第12讲 图形的旋转 暑假预习讲义 2026-2027学年人教版九年级数学上册

第12讲图形的旋转 目录 知识点1 旋转的定义与三要素（必考） 2 知识点2 旋转的五大核心性质（解题核心依据） 2 知识点3 标准旋转作图四步法 3 知识点4 原点旋转90°坐标变换规律（熟记秒杀） 3 知识点5 旋转不变量总结 3 知识点6 旋转规律探究核心原理 3 题型1 判断旋转 4 题型2 旋转中心、旋转角 4 题型3 旋转中的规律性问题 5 题型4 根据旋转的性质求解 7 题型5 根据旋转的性质说明线段或角相等 8 题型6 画旋转图形 9 题型7 求绕原点旋转90度的点的坐标 11 题型8 求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标 12 题型9 求绕原点旋转一定角度的点的坐标 13 题型10 坐标与旋转规律问题 15 题型11 线段问题 16 题型12 面积问题 18 题型13 角度问题 20 题型14 其它问题 23 题型15 坐标系中的旋转 25 1. 知识目标：理解图形旋转的定义、三要素，熟练掌握旋转的核心性质；掌握旋转作图规范步骤、平面直角坐标系中各类旋转的坐标变换规律；熟记旋转相关线段、角度、面积变化特点，明晰旋转规律类题型底层原理。 2. 能力目标：能精准判断旋转运动、识别旋转中心与旋转角；熟练利用旋转性质求解线段、角度、面积问题；掌握原点、非原点任意点旋转90°、任意角度的坐标求解方法；攻克坐标系旋转、旋转规律探究、动态旋转综合15类必考题型。 3. 素养目标：建立几何变换、数形结合、动态探究、分类讨论思想，提升图形变换识图、坐标转化、规律归纳、几何推理能力，夯实中考旋转压轴题型基础。 知识点1 旋转的定义与三要素（必考） 定义：在平面内，将一个图形绕着一个定点按某个方向转动一个角度的图形变换，叫做图形的旋转。 旋转三要素（缺一不可）：旋转中心、旋转方向（顺时针/逆时针）、旋转角度。 核心特征：旋转属于全等变换，旋转前后图形的形状、大小完全不变，仅位置发生改变。 知识点2 旋转的五大核心性质（解题核心依据） 1. 对应点到旋转中心的距离相等； 2. 对应线段相等、对应角相等； 3. 任意一组对应点与旋转中心连线的夹角，都等于旋转角； 4. 所有旋转角大小相等； 5. 旋转前后图形全等，周长、面积保持不变。 知识点3 标准旋转作图四步法 1. 连线：连接图形各关键点与旋转中心； 2. 转角：绕旋转中心按指定方向、角度作出旋转角； 3. 截取：在旋转角边上截取线段，长度等于原关键点到中心的距离，得到对应点； 4. 连线：顺次连接所有对应点，得到旋转后的图形，保留作图痕迹。 知识点4 原点旋转90°坐标变换规律（熟记秒杀） 设点，绕坐标原点旋转： 1. 顺时针旋转90°：； 2. 逆时针旋转90°：； 3. 旋转180°（中心对称）：。 知识点5 旋转不变量总结 1. 不变量：边长、角度、周长、面积、对应点到中心距离； 2. 变化量：图形位置、点的坐标、线段摆放方向。 知识点6 旋转规律探究核心原理 图形多次旋转会形成周期循环，固定角度旋转存在固定周期：90°旋转周期为4、180°旋转周期为2，可通过找周期、求余数快速求解第n次旋转位置与坐标。 题型1 判断旋转 解题技巧（三要素判定法）：1. 看运动形式：是否绕固定定点转动，排除平移、轴对称、折叠运动；2. 看变换特征：图形大小形状不变，仅位置绕定点旋转；3. 三要素核验：有旋转中心、旋转方向、旋转角度即为旋转；4. 易错区分：摆动、滚动类非定点转动，不属于标准几何旋转。 秒杀口诀：定点转动为旋转，大小形状永不变。 【典例1】．下列图形的运动，属于旋转的是（     ） A．电梯上下运行 B．推拉窗户 C．钟表指针转动 D．滑雪板直线滑行 【变式1】．下列选项所示的图案中，可以看作由某个“基本图案”绕某个点旋转得到的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】．在体育课上，当老师下达口令“向左转”时，左脚正确的动作应是以______（填“脚跟”或“脚尖”）为旋转中心，沿着______（填“顺时针”或“逆时针”）方向旋转______度． 【变式3】．如图，均在格点上，是由经过两次图形的变换（平移、轴对称、旋转）得到的．下列结论：①1次旋转和1次平移；②2次轴对称；③1次平移和1次轴对称；④1次轴对称和1次旋转．其中所有正确结论的序号是________． 题型2 旋转中心、旋转角 解题技巧（定点定角识别法）：1. 找旋转中心：旋转过程中唯一不动的定点即为旋转中心；2. 找旋转角：连接对应点与中心，两组连线的夹角即为旋转角；3. 验证规律：所有旋转角大小相等，可任意选取一组计算；4. 规范答题：旋转角取值范围0°<θ≤360°，优先取最小正角。 【典例2】．游乐园中“海盗”船（图1）围绕顶端横梁左右摇摆，给游客带来奇妙的运动体验．小莹同学绘制了“海盗”船在两个不同时刻摇摆状态的侧面示意图（图2），横梁可视为一点，那么在小莹的绘画中横梁应是（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式1】．如图，，，可看成是由旋转得到的，则旋转角的度数是（     ） A． B． C． D． 【变式2】．如图在网格中，由旋转得到，其旋转中心是__________． 【变式3】．如图，在中，，将在平面内绕点逆时针旋转到的位置，使，则旋转角的度数为_______________． 题型3 旋转中的规律性问题 解题技巧（周期归纳法）：1. 观察旋转角度，确定循环周期：90°周期4、120°周期3、180°周期2；2. 计算周期余数：总次数÷周期数，根据余数判断最终位置；3. 对应推导：余数为0为周期末位置，余数非0对应第余数次旋转状态；4. 通用套路：先找周期、再算余数、最后定图形/坐标/角度。 【典例3】．按表格中从左到右所示的排列规律，在空格中应填（     ） A． B． C． D． 【变式1】．如图1，点在点正北方．一只机器狗从点按逆时针方向绕着点做匀速圆周运动，经过一分钟，其位置如图2所示．那么经过2026分钟，机器狗的位置会是下列图形中的（     ） A． B． C． D． 【变式2】．风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，它能够使大自然的资源得到更好地利用．如图1，风力发电机有三个底端重合、两两成角的叶片，以三个叶片的重合点为原点水平方向为x轴建立平面直角坐标系（如图2所示），已知开始时其中一个叶片的外端点的坐标为，在一段时间内，叶片每秒绕原点O顺时针转动，则第秒时，点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式3】．在平面直角坐标系中，有一个等腰直角三角形，，直角边在x轴上，且．将绕原点O顺时针旋转得到等腰直角三角形，且，再将绕原点O顺时针旋转得到等腰直角三角形，且…，依此规律，得到等腰直角三角形．则点的坐标_________． 题型4 根据旋转的性质求解 解题技巧（不变量套用通法）：1. 遇旋转先定全等：旋转前后图形全等；2. 抓两大核心：对应距相等、旋转角相等；3. 按需推导：求边长用“对应线段相等”，求角度用“旋转角相等、对应角相等”；4. 复杂图形拆分：拆分对应三角形、对应线段，分步代入性质计算。 【典例4】．如图所示，把以点为中心顺时针旋转得到，点，的对应点分别是点，，且点在的延长线上，则下列结论一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，在中，，，将绕点逆时针旋转，得到．若点D在线段的延长线上，如图，则的大小为（     ） A． B． C． D．不能确定 【变式2】．如图，在中，，，，将绕点C顺时针旋转得到．当点A，C，D在同一条直线上时，的长为________． 【变式3】．如图，将绕点顺时针旋转得到，若，则的长为_____． 题型5 根据旋转的性质说明线段或角相等 解题技巧（几何标准推理模板）：1. 书写前提：图形由旋转得到，旋转前后图形全等；2. 直接结论：根据旋转性质，对应线段相等、对应角相等；3. 进阶推理：结合公共边、公共角、等量加减，推导衍生相等线段/角；4. 大题规范：每一步推理标注依据（旋转的性质），步骤完整不跳步。 【典例5】．将绕顶点顺时针旋转得到，若，则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，在中，，，点在边上，且，若，则长为（  ） A．3 B．2 C． D． 【变式2】．如图，在中，将绕点A逆时针旋转得到，交边于点F，点D恰好落在边上，若，则的度数为________． 【变式3】．如图，将绕点A顺时针旋转后得到，点B与点D是对应点，如果，那么________ ． 题型6 画旋转图形 解题技巧（四步标准作图法）：1. 取关键点：选取图形顶点、端点等核心关键点；2. 定点连线：连接关键点与旋转中心；3. 转角截长：按要求旋转角度，截取等长线段得对应点；4. 顺次连线：连接所有对应点，保留圆弧、辅助线痕迹；5. 禁忌：禁止直接目测画图，必须严格按等距、等角规范作图。 【典例6】．“俄罗斯方块”是一款经典的益智类休闲游戏．如图所示，要使上方的“T”型方块组（阴影部分）落下后刚好填满下方空格，则可以将上方的方块组（     ） A．先绕点顺时针旋转，再向下平移5格 B．先绕点顺时针旋转，再向下平移4格 C．先绕点逆时针旋转，再向下平移5格 D．先绕点逆时针旋转，再向下平移4格 【变式1】．如图，可以看作是经过怎样的图形变换得到的？下列结论中：①1次旋转；②2次翻折；③1次平移和1次翻折．所有正确结论的序号是_________． 【变式2】．在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． (1)将以坐标原点为旋转中心旋转，画出旋转后对应的； (2)平移，点的对应点的坐标为，则的坐标是________． 【变式3】．图①、图②、图③均是的正方形网格．仅使用无刻度直尺，在给定网格中按要求画图，不要求写出画法． (1)在图①中，画出，使由平移得到； (2)在图②中，画出，使与关于直线成轴对称； (3)在图③中，画出，使由绕点顺时针旋转得到． 题型7 求绕原点旋转90度的点的坐标 解题技巧（公式秒杀法）：1. 熟记固定公式：点，原点顺时针90°→，逆时针90°→；2. 直接代入横纵坐标，无需画图计算；3. 验算校验：旋转后点到原点距离与原距离相等，保证计算无误；4. 适配所有象限点，通用无例外。 【典例7】．如图，在平面直角坐标系中，，点为坐标原点，将线段绕着点顺时针旋转得到线段，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【变式1】．春节时人们爱用风车装饰景区，如图，风车由两种等腰直角三角形拼成．等腰直角三角形的斜边，且在x轴上，边绕点O逆时针旋转后，点B的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．已知在平面直角坐标系中，，，将绕点逆时针旋转得到，连接交于点，将点向左平移2个单位长度得到点，则点的坐标为_____． 【变式3】．在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕着点逆时针旋转得线段，则点的坐标为____． 题型8 求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标 解题技巧（平移还原法）：1. 平移坐标系：将旋转中心平移至原点，算出目标点相对坐标；2. 套用公式：按顺时针/逆时针90°原点旋转公式计算新相对坐标；3. 还原平移：将坐标平移回原坐标系，得到最终坐标；4. 辅助验证：利用横纵坐标垂直、距离相等特征校验结果。 【典例8】．如图，直线与轴、轴分别相交于点，将绕点顺时针方向旋转得到，则点的坐标为__________． 【变式1】．如图，在平面直角坐标系中，已知点、、、．若线段绕点P旋转后能与线段重合（C对应A，D对应B），则点P的坐标为_____________． 【变式2】．如图，将一个直角三角板的直角顶点与坐标原点重合，已知，点A的坐标是，若把直角三角板绕坐标原点O顺时针旋转，则点B的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式3】．在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转后的对应点所在象限为（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 题型9 求绕原点旋转一定角度的点的坐标 解题技巧（数形结合通用法）：1. 特殊角度优先：30°、45°、60°、90°、180°套用固定规律；2. 构造直角三角形：利用横纵坐标、勾股定理、特殊角三角函数求解；3. 结合象限判断坐标正负，避免符号错误；4. 非特殊角度：结合旋转定义与距离不变特征列式求解。 【典例9】．如图，将反比例函数（，）的图象绕点 顺时针旋转，旋转后的图象与 轴交于点，则_________． 【变式1】．如图，直线与轴，轴分别交于、两点，，把绕点顺时针旋转后得到（点在轴正半轴上），则点的坐标是___________ 【变式2】．如图，已知三个顶点的坐标分别为，，，将向右平移3个单位，得到，点，，的对应点分别为，，，再将绕点顺时针旋转，得，点，，的对应点分别为、、则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式3】．如图，在平面直角坐标系中，位于第二象限，点的坐标是先把向右平移3个单位长度得到再把绕点顺时针旋转得到则点的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 题型10 坐标与旋转规律问题 解题技巧（周期坐标迭代法）：1. 算出前3-4次旋转后的坐标，找出循环周期；2. 计算旋转次数余数，锁定目标周期位置；3. 结合象限、旋转方向，直接写出对应坐标；4. 高频规律：90°四次一循环、180°两次一循环，可直接秒杀填空选择。 【典例10】．如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点在原点上，，，，轴，将四边形绕点逆时针旋转，每次旋转，第2026次旋转后点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，在平面直角坐标系中，长方形两边与坐标轴重合， ．将长方形绕点逆时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【变式2】．如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，，边在轴正半轴上，点在第一象限内，将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转后，点所对应的点的坐标是_____． 【变式3】．如图，在平面直角坐标系中，是原点，点在轴正半轴上，是等腰三角形，，点到轴的距离为4．将绕点顺时针旋转得到，再将绕点顺时针旋转得到，…如此循环下去，则点的坐标为_________． 题型11 线段问题 解题技巧（等长代换法）：1. 核心依据：旋转前后对应线段长度相等；2. 动态线段求解：利用旋转等长转化，将不规则线段转化为规则线段；3. 最值问题：旋转后线段端点轨迹为圆弧，结合圆的性质求线段最值；4. 综合计算：结合勾股定理、等腰三角形性质求解线段长度。 【典例11】．在菱形中，，，点为对角线所在直线上的一个动点，以为边，沿着点顺时针方向作，角的另一边交射线于点，交射线于点，连接、． (1)如图1，当点在对角线上（点不与点、重合）时， ①求证：； ②设的长为，的面积为．求与的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)连接，当是直角三角形时，直接写出的长． 【变式1】．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点，且一次函数的图像交x轴于点C，交y轴于点D． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)在第四象限的一次函数图像上有一点P，满足，请求出点P的坐标； (3)当时，直接写出x的取值范围． (4)在中找一点Q，使的值最小，直接写出点Q的坐标． 【变式2】．如图，在中，，，点，分别在边，上，，连接，点，，分别为，，的中点． (1)观察猜想：图中，线段与的数量关系是 ，位置关系是 ； (2)探究证明：把绕点逆时针方向旋转到图的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由； (3)拓展延伸：把绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值． 【变式3】．在矩形中，点是直线上一个动点，连接． (1)如图1，若平分，，，连接，求的面积； (2)如图2，点是的中点，将直线绕点逆时针旋转后，恰好经过点，交于点，连接，若．求证：． (3)如图3，点是的中点，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，，．若，，当取最小值时，请直接写出此时的长度． 题型12 面积问题 解题技巧（面积不变秒杀法）：1. 基础结论：旋转为全等变换，图形总面积不变；2. 重叠面积：利用旋转对称性、等积替换，转化为规则图形面积；3. 阴影面积：割补平移，将不规则阴影转化为三角形、四边形、扇形面积；4. 无需复杂计算，优先用等积变换简化运算。 【典例12】．似曾相识 （1）如图①，正方形的边长等于4，中心为，正方形的边长也等于4，在正方形绕着点O旋转的过程中，若将这两个正方形重叠部分的面积记为S，那么S是否为定值？若S为定值，请直接写出该定值；若S变化，请直接写出它的变化范围． 类比探索 （2）如图②，等边的边长等于4，中心为，等边的边长也等于4，在等边绕着点O旋转的过程中，若将这两个等边三角形重叠部分的面积记为S，那么S是否为定值？若S为定值，请直接写出该定值；若S变化，请求出它的变化范围．    【变式1】．（1）问题背景 如图甲，，，垂足为，且，，求四边形的面积．    小明发现四边形的一组邻边，这就为旋转作了铺垫．于是，小明同学有如下思考过程： 第一步：将绕点逆时针旋转； 第二步：利用与互补， 证明三点共线， 从而得到正方形； 进而求得四边形的面积．    请直接写出四边形的面积为　 　． （2）类比迁移如图乙，为等边外一点，，，且，求四边形的面积． （3）拓展延伸 如图丙，在五边形中，，，，，，求五边形的面积． 【变式2】．如图，在平行四边形中，，，点到的距离为4，是上一点，且，点从点出发，沿折线运动，到终点停止，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，设点在折线上运动的路径长为． (1)当点恰好落在边上时，________，当点在边上运动时，长的最小值为________； (2)求点到的距离（用含的代数式要表示）； (3)当点在上运动时，设与重叠部分图形的面积为，求关于的函数关系式． 【变式3】．如图1，在正方形中，，点E为正方形内一点，连结，，． (1)如图2，将线段绕点B按顺时针方向旋转得到，连结，求证：． (2)如图3，在（1）的条件下，当时，连结，，求的面积． (3)如图4，若将绕点B按顺时针方向旋转得到，当点C在直线上，且面积为3时，求的值． 题型13 角度问题 解题技巧（旋转角等量代换法）：1. 所有对应点与中心连线夹角=旋转角，全部相等；2. 利用平角180°、直角90°、三角形内角和拆解角度；3. 旋转重叠题型：通过角度等量加减，消去公共角，快速求未知角；4. 动态旋转：旋转角度匀速变化，角度差值恒定，可直接推导。 【典例13】．【问题情境】 在数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动．把一副三角尺按照如图方式摆放．其中，，，，，在同一直线上． (1)如图1， ； 【操作探究】 (2)如图2，如果把图1所示的以为中心逆时针旋转得到，当转到与直线首次重合时，停止转动．当时，为多少度？ 【拓展延伸】 (3)如图3，作关于直线的对称，保持不动，绕点逆时针旋转，在转到与直线首次重合过程中，当与的一边所在直线垂直时，请直接写出旋转角的度数 ． 【变式1】．如图1，在中，点D为边上的一个定点，射线与边交于点E，射线与边交于点F，与关于直线对称，与关于直线对称． (1)如图2，当点落在边上，点落在边上时，若，则的度数为 ； (2)在图1中，设，，求x与y满足的数量关系式； (3)如图3，，射线从位置出发，绕点D顺时针旋转，到位置停止；射线从位置出发，绕点D逆时针旋转，到位置停止．两条射线同时开始旋转，射线的旋转速度为每秒，射线的旋转速度为每秒，当时，求旋转时间t的值． 【变式2】．问题提出 （）如图所示，将含有 和角的一副直角三角板与 在直线，的顶点和角的顶点重合于点，点在直线上，为平分线，则 ． 问题探究 （）如图，若将三角板绕点逆时针旋转，平分，请你探究 度数是否会发生变化？若不变，求出其角度；若变化，请说明理由； 问题解决 （）如图，从图位置开始，将三角板绕点以每秒 速度逆时针旋转，同时三角板以每秒的速度顺时针旋转，当首次与重合或当 与首次重合时，两个三角板都停止旋转．设两三角板的旋转时间为，在整个旋转过程中，当满足，求的值．    【变式3】．已知是等边三角形．    (1)将绕点A逆时针旋转角θ（），得到，和所在直线相交于点O． ①如图a，当时，与是否全等？___ （填“是”或“否”），___ 度； ②当旋转到如图b所在位置时，求的度数； (2)如图c，在和上分别截取点和，使， ，连接，将绕点A逆时针旋转角（），得到，和所在直线相交于点O，请利用图c探索的度数，直接写出结果，不必说明理由． 题型14 其它问题 解题技巧（通用综合模板）：1. 万变不离其宗，优先锁定旋转三要素、五大不变性质；2. 几何类综合：结合全等、等腰、勾股定理综合求解；3. 规律探究类：找周期、找定值、找不变量；4. 解题核心：先找不变量，再分析动态变化量，数形结合突破难点。 【典例14】．问题情境：数学课上，老师引导同学们以“正方形中线段的旋转”为主题开展数学活动．已知正方形中，，点E是射线上一点（不与点C重合），连接，将绕点E顺时针旋转得到，连接． 特例分析：（1）如图1，当点E与点D重合时，则= ； 深入谈及：（2）当点E不与点D重合时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请在图2与图3中选择一种情况进行证明；若不成立，请说明理由； 【变式1】．在中，，，点是平面内不与点，重合的任意一点，连接，将线段绕点旋转得到线段，连接、、．    (1)当时， ①如图1，当点在的边上时，线段绕点顺时针旋转得到线段，则与的数量关系是_______________； ②如图2，当点在内部时，线段绕点顺时针旋转得到线段，①中与的数量关系还成立吗？若成立，请证明结论，若不成立，说明理由； (2)当时， ①如图3，线段绕点顺时针旋转得到线段．试判断与的数量关系，并说明理由； ②若点，，在一条直线上，且，线段绕点逆时针旋转得到线段，求的值． 【变式2】．在中，，，点是直线上一动点．连接，将线段绕点逆时针旋转得到． (1)如下图，当点与点重合时，连接，四边形的形状是______； (2)探究猜想：当点不与点，点重合时． ①试猜想与的位置关系，并利用下图证明你的猜想； ②直接写出，和之间的数量关系． 【变式3】．如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A的坐标为，直线经过点、．将四边形绕点O按顺时针方向旋转α度得到四边形，此时直线、直线分别与直线相交于点P、Q． (1)四边形的形状是 　　，当时，的值是 　　； (2)①如图2，当四边形的顶点落在y轴正半轴上时，求的值； ②如图3，当四边形的顶点落在直线上时，求的面积； (3)在四边形旋转过程中，当时，是否存在这样的点P和点Q，使得，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 题型15 坐标系中的旋转 解题技巧（坐标变换万能法）：1. 定点：明确平面直角坐标系内旋转中心坐标；2. 变式：区分原点/非原点、90°/180°/任意角度旋转，套用对应方法；3. 求点：平移法、公式法、构造三角形法求对应点坐标；4. 构图：根据新坐标描点、连线，得到旋转后图形；5. 求值：结合坐标求线段、角度、周长、面积，实现坐标几何互通。 【典例15】．如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点坐标分别为，，． (1)请在图上画出； (2)在（1）的基础上，将绕着原点旋转得到，其中，，的对应点分别为，，，请在图上画出，并直接写出点的坐标； (3)在（2）的基础上，在轴上取一点，连接，，，当是以为腰的等腰三角形时，求点的坐标．（不要求画图） 【变式1】．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为．将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为，． (1)在给出的平面直角坐标系中画出； (2)记与轴的交点为，直接写出点的坐标； (3)记直线，的交点为，直接写出的大小． 【变式2】．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)将向左平移6个单位，请画出平移后的；（点A、B、C的对应点分别为点、、） (2)将绕原点O顺时针旋转，请画出旋转后的．（点A、B、C的对应点分别为点、、） 【变式3】．如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点A的坐标为，点B的坐标为，以点A为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点O，B，C的对应点分别为D，E，F． (1)如图1，当点D落在边上时，求点D的坐标； (2)如图2，当点D落在线段上时，请用尺规作图法画出点D，并求出线段的长． 1．下列选项中的运动，属于旋转变换的是（   ） A．升国旗的过程 B．摩天轮的转动 C．汽车刹车时的滑动 D．电梯的运行 2．如图，将绕着直角顶点旋转得到，经过点，，则旋转角的度数为（     ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，，将绕点顺时针旋转角（）至，使得点恰好落在边上，则等于（     ） A． B． C． D． 4．如图，将绕直角顶点按顺时针方向旋转，得到，连接，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得，连接，则的周长为（     ） A． B．18 C． D．24 6．如图，在平面直角坐标系中，，将绕点A顺时针旋转，则点C的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 7．【新情境•风力发电】风力发电具有清洁、环境效益友好，可再生、装机规模灵活，运行和维护成本低等特点，是除水能外，技术最为成熟、最具大规模开发和商业开发条件的发电方式．如图，风力发电机的三个相同叶片两两夹角为．以旋转轴为原点，水平方向为轴建立平面直角坐标系，恰好其中一个叶片尖点对应的坐标为．若叶片每秒绕点顺时针旋转，则第7秒时叶片尖点的坐标为（     ） A． B． C． D． 8．如图，中，且，D为外一点，连接，过D作交于点E，F为上一点且，连接，．将线段绕点C逆时针旋转90°到线段，连接分别交、于点M、N，连接、．下列结论（　　） ： ： ； ： ⑤若，，，则四边形面积为． 其中正确的个数为（　　） A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 9．如图，在的正方形网格中，绕某点逆时针旋转，得到，则旋转中心是点________． 10．如图，将绕点A逆时针旋转得到．连结和．给出下面四个结论：①；②；③；④．上述结论中，正确结论的序号有________． 11．如图，在平面直角坐标系中，将绕点O按顺时针方向旋转，得，则点的对应点的坐标为_____．    12．如图，把正方形铁片置于平面直角坐标系中，顶点A的坐标为，点在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置……则正方形铁片连续旋转100次后，点P的坐标为____________． 13．如图，在平面直角坐标系中，小正方形网格的边长为个单位长度，的三个顶点的坐标分别为，，，解答下列问题． (1)将先向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到，画出，并求平移的距离； (2)如图，已知是由旋转得到的（点，，的对应点分别为点，，），的三个顶点的坐标分别为，，，求旋转中心的坐标以及旋转角． 14．按要求解答下列问题： (1)【问题提出】：如图1，在中，把线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．若，，求的长； (2)【问题解决】：如图2有一块形如的古典园林，其中，将步道绕点顺时针旋转得到临水步道，沿搭建廊桥交于点，在点处修建观景凉亭，为观景步道．观景台在的中点处，连接并延长至点，得，连接、，请帮助施工团队证明：（步道、廊桥的宽度以及凉亭、观景台的大小均忽略不计） 15．如图1，在矩形中，，将绕点B顺时针旋转得到线段，过点作交直线于点． (1)在图1中， ①当时，连接，则的面积为______； ②证明：； (2)当时，点落在边上，如图2，证明：四边形是正方形； (3)当点三个点在一条直线上时，直接写出的长 16．在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点．以点为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点的对应点分别为． (1)如图①，当点恰好落在上时，点坐标为___________，点的坐标___________； (2)如图②，当点落在线段上时，交于点，求点的坐标； (3)若点为线段的中点，连接，取的中点，连接，写出的取值范围（直接写出结果）． 17．如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标是，点A的坐标是，连接．将绕点A逆时针旋转得到，反比例函数的图象经过点D，与 交于点E，连接，，． (1)求反比例函数的表达式． (2)求的面积． 18．如图，边长为3的正方形绕点逆时针旋转得到正方形，旋转角为，边与对角线交于点，在边上截取线段，使． (1)当时，_________； (2)在旋转过程中，的大小是否发生变化？若不变，请求出的度数；若有变化，请用含的式子表示； (3)令，请用含有的式子表示的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲图形的旋转 目录 知识点1 旋转的定义与三要素（必考） 2 知识点2 旋转的五大核心性质（解题核心依据） 2 知识点3 标准旋转作图四步法 2 知识点4 原点旋转90°坐标变换规律（熟记秒杀） 3 知识点5 旋转不变量总结 3 知识点6 旋转规律探究核心原理 3 题型1 判断旋转 3 题型2 旋转中心、旋转角 5 题型3 旋转中的规律性问题 7 题型4 根据旋转的性质求解 10 题型5 根据旋转的性质说明线段或角相等 12 题型6 画旋转图形 15 题型7 求绕原点旋转90度的点的坐标 19 题型8 求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标 23 题型9 求绕原点旋转一定角度的点的坐标 26 题型10 坐标与旋转规律问题 30 题型11 线段问题 35 题型12 面积问题 48 题型13 角度问题 60 题型14 其它问题 71 题型15 坐标系中的旋转 84 1. 知识目标：理解图形旋转的定义、三要素，熟练掌握旋转的核心性质；掌握旋转作图规范步骤、平面直角坐标系中各类旋转的坐标变换规律；熟记旋转相关线段、角度、面积变化特点，明晰旋转规律类题型底层原理。 2. 能力目标：能精准判断旋转运动、识别旋转中心与旋转角；熟练利用旋转性质求解线段、角度、面积问题；掌握原点、非原点任意点旋转90°、任意角度的坐标求解方法；攻克坐标系旋转、旋转规律探究、动态旋转综合15类必考题型。 3. 素养目标：建立几何变换、数形结合、动态探究、分类讨论思想，提升图形变换识图、坐标转化、规律归纳、几何推理能力，夯实中考旋转压轴题型基础。 知识点1 旋转的定义与三要素（必考） 定义：在平面内，将一个图形绕着一个定点按某个方向转动一个角度的图形变换，叫做图形的旋转。 旋转三要素（缺一不可）：旋转中心、旋转方向（顺时针/逆时针）、旋转角度。 核心特征：旋转属于全等变换，旋转前后图形的形状、大小完全不变，仅位置发生改变。 知识点2 旋转的五大核心性质（解题核心依据） 1. 对应点到旋转中心的距离相等； 2. 对应线段相等、对应角相等； 3. 任意一组对应点与旋转中心连线的夹角，都等于旋转角； 4. 所有旋转角大小相等； 5. 旋转前后图形全等，周长、面积保持不变。 知识点3 标准旋转作图四步法 1. 连线：连接图形各关键点与旋转中心； 2. 转角：绕旋转中心按指定方向、角度作出旋转角； 3. 截取：在旋转角边上截取线段，长度等于原关键点到中心的距离，得到对应点； 4. 连线：顺次连接所有对应点，得到旋转后的图形，保留作图痕迹。 知识点4 原点旋转90°坐标变换规律（熟记秒杀） 设点，绕坐标原点旋转： 1. 顺时针旋转90°：； 2. 逆时针旋转90°：； 3. 旋转180°（中心对称）：。 知识点5 旋转不变量总结 1. 不变量：边长、角度、周长、面积、对应点到中心距离； 2. 变化量：图形位置、点的坐标、线段摆放方向。 知识点6 旋转规律探究核心原理 图形多次旋转会形成周期循环，固定角度旋转存在固定周期：90°旋转周期为4、180°旋转周期为2，可通过找周期、求余数快速求解第n次旋转位置与坐标。 题型1 判断旋转 解题技巧（三要素判定法）：1. 看运动形式：是否绕固定定点转动，排除平移、轴对称、折叠运动；2. 看变换特征：图形大小形状不变，仅位置绕定点旋转；3. 三要素核验：有旋转中心、旋转方向、旋转角度即为旋转；4. 易错区分：摆动、滚动类非定点转动，不属于标准几何旋转。 秒杀口诀：定点转动为旋转，大小形状永不变。 【典例1】．下列图形的运动，属于旋转的是（     ） A．电梯上下运行 B．推拉窗户 C．钟表指针转动 D．滑雪板直线滑行 【答案】C 【详解】解：旋转是图形绕定点转动的图形变换，平移是图形沿直线移动的变换， A：电梯上下运行，属于平移变换，故该选项不合题意； B：推拉窗户，属于平移变换，故该选项不合题意； C：钟表指针绕钟表中心定点转动，属于旋转，故该选项符合题意； D：滑雪板直线滑行，属于平移变换，故该选项不合题意． 【变式1】．下列选项所示的图案中，可以看作由某个“基本图案”绕某个点旋转得到的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察各选项图形，判断是否存在一个基本图案绕某点旋转一定角度后能与自身重合即可． 【详解】解：A. 该图形可以看作由一个菱形绕中心旋转，后得到，符合题意； B、C、D均不能由某个基本图案绕某点旋转得到，不符合题意． 【变式2】．在体育课上，当老师下达口令“向左转”时，左脚正确的动作应是以______（填“脚跟”或“脚尖”）为旋转中心，沿着______（填“顺时针”或“逆时针”）方向旋转______度． 【答案】 脚跟 逆时针 【分析】本题考查了旋转的相关概念，掌握旋转的相关概念，结合生活经验解决问题是解题的关键．根据旋转的相关概念，结合生活经验即可解答． 【详解】解：在体育课上，当老师下达口令“向左转”时，左脚正确的动作应是以脚跟为旋转中心，沿着逆时针方向旋转90度． 故答案为：脚跟；逆时针；． 【变式3】．如图，均在格点上，是由经过两次图形的变换（平移、轴对称、旋转）得到的．下列结论：①1次旋转和1次平移；②2次轴对称；③1次平移和1次轴对称；④1次轴对称和1次旋转．其中所有正确结论的序号是________． 【答案】③④/④③ 【分析】本题主要考查了图形的平移，旋转和轴对称，平移和旋转不会改变中三个内角字母的排列顺序（例如A、O、B顺时针排列），那么经过平移或者旋转得到的是按照顺时针排列，一次轴对称会改变中三个内角字母的排列顺序（例如A、O、B顺时针排列），那么经过1次轴对称得到的是按照逆时针排列，据此可得轴对称的次数一定要是奇数次，平移和旋转不能得到，据此可得答案． 【详解】解：∵旋转和平移都不会改变中三个内角字母的排列顺序（例如A、O、B顺时针排列），那么经过平移或者旋转得到的是按照顺时针排列， ∴不能由经过1次旋转或者1次平移，故①不符合题意； ∵1次轴对称一定会改变变中三个内角字母的排列顺序（例如A、O、B顺时针排列），那么经过经过1次轴对称得到的是按照逆时针排列， ∴轴对称的次数一定要满足奇数次，故②不符合题意，③④符合题意， 故答案为；③④． 题型2 旋转中心、旋转角 解题技巧（定点定角识别法）：1. 找旋转中心：旋转过程中唯一不动的定点即为旋转中心；2. 找旋转角：连接对应点与中心，两组连线的夹角即为旋转角；3. 验证规律：所有旋转角大小相等，可任意选取一组计算；4. 规范答题：旋转角取值范围0°<θ≤360°，优先取最小正角。 【典例2】．游乐园中“海盗”船（图1）围绕顶端横梁左右摇摆，给游客带来奇妙的运动体验．小莹同学绘制了“海盗”船在两个不同时刻摇摆状态的侧面示意图（图2），横梁可视为一点，那么在小莹的绘画中横梁应是（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】根据旋转中心在对应点所连线段的中垂线上进行逐一判断即可． 【详解】解：由题意可知，四边形与四边形成旋转对称，其旋转中心为M． 【变式1】．如图，，，可看成是由旋转得到的，则旋转角的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵可看成是由旋转得到的， ∴旋转角是和， ∵， ∴旋转角的度数是． 【变式2】．如图在网格中，由旋转得到，其旋转中心是__________． 【答案】P 【分析】图形的旋转中心是对应点连线的垂直平分线的交点． 【详解】解：如图，连接，，分别作和的垂直平分线，交点在P点处，故其旋转中心是P点． 【变式3】．如图，在中，，将在平面内绕点逆时针旋转到的位置，使，则旋转角的度数为_______________． 【答案】/50度 【分析】先根据平行线的性质得，再根据旋转的性质得等于旋转角，，则利用等腰三角形的性质得，然后根据三角形内角和定理可计算出的度数，从而得到旋转角的度数． 【详解】解：∵， ∴ ∵在平面内绕点旋转到的位置， 为旋转角，， ∴， ， 旋转角为． 题型3 旋转中的规律性问题 解题技巧（周期归纳法）：1. 观察旋转角度，确定循环周期：90°周期4、120°周期3、180°周期2；2. 计算周期余数：总次数÷周期数，根据余数判断最终位置；3. 对应推导：余数为0为周期末位置，余数非0对应第余数次旋转状态；4. 通用套路：先找周期、再算余数、最后定图形/坐标/角度。 【典例3】．按表格中从左到右所示的排列规律，在空格中应填（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据所给的图形，观察发现旋转的规律即可． 【详解】解：观察图形，发现：图形绕三角形的中心按逆时针方向转动． ∴在空格中应填：． 【变式1】．如图1，点在点正北方．一只机器狗从点按逆时针方向绕着点做匀速圆周运动，经过一分钟，其位置如图2所示．那么经过2026分钟，机器狗的位置会是下列图形中的（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出机器狗运动的周期，再根据周期计算经过分钟时机器狗的位置即可． 【详解】解：由题可知，机器狗分钟转动， 机器狗转动一周，即所需时间为分钟， ， 经过分钟，机器狗转动了周后，又转动了分钟， 相当于机器狗的位置为从点逆时针转动， 点在点正北方， 逆时针转动后，机器狗位于点正西方， 观察选项，只有B选项符合 ． 【变式2】．风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，它能够使大自然的资源得到更好地利用．如图1，风力发电机有三个底端重合、两两成角的叶片，以三个叶片的重合点为原点水平方向为x轴建立平面直角坐标系（如图2所示），已知开始时其中一个叶片的外端点的坐标为，在一段时间内，叶片每秒绕原点O顺时针转动，则第秒时，点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据旋转的性质分别求出第1、2、3、时，点的对应点、、、的坐标，找到规律，进而得出第时，点的对应点的坐标． 【详解】解：如图． ， 在第一象限的角平分线上， 叶片每秒绕原点顺时针转动， ，，，， 点的坐标以每4秒为一个周期依次循环， ， 第时，点的对应点的坐标与相同，为． 故选：． 【变式3】．在平面直角坐标系中，有一个等腰直角三角形，，直角边在x轴上，且．将绕原点O顺时针旋转得到等腰直角三角形，且，再将绕原点O顺时针旋转得到等腰直角三角形，且…，依此规律，得到等腰直角三角形．则点的坐标_________． 【答案】 【分析】．根据题意得出 点坐标变化规律，进而得出点 的坐标位置，进而得出答案． 【详解】解：是等腰直角三角形，， ， ， 将绕原点顺时针旋转得到等腰直角三角形，且， 再将绕原点顺时针旋转得到等腰直角三角形，且，依此规律， 每4次循环一周，即，即，即，即， ， 点与同在一个象限内， 点． 题型4 根据旋转的性质求解 解题技巧（不变量套用通法）：1. 遇旋转先定全等：旋转前后图形全等；2. 抓两大核心：对应距相等、旋转角相等；3. 按需推导：求边长用“对应线段相等”，求角度用“旋转角相等、对应角相等”；4. 复杂图形拆分：拆分对应三角形、对应线段，分步代入性质计算。 【典例4】．如图所示，把以点为中心顺时针旋转得到，点，的对应点分别是点，，且点在的延长线上，则下列结论一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： A、根据旋转的性质可得，，， ∴为等边三角形， ， ， ， ∴， ∴，故A符合题意； B、根据旋转的性质可得，则不一定等于，故B不符合题意； C、根据旋转的性质可得，则不一定等于，故C不符合题意； D、只有当经过中点时，，故D不符合题意； 【变式1】．如图，在中，，，将绕点逆时针旋转，得到．若点D在线段的延长线上，如图，则的大小为（     ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】根据旋转的性质可得，，旋转角，先利用等腰三角形两底角相等求出的度数，再结合等量代换得到的度数，最后根据平角为计算出的大小． 【详解】解：由旋转得，，， ， ， ． 【变式2】．如图，在中，，，，将绕点C顺时针旋转得到．当点A，C，D在同一条直线上时，的长为________． 【答案】 【分析】根据勾股定理可得的长，再由旋转的性质可得：，，，在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：在中，，， ∴， 由旋转的性质得：，，， ∴， ∴． 【变式3】．如图，将绕点顺时针旋转得到，若，则的长为_____． 【答案】 【分析】根据旋转的性质得出，，可得是等边三角形，即可得出答案． 【详解】解：∵将绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴是等边三角形， ∵， ∴． 题型5 根据旋转的性质说明线段或角相等 解题技巧（几何标准推理模板）：1. 书写前提：图形由旋转得到，旋转前后图形全等；2. 直接结论：根据旋转性质，对应线段相等、对应角相等；3. 进阶推理：结合公共边、公共角、等量加减，推导衍生相等线段/角；4. 大题规范：每一步推理标注依据（旋转的性质），步骤完整不跳步。 【典例5】．将绕顶点顺时针旋转得到，若，则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据旋转的性质，旋转前后图形全等，对应边相等，对应角相等，旋转角相等，逐一判断选项即可． 【详解】解：∵将绕点顺时针旋转得到， ∴，旋转角， ∴，，，， 因此选项A，C，D结论正确，不符合题意； 选项B中不成立，结论错误，符合题意． 【变式1】．如图，在中，，，点在边上，且，若，则长为（  ） A．3 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了图形的旋转，勾股定理解三角形，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 将绕点A逆时针旋转得到，根据等腰直角三角形的性质确定，再由旋转的性质得出，，然后结合图形利用勾股定理求解即可． 【详解】解：将绕点A逆时针旋转得到，如图所示： ∵，， ∴， ∵旋转，， ∴，， ∴， 连接， ∴， ∵， ∴， 故选：C 【变式2】．如图，在中，将绕点A逆时针旋转得到，交边于点F，点D恰好落在边上，若，则的度数为________． 【答案】/80度 【分析】由旋转的性质可知，，，则有，然后根据三角形内角和可进行求解． 【详解】解：由旋转的性质可知：，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式3】．如图，将绕点A顺时针旋转后得到，点B与点D是对应点，如果，那么________ ． 【答案】/40度 【分析】根据旋转的性质得出，然后根据求解即可． 【详解】解：∵将绕点顺时针旋转后得到， ∴， 又， ∴． 题型6 画旋转图形 解题技巧（四步标准作图法）：1. 取关键点：选取图形顶点、端点等核心关键点；2. 定点连线：连接关键点与旋转中心；3. 转角截长：按要求旋转角度，截取等长线段得对应点；4. 顺次连线：连接所有对应点，保留圆弧、辅助线痕迹；5. 禁忌：禁止直接目测画图，必须严格按等距、等角规范作图。 【典例6】．“俄罗斯方块”是一款经典的益智类休闲游戏．如图所示，要使上方的“T”型方块组（阴影部分）落下后刚好填满下方空格，则可以将上方的方块组（     ） A．先绕点顺时针旋转，再向下平移5格 B．先绕点顺时针旋转，再向下平移4格 C．先绕点逆时针旋转，再向下平移5格 D．先绕点逆时针旋转，再向下平移4格 【答案】B 【分析】本题主要考查了旋转和平移变换，根据图形结合平移与旋转的特点，进行判断即可． 【详解】解：若使上方的“T”型方块组（阴影部分）落下后刚好填满下方两层的空格，则可以将上方的方块组先绕点P顺时针旋转，再向下平移4格． 【变式1】．如图，可以看作是经过怎样的图形变换得到的？下列结论中：①1次旋转；②2次翻折；③1次平移和1次翻折．所有正确结论的序号是_________． 【答案】①② 【分析】本题主要考查了图形的平移，旋转和翻折，可以看作是绕与的交点旋转得到，可以看作是沿垂直于且过中点的直线翻折，再沿直线向下翻折得到，不可以由经过1次平移和1次翻折得到，据此可得答案． 【详解】解：可以看作是绕与的交点旋转得到，①正确． 可以看作是沿垂直于且过中点的直线翻折，再沿直线向下翻折得到，②正确； 不可以由经过1次平移和1次翻折得到，③错误． 故答案为：①②． 【变式2】．在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． (1)将以坐标原点为旋转中心旋转，画出旋转后对应的； (2)平移，点的对应点的坐标为，则的坐标是________． 【答案】(1) 如图所示． (2)． 【分析】（1）根据旋转的性质分别作出的对应点，顺次连接可得； （2）由点的对应点的坐标可得平移方式：向右平移5个单位，再向下平移2个单位，按照同样的平移规律写出点的坐标即可． 【详解】（1）略． （2）解：， 向右平移5个单位，再向下平移2个单位． 即每个点的横坐标加5，纵坐标减2． ， ． 【变式3】．图①、图②、图③均是的正方形网格．仅使用无刻度直尺，在给定网格中按要求画图，不要求写出画法． (1)在图①中，画出，使由平移得到； (2)在图②中，画出，使与关于直线成轴对称； (3)在图③中，画出，使由绕点顺时针旋转得到． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据点C，位置确定平移方式，进而确定，位置，最后顺次连接即可； （2）作出点A，B，C关于直线的对称点，顺次连接即可； （3）将点A，B，C绕点顺时针旋转得到对应点，顺次连接即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 题型7 求绕原点旋转90度的点的坐标 解题技巧（公式秒杀法）：1. 熟记固定公式：点，原点顺时针90°→，逆时针90°→；2. 直接代入横纵坐标，无需画图计算；3. 验算校验：旋转后点到原点距离与原距离相等，保证计算无误；4. 适配所有象限点，通用无例外。 【典例7】．如图，在平面直角坐标系中，，点为坐标原点，将线段绕着点顺时针旋转得到线段，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，结合旋转的性质，构造，推出，，结合点B所在象限，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D， 则， ， ，， 由旋转得，， ， ， ， ， 在和中， ， ，， 点B在第四象限， 点的坐标为． 【变式1】．春节时人们爱用风车装饰景区，如图，风车由两种等腰直角三角形拼成．等腰直角三角形的斜边，且在x轴上，边绕点O逆时针旋转后，点B的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了图形的旋转，等腰直角三角形的相关性质，准确地掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键．先找到边绕点O逆时针旋转后，点B的对应点，再运用等腰直角三角形的性质求出的长度，进而求得点B的对应点的坐标． 【详解】解：如图所示，边绕点O逆时针旋转后，点B的对应点为点C， ∵等腰直角三角形的斜边， ∴， 又∵等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． ∵边绕点O逆时针旋转后，点B的对应点为点C， ∴， ∵风车由两种等腰直角三角形拼成， ∴是等腰直角三角形，斜边， ∴， 又∵等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵点C在第二象限， ∴点C坐标为． 故选：C． 【变式2】．已知在平面直角坐标系中，，，将绕点逆时针旋转得到，连接交于点，将点向左平移2个单位长度得到点，则点的坐标为_____． 【答案】 【分析】由旋转的性质求出点的坐标，用待定系数法分别求出直线、的函数解析式，联立求出点的坐标，利用坐标平移的规律：左减右加，上加下减，求出的坐标． 【详解】解：由旋转的性质可知：， 设直线的函数解析式为， 把代入得，解得， 直线的函数解析式为 设直线的函数解析式为， 把，代入得， 解得， 直线的函数解析式为， 联立，解得， ， 将点向左平移2个单位长度得到点， ． 【变式3】．在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕着点逆时针旋转得线段，则点的坐标为____． 【答案】 【分析】由旋转得到，进一步通过角的关系得到，得到，进一步得到坐标． 【详解】点的坐标为，将线段绕着点逆时针旋转得线段， 过点作轴，过作轴， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． 题型8 求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标 解题技巧（平移还原法）：1. 平移坐标系：将旋转中心平移至原点，算出目标点相对坐标；2. 套用公式：按顺时针/逆时针90°原点旋转公式计算新相对坐标；3. 还原平移：将坐标平移回原坐标系，得到最终坐标；4. 辅助验证：利用横纵坐标垂直、距离相等特征校验结果。 【典例8】．如图，直线与轴、轴分别相交于点，将绕点顺时针方向旋转得到，则点的坐标为__________． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象与坐标轴的交点，旋转的性质，正方形的判定和性质等．延长交x轴于点E，先求出点A和点B的坐标，再根据旋转的性质证明四边形是正方形，进而求出和的长度即可求解． 【详解】解：如图，延长交x轴于点E， 中，令，则，令，解得， ，， ，， 绕点顺时针方向旋转得到， ，，， 四边形是正方形． ， ， 点的坐标为． 故答案为：． 【变式1】．如图，在平面直角坐标系中，已知点、、、．若线段绕点P旋转后能与线段重合（C对应A，D对应B），则点P的坐标为_____________． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形变化旋转．分别作线段，的垂直平分线，相交于点P，进而可得点P的坐标． 【详解】解：如图，分别作线段，的垂直平分线，相交于点P， 则线段绕点P逆时针旋转后能与线段重合， ∴点P的坐标为． 故答案为：． 【变式2】．如图，将一个直角三角板的直角顶点与坐标原点重合，已知，点A的坐标是，若把直角三角板绕坐标原点O顺时针旋转，则点B的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，先根据点A的坐标求出的长，再由直角三角形的性质和勾股定理求出的长，进而得到的长，求出，进而可求出的长，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，设点B的对应点为点C，过点C作x轴的垂线，垂足为D， ∵点A的坐标是， ∴， ∵， ∴， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点C的坐标为， 故选：B． 【变式3】．在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转后的对应点所在象限为（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查点坐标关于原点对称的特点，平面直角坐标系中象限和点坐标的关系等．根据题意可知与关于原点对称的坐标为， 【详解】解：点在第二象限，绕原点逆时针旋转后即为点的中心对称点， ∴对应点在第四象限， 故选：D． 题型9 求绕原点旋转一定角度的点的坐标 解题技巧（数形结合通用法）：1. 特殊角度优先：30°、45°、60°、90°、180°套用固定规律；2. 构造直角三角形：利用横纵坐标、勾股定理、特殊角三角函数求解；3. 结合象限判断坐标正负，避免符号错误；4. 非特殊角度：结合旋转定义与距离不变特征列式求解。 【典例9】．如图，将反比例函数（，）的图象绕点 顺时针旋转，旋转后的图象与 轴交于点，则_________． 【答案】 【分析】作出点旋转前的对应点 ，根据旋转的性质可得，过点 作轴于点 ，根据勾股定理求出，即可得出点 的坐标，再用待定系数法求解即可． 【详解】解：如图，作出点旋转前的对应点 ，， ∵， ∴， 过点 作轴于点 ， ∴， ∴， 把代入，得． 【变式1】．如图，直线与轴，轴分别交于、两点，，把绕点顺时针旋转后得到（点在轴正半轴上），则点的坐标是___________ 【答案】 【分析】先求出的长，再根据含度角的直角三角形性质及勾股定理求出的长，由旋转的性质得出的长及的度数，过点作轴的垂线，构造直角三角形求解即可． 【详解】解：令，则， ， ， 在中，，， ， ， 由勾股定理得，即， 解得， ， 由旋转的性质得：，， 点在轴正半轴上， 点在第一象限， 过点作轴于点， 在中，，， ， ， 由勾股定理得， ， 点的坐标是． 【变式2】．如图，已知三个顶点的坐标分别为，，，将向右平移3个单位，得到，点，，的对应点分别为，，，再将绕点顺时针旋转，得，点，，的对应点分别为、、则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查坐标与图形变化：旋转变化、平移变化，解题的关键是正确作出图形．利用平移变换，旋转变换的性质正确作出图形，可得结论． 【详解】解：如图，． 故选：B． 【变式3】．如图，在平面直角坐标系中，位于第二象限，点的坐标是先把向右平移3个单位长度得到再把绕点顺时针旋转得到则点的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，正确作出图形是解决问题的关键，根据平移变换，旋转变换的性质画出图像即可解决问题． 【详解】解：如图所示： 观察图像可知： 故选：C． 题型10 坐标与旋转规律问题 解题技巧（周期坐标迭代法）：1. 算出前3-4次旋转后的坐标，找出循环周期；2. 计算旋转次数余数，锁定目标周期位置；3. 结合象限、旋转方向，直接写出对应坐标；4. 高频规律：90°四次一循环、180°两次一循环，可直接秒杀填空选择。 【典例10】．如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点在原点上，，，，轴，将四边形绕点逆时针旋转，每次旋转，第2026次旋转后点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用求得，进而可得，则可得，进而可求得，，则可得点的坐标为 ，再根据旋转的性质得到规律，进而可求解． 【详解】解：连接，过点作，如图：   ，， ， ， ， 在中，， ， ， 在中，， ， ， ， 点的坐标为 ， 由旋转可知第一次旋转后点的坐标为， 第二次旋转后点的坐标为， 第三次旋转后点的坐标为， 每次旋转，， 每旋转4次为一个循环， ， 第2026次旋转结束时点的位置和第2次旋转结束时点的位置相同， 第2026次旋转结束时，点的坐标为. 【变式1】．如图，在平面直角坐标系中，长方形两边与坐标轴重合， ．将长方形绕点逆时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据矩形的性质可知，再作出旋转后的图形，进而找到B点的坐标规律即可． 【详解】解：， ． 将矩形绕点O逆时针旋转，如图 可知：，…， 则：每旋转4次则回到原位置， ， 即：第次旋转结束时，完成了次循环，并再旋转两次，与的位置相同， 的坐标为． 【变式2】．如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，，边在轴正半轴上，点在第一象限内，将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转后，点所对应的点的坐标是_____． 【答案】 【分析】观察图象可得，点A旋转8次为一个循环，从而可得点与点的坐标相同，即可求解． 【详解】解：如图，点A旋转次为一个循环， ∵， ∴点与点的坐标相同， ，，为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 由图可知：关于x轴对称， ∴点的坐标为． 【变式3】．如图，在平面直角坐标系中，是原点，点在轴正半轴上，是等腰三角形，，点到轴的距离为4．将绕点顺时针旋转得到，再将绕点顺时针旋转得到，…如此循环下去，则点的坐标为_________． 【答案】 【分析】由旋转的性质可知与重合，与重合，过点作轴，根据勾股定理求得三角形的直角边，确定点的坐标，即可得到点的坐标． 【详解】解：将绕点顺时针旋转得到，再将绕点顺时针旋转得到，……如此循环下去，在第一象限，在第二象限，在第三象限，在第四象限，依此类推， ∵，与第2次旋转得到的相同， ∴与重合，与重合， 如图所示， 过点作轴， 由旋转的性质可知，，， 在中，， ∴， ∴的坐标为， ∴的坐标为． 题型11 线段问题 解题技巧（等长代换法）：1. 核心依据：旋转前后对应线段长度相等；2. 动态线段求解：利用旋转等长转化，将不规则线段转化为规则线段；3. 最值问题：旋转后线段端点轨迹为圆弧，结合圆的性质求线段最值；4. 综合计算：结合勾股定理、等腰三角形性质求解线段长度。 【典例11】．在菱形中，，，点为对角线所在直线上的一个动点，以为边，沿着点顺时针方向作，角的另一边交射线于点，交射线于点，连接、． (1)如图1，当点在对角线上（点不与点、重合）时， ①求证：； ②设的长为，的面积为．求与的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)连接，当是直角三角形时，直接写出的长． 【答案】(1)①证明：∵四边形为菱形， ∴，，， ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∴； ②； (2)或 【分析】（1）①先证明，可得，，利用三角形外角性质可得，即得，即可求证； ②过点作于，解直角三角形得到，，可得，由等腰三角形三线合一可得，即可由三角形面积公式得到与的函数表达式，最后由点在对角线上且点不与点、重合，可得自变量的取值范围； （2）根据题意分和两种情况讨论，分别列方程求解即可． 【详解】（1）①略； ②解：过点作于，则， ∵， ∴， ∵四边形为菱形，， ∴，， 即， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 点在对角线上且点不与点、重合， ， ∴； （2）解：当时，是直角三角形，如图所示， ， ， ， ， ， ， 由（1）知，， ， ，即， 的长为； 当时，是直角三角形，如图所示， ∵， ∴， ∵， ∴， 由（1）知，， ∴， ∴， ∴的长为， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题以菱形为背景，综合考查全等三角形的判定与性质、锐角三角函数解直角三角形、二次函数面积建模以及直角三角形存在性分类讨论，解题关键在于通过全等及角度传递证明，架起边角转化的桥梁，利用等腰三角形“三线合一”将底边用表示，再借助角的三角函数建立面积与的二次函数关系，最后对直角三角形可能情形逐一排除，锁定唯一情况，结合边长关系列方程求解，体现数形结合与分类讨论的核心思想． 【变式1】．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点，且一次函数的图像交x轴于点C，交y轴于点D． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)在第四象限的一次函数图像上有一点P，满足，请求出点P的坐标； (3)当时，直接写出x的取值范围． (4)在中找一点Q，使的值最小，直接写出点Q的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或． (4) 【分析】（1）先将点B的坐标代入反比例函数的解析式求出k，从而求出反比例函数的解析式；然后将A点的坐标代入反比例函数解析式就可以求出a的值，确定点A的坐标，最后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式； （2）由一次函数解析式求得C、D的坐标，进而求得，进一步根据题意得到的长度，利用距离公式求得点P的坐标； （3）通过图像观察就可以直接看出当时，x的取值范围； （4）如图：将绕O旋转得到，易得是等边三角形，则，；进而得到如图：当D，Q、、共线时，有最小值，此时；再求得点的坐标，运用待定系数法求得直线的方程为；然后说明是等腰直角三角形，即；设，即，然后代入直线解析式求得t即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图像过点， ∴， ∴， ∵在双曲线上， ∴，即， ∴， ∵一次函数的图像经过A、B两点， ∴，解得， ∴一次函数的解析式． （2）解：在中，当时，；当时，则， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 设点P的坐标为，则， 解得或（舍去）， ∵点P在第四象限， ∴， ∴，则， ∴P的坐标为； （3）解：由（1）可知：一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点， 观察图像可知，当时，x的取值范围是或． （4）解：如图：将绕O旋转得到，则，，，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴如图：当D，Q、、共线时，有最小值，此时， 如图：过作轴于F， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线的方程为， ，解得：， ∴直线的方程为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图：过作轴于G，则是等腰直角三角形， ∴， 设，即， ∵点Q在直线的方程为上， ∴，解得：， ∴． 【变式2】．如图，在中，，，点，分别在边，上，，连接，点，，分别为，，的中点． (1)观察猜想：图中，线段与的数量关系是 ，位置关系是 ； (2)探究证明：把绕点逆时针方向旋转到图的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由； (3)拓展延伸：把绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值． 【答案】(1)； (2)是等腰直角三角形 (3) 【分析】（1）利用三角形的中位线得出，，再推出，即可得出结论，然后利用三角形中位线的性质推出得，最后根据互余即可得出结论； （2）证明得，利用三角形的中位线得出，，继而得到，结合（1）的方法即可得出结论； （3）先判断出最大时，的面积最大，而最大是，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵点，分别是，的中点， ∴，， ∵点，是，的中点， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴图中，线段与的数量关系是，位置关系是； （2）解：是等腰直角三角形．理由如下： ∵把绕点逆时针方向旋转到图的位置， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵点，分别是，的中点， ∴，， ∵点，是，的中点， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形； （3）解：由（2）知：是等腰直角三角形，且， ∴， ∴最大时，的面积最大， ∵绕点在平面内自由旋转，，， ∴当在的延长线上时，最大 此时， ∴， 即面积的最大值． 【变式3】．在矩形中，点是直线上一个动点，连接． (1)如图1，若平分，，，连接，求的面积； (2)如图2，点是的中点，将直线绕点逆时针旋转后，恰好经过点，交于点，连接，若．求证：． (3)如图3，点是的中点，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，，．若，，当取最小值时，请直接写出此时的长度． 【答案】(1)6 (2)证明：如图：过A作交于M点， ∴， ∵P是中点， ∴， 在与中 ， ∴； ∴，， ∵矩形， ∴， ∴， ∴即， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． (3) 【分析】（1）利用矩形的性质、等腰三角形的判定与性质可得，即；再利用三角形的面积公式求解即可； （2）如图：过A作交于M点，证明可得，，再根据旋转的性质、三角形外角的性质、等角对等边以及等量代换可得，最后根据线段的和差以及等量代换即可证明结论； （3）如图：取的中点F，连接，即，过Q作垂直于直线于G，即，证明可得，如图：以D为坐标原点建立直角坐标系，则Q在直线l：上，易得当共线时，有最小值；再求得直线的解析式为，易得；如图：过作垂直于直线于，则，如图：根据题意旋转逆向作图，得到，求得，最后根据两点间距离公式求解即可． 【详解】（1）解：∵矩形， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积． （2）略 （3）解：∵矩形，，， ∴， 如图：取的中点F，连接，即， ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， 如图：过Q作垂直于直线于G，即， ∴， ∵将线段绕点逆时针旋转，得到线段， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图：以D为坐标原点建立直角坐标系，则Q在直线l：上， ，作C关于直线l的对称点，连接交直线l于，连接， ∴ ∴当共线时，有最小值， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 联立，解得：，即， 如图：过作垂直于直线于，则，如图：根据题意旋转逆向作图，得到， 同理可证：∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴当取最小值时，的长度为． 题型12 面积问题 解题技巧（面积不变秒杀法）：1. 基础结论：旋转为全等变换，图形总面积不变；2. 重叠面积：利用旋转对称性、等积替换，转化为规则图形面积；3. 阴影面积：割补平移，将不规则阴影转化为三角形、四边形、扇形面积；4. 无需复杂计算，优先用等积变换简化运算。 【典例12】．似曾相识 （1）如图①，正方形的边长等于4，中心为，正方形的边长也等于4，在正方形绕着点O旋转的过程中，若将这两个正方形重叠部分的面积记为S，那么S是否为定值？若S为定值，请直接写出该定值；若S变化，请直接写出它的变化范围． 类比探索 （2）如图②，等边的边长等于4，中心为，等边的边长也等于4，在等边绕着点O旋转的过程中，若将这两个等边三角形重叠部分的面积记为S，那么S是否为定值？若S为定值，请直接写出该定值；若S变化，请求出它的变化范围．    【答案】（1）4（2） 【分析】（1）根据正方形的性质得出，，，推出，证出，即可得出结果； （2）发生变化，对旋转角分情况讨论即可． 【详解】解：（1）连接，，   四边形和四边形都是正方形， ，，， ， 在与中， ， ， 四边形的面积等于三角形的面积， 即重叠部分面积不变，总是等于正方形面积的， ； （2）设等边绕着点的旋转角为，等边的边长等于4，则高为， ①如图，当经过点时，若此时开始旋转，，重叠部分的形状为直角三角形， ，    ②如图，当旋转至图中位置时，，重叠部分的形状为菱形， ，    ③如图，当旋转至图中位置时，，重叠部分的形状为等边三角形， ，    ④如图，当旋转至图中位置时，，重叠部分的形状为直角三角形， ，    综上所述，这两个等边三角形重叠部分的面积是变化的，的变化范围是． 【点睛】本题考查正方形的性质和等边三角形的性质，找出面积之间的关系是解题关键． 【变式1】．（1）问题背景 如图甲，，，垂足为，且，，求四边形的面积．    小明发现四边形的一组邻边，这就为旋转作了铺垫．于是，小明同学有如下思考过程： 第一步：将绕点逆时针旋转； 第二步：利用与互补， 证明三点共线， 从而得到正方形； 进而求得四边形的面积．    请直接写出四边形的面积为　 　． （2）类比迁移如图乙，为等边外一点，，，且，求四边形的面积． （3）拓展延伸 如图丙，在五边形中，，，，，，求五边形的面积． 【答案】（1）25（2）（3）24 【分析】（1）根据四边形的面积等于正方形的面积计算即可； （2）如图乙中，延长至，取，连接．只要证明，即可推出四边形的面积等于的面积； （3）如图丙中，延长至，连接、、．只要证明五边形的面积等于四边形的面积即可． 【详解】解（1）由题可知． 故答案为25． （2）如图，延长至，取，连接．   等边中，，， ， 四边形中，， ， 又，， ， ，． ， ， 为等边三角形且， ． （3）如图，延长至，连接、、．   ，，， ， ． ，， ， ， ． 【点睛】本题考查四边形综合题、旋转变换、全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 【变式2】．如图，在平行四边形中，，，点到的距离为4，是上一点，且，点从点出发，沿折线运动，到终点停止，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，设点在折线上运动的路径长为． (1)当点恰好落在边上时，________，当点在边上运动时，长的最小值为________； (2)求点到的距离（用含的代数式要表示）； (3)当点在上运动时，设与重叠部分图形的面积为，求关于的函数关系式． 【答案】(1)4； (2)当时，点到的距离是；当时，点到的距离是； (3) 【分析】（1）由旋转的性质可知，，，当点恰好落在边上时，点与点重合，此时；当时，的长有最小值，此时长有最小值，连接，过点作于点，利用等面积法求解即可； （2）分两种情况讨论：①当时，点在上，此时点到的距离是；②当时，点在上，过点、、作的垂线，垂足分别为、、，证明，根据相似三角形对应边成比例和勾股定理，求出，则，再证明，得到，即可得解； （3）分两种情况讨论：①当点在上时，如图，过点作于点，此时，利用勾股定理求出，得到，从而推出，则，即可求出重叠部分图形的面积；②当时，设交于点，交于点，此时，结合勾股定理，得到，从而得出，即可求出重叠部分图形的面积． 【详解】（1）解：由旋转的性质可知，，， 平行四边形， ， 点到的距离为4，， ， 当点恰好落在边上时，点与点重合， ； 由旋转的性质可知，， 若长最小，则长最小， 由垂线段最短可知，当时，的长有最小值，此时长有最小值， 如图，连接，过点作于点， ， ， ， 即长的最小值为； （2）解：① 当时，点在上，此时， 由旋转的性质可知，，， 即点到的距离是； ②当时，点在上，此时， 如图，过点、、作的垂线，垂足分别为、、， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又，， ， ， 点到的距离是； （3）解：①当点在上时，如图，过点作于点，则，此时， ， ∴，， ∴， ∴， ∴， ， ∴当时，； ②当时，如图，设交于点，交于点，此时， 由①可知，，， ∵， ∴， ∵， ， ， ∴， ∴， 综上可知，关于的函数关系式为． 【点睛】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，二次函数的应用等知识，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键． 【变式3】．如图1，在正方形中，，点E为正方形内一点，连结，，． (1)如图2，将线段绕点B按顺时针方向旋转得到，连结，求证：． (2)如图3，在（1）的条件下，当时，连结，，求的面积． (3)如图4，若将绕点B按顺时针方向旋转得到，当点C在直线上，且面积为3时，求的值． 【答案】(1)解：∵正方形， ∴， ∵线段绕点B按顺时针方向旋转得到， ∴，， ∴， ，即， 在和中， ， ； (2)10 (3)或1或 【分析】（1）根据正方形的性质及旋转的性质得出，，，确定，再由全等三角形的判定证明即可； （2）延长交于点M．根据全等三角形的性质得出，勾股定理得出，利用矩形的判定和性质得出，，结合图形求面积即可； （3）分两种情况分析：当在正方形内部时，当在正方形外部时，作出辅助线，利用全等三角形的判定和性质，勾股定理等结合图形求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：延长交于点M， ， ，， ，， ∴， ， ∵， ∴， 四边形是矩形， ，， ． （3）解：当在正方形内部时，过点A作，垂足为F， ∵将绕点B按顺时针方向旋转得到， ∴， ∵点C在直线上， ∴， 在正方形中，， ∴， ，， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ． 设，，则，， ， ． ，即， 整理得：， 解得：或，即或1． 当在正方形外部时， 同理得：，， ， ． ，即， 整理得：， ，即． 综上所述，或1或． 题型13 角度问题 解题技巧（旋转角等量代换法）：1. 所有对应点与中心连线夹角=旋转角，全部相等；2. 利用平角180°、直角90°、三角形内角和拆解角度；3. 旋转重叠题型：通过角度等量加减，消去公共角，快速求未知角；4. 动态旋转：旋转角度匀速变化，角度差值恒定，可直接推导。 【典例13】．【问题情境】 在数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动．把一副三角尺按照如图方式摆放．其中，，，，，在同一直线上． (1)如图1， ； 【操作探究】 (2)如图2，如果把图1所示的以为中心逆时针旋转得到，当转到与直线首次重合时，停止转动．当时，为多少度？ 【拓展延伸】 (3)如图3，作关于直线的对称，保持不动，绕点逆时针旋转，在转到与直线首次重合过程中，当与的一边所在直线垂直时，请直接写出旋转角的度数 ． 【答案】(1) (2)或 (3)或或 【分析】（1）根据平角的定义列式计算即可； （2）先求出的度数，然后分在内部和在外部两种情况，根据角的和差关系列式求解； （3）分旋转后与所在直线垂直、与所在直线垂直、与所在直线垂直三种情况求解． 【详解】（1）解：，， ； （2）解：由（1）可知， ， 如图，当在内部时， 由旋转可知， ， ； 如图，当在外部时， 由旋转可知， ， ； 综上所述，或； （3）解：如图，当旋转得到的边所在的直线时，垂足为， ， 四边形是矩形， ， 由折叠可知， ； 如图，当旋转得到的边所在的直线时，此时在线段上， 由折叠可知， ； 如图，当旋转得到的边所在的直线时， ， ． 综上所述，当与的一边所在直线垂直时，旋转角的度数为或或． 【变式1】．如图1，在中，点D为边上的一个定点，射线与边交于点E，射线与边交于点F，与关于直线对称，与关于直线对称． (1)如图2，当点落在边上，点落在边上时，若，则的度数为 ； (2)在图1中，设，，求x与y满足的数量关系式； (3)如图3，，射线从位置出发，绕点D顺时针旋转，到位置停止；射线从位置出发，绕点D逆时针旋转，到位置停止．两条射线同时开始旋转，射线的旋转速度为每秒，射线的旋转速度为每秒，当时，求旋转时间t的值． 【答案】(1)40 (2)时；当时 (3)t为或 【分析】（1）根据三角形内角和定理得到，由平角的定义及计算得到，在四边形中根据内角和定理即可求解； （2）由折叠的性质得：，，结合图形分类讨论：当在的左侧时（）；当在的右侧时（）；结合角度的数量关系列式求解即可； （3）根据题意得到射线到的时间为秒，射线到的时间为秒，，，结合运动情况分类讨论：与相遇前；在与相遇后；由平角的定义列式求解即可． 【详解】（1）解：在中，， ∴， ∵与关于直线对称，点落在边上，，与关于直线对称，点落在边上， ∴， ∴， ∵，则， ∴， 在四边形中，， 故答案为：40； （2）解：由折叠的性质得：，， ，， ①当在的左侧时（）， ， ， ， ； ②当在的右侧时（）， ， ， ， ． 综上，x，y满足当时；当时． （3）解：当时，， ∵射线的旋转速度为每秒，射线的旋转速度为每秒，到位置停止， ∴射线到的时间为秒，射线到的时间为秒， 由题意可知，，， ①与相遇前，则， ∴， 解得； ②与相遇后，则， ∴， 解得，不合题意舍去； ∴在与相遇后，当时，射线已停止旋转， ∴此时， ， 解得， 综上，当t为或时，． 【变式2】．问题提出 （）如图所示，将含有 和角的一副直角三角板与 在直线，的顶点和角的顶点重合于点，点在直线上，为平分线，则 ． 问题探究 （）如图，若将三角板绕点逆时针旋转，平分，请你探究 度数是否会发生变化？若不变，求出其角度；若变化，请说明理由； 问题解决 （）如图，从图位置开始，将三角板绕点以每秒 速度逆时针旋转，同时三角板以每秒的速度顺时针旋转，当首次与重合或当 与首次重合时，两个三角板都停止旋转．设两三角板的旋转时间为，在整个旋转过程中，当满足，求的值．    【答案】（）；（）度数不会发生变化，为；（）或． 【分析】（）利用角的和差关系及角平分线的定义即可求解； （）利用角的和差关系及角平分线的定义即可求解； （）由，可判断出与重合前（含重合）和与重合后这两个阶段不存在满足条件的值，由此得到满足条件的值在与重合后到与重合时这个阶段，根据角的和差关系列出方程即可求解； 本题考查了角的旋转，角的计算及角平分线的定义，能通过图形找到所求角的和差关系是解题的关键． 【详解】解：（）∵点在直线上，，， ∴， ∵为平分线， ∴， 故答案为：； （）∵将三角板绕点逆时针旋转， ∴，， ∵平分，为平分线， ∴， ， ∴， ∴度数不会发生变化，为； （）由图可知，当与重合前（含重合）和与重合后，， ∴在这两个阶段不存在满足条件的值， 当与重合后到与重合时， ， ， ∴， ∵， ∴， ∴或， 解得或， ∴当时，的值为或． 【变式3】．已知是等边三角形．    (1)将绕点A逆时针旋转角θ（），得到，和所在直线相交于点O． ①如图a，当时，与是否全等？___ （填“是”或“否”），___ 度； ②当旋转到如图b所在位置时，求的度数； (2)如图c，在和上分别截取点和，使， ，连接，将绕点A逆时针旋转角（），得到，和所在直线相交于点O，请利用图c探索的度数，直接写出结果，不必说明理由． 【答案】(1)①是；120；② (2)当时，；当时，点与点重合；当时， 【分析】（1）①根据旋转变换的性质以及等边三角形的性质可得，，然后利用“边角边”证明与全等；根据三角形的内角和等于求出与的度数，再根据旋转角为求出的度数，然后利用四边形的内角和公式求解即可；②先利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，再利用四边形的内角和等于推出，从而得解； （2）先求出，证明是等边三角形，再根据旋转变换的性质可得，，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，再利用三角形的内角和定理求出的度数，然后分与两种情况求解． 【详解】（1）解：①是由绕点旋转得到，是等边三角形， ，，， ， 在与中， ， ； ， ，， 又， 在四边形中，； ②由已知得：和是全等的等边三角形， ，， 是由绕点旋转得到的， ， ， ， ， ， ，， ， ； （2）解：如图，，， ， ， ， ， ， 是等边三角形， 是等边三角形， 根据旋转变换的性质可得，， 在和中， ， ， ， ， 当时，； 当时，点与点重合，无， ∵， ∴， 连接， 在中，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴，即B、D、E三点共线， ∴无； 当时，． 【点睛】本题以等边三角形旋转为载体，核心依托“”全等证明传递角的等量关系，结合四边形或三角形内角和推导目标角度；第2问先进行推导得到等边，再通过全等推导出，最后分类讨论旋转角的范围，得出的不同情况，充分体现了旋转不变性、分类讨论与数形结合的几何解题思想． 题型14 其它问题 解题技巧（通用综合模板）：1. 万变不离其宗，优先锁定旋转三要素、五大不变性质；2. 几何类综合：结合全等、等腰、勾股定理综合求解；3. 规律探究类：找周期、找定值、找不变量；4. 解题核心：先找不变量，再分析动态变化量，数形结合突破难点。 【典例14】．问题情境：数学课上，老师引导同学们以“正方形中线段的旋转”为主题开展数学活动．已知正方形中，，点E是射线上一点（不与点C重合），连接，将绕点E顺时针旋转得到，连接． 特例分析：（1）如图1，当点E与点D重合时，则= ； 深入谈及：（2）当点E不与点D重合时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请在图2与图3中选择一种情况进行证明；若不成立，请说明理由； 【答案】（1）；（2）仍然成立，理由详见解析． 【分析】（1）根据正方形的性质，，求得根据旋转的性质得到，于是得到； （2）如图2，过点作交的延长线于点，则，根据正方形的性质得到，由旋转的性质可知，，根据全等三角形的性质得到．求得，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论； 如图3，过点作交的延长线于点，则，根据正方形的性质得到，，由旋转的性质可知，，根据全等三角形的性质得到．求得．根据等腰直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：（1）四边形是正方形， ， 由旋转可知， （2）仍然成立 ①若选图2，证明如下： 如图，过点F作交的延长线于点G，则． ∵四边形是正方形， ∴，． ∴，． 由旋转的性质可知，． ∴． ∴， ∴， ∴，． ∴，即， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴， ②若选图3，证明如下： 如图，过点F作交的延长线于点G，则． ∵四边形是正方形， ∴，． ∴，． 由旋转的性质可知，． ∴． ∴ ∴ ∴，． ∴，即 ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴． 【点睛】本题考查了四边形的综合题，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 【变式1】．在中，，，点是平面内不与点，重合的任意一点，连接，将线段绕点旋转得到线段，连接、、．    (1)当时， ①如图1，当点在的边上时，线段绕点顺时针旋转得到线段，则与的数量关系是_______________； ②如图2，当点在内部时，线段绕点顺时针旋转得到线段，①中与的数量关系还成立吗？若成立，请证明结论，若不成立，说明理由； (2)当时， ①如图3，线段绕点顺时针旋转得到线段．试判断与的数量关系，并说明理由； ②若点，，在一条直线上，且，线段绕点逆时针旋转得到线段，求的值． 【答案】(1)①；②成立，证明见解析； (2)①，理由见解析；②或 【分析】（1）①根据旋转的性质和等边三角形的判定，易证和是等边三角形，得到，，，再利用“”证明，即可得到与的数量关系； ②由①可知，和是等边三角形，进而证明，得到，即可证明结论； （2）①根据旋转的性质和等腰直角三角形的判定，易证和是等腰直角三角形，得到，，，进而得到，，易证，从而得到，即可得到与的数量关系； ②设，则，根据等腰直角的性质，得到，，分两种情况讨论：点在上和点在的延长线上，利用旋转的性质，等腰直角三角形的性质以及勾股定理分别求解，即可求出，的值． 【详解】（1）解：①，， 是等边三角形， ，， 线段绕点旋转得到线段， ，， 是等边三角形， ，， ， 在和中， ， ， ， 故答案为：； ②成立，理由如下： 由①可知，和是等边三角形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：①，理由如下： ，， 是等腰直角三角形， ，， 线段绕点旋转得到线段， ，， 是等腰直角三角形， ， ，， ， ， ， ， ； ②， 设，则， ，， 是等腰直角三角形， ，， 如图，当点在上时，此时，    由旋转的性质可知，是等腰直角三角形， ，， ，， 由勾股定理得：， ； 如图，当点在的延长线上时，此时，    同理可知，，， 由勾股定理得：， ， 综上可知，的值为或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，利用分类讨论的思想，熟练掌握手拉手—旋转型全等是解题关键． 【变式2】．在中，，，点是直线上一动点．连接，将线段绕点逆时针旋转得到． (1)如下图，当点与点重合时，连接，四边形的形状是______； (2)探究猜想：当点不与点，点重合时． ①试猜想与的位置关系，并利用下图证明你的猜想； ②直接写出，和之间的数量关系． 【答案】(1)四边形是正方形，证明见解析 (2)①，证明见解析；②当点在射线上时，；点在射线上时，． 【分析】（1）根据旋转的性质可得，．再由，，可得，，进而得到四边形是平行四边形，最后结合，，即可求解； （2）①过点作交于点，连接，则，可得．可证得≌，从而得到，，再证得四边形是矩形．即可求解；②设的中点为，分两种情况讨论：当点在射线上时，由①得：，，，进而得到为等腰直角三角形，，即可求解；当点在射线上时，过点作交于点，连接，则，得到，从而得到，由旋转得到，，推出，即，可证≌，根据全等的性质可得四边形是矩形，，最后根据线段的和差即可求解． 【详解】（1）解：四边形是正方形．证明如下： 将线段绕点逆时针旋转得到，点与点重合， ，， ，， ，， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形； （2）解∶①，证明如下： 如图，过点作交于点，连接，则． ，， ． ， ． ． 将线段绕点逆时针旋转得到， ，， ， ． 在和中， ≌． ，． ， ， ． ， ． 四边形是平行四边形． ， 四边形是矩形． ． ．   ②设的中点为， 当点在射线上时， 由①得：，，， 为等腰直角三角形，， ， ； 点在射线上时，过点作交于点，连接，则． ，， ． ． ． 将线段绕点逆时针旋转得到， ，， ， ． 在和中， ≌． ，． ，， ． ． ， ． 四边形是平行四边形． ， 四边形是矩形． ， ． ． 当点在射线上时，；当点在射线上时，． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，正方形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，正方形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，并利用类比思想解答是解题的关键． 【变式3】．如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A的坐标为，直线经过点、．将四边形绕点O按顺时针方向旋转α度得到四边形，此时直线、直线分别与直线相交于点P、Q． (1)四边形的形状是 　　，当时，的值是 　　； (2)①如图2，当四边形的顶点落在y轴正半轴上时，求的值； ②如图3，当四边形的顶点落在直线上时，求的面积； (3)在四边形旋转过程中，当时，是否存在这样的点P和点Q，使得，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)矩形， (2)①；② (3)存在点P1（﹣9﹣，6），P2（，6），使BP＝BQ． 【分析】（1）根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”即可得出四边形是矩形．当时，可知， （2）①利用相似三角形的性质，求得的比，求得；求得进而得出答案； ②根据勾股定理求得的长，再根据三角形的面积公式进行计算． （3）构造全等三角形和直角三角形，运用勾股定理求得的长，进一步求得坐标． 【详解】（1）解：∵O为坐标原点，点，直线经过点、， ∴，，所以四边形是矩形； 当时，P与C重合，如图所示： 根据题意． 故答案为：矩形；； （2）解：①图2中， ∵，， ∴． ∴，即， ∴，． 同理， ∴，即， ∴，． ∴， ②图3，在和中， ， ∴． ∴． 设， 在中，， 解得． ∴． （3）解：存在这样的点P和点Q，使． 点P的坐标是，． 过点Q作于H，连接，则， ∵，， ∴． 设， ∵， ∴， 如图4，当点P在点B左侧时， ， 在中，， 解得，（不符实际，舍去）． ∴， ∴． 如图5，当点P在点B右侧时， ∴，． 在中，，解得． ∴， ∴， 综上可知，存在点P，使，点P的坐标是，． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，也考查了等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判断与性质． 题型15 坐标系中的旋转 解题技巧（坐标变换万能法）：1. 定点：明确平面直角坐标系内旋转中心坐标；2. 变式：区分原点/非原点、90°/180°/任意角度旋转，套用对应方法；3. 求点：平移法、公式法、构造三角形法求对应点坐标；4. 构图：根据新坐标描点、连线，得到旋转后图形；5. 求值：结合坐标求线段、角度、周长、面积，实现坐标几何互通。 【典例15】．如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点坐标分别为，，． (1)请在图上画出； (2)在（1）的基础上，将绕着原点旋转得到，其中，，的对应点分别为，，，请在图上画出，并直接写出点的坐标； (3)在（2）的基础上，在轴上取一点，连接，，，当是以为腰的等腰三角形时，求点的坐标．（不要求画图） 【答案】(1)如图，即为所求， (2)如图，即为所求，坐标为 (3)或或或 【分析】（1）由题意，描出，，三点，再连接即可； （2）根据旋转的定义，描出，，三点，依次连接即可，再写出点坐标即可； （3）设，由两点间距离公式得，，．分为顶点（）和为顶点（）两种情况讨论，分别解方程得的四个值，对应四个点坐标． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：， ， 由题意，可设，是以为腰的等腰三角形， ， 当为顶点时，，即， ，即，， 解得或， 或； 当为顶点时，，即， ，即，， 解得或， 或； 综上，或或或． 【变式1】．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为．将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为，． (1)在给出的平面直角坐标系中画出； (2)记与轴的交点为，直接写出点的坐标； (3)记直线，的交点为，直接写出的大小． 【答案】(1) 解：如图所示： (2)点； (3) 【分析】（1）根据旋转的性质作图即可； （2）根据与轴的交点求解即可； （3）根据旋转的性质，是直线绕点顺时针旋转得到，由此可得角度． 【详解】（1）略 （2）解：点如图所示： 则点； （3）解：点如图所示： 根据旋转的性质可知． 【变式2】．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)将向左平移6个单位，请画出平移后的；（点A、B、C的对应点分别为点、、） (2)将绕原点O顺时针旋转，请画出旋转后的．（点A、B、C的对应点分别为点、、） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平移的方式作出点的对应点，再顺次连接即可； （2）根据旋转的方式作出点的对应点，再顺次连接即可． 【详解】（1）略 （2）略 【变式3】．如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点A的坐标为，点B的坐标为，以点A为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点O，B，C的对应点分别为D，E，F． (1)如图1，当点D落在边上时，求点D的坐标； (2)如图2，当点D落在线段上时，请用尺规作图法画出点D，并求出线段的长． 【答案】(1) (2)尺规作图如图： ； 【分析】（1）根据点A、B的坐标可得的长度，再利用勾股定理可得的长，从而得出点D的坐标； （2）以A为圆心，为半径画弧与相切即可；连接，证明，即可求解． 【详解】（1）解：∵点，点． ，， ∵四边形是矩形， ，，，， ∵顺时针旋转矩形，得到矩形， ， 在中，， ， ∵， ． （2）解：作图略； 如图，连接， ∵四边形是矩形， ， ∵点D在线段上， ， 由（1）知：，， ， ． 1．下列选项中的运动，属于旋转变换的是（   ） A．升国旗的过程 B．摩天轮的转动 C．汽车刹车时的滑动 D．电梯的运行 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的定义，熟记旋转的定义是解题的关键． 根据旋转的定义逐项判断即可． 【详解】解：A． 升旗的过程属于平移，不属于旋转，故该选项不符合题意； B． 摩天轮的转动属于旋转，故该选项符合题意； C． 汽车刹车时的滑动属于平移，不属于旋转，故该选项不符合题意； D．电梯的运行属于平移，不属于旋转，故该选项不符合题 故选：B ． 2．如图，将绕着直角顶点旋转得到，经过点，，则旋转角的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据旋转的性质，三角形内角和，求得的度数即可； 【详解】解：，， ， 根据旋转的性质，得，，， ， 设， ， ，，且， ， ， ， ， 解得， 故； 3．如图，在中，，，将绕点顺时针旋转角（）至，使得点恰好落在边上，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用直角三角形两锐角互余求出的度数，再根据旋转的性质得到，从而判定为等腰三角形，最后利用三角形内角和定理求出顶角的度数即为旋转角. 【详解】解：，， ， 绕点顺时针旋转至，使得点恰好落在上， ，， 为等腰三角形， ， . 4．如图，将绕直角顶点按顺时针方向旋转，得到，连接，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由旋转的性质得，，， 由等边对等角得， 即可求解． 【详解】解：由旋转的性质得，，，， ∴， ∴． 5．如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得，连接，则的周长为（     ） A． B．18 C． D．24 【答案】A 【分析】利用勾股定理求出的长，根据旋转的性质得到及，进而证得，通过构造直角三角形求出的长，最后计算周长即可． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∵将绕点逆时针旋转得， ∴，， ∵， ∴， ∴， 过点作于点，则四边形为矩形， ∴，， ∴， 在中，， ∴的周长为． 6．如图，在平面直角坐标系中，，将绕点A顺时针旋转，则点C的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查坐标与图形变化-旋转，根据题意画出图象即可得到答案．解题的关键是正确作出图形． 【详解】解：如图，观察图象，点C的对应点的坐标是 故选：B． 7．【新情境•风力发电】风力发电具有清洁、环境效益友好，可再生、装机规模灵活，运行和维护成本低等特点，是除水能外，技术最为成熟、最具大规模开发和商业开发条件的发电方式．如图，风力发电机的三个相同叶片两两夹角为．以旋转轴为原点，水平方向为轴建立平面直角坐标系，恰好其中一个叶片尖点对应的坐标为．若叶片每秒绕点顺时针旋转，则第7秒时叶片尖点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据旋转的性质分别求出第1、2、3、秒时，点的对应点的坐标，找到规律，即可解答． 【详解】解：点对应的坐标为， 点在第一象限的角平分线上． 叶片每秒绕原点顺时针旋转， 第1、2、3、秒时，点的对应点的坐标分别为：，，，， 点的坐标以每4秒为一个周期依次循环． ， 第7秒时叶片尖点的坐标与第秒时的位置相同， 即第7秒时叶片尖点的坐标为． 8．如图，中，且，D为外一点，连接，过D作交于点E，F为上一点且，连接，．将线段绕点C逆时针旋转90°到线段，连接分别交、于点M、N，连接、．下列结论（　　） ： ： ； ： ⑤若，，，则四边形面积为． 其中正确的个数为（　　） A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 【答案】C 【分析】先证明，再证明，得到对应边相等，对应角相等，依次得出正确和错误，由等腰直角三角形的性质和勾股定理，得出正确，由三角形的三边关系，可以得出正确，利用勾股定理逆定理和三角形面积公式即可判定正确． 【详解】如图，连接， ∵，根据旋转有：，， ∴， 又∵,， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴在四边形中，， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，，故正确； ∵在中，，， ∴，， ∴，故正确； ∵， ∴，即，故正确； ∵在等腰和等腰中，，，， ∴， ∴，故错误； 若，，， ∴， ∴，即， ∴， ∴是直角三角形，， ∴，故正确； 即正确的有4个， 故选：C． 【点睛】本题综合考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理及其逆定理、等腰直角三角形等内容，解决本题的关键是能正确分析图形中的相等关系，能在相等的边和角中进行转化，能构造直角三角形进行求解等． 9．如图，在的正方形网格中，绕某点逆时针旋转，得到，则旋转中心是点________． 【答案】C 【分析】根据旋转的性质，确定旋转的中心，旋转角求解即可． 【详解】解：连接，借助网格，可得，且，符合要求，A，B都不满足，则旋转中心是点C． 10．如图，将绕点A逆时针旋转得到．连结和．给出下面四个结论：①；②；③；④．上述结论中，正确结论的序号有________． 【答案】①②④ 【详解】解：逐一分析四个结论： ①由旋转可知，，①正确； ②由旋转角等于可知，②正确； ③根据题意只可得到，无法得到，③错误； ④如图，记与的交点为，与的交点为， ， ， ， ， ， ，④正确， 故正确结论的序号有①②④． 11．如图，在平面直角坐标系中，将绕点O按顺时针方向旋转，得，则点的对应点的坐标为_____．    【答案】 【分析】本题考查坐标与图形变化-旋转． 根据旋转的性质可得答案． 【详解】解：∵绕点O按顺时针方向旋转得到，， ∴点的坐标为． 故答案为：． 12．如图，把正方形铁片置于平面直角坐标系中，顶点A的坐标为，点在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置……则正方形铁片连续旋转100次后，点P的坐标为____________． 【答案】 【分析】根据题意求出前几次旋转后点P的坐标，探究坐标变化规律，发现每4次旋转为一个循环周期，且每循环一次横坐标增加12，纵坐标不变，利用规律求解即可． 【详解】由可知，正方形边长为3， 第一次旋转，点P的对应点的坐标为； 第二次旋转，点的对应点的坐标为； 第三次旋转，点的对应点的坐标为； 第四次旋转，点的对应点的坐标为； 第五次旋转，点的对应点的坐标为， 观察可知，点P的坐标每4次旋转为一个循环，且每循环一次横坐标增加12，纵坐标不变， ∵ ∴点的横坐标为，纵坐标为2， 即点的坐标为． 13．如图，在平面直角坐标系中，小正方形网格的边长为个单位长度，的三个顶点的坐标分别为，，，解答下列问题． (1)将先向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到，画出，并求平移的距离； (2)如图，已知是由旋转得到的（点，，的对应点分别为点，，），的三个顶点的坐标分别为，，，求旋转中心的坐标以及旋转角． 【答案】(1)，平移的距离为 (2)旋转中心的坐标为，旋转角是（或） 【分析】（1）将向上平移3个单位长度后，各顶点横坐标不变，纵坐标加3；再向右平移4个单位长度后，各顶点横坐标加4，纵坐标不变，求得各顶点最后坐标，即可画出；再利用勾股定理即可求出平移的距离； （2）连接，，利用网格线的特征作，的垂直平分线交于点，点即为旋转中心，利用勾股定理逆定理证明是直角三角形，且，即可得到旋转角的度数． 【详解】（1）解：如图即为所求， 平移的距离为：．             （2）解：如图，连接，，利用网格线的特征作，的垂直平分线交于点，点即为旋转中心，                 ∵， ， ， ∴， ∴， ∴旋转角是（或）． 14．按要求解答下列问题： (1)【问题提出】：如图1，在中，把线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．若，，求的长； (2)【问题解决】：如图2有一块形如的古典园林，其中，将步道绕点顺时针旋转得到临水步道，沿搭建廊桥交于点，在点处修建观景凉亭，为观景步道．观景台在的中点处，连接并延长至点，得，连接、，请帮助施工团队证明：（步道、廊桥的宽度以及凉亭、观景台的大小均忽略不计） 【答案】(1) (2)证明：如图，作交的延长线于点，连接， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵是的中点，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵把线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）证明是等边三角形，得到，最后运用勾股定理即可解答； （2）作交的延长线于点，连接，得，再证明四边形是平行四边形，可得，，然后证明可得，最后等量代换即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵把线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴； （2）略 15．如图1，在矩形中，，将绕点B顺时针旋转得到线段，过点作交直线于点． (1)在图1中， ①当时，连接，则的面积为______； ②证明：； (2)当时，点落在边上，如图2，证明：四边形是正方形； (3)当点三个点在一条直线上时，直接写出的长 【答案】(1)①； ②如图，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴. (2)证明：由旋转可得：，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形. (3)为或 【分析】（1）①连接，过作于，利用旋转的性质结合矩形的性质求解，求解，进一步求解即可；②连接，证明，进一步即可得到答案； （2）由旋转可得：，，证明四边形是矩形，进一步可得答案； （3）如图，当点三个点在一条直线上且在线段上时，如图，当点三个点在一条直线上且在线段上时，再进一步求解即可. 【详解】（1）解：①如图，连接，过作于， 由旋转可得：，， ∵四边形为矩形， ∴，，，， ∴， ∴的面积为. ②略 （2）略 （3）解：如图，当点三个点在一条直线上且在线段上时， 由（1）得：， ∴， ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 如图，当点三个点在一条直线上且在线段上时， 同理可得：， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 综上：为或. 16．在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点．以点为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点的对应点分别为． (1)如图①，当点恰好落在上时，点坐标为___________，点的坐标___________； (2)如图②，当点落在线段上时，交于点，求点的坐标； (3)若点为线段的中点，连接，取的中点，连接，写出的取值范围（直接写出结果）． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）过点作轴于点，过点作轴于点，根据勾股定理求出，由旋转可得，，，证明得到，求出，，可得点坐标，证明得到，求出，，可得点的坐标； （2）由旋转可得，，，证明得到，求出，即可求解； （3）由题意可得，点在以为圆心，半径为的圆上运动，点在以为圆心，半径为的圆上运动，点在以为圆心，半径为的圆上运动，根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】（1）解：如图①，过点作轴于点，过点作轴于点， 点，点，四边形是矩形， ，，， ， 由旋转可得，，， ，， ， ，即， ，， ， ， ， ， ， ， ，即， ，， ， ， 故答案为：，； （2）由旋转可得，，，， ， ， ， ， ， ，即， ， ； （3）由题意可得，点在以为圆心，半径为的圆上运动，点在以为圆心，半径为的圆上运动，点在以为圆心，半径为的圆上运动， ，， ， ，， ． 【点睛】此题主要考查了旋转的性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，坐标与图形，解答此题的关键是熟练掌握旋转的性质，相似三角形的判定与性质． 17．如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标是，点A的坐标是，连接．将绕点A逆时针旋转得到，反比例函数的图象经过点D，与 交于点E，连接，，． (1)求反比例函数的表达式． (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）延长 交x轴正半轴于点F，证明四边形为正方形，求解即可． （2）根据，求解即可； 【详解】（1）解：由题意，得，． 由旋转的性质，可知，，． 延长 交x轴正半轴于点F，如图，则四边形为正方形． ∴点D的坐标为，即． ∵反比例函数的图象经过点D， ∴． ∴反比例函数的表达式为． （2）解：将代入，得， ∴点E的坐标为． ∴． ∴． ∵，， ∴． ∵， ， ∴； 18．如图，边长为3的正方形绕点逆时针旋转得到正方形，旋转角为，边与对角线交于点，在边上截取线段，使． (1)当时，_________； (2)在旋转过程中，的大小是否发生变化？若不变，请求出的度数；若有变化，请用含的式子表示； (3)令，请用含有的式子表示的面积． 【答案】(1) (2)不变， (3) 【分析】（1）利用旋转和矩形的性质证明四边形是平行四边形，再由得四边形是矩形，则； （2）证明，得到，从而； （3）由可知它们面积相等，则四边形的面积可转化为的面积，再减去的面积即可得到的面积． 【详解】（1）解：由正方形性质得， 由旋转性质得， ， ， ， 是等腰直角三角形，， 又， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ． （2）解：由正方形性质得， ， 在和中， 由， ， ， （3）解：由（2）知， ， ， ， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $