精品解析：山东省泰安市肥城市汶阳镇初级中学2022-2023学年九年级下学期开学自我诊断数学试题（1-5章）

九年级数学开学初自我诊断评价试题 一．选择题（共12小题） 1. 如图所示，给出下列条件：①；②；③；④．其中能够单独判定的个数为（     ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查选择或补充条件使两个三角形相似，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．根据相似三角形的判定方法逐项判断即可． 【详解】解：和中，， 添加后，满足两组对应角相等，可以判定； 添加后，满足两组对应角相等，可以判定； 添加后，不能满足两边对应成比例且夹角相等，不能判定； 添加，即后，满足两边对应成比例且夹角相等，可以判定， 故选：C． 2. 如图，在平行四边形中，E是边上的点且，、交于点F，设的面积为，平行四边形ABCD的面积为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点F作，然后利用三角形相似的性质得到线段比，最后再求出面积比即可． 【详解】解：如图，过点F作， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴是的边上的高，是的边上的高， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查相似三角形的判定及相似比与面积比之间的联系，灵活运用所学知识点是解题关键，属于选择题中的压轴题． 3. 在中，为锐角，满足，则等于（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据非负数的性质可得，再由特殊角锐角三角函数值，可得，然后三角形内角和定理，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A 【点睛】本题主要考查了非负数的性质，特殊角锐角三角函数值，三角形内角和定理，熟练掌握特殊角锐角三角函数值是解题的关键． 4. 如图所示，九（二）班的同学准备在坡角为的河堤上栽树，要求相邻两棵树之间的水平距离为，那么这两棵树在坡面上的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：如图， 由题意，， ∴. 5. 如图，是的内接四边形，，，则的半径为（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角与圆心角的关系，勾股定理的应用，解题的关键是熟练运用相关定理．先根据圆内接四边形对角互补得出，由圆周角定理得出，根据可得出答案． 【详解】解：连接，， ∵四边形内接于，， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∵，， ∴， ∴的半径为： 故选：B． 6. 如图，以等边三角形的一边为直径的半圆交边于点，交边于点．若，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，，，易得，，都是等边三角形，且，可得弓形的面积弓形的面积，进而可得阴影部分的面积等于的面积，由此即可求解． 【详解】解：如图，连接，，， 是等边三角形， ，， ， ，，都是等边三角形，且， ， 弓形的面积弓形的面积， 阴影部分的面积的面积， ， 是等边三角形，边长为2， 过点C作于点M， 则，， 的面积， ∴阴影部分的面积． 故选：C． 【点睛】本题主要考查圆的基本性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、求不规则图形的面积等，解题的关键是证明弓形的面积等于弓形的面积． 7. 受世界经济下滑的影响，某服装厂今年9月的月产值为60万元，11月下降到28万元，若设这两个月平均每月减少产值的百分率为，则可得方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据：9月的产值减少的百分率11月的产值，列出方程即可． 【详解】由题意得：； 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程在增长率或降低率问题上的应用，根据题意找到等量关系列方程是解题的关键． 8. 关于的方程有实数根，则的取值范围是（　　） A. B. C. 且 D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】由于方程有实数根，当方程为一元二次方程时，令，即可求出m的取值范围，要注意，．再令方程为一元一次方程，进行解答． 【详解】解：当方程为一元二次方程时，方程有解， 则且， 解得：且； 当方程为一元一次方程时，方程有解，则只需，即， 综上：当时，方程有实数根， 故选择：B 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，注意要分类讨论，对一元一次方程和一元二次方程分别解答． 9. 若，，三点都在函数的图象上，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据反比例函数的增减性解答即可． 【详解】解：， 反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小． 又，，三点都在函数的图象上，且， 在第三象限，，在第一象限， ，， 故、、的大小关系为． 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 10. 将抛物线向右平移5个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线是(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】解：抛物线向右平移5个单位，再向下平移2个单位， 得到的抛物线是,即． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，掌握平移规律是解题的关键． 11. 如图，一棵大树的影子落在土坡的坡面和地面上，量得米，米，与地面成30°角，且此时测得1米杆的影长为3米，则大树的高度为（ ） A. 米 B. 33米 C. （）米 D. （）米 【答案】D 【解析】 【分析】延长交的延长线于点，过点作的延长线于点，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：如图，延长交的延长线于点F，过点D作的延长线于点E． ∵，米， ∴（米）， ∴米， 设米，米， ∵，， ∴∽， ∴＝，即＝…①， ∵1米杆的影长为2米，根据同一时间物高与影长成正比可得， ＝…②， ①②联立，解得． 答：大树的高度为（）米， 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． 12. 二次函数的图象的一部分如图所示，已知图象经过点，其对称轴为直线．下列结论，其中正确的有（ ） ①；②；③；④；⑤点、是抛物线上的两点，若，则；⑥若抛物线经过点，则关于的一元二次方程的两根分别为，． A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①由图象可知：，，，则，故①符合题意； ②根据抛物线的对称性质知，该抛物线与x轴有两个交点，则，故②不符合题意； ③∵对称轴为直线， ∴ 当时，，即 ∴ 即，故③符合题意； ④由于图象经过，且对称轴为，则图象也经过， 当时， 即 ，故④不符合题意； ⑤点，是抛物线上的两点，若，则，故⑤不符合题意； ⑥由图象过由对称性可知：图象也过点 令 有两个解，分别是，，故⑥符合题意； 综上所述，①③⑥符合题意，共有3个． 二．填空题（共6小题） 13. 如图，在中，D为边上一点，，若，，则的长为______． 【答案】2 【解析】 【分析】依据，可得，结合，即可得出，进而得到，可得的长． 【详解】∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵，，， ∴，解得， 故答案为2． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解题时注意：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等． 14. 如图，的顶点在正方形网格的格点上，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】找到格点，连接、，可知为直角三角形，根据三角函数的定义求解即可． 【详解】解：找到格点，连接、，如图 由题意可得为直角三角形，， 则 ， 故答案为： 【点睛】此题考查了三角函数的定义，勾股定理，解题的关键是掌握三角函数的定义． 15. 等边三角形的外接圆与内切圆的半径之比是______． 【答案】2:1 【解析】 【分析】作出辅助线OD、OE，证明△AOD为直角三角形且∠OAD为30°，即可求出OD、OA的比． 【详解】解：如图，连接OD、OE； 因为AB、AC切圆O与E、D， 所以OE⊥AB，OD⊥AC， 又因为AO=AO， EO=DO， 所以△AEO≌△ADO（HL）， 故∠DAO=∠EAO； 又∵△ABC为等边三角形， ∴∠BAC=60°， ∴∠OAC=60°×=30°， ∴OD:AO=1:2． 等边三角形的外接圆半径与它的内切圆半径之比是：2:1． 故答案为：2:1． 【点睛】此题主要考查了三角形的内心与外心，找到直角三角形，将三角形内切圆和三角形外接圆联系起来是解题的关键． 16. 有一个人患了流感，两轮传染后共有人患了流感，则平均每人传染_____人． 【答案】 【解析】 【分析】设每轮传染中平均每人传染了人，那么第一轮传染中有人被传染，第二轮则有人被传染，已知“共有人患了流感”，那么可列方程，然后解方程即可． 【详解】解：设每轮传染中平均每人传染了人， 根据题意可得， 解得，（舍去）， 平均每人传染人． 17. 如图，点在反比例函数的图象上，轴于H，，则k的值为______． 【答案】60 【解析】 【分析】利用锐角三角函数的性质，为的对边比邻边，求出的长，即可得到点P的坐标，进而得出k的值． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上，轴于H， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：60． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，锐角三角函数的运用，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 18. 如图，一抛物线形拱桥，当拱顶到水面的距离为米时，水面宽度为米；那么当水位上升米后，水面的宽度为___________米．（结果可带根号） 【答案】 【解析】 【分析】根据题意建立平面直角坐标系，如图所示（见详解），可知抛物线与轴的两个交点分别是，，且对称轴为，此时抛物线的最大值为，由此即可求出抛物线的解析式，当水位上升米时，求函数自变量的值，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，建立平面直角坐标系， ∴抛物线过点，，且顶点坐标为， 设抛物线的解析为，将顶点坐标代入得，，即， ∴，则抛物线的解析式为：， 当水位上升米，即时，， 整理得，，解方程得，，， ∴水面的宽度为：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查二次函数的实际应用，理解和掌握待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图形的性质是解题的关键． 三．解答题（共7小题） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）0 （2） 【解析】 【分析】（1）根据特殊角三角函数值的混合计算法则求解即可； （2）根据特殊角三角函数值的混合计算法则求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 【点睛】本题主要考查了特殊角三角函数值的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 20. 如图，为上一点，若，，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据，证明出，进而得到，然后根据，证明出，进而得到，可证明出． 【详解】证明：∵， ∴ ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质等知识，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 21. 如图，是的中线，是锐角，，，． （1）求的长． （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）过点作于点，根据勾股定理解，求得，，再由的值可得为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得，则可求； （2）由中线的性质可得，再求出，则可根据正切的定义求． 【小问1详解】 解：过点作于点， 在中， ， ， ， ， ，， 在中， ， ， 为等腰直角三角形， ， ； 【小问2详解】 解：为边上的中线， ， ， ． 【点睛】本题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义和勾股定理是解题的关键． 22. 如图，在中，点O在斜边上，以O为圆心，为半径作圆，分别与，相交于点D，E，连接．已知． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 【答案】（1） 证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴，即，    ∵是的半径， ∴为的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，先证明，根据，得出，再证明，即可得出结论； （2）根据特殊角的三角函数值得出，在求出，根据，得出，即得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵在中，， ∴， ∴，， ∴， ∴在中，， ∴， 即的半径为． 【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，切线的判定，正确作出辅助线是解题的关键． 23. 某商品的进价为每件30元，现在的售价为每件45元，每月可卖出1500件，市场前期调查反映，如调整价格，每涨1元，每月少卖出60件，每月销量不少于1200件． （1）每件售价最高为多少元？ （2）实际销售时，发现商品积压较多，为尽快减少库存，经重新调查评估，发现每件在最高售价的基础上降价销售，每降1元，每月销量比最低销量1200件多卖120件，要使利润达到25920元，则每件应降价多少元？ 【答案】（1）售价最高为50元 （2）应降价8元 【解析】 【分析】（1）设售价为元，根据“每月销量不少于1200件”列出不等式，求解即可； （2）设应降价元，利用“利润达到25920元”，以及利润单件利润销量，列出方程，求解即可． 【小问1详解】 解：设售价为元，根据题意可得： ， 解得， ∴售价最高为50元； 【小问2详解】 解：设应降价元，根据题意可得： ， 解得：或， ∵商品积压较多，要尽快减少库存， ∴应降价8元． 【点睛】本题考查一元一次不等式以及一元二次方程的实际应用，根据题意列出不等式或方程是解题的关键． 24. 如图，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点，与反比例函数的图象分别交于，两点，已知点坐标是，且． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）直接写出不等式的解集； （3）求的面积． 【答案】（1）一次函数的解析式为：，反比例函数的解析式为： （2）或 （3）6 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，相似三角形的性质与判定等等： （1）如图所示（见详解），过点作轴于，过点作于，得，根据点坐标是，，可求出点的坐标，用待定系数法即可求出一次函数解析式，把点代入反比例函数可求出反比例函数解析式； （2）由（1）可求出图像的两个交点，求一次函数小于反比例函数的解集，根据图像及交点坐标即可求解； （3）根据进行求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示，过点作轴于，过点作于， ∵由作图可知，轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵点坐标是， ∴， ∴， ∴， ∴ 将，代入一次函数得，， 解得， ∴一次函数的解析式为：， 把代入反比例函数，得， ∴反比例函数的解析式为：， ∴一次函数的解析式为：，反比例函数的解析式为：． 【小问2详解】 解：由（1）得一次函数的解析式为：，反比例函数的解析式为：， ∴联立，解方程组得，或， ∴， ∴不等式的解集为：或． 【小问3详解】 解： ． 25. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数交轴于点，交轴于点，在轴上有一点，连接． （1）求二次函数的表达式； （2）若点为抛物线在轴负半轴上方的一个动点，求面积的最大值； （3）抛物线对称轴上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请直接写出所有点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）的面积取得最大值为 （3）点的坐标为：，， 【解析】 【分析】（1）把已知点坐标代入函数解析式，得出方程组求解即可； （2）根据函数解析式设出点坐标，过点作轴于，交于点，交轴于点，过点作，垂足为，如图所示，表示的面积，运用二次函数分析最值即可； （3）设出点坐标，分三种情况讨论分析即可． 【小问1详解】 解：∵二次函数经过点，， ∴， 解得， 二次函数的解析式为：y； 【小问2详解】 解：由、， 设， 则， 解得， 所在直线解析式为， 过点作轴于，交于点，交轴于点，过点作，垂足为，如图所示： 设，则点， ∴， ∴ ， ∴当时，的面积取得最大值为； 【小问3详解】 解：的对称轴为直线， 设，又、， 则，， 当时，， 解得：， 此时； 当时，， 解得：，此时； 当时，， 解得：，此时； 综上所述，点的坐标为：，，． 【点睛】本题是二次函数的综合，涉及二次函数图象与性质、待定系数法求二次函数解析式、待定系数法确定一次函数解析式、二次函数中求三角形面积、等腰三角形性质、两点之间距离求法等知识，熟记二次函数图象与性质，掌握二次函数综合题型的求解方法是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学开学初自我诊断评价试题 一．选择题（共12小题） 1. 如图所示，给出下列条件：①；②；③；④．其中能够单独判定的个数为（     ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 如图，在平行四边形中，E是边上的点且，、交于点F，设的面积为，平行四边形ABCD的面积为，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 在中，为锐角，满足，则等于（　　） A. B. C. D. 4. 如图所示，九（二）班的同学准备在坡角为的河堤上栽树，要求相邻两棵树之间的水平距离为，那么这两棵树在坡面上的距离为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是的内接四边形，，，则的半径为（ ） A. 4 B. C. D. 6. 如图，以等边三角形的一边为直径的半圆交边于点，交边于点．若，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 2 B. C. D. 7. 受世界经济下滑的影响，某服装厂今年9月的月产值为60万元，11月下降到28万元，若设这两个月平均每月减少产值的百分率为，则可得方程（ ） A. B. C. D. 8. 关于的方程有实数根，则的取值范围是（　　） A. B. C. 且 D. 且 9. 若，，三点都在函数的图象上，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 10. 将抛物线向右平移5个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线是(　　) A. B. C. D. 11. 如图，一棵大树的影子落在土坡的坡面和地面上，量得米，米，与地面成30°角，且此时测得1米杆的影长为3米，则大树的高度为（ ） A. 米 B. 33米 C. （）米 D. （）米 12. 二次函数的图象的一部分如图所示，已知图象经过点，其对称轴为直线．下列结论，其中正确的有（ ） ①；②；③；④；⑤点、是抛物线上的两点，若，则；⑥若抛物线经过点，则关于的一元二次方程的两根分别为，． A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二．填空题（共6小题） 13. 如图，在中，D为边上一点，，若，，则的长为______． 14. 如图，的顶点在正方形网格的格点上，则的值为_________． 15. 等边三角形的外接圆与内切圆的半径之比是______． 16. 有一个人患了流感，两轮传染后共有人患了流感，则平均每人传染_____人． 17. 如图，点在反比例函数的图象上，轴于H，，则k的值为______． 18. 如图，一抛物线形拱桥，当拱顶到水面的距离为米时，水面宽度为米；那么当水位上升米后，水面的宽度为___________米．（结果可带根号） 三．解答题（共7小题） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 如图，为上一点，若，，求证：． 21. 如图，是的中线，是锐角，，，． （1）求的长． （2）求的值． 22. 如图，在中，点O在斜边上，以O为圆心，为半径作圆，分别与，相交于点D，E，连接．已知． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 23. 某商品的进价为每件30元，现在的售价为每件45元，每月可卖出1500件，市场前期调查反映，如调整价格，每涨1元，每月少卖出60件，每月销量不少于1200件． （1）每件售价最高为多少元？ （2）实际销售时，发现商品积压较多，为尽快减少库存，经重新调查评估，发现每件在最高售价的基础上降价销售，每降1元，每月销量比最低销量1200件多卖120件，要使利润达到25920元，则每件应降价多少元？ 24. 如图，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点，与反比例函数的图象分别交于，两点，已知点坐标是，且． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）直接写出不等式的解集； （3）求的面积． 25. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数交轴于点，交轴于点，在轴上有一点，连接． （1）求二次函数的表达式； （2）若点为抛物线在轴负半轴上方的一个动点，求面积的最大值； （3）抛物线对称轴上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请直接写出所有点的坐标，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $