精品解析：山东省德州市临邑县第五中学2021-2022学年九年级下学期数学开学考试测试卷

山东省德州市临邑县第五中学2021-2022学年第二学期 九年级数学开学考试测试卷 一、选择题（共48分） 1. 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查中心对称图形和轴对称图形，掌握中心对称图形和轴对称图形的概念是解题的关键． 根据中心对称图形的概念（如果一个图形绕某一个点旋转后能与它自身重合，我们就把这个图形叫做中心对称图形）和轴对称图形的概念（如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形），逐一判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意； C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意； D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； 故选：B． 2. 将一元二次方程化成（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（ ） A. ，21 B. ，11 C. 4，21 D. ，69 【答案】A 【解析】 【分析】根据配方法步骤解题即可． 【详解】解： 移项得， 配方得， 即， ∴a=-4，b=21． 故选：A 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，解题关键是配方：在二次项系数为1时，方程两边同时加上一次项系数一半的平方． 3. 如图，是一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合三视图确定各图形的位置后即可确定正确的选项． 【详解】解：结合三个视图发现，这个几何体是长方体和圆锥的组合图形． 故选：B． 【点睛】本题考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是能够正确的确定各个图形的位置，难度不大． 4. 如图，是的内接三角形，，是直径，，则的长为（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接BO，根据圆周角定理可得，再由圆内接三角形的性质可得OB垂直平分AC，再根据正弦的定义求解即可． 【详解】如图，连接OB， ∵是的内接三角形， ∴OB垂直平分AC， ∴，， 又∵， ∴， ∴, 又∵AD=8， ∴AO=4， ∴， 解得：， ∴． 故答案选B． 【点睛】本题主要考查了圆的垂径定理的应用，根据圆周角定理求角度是解题的关键． 5. 如图，点A、B位于图中所示的双曲线上，且轴，点C、D在x轴上，若四边形为矩形，则它的面积为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】延长交y轴于E，则轴，推出四边形和四边形都是矩形，根据反比例函数的几何意义求解即可． 【详解】解：延长交y轴于E，则轴，如图： ∵四边形为矩形， ∴四边形和四边形都是矩形， ∵点A在双曲线上， ∴矩形的面积为4， ∵点B在双曲线上，且轴， ∴矩形的面积为12， ∴矩形的面积为． 6. 如图．随机闭合开关、、中的两个，则能让两盏灯泡、同时发光的概率为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了列表法与树状图法，弄清题中的电路图是解本题的关键．找出随机闭合开关、、中的两个的情况数以及能让两盏灯泡、同时发光的情况数，即可求出所求概率． 【详解】解：画树状图，如图所示： 随机闭合开关、、中的两个有六种情况：闭合，闭合，闭合，闭合，闭合，闭合， 能让两盏灯泡、同时发光的有两种情况：闭合，闭合， 则（能让两盏灯泡、同时发光）． 故选：D 7. 函数和在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题目中的函数解析式，利用分类讨论的方法可以判断各个选项中的函数图象是否正确，从而可以解答本题． 【详解】∵反比例函数和一次函数 ∴当时，函数在第一、三象限，一次函数经过一、二、四象限，故选项A、B错误，选项D正确； 当时，函数在第二、四象限，一次函数经过一、二、三象限，故选项C错误， 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的方法解答． 8. 如图，是的直径，弦，垂足为点．连接，．如果，，那么图中阴影部分的面积是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据是的直径，弦，由垂径定理得，再根据证得，即可证明，即可得出． 【详解】解：是的直径，弦， ，， ， ， ， 又， ， ， 在和中， ， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，平行线的性质，全等三角形的判定，扇形的面积，等积变换，解此题的关键是证出，从而将阴影部分的面积转化为扇形OBC的面积，题目比较典型，难度适中． 9. 如图，在矩形中，点E在上，将矩形沿折叠，使点D落在边上的点F处，若，则的值（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由矩形的性质、折叠的性质求得，进而求得，设，在中，利用勾股定理建立方程求得x的值，再由正切函数的定义即可求解． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴， ∵矩形沿直线折叠，使点D落在边上的F处， ∴， 在中，， ∴， 设，则， 在中，∵， ∴，解得， 即， ∴． 10. 如图1，点P从的顶点A出发，沿匀速运动到点C，图2是点P运动时线段的长度y随时间x变化的关系图象，其中点Q为曲线部分的最低点，则的边的长度为（ ） A. 12 B. 8 C. 10 D. 13 【答案】C 【解析】 【分析】根据图2中的曲线可得，当点P在的顶点A处，运动到点B处时，图1中的，当点P运动到中点时，此时，根据图2点Q为曲线部分的最低点，可得，根据勾股定理可得，再根据等腰三角形三线合一可得的长． 【详解】解：根据题图②可知： 当点P在点A处时，， 当点P到达点B时，， ∴为等腰三角形，当点P在上运动且最小时，时，， ∴的边的高为12， 如解图，当时，， 在中，， ∴． 11. 如图，在中，D、E为边的三等分点，，H为与的交点．若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 1.5 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】证明，求出的长，再证明，求出的长即可. 【详解】解：∵D、E为边的三等分点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 12. 对称轴为直线的抛物线（、、为常数，且）如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②，③，④，⑤（为任意实数），⑥当时，随的增大而增大．其中结论正确的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图像与系数的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点确定．由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，再进一步逐一分析判断即可． 【详解】解：①由图像可知：，， ∵， ∴， ∴，故①错误； ②∵抛物线与x轴有两个交点， ∴， ∴，故②正确； ③∵抛物线与轴的一个交点在与0之间，对称轴为直线， ∴另一个交点在到之间， ∴当时，，故③错误； ④当时，， ∴，故④正确； ⑤当时，y取到值最小，此时，， 而当时，， ∴ ， 故，即，故⑤正确， ⑥当时，y随x的增大而减小，故⑥错误， 所以，正确的结论有：②④⑤，共3个． 故选：A． 二、填空题（共24分） 13. 如图，在中，四边形为菱形，点在上，则的度数是________． 【答案】 【解析】 【分析】连接OB，证明△OAB，△OBC都是等边三角形，得到∠AOC=120°，进而求出． 【详解】解：连接OB， ∵四边形为菱形，OA=OB， ∴OA=OB=OC=AB=BC, ∴△OAB，△OBC都是等边三角形， ∴∠AOB=∠BOC=60°， ∴∠AOC=120°， ∵， ∴ ． 故答案为：60° 【点睛】本题考查了菱形的性质，圆的半径都相等，圆周角定理，等边三角形性质，综合性较强．解题关键是连接OB，得到△OAB，△OBC都是等边三角形． 14. 若一个圆锥的底面半径为2，母线长为6，则该圆锥侧面展开图的圆心角是_________°． 【答案】120 【解析】 【详解】解：圆锥侧面展开图的弧长是：2π×2=4π（cm）， 设圆心角的度数是n度． 则=4π， 解得：n=120． 故答案为120． 15. 如图，已知点A(2，0)，B(0，4)，C(2，4)，D(6，6)，连接AB，CD，将线段AB绕着某一点旋转一定角度，使其与线段CD重合（点A与点C重合，点B与点D重合），则这个旋转中心的坐标为_____． 【答案】(4，2) 【解析】 【分析】画出平面直角坐标系，作出新的AC，BD的垂直平分线的交点P，点P即为旋转中心． 【详解】解：平面直角坐标系如图所示，旋转中心是P点，P（4，2）， 故答案为：（4，2）． 【点睛】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，解题的关键是理解对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心． 16. 若关于的一元二次方程(有两个不相等的实数根，则的取值范围是_____． 【答案】且 【解析】 【分析】一元二次方程有两个不相等实数根需同时满足两个条件：①二次项系数不为0，保证是一元二次方程；②判别式，保证两根不等．联立两个不等式即可求出的取值范围． 【详解】解：由原方程是关于的一元二次方程， ， 解得：， 又原方程有两个不相等的实数根， ， 解得：， 即的取值范围是：且． 17. 如图，在中，的半径为点是边上的动点，过点作的一条切线(其中点为切点)，则线段长度的最小值为____． 【答案】 【解析】 【分析】如图：连接OP、OQ，根据,可得当OP⊥AB时，PQ最短；在中运用含30°的直角三角形的性质和勾股定理求得AB、AQ的长，然后再运用等面积法求得OP的长，最后运用勾股定理解答即可． 【详解】解：如图：连接OP、OQ， ∵是的一条切线 ∴PQ⊥OQ ∴ ∴当OP⊥AB时，如图OP′，PQ最短 在Rt△ABC中， ∴AB=2OB=,AO=cos∠A·AB= ∵S△AOB= ∴，即OP=3 在Rt△OPQ中，OP=3,OQ=1 ∴PQ=． 故答案为． 【点睛】本题考查了切线的性质、含30°直角三角形的性质、勾股定理等知识点，此正确作出辅助线、根据勾股定理确定当PO⊥AB时、线段PQ最短是解答本题的关键． 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知直线和双曲线，在直线上取一点，记为，过作轴的垂线交双曲线于点，过作轴的垂线交直线于点，过作轴的垂线交双曲线于点，过作轴的垂线交直线于点······，依次进行下去，记点的横坐标为，若则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数与一次函数图象上点的坐标特征分别求出A1、B1、A2、B2、A3、B3…，从而得到每3次变化为一个循环组依次循环，用2020除以3，根据商的情况确定出a2020即可 【详解】解：当a1=2时，B1的横坐标与A1的横坐标相等为2，A1（2，3），B1(2，) ； A2的纵坐标和B1的纵坐标相同为，代入y=x+1，得x=，可得A2（，）； B2的横坐标和A2的横坐标相同为，代入得，y=，得B2(，) ； A3的纵坐标和B2的纵坐标相同为，代入y=x+1，得x=，故A3（，） B3的横坐标和A3的横坐标相同为，代入得，y=3，得B3(，3) A4的纵坐标和B3的纵坐标相同为3，代入y=x+1，得x=2，所以A4（2，3） … 由上可知，a1，a2，a3，a4，a5，…，3个为一组依次循环， ∵2020÷3=673⋯⋯1， ∴a2020=a1=2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征，依次求出各点的坐标，观察出每3次变化为一个循环组依次循环是解题的关键，也是本题的难点． 三、解答题（共78分） 19. 解方程与解不等式． （1）解方程：； （2）解不等式：． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用配方法解方程即可． （2）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，最后把未知数的系数化为1． 【小问1详解】 解：， 移项得：， ∴， ∴， ∴， 所以，； 【小问2详解】 解：， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并得． 20. 为了提高学生的综合素养，某校开设了五门手工活动课．按照类别分为：“剪纸”、“沙画”、“葫芦雕刻”、“泥塑”、“插花”．为了了解学生对每种活动课的喜爱情况，随机抽取了部分同学进行调查，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，回答下列问题： （1）本次调查的样本容量为________；统计图中的________，________； （2）通过计算补全条形统计图； （3）该校共有2500名学生，请你估计全校喜爱“葫芦雕刻”的学生人数． 【答案】（1）120，12，36； （2）补全条形统计图如图所示： （3）625 【解析】 【分析】（1）由A所占的百分比及参加A类活动课的人数可求得总人数，再由总人数及B和D所占的百分比即可求得a和b的值， （2）先求得E类活动课参加的人数，再补全条形统计图即可； （3）先求出抽样调查中喜爱“葫芦雕刻”的学生所占的百分比，即可求得全校喜爱“葫芦雕刻”的学生人数． 【详解】解：（1），，， 故答案为：120，12，36； （2）类别的人数为：（人）； （3）类别所占的百分比为：， （人） 答：全校喜爱“葫芦雕刻”的学生人数约为625人． 【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据，扇形统计图可以看出每个量所占的百分比． 21. 如图，已知反比例函数的图像与直线相交于点，． （1）求出直线的表达式； （2）在轴上有一点使得的面积为18，求出点的坐标． 【答案】（1）；（2）当点在原点右侧时，，当点在原点左侧时，． 【解析】 【分析】（1）通过点A的坐标确定反比例函数的解析式，再求得B的坐标，利用待定系数法将A，B的坐标代入，即可得到一次函数的解析式； （2）直线与轴的交点为，过点，作轴的垂线，，垂足分别为，，得到，即，分情况讨论即可解决． 【详解】解：（1）∵在的图像上， ∴，， 又点在的图像上，，即． 将点，的坐标代入，得， 解得． ∴直线的表达式为． （2）设直线与轴的交点为， 当时，解得．即． 分别过点，作轴的垂线，，垂足分别为，． ． 又，即，∴． 当点在原点右侧时，， 当点在原点左侧时，． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的性质，解题的关键是掌握数形结合的思想. 22. 某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果，若售价为50元/千克，则一个月可售出500千克；若售价在50元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克． （1）当售价为55元/千克时，每月销售水果多少千克？ （2）当月利润为8750元时，每千克水果售价为多少元? （3）当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？ 【答案】（1）450千克；（2）当月销售利润为元时，每千克水果售价为元或元；（3）当该优质水果每千克售价为元时，获得的月利润最大 【解析】 【分析】（1）根据销售量的规律：500减去减少的数量即可求出答案； （2）设每千克水果售价为元，根据题意列方程解答即可； （3）设月销售利润为元，每千克水果售价为元，根据题意列函数关系式，再根据顶点式函数关系式的性质解答即可． 【详解】解：当售价为元/千克时，每月销售量为千克． 设每千克水果售价为元，由题意，得 即 整理，得 配方，得 解得 当月销售利润为元时，每千克水果售价为元或元； 设月销售利润为元，每千克水果售价为元， 由题意，得 即 配方，得 ， 当时，有最大值， 当该优质水果每千克售价为元时，获得的月利润最大． 【点睛】此题考查一元二次方程的实际应用，顶点式二次函数的性质，正确理解题意，根据题意对应的列方程或是函数关系式进行解答，并正确计算． 23. 如图，在中，，以的边为直径作，交于点D，过点D作，垂足为点E． （1）试证明是的切线； （2）若的半径为5，，求此时的长． 【答案】（1） 证明：连接、， ∵是直径， ∴， ∴， ∵， ∴D为中点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵为半径， ∴是的切线． （2）3 【解析】 【分析】（1）连接、，因为是直径，所以，已知，由等腰三角形可得D为中点，则为的中位线，所以，由可推出，则题目可解． （2）由题目条件可推出，利用对应边成比例求解即可． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 解：由（1）知是的中线， ∴， ∵的半径为5， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴． 24. 如图1，在等腰三角形中，，，点D、E分别在边、上，，连接，点M、N、P分别为、、的中点． （1）观察猜想 图1中，线段、的数量关系是_____，的大小为________． （2）探究证明 把绕点A顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接、、，判断的形状，并说明理由； （3）拓展延伸 把绕点A在平面内自由旋转，若，，请求出面积的最大值． 【答案】（1）； （2）解：是等边三角形； 理由：由旋转可得，， 又∵，， ∴， ∴，， ∵点M、N、P分别为、、的中点． ∴，，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形． （3） 【解析】 【分析】（1）由中位线定理可以证明，，，，则结合已知条件可得，经过导角求得的值； （2）可证明，则，，类比（1）进行证明即可； （3）由（2）知是等边三角形，其面积，求面积的最大值，即求的最大值，而，结合已知条件，即可求出最大值，则题目可解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵点M、N、P分别为、、的中点， ∴，，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：略； 【小问3详解】 解：根据题意得，，即， ∴， 作于， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴，， ∴的面积=， 当最大取时， ∴的面积的最大值为． 25. 若一次函数的图象与轴，轴分别交于A，C两点，点B的坐标为，二次函数的图象过A，B，C三点，如图（1）． （1）求二次函数的表达式； （2）如图（1），过点C作轴交抛物线于点D，点E在抛物线上（轴左侧），若恰好平分．求直线的表达式； （3）如图（2），若点P在抛物线上（点P在轴右侧），连接交于点F，连接，． ①当时，求点P的坐标； ②求的最大值． 【答案】（1）；（2）；（3）①点或；② 【解析】 【分析】（1）先求的点A、C的坐标，再用待定系数法求二次函数的解析式即可； （2）设交于点M．由可得，．再由，根据平行线的性质可得，所以．已知平分，根据角平分线的定义可得．利用AAS证得．由全等三角形的性质可得． 由此即可求得点M的坐标为（0，-1）．再由，即可求得直线解析式为； （3）①由可得．过点P作交于点N，则．根据相似三角形的性质可得．由此即可求得．设，可得．所以．由此即可得=2，解得．即可求得点或；②由①得．即．再根据二次函数的性质即可得． 【详解】（1）解：令，得．令时，． ∴． ∵抛物线过点， ∴． 则，将代入得 解得 ∴二次函数表达式为． （2）解：设交于点M． ∵， ∴，． ∵， ∴． ∴． ∵平分， ∴． 又∵， ∴． ∴． 由条件得：． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴直线解析式为． （3）①， ∴． 过点P作交于点N，则． ∴． ∵， ∴． ∵直线的表达式为， 设， ∴． ∴． ∴，则，解得． ∴点或． ②由①得：． ∴． ∴有最大值，． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数与坐标轴的交点坐标、待定系数法求二次函数及一次函数的解析式，相似三角形的判定与性质，解决第（2）问时，求得点M的坐标是关键；解决（3）①问时，作出辅助线求得是解题的关键；解决（3）②问时，构建函数模型是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省德州市临邑县第五中学2021-2022学年第二学期 九年级数学开学考试测试卷 一、选择题（共48分） 1. 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 将一元二次方程化成（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（ ） A. ，21 B. ，11 C. 4，21 D. ，69 3. 如图，是一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，是的内接三角形，，是直径，，则的长为（ ） A. 4 B. C. D. 5. 如图，点A、B位于图中所示的双曲线上，且轴，点C、D在x轴上，若四边形为矩形，则它的面积为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 6. 如图．随机闭合开关、、中的两个，则能让两盏灯泡、同时发光的概率为（　　） A. B. C. D. 7. 函数和在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，是的直径，弦，垂足为点．连接，．如果，，那么图中阴影部分的面积是（ ）． A. B. C. D. 9. 如图，在矩形中，点E在上，将矩形沿折叠，使点D落在边上的点F处，若，则的值（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，点P从的顶点A出发，沿匀速运动到点C，图2是点P运动时线段的长度y随时间x变化的关系图象，其中点Q为曲线部分的最低点，则的边的长度为（ ） A. 12 B. 8 C. 10 D. 13 11. 如图，在中，D、E为边的三等分点，，H为与的交点．若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 1.5 D. 3 12. 对称轴为直线的抛物线（、、为常数，且）如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②，③，④，⑤（为任意实数），⑥当时，随的增大而增大．其中结论正确的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、填空题（共24分） 13. 如图，在中，四边形为菱形，点在上，则的度数是________． 14. 若一个圆锥的底面半径为2，母线长为6，则该圆锥侧面展开图的圆心角是_________°． 15. 如图，已知点A(2，0)，B(0，4)，C(2，4)，D(6，6)，连接AB，CD，将线段AB绕着某一点旋转一定角度，使其与线段CD重合（点A与点C重合，点B与点D重合），则这个旋转中心的坐标为_____． 16. 若关于的一元二次方程(有两个不相等的实数根，则的取值范围是_____． 17. 如图，在中，的半径为点是边上的动点，过点作的一条切线(其中点为切点)，则线段长度的最小值为____． 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知直线和双曲线，在直线上取一点，记为，过作轴的垂线交双曲线于点，过作轴的垂线交直线于点，过作轴的垂线交双曲线于点，过作轴的垂线交直线于点······，依次进行下去，记点的横坐标为，若则______． 三、解答题（共78分） 19. 解方程与解不等式． （1）解方程：； （2）解不等式：． 20. 为了提高学生的综合素养，某校开设了五门手工活动课．按照类别分为：“剪纸”、“沙画”、“葫芦雕刻”、“泥塑”、“插花”．为了了解学生对每种活动课的喜爱情况，随机抽取了部分同学进行调查，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，回答下列问题： （1）本次调查的样本容量为________；统计图中的________，________； （2）通过计算补全条形统计图； （3）该校共有2500名学生，请你估计全校喜爱“葫芦雕刻”的学生人数． 21. 如图，已知反比例函数的图像与直线相交于点，． （1）求出直线的表达式； （2）在轴上有一点使得的面积为18，求出点的坐标． 22. 某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果，若售价为50元/千克，则一个月可售出500千克；若售价在50元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克． （1）当售价为55元/千克时，每月销售水果多少千克？ （2）当月利润为8750元时，每千克水果售价为多少元? （3）当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？ 23. 如图，在中，，以的边为直径作，交于点D，过点D作，垂足为点E． （1）试证明是的切线； （2）若的半径为5，，求此时的长． 24. 如图1，在等腰三角形中，，，点D、E分别在边、上，，连接，点M、N、P分别为、、的中点． （1）观察猜想 图1中，线段、的数量关系是_____，的大小为________． （2）探究证明 把绕点A顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接、、，判断的形状，并说明理由； （3）拓展延伸 把绕点A在平面内自由旋转，若，，请求出面积的最大值． 25. 若一次函数的图象与轴，轴分别交于A，C两点，点B的坐标为，二次函数的图象过A，B，C三点，如图（1）． （1）求二次函数的表达式； （2）如图（1），过点C作轴交抛物线于点D，点E在抛物线上（轴左侧），若恰好平分．求直线的表达式； （3）如图（2），若点P在抛物线上（点P在轴右侧），连接交于点F，连接，． ①当时，求点P的坐标； ②求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $