 【解析】 【分析】（1）利用绝对值的非负性和平方的非负性得出，，解方程组即可求出，的值； （2）过点作，设灯A转动的时间为秒，先得出，，然后建立方程求出，最后根据，，即可求出的度数； （3）先根据题意确定，当时，此时探照灯A射出的光束还没有达到，可建立方程，解得；当时，此时探照灯A射出的光束已经达到后返回了，可建立方程，解得：；当时，此时探照灯A射出的光束第二次从出发，可建立方程，解得，不符合题意，舍去． 【小问1详解】 解：， ， 解得，， 、的值分别为，． 【小问2详解】 解：如图，过点作， ， ， ，， 设灯A转动的时间为秒， 则，， ，， ， ， ，解得， ，， ， ． 【小问3详解】 解：设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行， ∵探照灯B射出的光束先转动秒， 又∵探照灯B射出的光束自顺时针旋转至需要秒， ∴探照灯B射出的光束第一次到达还需要秒， ∴， ①当时，如图所示， ∵， ∴， ∵当时，， ∴， ∵此时探照灯A射出的光束还没有达到， ∴，， ∴，解得； ②当时，如图所示， ∵， ∴， ∵当时，， ∴， ∵此时探照灯A射出的光束已经达到后返回了， ∴，， ∴，解得：； ③当时，如图所示， ∵， ∴， ∵当时，， ∴， ∵此时探照灯A射出的光束第二次从出发， ∴，， ∴，解得，不符合题意，舍去； 综上：当秒或秒时，两灯的光束互相平行． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $