2026年暑假新高三数学（指数函数与对数函数）复习自测练习

**基本信息** 2026年暑假高中数学指数函数与对数函数复习自测练习，通过基础巩固、能力提升、创新应用的梯度设计，融合数学运算、推理与模型意识，适配暑假自主复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|指数对数化简、大小比较、单调性|基础概念辨析，如充分不必要条件判断| |多选题|3/18|函数性质、定义域、零点|多维度辨析，如奇偶性与单调区间判断| |填空题|3/15|分段函数单调性、不等式求解、碳14衰减模型|实际情境应用，体现数学建模| |解答题|5/77|运算求解、定义域、单调性证明、恒成立问题|综合性探究，如含参数函数性质分析|

2026年暑假高中数学（指数函数与对数函数）复习自测练习 一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1． 化简后的结果为 （ ） A B. C. D. 2．已知，，，则，，的大小关系为 （    ） A. B. C. D. 3.已知，，则用，表示为 （ ） A. B. C. D. 4．使得“函数在区间上单调递减”成立的一个充分不必要条件可以是 （ ） A. B. C. D. 5．已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是 （ ） A． B． C． D． 6．已知均为正实数，若，，，则 （ ） A. B. C. D. 7．若，，则 （ ） A. B. C. D. 8．已知函数，若对任意的实数x，恒有成立，则实数a的取值范围为 （ ） A. B. C. D. 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9．下列结论中，正确的是 （ ） A. 函数指数函数 B. 函数的值域是 C. 若，则 D. 函数图像必过定点 10．给出下列说法，错误的有 （ ） A. 若函数在定义域上为奇函数，则 B. 函数的单调增区间为 C.已知的值域为，则a的取值范围是 D. 已知函数，则函数的值域为 11．，下列说法正确的有 （ ） A. 的减区间为 B. 的值域为 C. 若有3个零点，则 D. 若有5个零点，则 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12．若关于x的函数是R上的减函数，则实数a的取值范围是 ． 13．若函数，则不等式的解集为 ． 14．当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.若生物体内原有的碳14含量为A，按照上述变化规律，生物体内碳14含量y与死亡年数x的函数关系式是_______，考古学家在对考古活动时挖掘到的某生物标本进行研究，发现该生物体内碳14的含量是原来的62.5%，则可以推测该生物的死亡时间距今约________年.（参考数据：） 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．计算下列各题： （1）； （2）； （3）已知，求的值． 16．已知，全集，集合，函数的定义域为. （1）当时，求； （2）若是成立的充分不必要条件，求a的取值范围. 17．已知函数的定义域为，且图象经过点． （1）求的值； （2）求的值域； （3）求的最小值． 18．已知函数． （1）判断的奇偶性，并证明； （2）判断的单调性，并利用单调性的定义证明你的结论； （3）任意，求实数的所有整数解. 19．已知函数，. （1）求函数的定义域，判断并证明该函数的单调性； （2）函数，若对，都，使得成立，求实数的取值范围； （3）函数，若对，都存在，使得成立，求实数的取值范围； 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年暑假高中数学（指数函数与对数函数）复习自测练习 一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1． 化简后的结果为 （ C ） A B. C. D. 2．已知，，，则，，的大小关系为 （  B   ） A. B. C. D. 【详解】因为，因为函数在上单调递增，所以，即.又，所以. 3.已知，，则用，表示为 （ B ） A. B. C. D. 4．使得“函数在区间上单调递减”成立的一个充分不必要条件可以是 （ C ） A. B. C. D. 5．已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是 （ B ） A． B． C． D． 6．已知均为正实数，若，，，则 （ C ） A. B. C. D. 【详解】因为，所以，所以，所以，所以；因为，所以，所以，所以；因为，所以，所以，所以，所以.故选：C. 【点睛】本题考查了利用指数函数、对数函数单调性比较大小，属于基础题. 7．若，，则 （ B ） A. B. C. D. 【详解】由题知，，则 ，可得或，所以或，若，又，则，所以，则或（舍去），，；若，又， 则，所以，则或（舍去），所以， 综上，.故选：B 8．已知函数，若对任意的实数x，恒有成立，则实数a的取值范围为 （ C ） A. B. C. D. 【详解】令， 由于， 所以得为奇函数.又因为在上单调递减，所以在上单调递减. 已知对于任意的实数，恒有，整理得：，即，由于为奇函数， 得，由于在上单调递减，得对于任意的实数恒成立， 即对于任意的实数恒成立.当时，不恒成立，故， 当时，有，解得.故选：C 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9．下列结论中，正确的是 （ BD ） A. 函数指数函数 B. 函数的值域是 C. 若，则 D. 函数图像必过定点 10．给出下列说法，错误的有 （ BCD ） A. 若函数在定义域上为奇函数，则 B. 函数的单调增区间为 C.已知的值域为，则a的取值范围是 D. 已知函数，则函数的值域为 11．，下列说法正确的有 （ BCD ） A. 的减区间为 B. 的值域为 C. 若有3个零点，则 D. 若有5个零点，则 【详解】函数的草图如下： 由图象可知： 函数的减区间为和两个，不能用“并集”符号连接，故A错误；函数值域为，故B正确； 若有3个零点，则，故C正确； 对D：结合函数草图：由或； 由或，解得：或或. 设，由题意方程有5个不同根.由， 若，则只有1解，且，此时方程有3个解； 若，则有2解，且或， 此时方程有3个解，方程也有3个解，所以方程有6个解； 若，则有3解，且，，， 此时方程有1个解，方程有3个解，方程也有3个解，所以方程有7个解；若，则有3解，且或或， 此时方程有1个解，方程有3个解，方程有和两个解，所以方程有6个解；若，则有3解，且，，， 此时方程有1个解，方程有3个解，方程有1个解，所以方程有5个解；若，则有2解，且或， 此时方程有，共2个解，方程有1个解，所以方程有3个解； 若，则有1解，且，此时方程至多有1个解. 综上：若有5个零点，则.故D正确.故选：BCD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12．若关于x的函数是R上的减函数，则实数a的取值范围是 ． 13．若函数，则不等式的解集为 ． 【详解】由，且定义域为R，则为偶函数．则，由，可得，又， 由复合函数的单调性知、在上单调递增．所以，时单调递增， 所以，得，或，解得或． 所以解集为故答案为： 14．当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.若生物体内原有的碳14含量为A，按照上述变化规律，生物体内碳14含量y与死亡年数x的函数关系式是_______，考古学家在对考古活动时挖掘到的某生物标本进行研究，发现该生物体内碳14的含量是原来的62.5%，则可以推测该生物的死亡时间距今约____3883____年.（参考数据：） 【详解】设1年后碳14含量为原来的倍，则，，∴， 由，即，∴， ∴，．故答案为：；3883． 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．计算下列各题： （1）； （2）； （3）已知，求的值． 15．解：（1） （2 ， （3）由可得， 所以，进而，故， 16．已知，全集，集合，函数的定义域为. （1）当时，求； （2）若是成立的充分不必要条件，求a的取值范围. 16．解：（1）， 即. 由，得，解得，即. 当时，. ∴. （2）由是的充分不必要条件，可知集合是集合的真子集. 所以解得， 经检验符合集合是集合的真子集，所以a的取值范围是. 17．已知函数的定义域为，且图象经过点． （1）求的值； （2）求的值域； （3）求的最小值． 17．解：（1）因为过点，把点代入得：， 解得或. （2），令， 因为，所以. 于是得到，． 因为在单调递减，在单调递增， ，，． 所以的最小值为2，的最大值为． 于是在上的值域为． （3）（） 令， 由（2）可知， 于是得到，对称轴为； 当时，在单调递增，在处取最小值， 所以; 当时，在单调递减，在单调递增， 在处取最小值，所以; 当时，在单调递减，在处取最小值． 所以． 综上. 18．已知函数． （1）判断的奇偶性，并证明； （2）判断的单调性，并利用单调性的定义证明你的结论； （3）任意，求实数的所有整数解. 18．解：（1）函数是奇函数，证明如下： ，所以， 解得函数定义域, 因为任意，都有， 又，所以函数奇函数. （2）在上单调递减，证明如下： 法一：任取满足， 因为 ＝， 因为，，且单调递增， 所以，， 依据同向不等式的可加性， 所以， 即，所以在上单调递减． 法二：任取满足，因为， 所以， 因为，， 所以，即， 所以，即，所以在上单调递减． （3）由第（2）问知在上单调递减， 所以， 因为， 所以， 所以，即得，解得， 因为，所以或． 19．已知函数，. （1）求函数的定义域，判断并证明该函数的单调性； （2）函数，若对，都，使得成立，求实数的取值范围； （3）函数，若对，都存在，使得成立，求实数的取值范围； 19．解：（1）对于函数，有，即，解得， 所以，函数的定义域为， 函数在其定义域上为增函数，证明如下： 任取、且，即， 则 ， 因为，则，则， 且，，，， 则， 所以，，所以，， 所以，，所以，函数在其定义域上为增函数. （2）， 当时，，则，则， 则， 因为函数在上单调递增，且，， 故函数在上的值域为，则， 对，都，使得成立， 则，所以，，解得， 因此，实数的取值范围是. （3）因为在上单调递增，由（2）可知，函数在上的值域为， 因为函数， 若对，都存在，使得成立，则， 即，， 令，则，可得， 由双勾函数的单调性可知，函数在上单调递增，所以，， 所以，，解得，故实数的取值范围是. 2 学科网（北京）股份有限公司 $