专题07分式方程 暑假预习讲义 2025-2026学年沪教版（五四制）七年级数学上册

专题07分式方程暑假预习讲义 1. 识记：牢记分式方程定义，明确分式方程与整式方程核心区分标准为分母是否含有未知数，能快速甄别两类方程。 2. 理解：掌握解分式方程核心转化思想，明晰解题整体逻辑：分式方程通过去分母转化为一元一次整式方程，弄懂必须验根的根本原因。 3. 掌握：熟记解分式方程完整规范步骤：因式分解分母→确定最简公分母→去分母化为整式方程→求解整式方程→代入最简公分母验根→判定解或增根。 4. 辨析：理解增根的概念与产生缘由，清楚增根会令原分式分母为0，属于无效解，遇到增根需判定原分式方程无解。 5. 避错：规避去分母高频失误，方程中不含分母的常数项切勿漏乘最简公分母，同时规范处理去分母过程中的正负符号。 6. 运算：熟练求解基础分式方程，能独立完成含多项式分母的分式方程求解，严格落实每道题目必验根的答题要求。 7. 进阶：看懂分式方程含参数题型，结合增根条件反向求解方程内未知参数，理清增根与最简公分母为零的对应关系。 8. 建模：针对行程、工程、销售类典型应用题，精准梳理题干等量关系，合理设未知数并列出分式方程。 9. 应用：完整完成分式方程应用题全流程：列方程、解方程、双重检验（数学验根+实际意义检验）、规范书写答句，舍去不符合现实的解。 10. 复盘：归纳本章易错点，包含忘记验根、漏乘常数项、误把常数字母当作未知数、忽略解的实际取值限制等问题。 11. 素养：感悟转化的数学思想，强化方程建模能力，串联分式运算、一元一次方程旧知，为后续代数应用题综合学习筑牢基础。 预习必备 知识梳理 1.分式方程的定义 2.分式方程的解法 3.增根 4.分式方程的应用 5.分式方程与整式方程解法对比 6.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.分式方程的定义 2.由分式方程解的情况求值 3.分式方程无解问题 4.解分式方程 5.列分式方程 6.分式方程行程问题 7.分式方程工程问题 8.分式方程经济问题 9.分式方程和差倍分问题 10.分式方程其他实际问题 强化题型 解答题8题 知识点 01 分式方程的定义 1.概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 2.区分整式方程与分式方程 方程类型 判断标准 举例 整式方程 分母不含未知数 2x+1=5、-1=0\) 分式方程 分母含有未知数 =2、=3 关键判定：只看分母是否带未知数，常数分母不算分式方程。 知识点 02 分式方程的解法 1.解分式方程的基本思路 去分母，把分式方程转化为整式方程。 2.解分式方程的一般步骤 3.检验方程解的方法 (1) 将整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母的值不为 0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。 (2) 也可以将整式方程的解代入原分式方程，这种方法不仅能检验出该解是否适合原分式方程，还能检验所得的解是否正确。 4. 解分式方程高频错误 (1)去分母时，常数项漏乘最简公分母； (2)分子为多项式时未加括号，引发符号错误； (3)省略检验步骤，直接判定方程的解。 知识点03 增根 1.定义：去分母后得到的整式方程的解，但代入原分式方程会使分母为 0，导致原分式无意义，这样的根叫做增根。 2.产生原因：等式性质 2 要求乘的式子不能为 0，去分母时无法提前限制未知数取值，因此会多出无效根。 3.增根两个特征 ① 是去分母后整式方程的解； ② 代入原方程任意分母，结果等于 0。 4. 增根与无解（难点、填空 / 解答压轴） 概念 含义 产生原因 增根 整式方程的根，但不是原分式方程的根 去分母时，人为扩大未知数取值范围，根使原分母为 0 分式方程无解 两种情况：① 有增根；② 转化后的整式方程本身无解 结合参数题型常考 专题04分式方程的应用 1.列分式方程解应用题的一般步骤 （1）审：即审题，根据题意找出已知量和未知量，并找出等量关系 （2）设：即设未知数，设未知数的方法有直接设和间接设，注意单位要统一，选择一个未知量用未知数表示，并用含未知数的式子表示相关量. （3）列：即列方程，根据等量关系列出分式方程. （4）解：即解所列的分式方程，求出未知数的值. （5）验：即验根，既要检验所求的未知数的值是否适合分式方程，还要检验此解是否符合实际意义. （6）答：即写出答案，注意单位和答案要完整. 2.列分式方程常用的等量关系 工程问题：工作效率 × 工作时间 = 工作总量；合作效率 行程问题：时间；顺水 / 逆水速度差异列方程 利润问题：利润 = 售价− 进价；利润率 = 利润 ÷ 进价 ×100%. 储蓄问题：本息和 = 本金 + 利息 . 知识点 05分式方程与整式方程解法对比 方程 解法核心 是否需要检验 特殊问题 一元一次整式方程 移项、合并同类项、系数化为 1 无需检验 无增根 分式方程 去分母转化为整式方程 必须检验 存在增根，可能无解 知识点 06 本节高频易错点 1.去分母时，常数项、不含分母的项漏乘最简公分母，等式左右两边不相等； 2.解完分式方程省略检验步骤，直接写答案，忽略增根存在； 3.找增根题型混淆逻辑，不会先令分母为 0 确定增根数值； 4.分子是多项式时，去分母后忘记给分子整体添加括号，符号出错； 5.应用题只做数学检验，忽略实际意义，出现负数人数、负速度等不合理解； 6.混淆分式方程与整式方程定义，把分母为常数的方程判定为分式方程； 7.方程两边同乘最简公分母时，负号分配错误，去括号变号失误。 题型1.分式方程的定义 【典例】请你利用代数式，，3组成一个分式方程：________． 【答案】（或，，） 【分析】分式方程的分母必须含有未知数，通过合理分配给定代数式构造分母含未知数的分式方程即可． 【详解】解：分式方程是指分母中含有未知数的方程，可构造分式或，，． 【跟踪专练1】下列方程中，是分式方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式方程的定义判断即可，分式方程定义为分母中含有未知数的方程，据此可得出正确结果． 【详解】解：选项A：的分母是常数，不含未知数，是整式方程，不符合题意； 选项B：的分母为未知数，符合分式方程的定义，符合题意； 选项C：中所有分母都不含未知数，是整式方程，不符合题意； 选项D： 中，分母和都是常数，不含未知数，是整式方程，不符合题意． 【跟踪专练2】已知方程：①，②，③，④，⑤，⑥，其中分式方程有_________________． 【答案】③④⑤ 【分析】本题考查分式方程的定义，熟练掌握“分母中含有未知数的方程叫做分式方程”是解题的关键．根据分式方程的定义，逐个判断即可，要注意分式方程中分母是关于未知数的整式． 【详解】解：①②分母中不含未知数，不是分式方程；③④⑤分母中含有未知数，是分式方程；⑥根号下含有未知数，是无理方程，不是分式方程， 故答案为：③④⑤． 【跟踪专练3】岳龙某红瑶红薯种植基地改进红薯种植技术后，每亩红瑶红薯产量增加，原来产红薯的一块土地，现在总产量增加了，现在平均每亩红薯的产量是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的应用，读懂题目的意思，找出合适的等量关系，列出方程是解题关键． 设原来红薯平均每亩产量是，则现在红薯平均每亩产量是．由于种植红薯地的面积=这块地的总产量÷平均每亩产量，根据改良红薯品种前后种植红薯地的面积不变列方程求解，用含a、m的代数式表示出x即可． 【详解】解：设原来红薯平均每亩产量是，则现在红薯平均每亩产量是． ∵总产量增加了， ∴， 解得：， 经检验符合题意， 所以现在平均每亩红薯的产量是． 故选：B． 题型2.由分式方程解的情况求值 【典例】．已知关于的分式方程的解是2，则的值是_______． 【答案】0 【分析】根据方程的解的定义，把分式方程的解代入方程，得到关于m的方程，解方程即可解答． 【详解】解：∵关于的分式方程的解是2， ∴， 解得． 【跟踪专练1】已知关于x的分式方程的解是，则常数a的值是（   ） A． B．5 C． D． 【答案】A 【分析】已知分式方程的解，将解代入原方程，即可得到关于的一元一次方程，求解得到的值． 【详解】解：∵是分式方程的解， ∴将代入原方程，得， 移项得， 两边同乘（）， 得， 整理得， ∴． 【跟踪专练2】已知关于的分式方程有增根，则的值为________． 【答案】 【分析】分式方程有增根，即增根使分式方程的最简公分母为零，先将分式方程化为整式方程，再将增根代入整式方程求解即可得到的值． 【详解】解： 方程两边同乘最简公分母， 得 整理整式方程，得 分式方程有增根 ，解得 把代入，得 解得． 【跟踪专练33】若关于的分式方程有正整数解，且为正整数，则的值为（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】先将分式方程化为整式方程，得到x关于a的表达式，再根据x为正整数解，a为正整数，结合分式方程分母不为0的条件，确定a的值． 【详解】解：原方程为 ， 变形得 ， ∵分式分母不为0， ∴， 方程两边同乘 得： ， 整理得 ， ∴， ∵x为正整数，a为正整数， ∴是2的正约数，且 ， 可得 ，解得 ， 此时 ，符合分式方程要求， 故a的值为1． 题型3.分式方程无解问题 【典例】如果关于x的分式方程无解，那么a的值为_____． 【答案】3或6 【分析】本题主要考查了分式方程的无解问题，把原方程去分母化为整式方程，化简得到，分式方程无解需考虑整式方程无解和解为增根两种情况，据此讨论求解即可． 【详解】解： 方程两边同时乘以，得 ， 整理得， 当时，方程无解，此时； 当时，则， ∵原方程无解， ∴原分式方程有增根， ∴，即， ∴， 解得， 经检验，是方程的解； 综上所述，a的值为3或6， 故答案为：3或6． 【跟踪专练1】若关于x的分式方程无解，则m的值为（   ） A． B． C．或15 D．5或 【答案】C 【分析】本题考查根据分式方程无解求参数，分式方程无解的情况包括解为增根（使分母为零）或化简后的整式方程无解．本题中化简后的整式方程始终有解，因此只需考虑增根情况． 【详解】解：原方程为 ， ∵， ∴两边同乘得：， 化简得：， 解得：． 当或时，原方程分母为零，无解． 令：，解得； 令：，解得． ∴或时，原方程无解． 故选：C． 【跟踪专练2】已知关于的方程无解，则实数的值为____． 【答案】或2或 【分析】先将分式方程去分母转化为整式方程，再根据分式方程无解分情况讨论，一是整式方程本身无解，二是整式方程的解是原分式方程的增根，分别计算求出的值即可． 【详解】解：原方程为， 方程两边同乘，即， 去分母得∶ ， 整理得：， 原方程无解， 分两种情况讨论：当整式方程无解时， 此时且，解得，符合条件． 当整式方程的解为原方程的增根时，原方程的增根为使分母为零的，即或，把代入， 得：，解得，符合条件． 把代入 得：，解得，符合条件． 综上，实数的值为或或． 【跟踪专练3】小明在解关于x的分式方程时，发现墨水不小心把其中一个数字污染了，翻看答案上说此方程无解，则被污染的数字为（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程无解问题，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．设被污染的数字为，则方程为，去分母并解方程得，结合“此方程无解”可知是增根，列出关于的方程，即可求解． 【详解】解：设被污染的数字为， 则方程为 方程两边同乘，得：， 解得：， ∵分式方程无解， ∴是增根，即， ∴， 解得：． 故选：A． 题型4.解分式方程 【典例】方程的解为__________． 【答案】 【详解】解：， 两边都乘以，去分母得，， 解得， 检验，当时，， ∴原方程的解为． 【跟踪专练1】将方程去分母，得（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： 方程两边同时乘以去分母，得． 【跟踪专练2】代数式与代数式的值相等，则_______． 【答案】 【详解】解：由题意，， 解得； 经检验，是原方程的解. 【跟踪专练3】下面解分式方程的步骤中，错误的是（   ） A．将方程两边同时乘可转化为整式方程 B．去分母后的一元一次方程为 C．原分式方程的解为 D．原分式方程无解 【答案】C 【分析】根据解分式方程的步骤逐步分析即可解答． 【详解】解： 原方程为，且 ， A．去分母时，方程两边同时乘即可化为整式方程，因此选项A正确； B．去分母后整理得 ，因此选项B正确； C．解整式方程 ，得；将代入原方程分母，得 ，分母为零，分式无意义，因此是增根，原分式方程无解；即选项C错误，选项D正确． 题型5.列分式方程 【典例】为绿化环境，某社区植树60棵，实际种植人数是原计划人数的2倍，实际平均每人种植棵数比原计划少了3棵．若设原计划人数为人，则可列方程为________． 【答案】 【分析】根据实际种植人数是原计划人数的2倍，实际平均每人种植棵数比原计划少了3棵，列出分式方程即可. 【详解】解：设原计划人数为人，则实际人数为人，由题意， . 【跟踪专练1】深圳龙岗大运片区绿色出行普及度高，某新能源电动车专卖店计划采购甲、乙两种型号电动车．已知乙型电动车的单价比甲型的单价多0.2万元，用12万元购进甲型的数量和20万元购进乙型的数量相等．设甲型电动车的单价为万元，由题意可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件表示出乙型电动车的单价，再根据“数量=总价÷单价”表示两种车型的购进数量，利用购进数量相等的关系列方程． 【详解】解：∵设甲型电动车单价为万元，乙型电动车的单价比甲型多万元， ∴乙型电动车单价为万元， ∵总价除以单价等于购进数量，且题目中12万元购进甲型的数量和20万元购进乙型的数量相等， ∴甲型电动车购进数量为，乙型电动车购进数量为， 因此可列方程． 【跟踪专练2】为传承我国传统节日文化，端午节前夕，某校组织了包粽子活动．已知某班甲组同学平均每小时比乙组多包20个粽子，甲组包150个粽子所用的时间与乙组包120个粽子所用的时间相同．求甲，乙两组同学平均每小时各包多少个粽子．若设乙组每小时包x个粽子，可列出关于x的方程为________． 【答案】 【分析】设乙组每小时包x个粽子，则甲组每小时包个粽子，根据“甲组包150个粽子所用的时间与乙组包120个粽子所用的时间相同”，即可列分式方程． 【详解】解：设乙组每小时包x个粽子，则甲组每小时包个粽子， 由题意得：． 【跟踪专练3】小麦同学暑假计划阅读一本1000页的名著小说，因中途生病休息了3天，实际每天需比原计划多读20页，才能按时完成计划，原计划每天阅读多少页？设原计划每天阅读页，则根据题意所列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别表示出原计划总阅读天数和实际总阅读天数，根据原计划天数比实际天数多3天列方程即可． 【详解】∵设原计划每天阅读页，总页数为页， ∴原计划总阅读天数为天， ∵实际每天比原计划多读页， ∴实际每天阅读页，实际总阅读天数为天， ∵中途休息天，仍需按时完成计划， ∴原计划总天数比实际总天数多天， ∴列方程得． 题型6.分式方程行程问题 【典例】《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题可译为：把一份文件用慢马送到里外的城市，需要的时间比规定时间多天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少天．已知快马的速度是慢马的倍，求慢马的速度．若设慢马的速度为里/天，则可列方程：________． 【答案】 【分析】根据它们所需时间与规定时间的关系列方程即可． 【详解】解：设慢马的速度为里/天， 由题意可列方程：. 【跟踪专练1】斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度．如图，某路口的斑马线路段横穿双向行驶车道，其中米，在绿灯亮时，小敏从点出发，共用22秒通过路段，其中通过路段的速度是通过路段速度的1.2倍，由此可以列出方程：，其中未知数表示的意义是（   ）． A．小敏通过路段的速度 B．小敏通过路段的速度 C．小敏通过路段的时间 D．小敏通过路段的时间 【答案】A 【分析】根据公式：时间路程速度，方程中两段路程均为12米，是走段的时间，是走段的时间，且题目说明速度是速度的1.2倍，由此判断的含义． 【详解】解：∵米，通过路段的速度是通过路段速度的倍， 在方程中： 表示路程的速度走的时间； 表示路程的速度走的时间； 两段时间相加等于总用时秒， 因此未知数表示小敏通过路段的速度． 【跟踪专练2】货车要从仓库运送一批新鲜蔬菜到市区，仓库到市区的路程为120千米．如果用普通货车运送，比预定时间晚2小时到达；如果用高速货车运送，比预定时间早1小时到达．已知高速货车的速度是普通货车的2倍．设预定时间为小时，则可列分式方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据预定时间表示出两种货车的行驶时间，结合速度公式得到两车速度，再根据高速货车速度是普通货车速度2倍的等量关系列方程即可． 【详解】解：∵预定时间为小时，普通货车比预定时间晚小时到达， ∴普通货车的行驶时间为小时，可得普通货车速度为千米/时． ∵高速货车比预定时间早小时到达， ∴高速货车的行驶时间为小时，可得高速货车速度为千米/时． ∵高速货车的速度是普通货车的倍， ∴可列方程． 【跟踪专练3】西成高铁的开通让汉中融入了西安和成都的“朋友圈”．已知西安北站到汉中站的高铁里程约为240千米．若“复兴号”列车的平均速度是“和谐号”列车平均速度的1.2倍，且从西安北到汉中，“复兴号”比“和谐号”少用10分钟，求“复兴号”的平均速度． 【答案】“复兴号”的平均速度为288千米/时 【分析】设“和谐号”列车平均速度为x千米/时，则“复兴号”列车平均速度为千米/时．根据时间路程速度，表示出“复兴号”和“和谐号”的时间，根据时间差列出方程，即可求解． 【详解】解：设“和谐号”列车平均速度为x千米/时，则“复兴号”列车平均速度为千米/时．根据题意，得， 解得， 经检验，是原分式方程的解， 则“复兴号”列车平均速度为（千米/时）， 答：“复兴号”的平均速度为288千米/时． 题型7.分式方程工程问题 【典例】某工厂计划生产个零件，而在实际生产时，每天比原计划多生产个，结果提前5天完成，设实际每天生产零件个，可得方程：___________． 【答案】 【分析】根据工作效率的关系表示出原计划每天生产零件个数，再根据工作时间=工作总量÷工作效率，分别得到原计划与实际完成任务所需时间，最后利用“实际比原计划提前5天完成”的等量关系列方程． 【详解】解：设实际每天生产零件个，则原计划每天生产零件个，原计划完成所需时间为天，实际完成所需时间为天，根据实际提前5天完成任务，列方程得． 【跟踪专练1】我国自主研发的新型道路养护车，采用先进的自动化技术，能精准高效地完成城市沥青路面的摊铺任务．一辆该型号养护车每小时摊铺路面的公里数是人工修补组的倍，人工修补组摊铺公里路面的时间比养护车摊铺公里路面的时间多小时．这辆新型养护车每小时摊铺路面_______公里． 【答案】 【分析】设这辆新型养护车每小时摊铺路面公里，则人工修补组每小时摊铺路面的公里数是公里，列分式方程求解即可． 【详解】解：设这辆新型养护车每小时摊铺路面公里，则人工修补组每小时摊铺路面的公里数是公里， 根据题意可得：， 解得：， 经检验，是所列分式方程的解， 答：新型养护车每小时摊铺路面公里． 【跟踪专练2】某服装厂要加工套校服，实际每天加工的套数比原计划增加了，结果提前天完成任务．设原计划每天加工套校服，可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“原计划完成天数实际完成天数提前的天数”，分别表示出原计划和实际的工作天数即可列出方程. 【详解】解：设原计划每天加工套校服，总工作量为套， ∴原计划完成任务的天数为， ∵实际每天加工的套数比原计划增加， ∴实际每天加工套，实际完成任务的天数为， ∵结果提前天完成任务，即原计划天数比实际天数多天， ∴列方程得. 【跟踪专练3】有这样一道题：工程队检修一条长自来水管道，计划用若干小时完成，在实际检修过程中，工程队每小时检修管道长度是原计划的倍，结果提前小时完成任务．求工程队原计划每小时检修管道多少米．聪聪和小明的部分解答过程如下： 聪聪 小明 解：设工程队原计划每小时检修管道x米． 根据题意，得： … 解：设 ． 根据题意，得： … (1)根据表格信息回答问题：聪聪所列方程中的 表示的是 ，小明所设未知数y表示的是 ； (2)选择一种方法并写出完整的解答过程． 【答案】(1)实际检修所用时间；工程队原计划完成自来水管道检修任务的时间； (2)选聪聪解法： 解：设原计划每小时检修米 两边同乘： 解得， 检验：时，是分式方程的解， 答：原计划每小时检修管道50米； 选小明解法： 解：设原计划用小时完成，则实际用小时， 根据题意，得 解得， 检验：时，是分式方程的解， （米） 答：原计划每小时检修管道50米； 【分析】（1）根据时间等于工作量除以工作效率，解答即可； （2）根据解分式方程的基本步骤求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 题型8.分式方程经济问题 【典例】2024年春晚吉祥物“龙辰辰”，以十二生肖龙的专属汉字“辰”为名，某厂家生产大小两种型号的“龙辰辰”，大号“龙辰辰”单价比小号“龙辰辰”单价贵15元，且用2400元购进小号“龙辰辰”的数量是用2200元购进大号“龙辰辰”数量的1.5倍，则大号“龙辰辰”的单价为______元． 【答案】55 【分析】本题考查了分式方程的应用，解决本题的关键是根据题意建立分式方程. 设大号“龙辰辰”的单价为元，则小号“龙辰辰”的单价为元，根据题意建立分式方程，解方程即可. 【详解】解：设大号“龙辰辰”的单价为元，则小号“龙辰辰”的单价为元， 解得： 经检验，是分式方程的解，且符合题意. 答：大号“龙辰辰”的单价为55元. 故答案为：55 ． 【跟踪专练1】笔、墨、纸、砚被称为“文房四宝”．某书法社团计划购买，两种型号毛笔共50支，型号毛笔的单价是型号毛笔单价的1.4倍，购买型号毛笔共花费420元，购买型号毛笔共花费450元．设型号毛笔的单价是元/支，则可列分式方程为____． 【答案】 【分析】本题考查分式方程的实际应用，设型号毛笔单价为元/支，则型号毛笔单价为元/支．根据总价和单价可求出，两种型号毛笔的数量，再结合两种毛笔总数量为支这一等量关系列方程． 【详解】解：根据题意可得，型号毛笔数量为，型号毛笔数量为， 两种毛笔总数量为支， 列分式方程为 . 【跟踪专练2】某校为落实“每天一节体育课”政策，计划用3600元采购一批篮球，实际购买时，发现篮球单价降低了10%，因此实际比计划多购了6个篮球．设篮球原单价为x元，根据题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用“数量总价单价”，分别表示原计划和实际购买的篮球数量，再根据实际比计划多买6个的等量关系列方程. 【详解】解：∵ 篮球原单价为元，总采购费用为元 ， ∴ 原计划购买篮球的数量为 个 ， ∵ 实际单价降低了， ∴ 实际单价为 元，实际购买篮球的数量为 个， ∵ 实际比计划多购了个篮球， ∴ . 【跟踪专练3】某校在商场购进A、B两种品牌的篮球，购买A品牌篮球花费了元，购买B品牌篮球花费了元，且购买A品牌篮球数量是购买B品牌篮球数量的倍，已知购买一个B品牌篮球比购买一个A品牌篮球多花元． (1)问购买A、B品牌篮球各多少个？ (2)问购买一个A品牌、一个B品牌的篮球各需多少元？ 【答案】(1)购买A品牌篮球50个，购买B品牌篮球25个． (2)购买一个A品牌篮球需50元，购买一个B品牌篮球需80元． 【分析】（1）设买B品牌篮球个，则买A品牌篮球个，根据题意列出分式方程，求解即可； （2）根据（1）求出的购买A、B两种品牌的篮球数量，求出各自的单价． 【详解】（1）解：设买B品牌篮球个，则买A品牌篮球个， 由题意得买一个A品牌篮球需要元，买一个B品牌篮球需要元， 由题意可列分式方程， 解得， 经检验是分式方程的解， 则， 答：购买A品牌篮球50个，购买B品牌篮球25个． （2）解：由（1）得买一个A品牌篮球需要元， 买一个B品牌篮球需要元， 答：购买一个A品牌篮球需50元，购买一个B品牌篮球需80元． 题型9.分式方程和差倍分问题 【典例】，两种机器人都被用来搬运化工原料，型机器人比型机器人每小时多搬运千克，型机器人搬运千克所用的时间与型机器人搬运千克所用的时间相等．设型机器人每小时搬运千克化工原料，则符合题意的方程是________． 【答案】/ 【分析】本题考查分式方程的应用，准确理解题意并找出等量关系是解题的关键． 设型机器人每小时搬运千克，则型机器人每小时搬运千克，根据时间相等列出方程即可． 【详解】解：型机器人搬运千克所用时间为， 型机器人搬运千克所用时间为， 因为时间相等，所以， 故答案为：． 【跟踪专练1】第5代移动通信技术简称，某地已开通业务，经测试下载速度是下载速度的15倍，小明和小强分别用与下载一部600兆的公益片，小明比小强所用的时间快140秒，求该地与的下载速度分别是每秒多少兆？设该地的下载速度是每秒兆，则根据题意可列方程______． 【答案】 【分析】设该地的下载速度是每秒兆，则下载速度是每秒兆，再利用“时间等于下载总量除以下载速度”分别表示出两种下载方式的用时，最后根据时间差为140秒列出方程． 【详解】解：设该地的下载速度是每秒兆，则下载速度是每秒兆， 由题意可得：． 【跟踪专练2】某地种植基地在甲、乙两个面积相同的试验田里各种植同一品种的水稻，产量分别为15.8吨和14.2吨．已知甲试验田的水稻比乙试验田的水稻每公顷产量多3.2吨，设乙试验田的水稻每公顷产量为吨，可以列出方程（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】等量关系为甲、乙两个试验田面积相等，根据种植面积总产量每公顷产量，先表示出甲试验田每公顷的产量，即可列出方程． 【详解】解：设乙试验田水稻每公顷产量为吨， ∵甲试验田的水稻比乙试验田的水稻每公顷产量多吨， ∴甲试验田水稻每公顷产量为吨， ∵甲、乙两个试验田面积相等，且面积总产量每公顷产量， ∴． 【跟踪专练3】随着科技创新，人形机器人融合多种先进技术，极具发展潜力与应用前景．为了提高工作效率，某工厂使用A，B两种型号机器人搬运货物．已知A型机器人每小时搬运货物的质量是B型机器人的1.5倍，A型机器人搬运货物的时间比B型机器人搬运货物的时间少，A，B两种机器人每小时分别搬运多少货物？ 【答案】A型机器人每小时搬运货物，B型机器人每小时搬运货物 【分析】利用工作时间工作总量工作效率的关系，设B型机器人每小时搬运货物质量为未知数，根据倍数关系得到A型的搬运效率，再根据时间差为列方程，求解检验后得到结果． 【详解】解：设B型机器人每小时搬运货物，则A型机器人每小时搬运货物， 根据题意列方程得， 解得， 检验：当时，， 因此是原方程的解，符合题意， ， 答：A型机器人每小时搬运货物，B型机器人每小时搬运货物． 题型10.分式方程其他实际问题 【典例】小张同学看一本800页的小说，暑假前看了200页，进入暑假后为早日完成，每天比原计划增加40页，结果共用32天完成这一任务，请问小张原计划每天完成___________页． 【答案】10 【分析】设原计划每天完成页，根据总用时32天列出分式方程，求解后舍去不符合实际意义的解，即可得到答案． 【详解】解：设原计划每天完成页， 由题意得：， 方程两边同乘，得， 整理得， 解得或， 经检验和都是原方程的解，但不符合实际意义，舍去， 所以小张原计划每天完成10页． 【跟踪专练1】如图所示的电路总电阻为，若（总电阻与，的关系为），则________Ω． 【答案】25 【分析】将，代入，解分式方程即可． 【详解】解：由题意得， 方程两边同时乘以得， ∴． 【跟踪专练2】古代建筑中，榫卯结构至关重要，它通过凸出的榫和凹进的卯精密配合连接，使得建筑物连接牢固．工匠们制作了一种特定的榫卯结构，该结构中，一个榫需要的木材比一个卯需要的木材多1千克．已知用35千克木材制作的该种榫的数量与用30千克木材制作该种卯的数量相同．设制作1个这样的榫需要木材千克，根据题意，得（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设制作个榫需要木材千克，则制作个卯需要木材千克，根据用千克木材制作榫的数量与用千克木材制作卯的数量相同，列出方程即可 ． 【详解】解：设制作个榫需要木材千克， ∵一个榫需要的木材比一个卯需要的木材多千克， ∴制作个卯需要木材千克， ∵用千克木材制作榫的数量与用千克木材制作卯的数量相同， ∴列方程为． 【跟踪专练3】某校开展校园系列经典诵读分享活动，每场经典诵读活动分成若干个小队进行分享．第一场共有80名学生参与诵读，第二场参与诵读学生人数比第一场增加30人；第二场组建的诵读小队数量比第一场多2个，且平均每个小队的人数比第一场增加10%．求第二场组建的诵读小队数量． 【答案】10个 【分析】设第二场小队数量为，得出第一场小队数量为，再分别表示两场平均每小队人数，利用第二场平均每小队人数比第一场增加列出分式方程求解即可． 【详解】解：设第二场组建的诵读小队数量为个，则第一场小队数量为个． 第一场平均每队人数：； 第二场总人数：人，第二场平均每队人数：． 根据第二场平均每个小队的人数比第一场增加列方程： ， 解得， 检验：把代入，是原分式方程的解，且符合题意． 解答题 1．解方程： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】根据分式方程的求解步骤，先去分母化为整式方程，然后解整式方程，最后对计算结果进行检验即可． 【详解】（1）解：方程两边同乘，得， ， 解得， 经检验：是分式方程的解． （2）解：方程两边同乘，得：， ， 解得， 经检验：是分式方程的解． 2．已知关于x的方程． (1)若方程的增根为，求m的值； (2)若方程无解，求m的值． 【答案】(1) (2)4或或 【分析】（1）利用分式方程增根的意义解答即可； （2）分式方程无解包括两种情况：一是化为整式方程后，整式方程的解是原方程的增根；二是化为整式方程后，该整式方程本身无解，据此分情况讨论即可． 【详解】（1）解：， ， ， 把代入中可得： ， ∴， ∴m的值为； （2）解：当方程有增根时，， ∴或， 把代入中可得： ， ∴， 把代入中可得： ， ∴， 当时，该方程无解，即； ∴综上所述：m的值为4或或． 3．某商店3月份购进一批T恤衫，进价合计4000元，因该T恤衫畅销，商店又于4月份购进一批同品牌的T恤衫，进价合计6750元，数量是3月份的1.5倍，但每件进价涨了5元． (1)求3月份每件T恤衫的进价． (2)这两批T恤衫开始都以每件70元出售，到5月初，商店把剩下的20件打八折出售，很快售完．商店共获毛利润（销售收入-进价）多少元？ 【答案】(1)3月份每件T恤的进价为40元 (2)6470元 【分析】（1）数量总价单价，3月份的数量1.5=4月份的数量； （2）先算出3月份和4月份一共购进多少件T恤衫，然后用3月份和4月份总的销售收入-3月份和4月份的进价即可． 【详解】（1）解：设3月份每件T恤的进价为x元， ， 解得； 经检验，是方程的解且符合题意， 答：3月份每件T恤的进价为40元 ； （2）（件），（件）， （件）， （元）． 【点睛】利润售价进价，数量总价单价，分式方程一定要检验，如果分母为0，则分式方程有增根，无解． 4．4月13日上午，“行走是吾乡”2025河南省自行车公开赛（济源站）暨济源黄河公路自行车赛在济源发车．甲、乙两骑行爱好者约定从地沿相同路线骑行去距地60千米的地，已知甲骑行的速度是乙的倍．乙先骑行分钟，甲才从地出发，甲、乙恰好同时到达地，求甲骑行的速度． 【答案】甲骑行的速度是千米/时 【分析】根据时间、速度、路程之间的等量关系列方程即可 【详解】解：设乙骑行的速度是千米/时，则甲骑行的速度是千米/时． 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴． 答：甲骑行的速度是18千米/时． 5．科技赋能产业发展，我国大力推进数字科技产品落地应用．某科技公司承接一批智能数字终端生产任务，共计需要生产台设备．为提高生产效率，公司优化生产技术，实际每月生产数量是原计划的倍，最终比原计划提前个月完成全部生产任务，求该公司原计划每月生产智能数字终端多少台？ 【答案】该公司原计划每月生产智能数字终端台 【分析】设该公司原计划每月生产智能数字终端台，则实际每月生产台设备，根据“比原计划提前个月完成全部生产任务”列分式方程求解即可． 【详解】解：设该公司原计划每月生产智能数字终端台，则实际每月生产台设备． 根据题意，得． 解得． 经检验，是原方程的解且符合题意． 答：该公司原计划每月生产智能数字终端台． 6．年月日至日，第届世界大学生冬季运动会预计在长春举行，与运动会吉祥物“吉冰”“吉雪”相关的文创产品将深受大家喜爱．某文旅中心预计售卖A、B两种吉祥物挂件，已知每个B种挂件的价格是每个A种挂件价格的，用元购买B种挂件的数量比用元购买A种挂件的数量多个．求A种挂件和B种挂件的单价． 【答案】A种挂件单价为25元，B种挂件单价为20元 【分析】本题利用总价、单价、数量的关系，设A种挂件单价为元，可表示出B种挂件的单价，再根据两种购买方式的数量差列出分式方程，求解后检验即可得到结果． 【详解】解：设每个A种挂件的单价为元，则每个B种挂件的单价为元， 由题意得：， 化简得：， ， 解得，经检验：是原方程的解，且符合题意， 当时，， 答：A种挂件单价为25元，B种挂件单价为20元． 7．某数学兴趣小组研究《九章算术》里的这一问题：今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百．今并买100亩，价一万．其大意为：今有好田1亩价值300钱；坏田7亩价值500钱．今买好田、坏田共100亩，价值10000钱． (1)求好田、坏田各买了多少亩？ (2)现用部分田地种植某谷物，其中好田比坏田少50亩，好田的总产量为，坏田的总产量为，但好田平均亩产量是坏田平均亩产量的3倍，求好田的平均亩产量？ 【答案】(1)好田买了亩，坏田买了亩 (2)好田的平均亩产量是 【分析】（1）设好田有x亩，则坏田有亩，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解； （2）设坏田平均亩产量为，则好田平均亩产量是，根据题意列出分式方程，解方程并检验，即可求解． 【详解】（1）解：设好田有x亩，则坏田有亩． 根据题意，得． 解这个方程，得．． 答：好田买了亩，坏田买了亩． （2）设坏田平均亩产量为，则好田平均亩产量是． 根据题意，得． 解方程，得． 经检验，是所列方程的解．所以有． 答：好田的平均亩产量是． 8．随着新能源汽车普及，某小区和某商场均配备了充电桩．小区新能源汽车充电桩收费标准按照“电费=充电量×电价”计费，表1为该小区充电桩不同时段的电价标准．商场新能源充电桩的收费标准按照“总费用=电费+服务费”计费，表2为该商场充电桩的收费标准，则“峰时”充10度电的总费用为：（元）． 表1： 项目 某小区新能源汽车分时电价方案 时段划分 峰时 17:00-22:00 平时 8:00-17:00 谷时 22:00-次日8:00 电价（元/度） a b 0.34 表2： 某商场新能源充电桩收费公示牌 收费时段 峰时 16:00-22:00 平时 10:00-16:00 谷时 22:00-次日10:00 电价（元/度） 0.56 c 服务费（元/度） 0.5 0.4 0.3 请根据以上素材解决下列问题： (1)小明爸爸第一天在小区“峰时”充了6度电，“平时”充了9度电，花费了7.8元；第二天在小区“峰时”充了12度电，“平时”充了15度电，花费了14.1元，求a，b的值； (2)小明爸爸发现在某商场充电时，“平时”花18元充电的度数与在“谷时”花14元充电的度数一样，求“谷时”的电价c为多少元/度？ (3)小明爸爸在小区“平时”充了m度电，又在某商场“平时”充了n度电，一共支付了20元．若充电的度数m、n均为正整数，则满足条件的m，n有几种情况？ 【答案】(1)， (2)“谷时”的电价c为元/度； (3)种 【分析】（1）根据题意列出二元一次方程组，据此求解即可； （2）根据题意列出分式方程，据此求解即可； （3）根据题意列出二元一次方程，据此求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得， 解得， ∴，； （2）解：商场平时每度总费用：， 商场谷时每度总费用：， 根据题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：“谷时”的电价c为元/度； （3）解：小区平时电费单价元/度，小区平时总支付：， 商场平时电价，服务费， 商场平时每度总费用元/度，商场平时总支付：， 总费用方程：， 整理得， ∵m、n均为正整数，， ∴， ∴，； ，； ，； ，； ∴满足条件的m，n有种情况． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07分式方程暑假预习讲义 1. 识记：牢记分式方程定义，明确分式方程与整式方程核心区分标准为分母是否含有未知数，能快速甄别两类方程。 2. 理解：掌握解分式方程核心转化思想，明晰解题整体逻辑：分式方程通过去分母转化为一元一次整式方程，弄懂必须验根的根本原因。 3. 掌握：熟记解分式方程完整规范步骤：因式分解分母→确定最简公分母→去分母化为整式方程→求解整式方程→代入最简公分母验根→判定解或增根。 4. 辨析：理解增根的概念与产生缘由，清楚增根会令原分式分母为0，属于无效解，遇到增根需判定原分式方程无解。 5. 避错：规避去分母高频失误，方程中不含分母的常数项切勿漏乘最简公分母，同时规范处理去分母过程中的正负符号。 6. 运算：熟练求解基础分式方程，能独立完成含多项式分母的分式方程求解，严格落实每道题目必验根的答题要求。 7. 进阶：看懂分式方程含参数题型，结合增根条件反向求解方程内未知参数，理清增根与最简公分母为零的对应关系。 8. 建模：针对行程、工程、销售类典型应用题，精准梳理题干等量关系，合理设未知数并列出分式方程。 9. 应用：完整完成分式方程应用题全流程：列方程、解方程、双重检验（数学验根+实际意义检验）、规范书写答句，舍去不符合现实的解。 10. 复盘：归纳本章易错点，包含忘记验根、漏乘常数项、误把常数字母当作未知数、忽略解的实际取值限制等问题。 11. 素养：感悟转化的数学思想，强化方程建模能力，串联分式运算、一元一次方程旧知，为后续代数应用题综合学习筑牢基础。 预习必备 知识梳理 1.分式方程的定义 2.分式方程的解法 3.增根 4.分式方程的应用 5.分式方程与整式方程解法对比 6.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.分式方程的定义 2.由分式方程解的情况求值 3.分式方程无解问题 4.解分式方程 5.列分式方程 6.分式方程行程问题 7.分式方程工程问题 8.分式方程经济问题 9.分式方程和差倍分问题 10.分式方程其他实际问题 强化题型 解答题8题 知识点 01 分式方程的定义 1.概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 2.区分整式方程与分式方程 方程类型 判断标准 举例 整式方程 分母不含未知数 2x+1=5、-1=0\) 分式方程 分母含有未知数 =2、=3 关键判定：只看分母是否带未知数，常数分母不算分式方程。 知识点 02 分式方程的解法 1.解分式方程的基本思路 去分母，把分式方程转化为整式方程。 2.解分式方程的一般步骤 3.检验方程解的方法 (1) 将整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母的值不为 0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。 (2) 也可以将整式方程的解代入原分式方程，这种方法不仅能检验出该解是否适合原分式方程，还能检验所得的解是否正确。 4. 解分式方程高频错误 (1)去分母时，常数项漏乘最简公分母； (2)分子为多项式时未加括号，引发符号错误； (3)省略检验步骤，直接判定方程的解。 知识点03 增根 1.定义：去分母后得到的整式方程的解，但代入原分式方程会使分母为 0，导致原分式无意义，这样的根叫做增根。 2.产生原因：等式性质 2 要求乘的式子不能为 0，去分母时无法提前限制未知数取值，因此会多出无效根。 3.增根两个特征 ① 是去分母后整式方程的解； ② 代入原方程任意分母，结果等于 0。 4. 增根与无解（难点、填空 / 解答压轴） 概念 含义 产生原因 增根 整式方程的根，但不是原分式方程的根 去分母时，人为扩大未知数取值范围，根使原分母为 0 分式方程无解 两种情况：① 有增根；② 转化后的整式方程本身无解 结合参数题型常考 专题04分式方程的应用 1.列分式方程解应用题的一般步骤 （1）审：即审题，根据题意找出已知量和未知量，并找出等量关系 （2）设：即设未知数，设未知数的方法有直接设和间接设，注意单位要统一，选择一个未知量用未知数表示，并用含未知数的式子表示相关量. （3）列：即列方程，根据等量关系列出分式方程. （4）解：即解所列的分式方程，求出未知数的值. （5）验：即验根，既要检验所求的未知数的值是否适合分式方程，还要检验此解是否符合实际意义. （6）答：即写出答案，注意单位和答案要完整. 2.列分式方程常用的等量关系 工程问题：工作效率 × 工作时间 = 工作总量；合作效率 行程问题：时间；顺水 / 逆水速度差异列方程 利润问题：利润 = 售价− 进价；利润率 = 利润 ÷ 进价 ×100%. 储蓄问题：本息和 = 本金 + 利息 . 知识点 05分式方程与整式方程解法对比 方程 解法核心 是否需要检验 特殊问题 一元一次整式方程 移项、合并同类项、系数化为 1 无需检验 无增根 分式方程 去分母转化为整式方程 必须检验 存在增根，可能无解 知识点 06 本节高频易错点 1.去分母时，常数项、不含分母的项漏乘最简公分母，等式左右两边不相等； 2.解完分式方程省略检验步骤，直接写答案，忽略增根存在； 3.找增根题型混淆逻辑，不会先令分母为 0 确定增根数值； 4.分子是多项式时，去分母后忘记给分子整体添加括号，符号出错； 5.应用题只做数学检验，忽略实际意义，出现负数人数、负速度等不合理解； 6.混淆分式方程与整式方程定义，把分母为常数的方程判定为分式方程； 7.方程两边同乘最简公分母时，负号分配错误，去括号变号失误。 题型1.分式方程的定义 【典例】请你利用代数式，，3组成一个分式方程：________． 【跟踪专练1】下列方程中，是分式方程的是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知方程：①，②，③，④，⑤，⑥，其中分式方程有_________________． 【跟踪专练3】岳龙某红瑶红薯种植基地改进红薯种植技术后，每亩红瑶红薯产量增加，原来产红薯的一块土地，现在总产量增加了，现在平均每亩红薯的产量是（   ）． A． B． C． D． 题型2.由分式方程解的情况求值 【典例】．已知关于的分式方程的解是2，则的值是_______． 【跟踪专练1】已知关于x的分式方程的解是，则常数a的值是（   ） A． B．5 C． D． 【跟踪专练2】已知关于的分式方程有增根，则的值为________． 【跟踪专练33】若关于的分式方程有正整数解，且为正整数，则的值为（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 题型3.分式方程无解问题 【典例】如果关于x的分式方程无解，那么a的值为_____． 【跟踪专练1】若关于x的分式方程无解，则m的值为（   ） A． B． C．或15 D．5或 【跟踪专练2】已知关于的方程无解，则实数的值为____． 【跟踪专练3】小明在解关于x的分式方程时，发现墨水不小心把其中一个数字污染了，翻看答案上说此方程无解，则被污染的数字为（    ） A． B． C．2 D．1 题型4.解分式方程 【典例】方程的解为__________． 【跟踪专练1】将方程去分母，得（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】代数式与代数式的值相等，则_______． 【跟踪专练3】下面解分式方程的步骤中，错误的是（   ） A．将方程两边同时乘可转化为整式方程 B．去分母后的一元一次方程为 C．原分式方程的解为 D．原分式方程无解 题型5.列分式方程 【典例】为绿化环境，某社区植树60棵，实际种植人数是原计划人数的2倍，实际平均每人种植棵数比原计划少了3棵．若设原计划人数为人，则可列方程为________． 【跟踪专练1】深圳龙岗大运片区绿色出行普及度高，某新能源电动车专卖店计划采购甲、乙两种型号电动车．已知乙型电动车的单价比甲型的单价多0.2万元，用12万元购进甲型的数量和20万元购进乙型的数量相等．设甲型电动车的单价为万元，由题意可列方程（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】为传承我国传统节日文化，端午节前夕，某校组织了包粽子活动．已知某班甲组同学平均每小时比乙组多包20个粽子，甲组包150个粽子所用的时间与乙组包120个粽子所用的时间相同．求甲，乙两组同学平均每小时各包多少个粽子．若设乙组每小时包x个粽子，可列出关于x的方程为________． 【跟踪专练3】小麦同学暑假计划阅读一本1000页的名著小说，因中途生病休息了3天，实际每天需比原计划多读20页，才能按时完成计划，原计划每天阅读多少页？设原计划每天阅读页，则根据题意所列方程为（     ） A． B． C． D． 题型6.分式方程行程问题 【典例】《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题可译为：把一份文件用慢马送到里外的城市，需要的时间比规定时间多天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少天．已知快马的速度是慢马的倍，求慢马的速度．若设慢马的速度为里/天，则可列方程：________． 【跟踪专练1】斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度．如图，某路口的斑马线路段横穿双向行驶车道，其中米，在绿灯亮时，小敏从点出发，共用22秒通过路段，其中通过路段的速度是通过路段速度的1.2倍，由此可以列出方程：，其中未知数表示的意义是（   ）． A．小敏通过路段的速度 B．小敏通过路段的速度 C．小敏通过路段的时间 D．小敏通过路段的时间 【跟踪专练2】货车要从仓库运送一批新鲜蔬菜到市区，仓库到市区的路程为120千米．如果用普通货车运送，比预定时间晚2小时到达；如果用高速货车运送，比预定时间早1小时到达．已知高速货车的速度是普通货车的2倍．设预定时间为小时，则可列分式方程为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】西成高铁的开通让汉中融入了西安和成都的“朋友圈”．已知西安北站到汉中站的高铁里程约为240千米．若“复兴号”列车的平均速度是“和谐号”列车平均速度的1.2倍，且从西安北到汉中，“复兴号”比“和谐号”少用10分钟，求“复兴号”的平均速度． 题型7.分式方程工程问题 【典例】某工厂计划生产个零件，而在实际生产时，每天比原计划多生产个，结果提前5天完成，设实际每天生产零件个，可得方程：___________． 【跟踪专练1】我国自主研发的新型道路养护车，采用先进的自动化技术，能精准高效地完成城市沥青路面的摊铺任务．一辆该型号养护车每小时摊铺路面的公里数是人工修补组的倍，人工修补组摊铺公里路面的时间比养护车摊铺公里路面的时间多小时．这辆新型养护车每小时摊铺路面_______公里． 【跟踪专练2】某服装厂要加工套校服，实际每天加工的套数比原计划增加了，结果提前天完成任务．设原计划每天加工套校服，可列方程为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】有这样一道题：工程队检修一条长自来水管道，计划用若干小时完成，在实际检修过程中，工程队每小时检修管道长度是原计划的倍，结果提前小时完成任务．求工程队原计划每小时检修管道多少米．聪聪和小明的部分解答过程如下： 聪聪 小明 解：设工程队原计划每小时检修管道x米． 根据题意，得： … 解：设 ． 根据题意，得： … (1)根据表格信息回答问题：聪聪所列方程中的 表示的是 ，小明所设未知数y表示的是 ； (2)选择一种方法并写出完整的解答过程． 题型8.分式方程经济问题 【典例】2024年春晚吉祥物“龙辰辰”，以十二生肖龙的专属汉字“辰”为名，某厂家生产大小两种型号的“龙辰辰”，大号“龙辰辰”单价比小号“龙辰辰”单价贵15元，且用2400元购进小号“龙辰辰”的数量是用2200元购进大号“龙辰辰”数量的1.5倍，则大号“龙辰辰”的单价为______元． 【跟踪专练1】笔、墨、纸、砚被称为“文房四宝”．某书法社团计划购买，两种型号毛笔共50支，型号毛笔的单价是型号毛笔单价的1.4倍，购买型号毛笔共花费420元，购买型号毛笔共花费450元．设型号毛笔的单价是元/支，则可列分式方程为____． 【跟踪专练2】某校为落实“每天一节体育课”政策，计划用3600元采购一批篮球，实际购买时，发现篮球单价降低了10%，因此实际比计划多购了6个篮球．设篮球原单价为x元，根据题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】某校在商场购进A、B两种品牌的篮球，购买A品牌篮球花费了元，购买B品牌篮球花费了元，且购买A品牌篮球数量是购买B品牌篮球数量的倍，已知购买一个B品牌篮球比购买一个A品牌篮球多花元． (1)问购买A、B品牌篮球各多少个？ (2)问购买一个A品牌、一个B品牌的篮球各需多少元？ 题型9.分式方程和差倍分问题 【典例】，两种机器人都被用来搬运化工原料，型机器人比型机器人每小时多搬运千克，型机器人搬运千克所用的时间与型机器人搬运千克所用的时间相等．设型机器人每小时搬运千克化工原料，则符合题意的方程是________． 【跟踪专练1】第5代移动通信技术简称，某地已开通业务，经测试下载速度是下载速度的15倍，小明和小强分别用与下载一部600兆的公益片，小明比小强所用的时间快140秒，求该地与的下载速度分别是每秒多少兆？设该地的下载速度是每秒兆，则根据题意可列方程______． 【跟踪专练2】某地种植基地在甲、乙两个面积相同的试验田里各种植同一品种的水稻，产量分别为15.8吨和14.2吨．已知甲试验田的水稻比乙试验田的水稻每公顷产量多3.2吨，设乙试验田的水稻每公顷产量为吨，可以列出方程（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】随着科技创新，人形机器人融合多种先进技术，极具发展潜力与应用前景．为了提高工作效率，某工厂使用A，B两种型号机器人搬运货物．已知A型机器人每小时搬运货物的质量是B型机器人的1.5倍，A型机器人搬运货物的时间比B型机器人搬运货物的时间少，A，B两种机器人每小时分别搬运多少货物？ 题型10.分式方程其他实际问题 【典例】小张同学看一本800页的小说，暑假前看了200页，进入暑假后为早日完成，每天比原计划增加40页，结果共用32天完成这一任务，请问小张原计划每天完成___________页． 【跟踪专练1】如图所示的电路总电阻为，若（总电阻与，的关系为），则________Ω． 【跟踪专练2】古代建筑中，榫卯结构至关重要，它通过凸出的榫和凹进的卯精密配合连接，使得建筑物连接牢固．工匠们制作了一种特定的榫卯结构，该结构中，一个榫需要的木材比一个卯需要的木材多1千克．已知用35千克木材制作的该种榫的数量与用30千克木材制作该种卯的数量相同．设制作1个这样的榫需要木材千克，根据题意，得（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】某校开展校园系列经典诵读分享活动，每场经典诵读活动分成若干个小队进行分享．第一场共有80名学生参与诵读，第二场参与诵读学生人数比第一场增加30人；第二场组建的诵读小队数量比第一场多2个，且平均每个小队的人数比第一场增加10%．求第二场组建的诵读小队数量． 解答题 1．解方程： (1) (2)． 2．已知关于x的方程． (1)若方程的增根为，求m的值； (2)若方程无解，求m的值． 3．某商店3月份购进一批T恤衫，进价合计4000元，因该T恤衫畅销，商店又于4月份购进一批同品牌的T恤衫，进价合计6750元，数量是3月份的1.5倍，但每件进价涨了5元． (1)求3月份每件T恤衫的进价． (2)这两批T恤衫开始都以每件70元出售，到5月初，商店把剩下的20件打八折出售，很快售完．商店共获毛利润（销售收入-进价）多少元？ 4．4月13日上午，“行走是吾乡”2025河南省自行车公开赛（济源站）暨济源黄河公路自行车赛在济源发车．甲、乙两骑行爱好者约定从地沿相同路线骑行去距地60千米的地，已知甲骑行的速度是乙的倍．乙先骑行分钟，甲才从地出发，甲、乙恰好同时到达地，求甲骑行的速度． 5．科技赋能产业发展，我国大力推进数字科技产品落地应用．某科技公司承接一批智能数字终端生产任务，共计需要生产台设备．为提高生产效率，公司优化生产技术，实际每月生产数量是原计划的倍，最终比原计划提前个月完成全部生产任务，求该公司原计划每月生产智能数字终端多少台？ 6．年月日至日，第届世界大学生冬季运动会预计在长春举行，与运动会吉祥物“吉冰”“吉雪”相关的文创产品将深受大家喜爱．某文旅中心预计售卖A、B两种吉祥物挂件，已知每个B种挂件的价格是每个A种挂件价格的，用元购买B种挂件的数量比用元购买A种挂件的数量多个．求A种挂件和B种挂件的单价． 7．某数学兴趣小组研究《九章算术》里的这一问题：今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百．今并买100亩，价一万．其大意为：今有好田1亩价值300钱；坏田7亩价值500钱．今买好田、坏田共100亩，价值10000钱． (1)求好田、坏田各买了多少亩？ (2)现用部分田地种植某谷物，其中好田比坏田少50亩，好田的总产量为，坏田的总产量为，但好田平均亩产量是坏田平均亩产量的3倍，求好田的平均亩产量？ 8．随着新能源汽车普及，某小区和某商场均配备了充电桩．小区新能源汽车充电桩收费标准按照“电费=充电量×电价”计费，表1为该小区充电桩不同时段的电价标准．商场新能源充电桩的收费标准按照“总费用=电费+服务费”计费，表2为该商场充电桩的收费标准，则“峰时”充10度电的总费用为：（元）． 表1： 项目 某小区新能源汽车分时电价方案 时段划分 峰时 17:00-22:00 平时 8:00-17:00 谷时 22:00-次日8:00 电价（元/度） a b 0.34 表2： 某商场新能源充电桩收费公示牌 收费时段 峰时 16:00-22:00 平时 10:00-16:00 谷时 22:00-次日10:00 电价（元/度） 0.56 c 服务费（元/度） 0.5 0.4 0.3 请根据以上素材解决下列问题： (1)小明爸爸第一天在小区“峰时”充了6度电，“平时”充了9度电，花费了7.8元；第二天在小区“峰时”充了12度电，“平时”充了15度电，花费了14.1元，求a，b的值； (2)小明爸爸发现在某商场充电时，“平时”花18元充电的度数与在“谷时”花14元充电的度数一样，求“谷时”的电价c为多少元/度？ (3)小明爸爸在小区“平时”充了m度电，又在某商场“平时”充了n度电，一共支付了20元．若充电的度数m、n均为正整数，则满足条件的m，n有几种情况？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $