专题13.3 分式方程 【暑假预习】提优讲义 2026-2027学年沪教版（五四制）数学七年级上册

专题13.3 分式方程（知识精讲+典例+创新题+练习） 高效提优讲义 七年级数学新教材沪教版五四制 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 理解分式方程的定义，能识别分式方程。 · 掌握解分式方程的一般步骤，会检验增根。 · 能列分式方程解决实际问题，掌握建模思想。 · 理解分式方程应用中的常见模型（工程、行程、销售等）。 · 能处理含参数的分式方程及创新综合题，提升数学素养。 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 1. 分式方程的定义 定义： 分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 · 分式方程与整式方程的区别在于分母是否含有未知数。 · 解分式方程的基本思想是将分式方程转化为整式方程（去分母）。 ☑ 典型例题 1 题目： 下列方程中，是分式方程的是（ ） A. B. C. D. 解析： 分母中含有未知数的是分式方程。A、B、D的分母不含未知数，C中分母含 。 答案： C ☆ 2. 解分式方程的一般步骤 1. 去分母： 方程两边同乘最简公分母，化为整式方程。 1. 解整式方程： 按整式方程的解法求解。 1. 检验： 将整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母不为0，则是原方程的解；若为0，则是增根，舍去。 · 增根是使最简公分母为0的根，但不是原方程的根。 · 解分式方程必须检验。 ☑ 典型例题 2 题目： 解方程 。 解析： 去分母，得 ，解得 。检验：当 时，，所以 是原方程的解。 答案： ☆ 3. 增根 定义： 在解分式方程时，去分母后所得的整式方程的解，若使最简公分母为0，则这个解称为原分式方程的增根。 · 增根不是原方程的解，必须舍去。 · 产生增根的原因：去分母时方程两边同乘了可能为0的整式。 · 含参分式方程中，常利用增根求参数值。 ☑ 典型例题 3 题目： 若关于 的方程 有增根，则 的值为（ ） A. B. C. D. 解析： 最简公分母为 ，增根为 或 。去分母得 ，分别代入增根，当 时，，；当 时，，（不在选项中）。故选A。 答案： A ☆ 4. 列分式方程解应用题的一般步骤 · 审题：弄清题意，找出等量关系。 · 设未知数：用字母表示未知量。 · 列方程：根据等量关系列出分式方程。 · 解方程：解分式方程并检验（包括增根和实际意义）。 · 答：写出答案。 ☑ 典型例题 4 题目： 甲、乙两人做某种机器零件，已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与乙做60个所用的时间相等，求甲、乙每小时各做多少个？ 解析： 设甲每小时做 个，则乙每小时做 个。由题意得 ，解得 ，经检验是原方程的解，且符合实际。则乙每小时做12个。 答案： 甲18个/小时，乙12个/小时。 ☆ 5. 常见应用模型 · 工程问题： 工作量 = 工作效率 × 工作时间，常把总工作量看作1。 · 行程问题： 路程 = 速度 × 时间。 · 销售利润问题： 单价、数量、总价关系。 · 浓度问题、配套问题等。 ☑ 典型例题 5 题目： 一项工程，甲队单独做需30天完成，乙队单独做需20天完成。若两队合作，多少天可以完成？ 解析： 设两队合作 天完成，则 ，解得 。经检验符合题意。 答案： 12天。 ☆ 知识总结表 核心概念 要点 注意事项 分式方程 分母含未知数的方程 区别于整式方程 解分式方程 去分母 → 整式方程 → 检验 必须检验，防止增根 增根 使最简公分母为0的根 舍去，不是原方程的解 列分式方程 找等量关系，列方程 检验根的实际意义 工程问题 工作量=效率×时间 总工作量常为1 行程问题 路程=速度×时间 注意单位统一 核心考点 ·4大典型考点精讲 【考点1】解分式方程（第1–8题） · 去分母时，每一项都要乘以最简公分母。 · 解整式方程后必须检验。 · 注意符号和变号。 1．（2026•南岗区校级一模）分式方程的解为（　　） A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝2 D．x＝﹣2 【分析】利用解分式方程的方法解答． 【解答】解： 3（x﹣2）＝4（x﹣1）（x≠1，2） x＝﹣2， 把x＝﹣2代入原分式方程，左边＝右边， 所以x＝﹣2是原方程的解． 故选：D． 【点评】本题考查了解分式方程，解题的关键是掌握分式方程的解法． 2．（2025秋•平江县期末）解分式方程，去分母得（　　） A．x﹣2﹣1＝﹣1.5 B．2﹣x﹣1＝1.5 C．x﹣2﹣（1﹣2x）＝1.5 D．x﹣2﹣（2x﹣1）＝﹣1.5 【分析】分式方程整理后，去分母得到结果，即可作出判断． 【解答】解：方程整理得：1， 去分母得：x﹣2﹣（2x﹣1）＝﹣1.5． 故选：D． 【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 3．（2026•柯城区一模）解方程时，在方程的两边同乘以（x﹣3），得（　　） A．2x﹣2＝2x﹣1 B．2x﹣2（x﹣3）＝﹣（2x﹣1） C．2x﹣2＝﹣（2x﹣1） D．2x﹣2（x﹣3）＝2x﹣1 【分析】根据解分式方程中去分母步骤即可解答． 【解答】解：根据解分式方程中去分母步骤可知： ， 2x﹣2（x﹣3）＝﹣（2x﹣1）． 故选：B． 【点评】本题考查了解分式方程，熟练掌握该知识点是关键． 4．（2025秋•广汉市校级期末）小明在纸上书写了一个正确的演算过程，同桌小亮一不小心撕坏了一角，如图所示，则撕坏的一角中“■”为（　　） A． B． C． D． 【分析】设撕坏的部分为未知数x（即■＝x），根据图片信息列出方程，求解x即可． 【解答】解：设撕坏的一角■＝x，则原式可表示为：根据图片信息列出方程可得： ， ， ， ， ， 故选：A． 【点评】本题考查了分式方程的变形与求解，核心是通过逆向推导还原被撕去的表达式；解题的关键是利用等式性质，将已知部分变形为方程并求解未知项． 5．（2026春•泉州期中）若与互为相反数，则x＝　0　 ． 【分析】根据题意列出分式方程，解方程即可． 【解答】解：根据题意可得：， 去分母可得：2（x+1）+2（x﹣1）＝0， 解得：x＝0， 检验，x＝0是原分式方程的解． 故答案为：0． 【点评】本题考查了解分式方程，熟练掌握该知识点是关键． 6．（2025•雨花区校级开学）解方程：，x＝　1　 ． 【分析】先利用分式的加法和除法，将原方程化简为，再利用比例的性质得到13（6x+5）＝11（7x+6），利用解一元一次方程的方法步骤求解即可． 【解答】解：， 化简得：， ， ， ， ， ， 去分母，方程两边同时乘以13（7x+6）， 13（6x+5）＝11（7x+6）， 78x+65＝77x+66， x＝66﹣65， ∴x＝1． 经检验：x＝1是原方程的解， ∴原方程的解为x＝1， 故答案为：1． 【点评】本题考查了分式的加法和除法，解分式方程，并注意分式方程要检验． 7．（2024秋•宝山区期末）通过教材中分式单元的阅读材料，我们知道了一个分式可以写成几个分式的和，如：． 观察下列解方程的过程：． ． ． 在上述的解方程过程中，应用了，使解方程的过程变得简捷． 类似地，解方程， 这个方程的解是x＝ 　﹣2024．　 ． 【分析】依据阅读材料的方法，原方程先拆项变形，求解即可． 【解答】解：， 1， ， x＝﹣2024， 经检验，x＝﹣2024是原方程的解， 故答案为：﹣2024． 【点评】本题考查了分式的加减混合运算，解分式方程，掌握分式单元的阅读材料的方法是解题的关键． 8．（2026春•泰州校级月考）解分式方程： （1）； （2）． 【分析】（1）先整理分式方程，然后方程两边同乘（x+3）（x﹣3），将分式方程化为整式方程求解并检验即可． （2）先整理分式方程，然后方程两边同乘y（y﹣1），将分式方程化为整式方程求解并检验即可． 【解答】解：（1）原方程变形为：， 方程两边同时乘（x+3）（x﹣3），得3（x﹣3）+2x＝x+3， 去括号，得3x﹣9+2x＝x+3， 移项、合并同类项，得4x＝12， 解得：x＝3， 检验：把x＝3代入（x+3）（x﹣3）＝0， ∴x＝3是分式方程的增根， ∴原分式方程无解； （2）原方程变形为：， 方程两边同时乘y（y﹣1），得y+2+y＝4（y﹣1）， 去括号，得y+2+y＝4y﹣4， 移项、合并同类项，得﹣2y＝﹣6， 解得：y＝3， 检验：把y＝3代入y（y﹣1）≠0， ∴原分式方程的解为y＝3． 【点评】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 【考点2】实际问题抽象出的分式方程（第9–21题） · 仔细审题，找出等量关系。 · 设未知数时注意单位统一。 · 列出方程后检查是否符合题意。 9．（2025秋•永定区期末）随着人民生活质量的提高，全民健身运动深入人心，马拉松运动成为众多运动爱好者的选择．在一次马拉松比赛中，某时刻，甲落后乙40米，已知乙的平均配速为2.6米/秒．如果甲想再跑300米刚好追上乙，则甲接下来的平均配速为多少米/秒？设甲接下来的平均配速为x米/秒，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据甲跑300米用的时间等于乙跑240米用的时间相等列出方程即可． 【解答】解：根据题意，得． 故选：A． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解决本题的关键是正确理解题意． 10．（2026•惠州一模）由于平台优化派单算法及改善交通工具，某外卖小哥现在每小时比原来可多送3件外卖，送40件的时间比原来少用了3小时．设原来平均每小时送x件外卖，依题意，可列方程为（　　） A． B． C． D． 【分析】设原来每小时送x件外卖，先表示出现在每小时送的外卖数量，再根据“时间＝总件数÷每小时送件数”分别表示出原来和现在送40件外卖所用的时间，最后根据时间关系列方程即可． 【解答】解：根据题意列方程得． 故选：B． 【点评】本题考查了分式方程的应用，理解题意是关键． 11．（2026春•沙坪坝区校级期中）小阳与小红两人周末去广阳岛骑行，小阳的速度是小红速度的1.2倍，两人各自骑行了10km，小阳骑行时间比小红少用了0.1h．设小红的骑行速度为xkm/h，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【分析】先根据小红的骑行速度表示出小阳的骑行速度，再根据等量关系列方程即可． 【解答】解：∵小红的骑行速度为xkm/h，小阳的速度为1.2xkm/h， ∵， ∴可得方程． 故选：A． 【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，正确进行计算是解题关键． 12．（2025秋•西丰县期末）已知甲做300个零件与乙做420个零件所用的时间相同，若两人一天共做120个零件，设甲一天做x个零件，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【分析】设甲一天做x个零件，则乙一天做（120﹣x）个零件，根据“甲做300个零件与乙做420个零件所用时间相同”列方程即可． 【解答】解：根据题意得． 故选：A． 【点评】本题考查分式方程的应用，关键是用工作时间＝工作总量÷工作效率建立等量关系． 13．（2026•法库县一模）岩石会“说话”，山川有“韵律”，大自然中蕴涵着无尽的秘密，吸引着热爱研学的重庆一中的师生们走进其中一探究竟．甲、乙两同学分别从距离活动地点12千米和5千米的两地同时出发参加活动，甲同学的速度是乙同学速度的1.5倍，乙同学比甲同学提前4分钟达到活动地点．若假设乙同学的速度是x千米/小时，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据甲、乙同学速度间的关系，可得出甲同学的速度是1.5x米/分，利用时间＝路程÷速度，结合乙同学比甲同学提前4分钟到达活动地点，即可列出关于x的分式方程，此题得解． 【解答】解：设乙同学的速度是x米/分，则甲同学的速度是1.5x米/分． 根据题意得：， 故选：B． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 14．（2026•广州模拟）某快递公司引进智能机器人进行包裹分拣，一台智能机器人每小时分拣包裹的数量是一个工人平均分拣数量的40倍．已知分拣8000件同样的包裹，一台智能机器人所用时间比20个工人同时分拣所用时间还要少40分钟，设一个工人平均每小时分拣x个包裹，根据题意可列方程（　　） A． B． C． D． 【分析】先根据题意得到机器人和20个工人的工作效率，再根据“时间＝总工作量÷工作效率”表示出两者的工作时间，统一单位后根据时间关系列方程即可． 【解答】解：根据题意可得： ． 故选：D． 【点评】本题考查了分式方程的应用，理解题意是关键． 15．（2026•泉港区一模）《百骏图》是中国十大传世名画之一，是意大利籍清代宫廷画家郎世宁的作品，其图共绘有100匹骏马，姿势各异，或立、或奔、或跪、或卧，可谓曲尽骏马之态．如图，已知局部临摹画面装裱前是一个长为2.8m，宽为0.9m的矩形，装裱后的长与宽的比是7：3，且四周边衬的宽度相等．设边衬的宽度为xm，根据题意可列方程（　　） A． B． C． D． 【分析】根据装裱后的长与宽的比是7：3，且四周边衬的宽度相等，列出方程即可． 【解答】解：根据装裱后的长与宽的比是7：3可知： ， 故选：C． 【点评】本题考查分式方程的应用．根据题意，正确的列出方程是解题的关键． 16．（2026•松江区二模）小明准备去距离学校10千米的博物馆，已知汽车的速度比骑自行车的速度快30千米/小时，乘汽车去比骑自行车去可以早小时到达．设骑自行车的速度为x千米/小时，可列方程为　　 ． 【分析】依据题意，设骑自行车的速度为x千米/小时，则汽车的速度为（x+30）千米/小时，根据时间＝路程÷速度，分别表示出骑自行车和乘汽车所需的时间，再根据乘汽车比骑自行车早到小时列出方程即可． 【解答】解：由题意，设骑自行车的速度为x千米/小时，则汽车的速度为（x+30）千米/小时． ∵路程为10千米， ∴骑自行车所需时间为小时，乘汽车所需时间为小时． ∴可列方程为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，解题时要熟练掌握并能根据题意列出方程是关键． 17．（2026•阳谷县校级模拟）一项工程，甲队独做提前2天完成，乙队独做要延期5天，现在两队合作3天后，余下的由乙队独做，正好如期完工，设工程期限为x天，可列方程 　（）×31　 ． 【分析】根据题意和题目中的数据，可以列出相应的分式方程． 【解答】解：由题意可得， （）×31， 故答案为：（）×31． 【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程． 18．（2025春•开福区校级期末）为美化校园，学校安排甲、乙两人种植麦冬草，已知两人每小时共种植40株麦冬草，且甲种植50株麦冬草所用时间是乙种植15株麦冬草所用时间的2倍，求甲、乙两人每小时各种植多少株麦冬草？设甲每小时种植x株麦冬草，则可得方程 　2　 ． 【分析】设甲每小时种植x株麦冬草，则乙每小时种植x株麦冬草（40﹣x）株，根据甲种植50株麦冬草所用时间是乙种植15株麦冬草所用时间的2倍列出方程即可． 【解答】解：设甲每小时种植x株麦冬草，则乙每小时种植x株麦冬草（40﹣x）株，则： 2． 故答案为：2． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 19．（2024秋•海港区期末）某船往返于某段河流，顺流航行66千米与逆流航行60千米用时相同，已知水流速度为每小时1千米．设船的静水速度是每小时x千米，根据题意，可得方程为　　 ． 【分析】设船在静水中的速度是x千米/时，根据顺流航行66千米与逆流航行60千米用时相同，列出分式方程，即可求解． 【解答】解：由题意得： ． 故答案为：． 【点评】本题考查了分式方程的应用，理解题意是关键． 20．（2026•玉溪一模）“人间烟火味，最抚凡人心”，玉溪城区、夜市、景区的个体商户是市民就业增收的重要渠道．某商户购进了玉溪花腰傣文创玩具和澄江化石文创玩具两种特色文创产品．已知用600元购进花腰傣文创玩具的数量比用300元购进澄江化石文创玩具的数量多10个，且花腰傣文创玩具单价是澄江化石文创玩具单价的1.5倍．求两种文创玩具的单价各是多少元？ 根据以上信息，解答下列问题： （1）甲同学设澄江化石文创玩具的单价为x元，可列方程为　　 ； 乙同学设花腰傣文创玩具的数量为y个，可列方程为　　 ． （2）请帮助甲同学完成剩下的解题过程． 【分析】（1）根据“用600元购进花腰傣文创玩具的数量比用300元购进澄江化石文创玩具的数量多10个，且花腰傣文创玩具单价是澄江化石文创玩具单价的1.5倍．”列方程即可； （2）解方程即可得到结论． 【解答】解：（1）甲同学：设澄江化石文创玩具的单价为x元，可列方程为， 乙同学：设花腰傣文创玩具的数量为y个，可列方程为； 故答案为：；； （2）， 解得：x＝10， 经检验，x＝10是原方程的解，且符合题意， ∴1.5x＝15， 答：澄江化石文创玩具单价为10元，花腰傣文创玩具单价为15元． 【点评】本题考查了分式方程的应用，理解题意是关键． 21．根据题意列出方程，并将列出的方程进行分类． （1）小彬的储钱罐内有12元零钱，以后平均每天他都能将节省下来的1.5元放入储钱罐，大约几天后小彬的储钱罐内有30元？如果设x天后储钱罐内有30元，那么可以得到的方程是 　12+1.5x＝30；　 ． （2）父亲和儿子的年龄之和是50，父亲的年龄比儿子的年龄大28岁，求儿子的年龄． （3）A种饮料比B种饮料的单价少1元，小峰买了2瓶A种饮料和3瓶B种饮料，一共花了13元，求B种饮料的单价． （4）某校今年七年级新生入学人数为440人，比去年入学的新生人数增加了37.5%．你知道去年该校七年级新生有多少人吗？ （5）公元前1700年的古埃及纸草书中，记载着一个数学问题：“它的全部，加上它的，其和等于19．”试求此问题中“它”的值． （6）甲、乙两人做某种机器零件．已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与乙做60个所用的时间相等，求甲、乙每小时各做多少个．设甲每小时做x个零件，根据题意得方程 　　 ． 上述列出的方程中，　（1）（2）（3）（4）（5）　 是一元一次方程． 【分析】（1）小彬储钱罐内原有的钱数+他平均每天节省的钱数×天数＝x天后储钱罐内的钱数． （2）设儿子的年龄是x岁，可得方程（x+28）+x＝50； （3）设B种饮料的单价为x元，构建方程即可； （4）今年七年级新生入学的人数是去年的（1+37.5%）； （5）设“它”的值为x，则xx＝19； （6）的分母中含有未知数，说明它不是一元一次方程． 【解答】解：（1）12+1.5x＝30； 故答案为：12+1.5x＝30； （2）设儿子的年龄是x岁，可得方程（x+28）+x＝50； （3）设B种饮料的单价为x元，则有：2（x﹣1）+3x＝13； （4）设去年七年级新生有x人，则有：（1+37.5%）x＝440； （5）设“它”的值为x，则xx＝19． （6）方程为． （1）（2）（3）（4）（5）中所列的方程是一元一次方程． 故答案为：，（1）（2）（3）（4）（5）． 【点评】本题考查分式方程的应用，解题的关键是正确寻找等量关系，构建方程解决问题，属于中考常考题型． 【考点3】分式方程的应用（第22–32题） · 工程问题：将工作量设为1。 · 行程问题：利用路程、速度、时间关系。 · 销售问题：单价×数量=总价。 · 解方程后要检验是否符合实际。 22．（2026•环翠区一模）近年来，威海市积极推进无人机等低空装备警务化应用，广泛运用于案件侦查、治安巡逻、活动安保等领域，成效显著．从幸福门出发经环海路到火炬八街，警车治安巡逻需行驶约25公里，无人机空中巡逻航线约20公里，且无人机完成单向巡逻的时间比警车缩短了30分钟．若该无人机的平均速度是警车平均速度的2倍，则无人机的平均速度为（　　） A．60km/h B．64km/h C．70km/h D．72km/h 【分析】设警车的平均速度为x公里/小时，则无人机的平均速度为2x公里/小时，根据无人机完成单向巡逻的时间比警车缩短了30分钟，列出分式方程，解方程即可． 【解答】解：设警车的平均速度为x公里/小时，则无人机的平均速度为2x公里/小时， 由题意得：， 解得：x＝30， 经检验，x＝30是原方程的解，且符合题意， ∴2x＝60， 即无人机的平均速度为60公里/小时， 故选：A． 【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 23．（2026•菏泽一模）斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度．如图，某路口的斑马线路段A﹣B﹣C横穿双向行驶车道，其中AB＝BC＝12米，在绿灯亮时，小敏共用22秒通过AC路段，其中通过BC路段的速度是通过AB路段速度的1.2倍，则小敏通过BC路段时的速度是（　　） A．1.5米/秒 B．1米/秒 C．1.2米/秒 D．2米/秒 【分析】设通过AB的速度是xm/s，根据AB＝BC＝12米，小敏共用22秒通过AC路段，通过BC路段的速度是通过AB路段速度的1.2倍，进行列分式方程，解出x即可，进而求得小敏通过BC路段时的速度． 【解答】解：设通过AB的速度是xm/s，根据题意可得： ， 去分母得：14.4+12＝26.4x， 解得x＝1， 经检验：x＝1是原方程的解且符合题意． ∴通过AB时的速度是1米/秒，BC路段的速度是1.2米/秒． 故选：C． 【点评】本题考查了分式方程的应用，理解题意是关键． 24．（2026春•虹口区校级月考）某河的水流速度为每小时2千米，A，B两地相距36千米，一动力橡皮船从A地出发，逆流而上去B地，出航1小时，机器发生故障，橡皮船随水向下漂流，30分钟后机器修复，继续向B地开去，但船速比修复前每小时慢了1千米，到达B地比预定时间迟了54分钟，则橡皮船在静水中起初的速度为（　　）千米/时． A．11 B．12 C．13 D．14 【分析】设橡皮船在静水中起初的速度为x千米/小时，根据“时间＝路程÷速度”可得出关于x的分式方程，解方程即可得出x的值，经检验后即可得出结论． 【解答】解：设橡皮船在静水中起初的速度为x千米/小时，由题意得： 1， 整理得x2﹣5x﹣84＝0， 解得：x1＝12，x2＝﹣7（舍去）， 经检验，x＝12是原方程的解，且符合题意． 所以橡皮船在静水中起初的速度为12千米/小时， 故选：B． 【点评】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是根据数量关系找出关于x的分式方程．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出方程是关键． 25．（2025秋•重庆校级期末）在延时体育活动跳绳时，相同时间内小张跳80下，小王比小张多跳30下．已知小王每分钟比小张多跳40下，设小张每分钟跳y下，下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】设小张每分钟跳y下，则小王每分钟跳（y+40）下，题中有等量关系：小张跳80下所用的时间＝小王跳（80+30）下所用的时间，据此可列出方程． 【解答】解：设小张每分钟跳y下，则小王每分钟跳（y+40）下， ∵时间相等， ∴根据题意列分式方程得，， 故选：B． 【点评】本题考查了分式方程的应用．注意认真审题是前提，找出等量关系是关键． 26．（2026•陕西模拟）随着人工智能的快速发展，某快递站使用AI机器人分拣小型包裹，其效率是人工分拣的4倍，且AI机器人分拣3200件小型包裹比人工分拣1600件小型包裹少用2h，则人工每小时分拣小型包裹的数量为　400　 件． 【分析】设人工每小时分拣x件小型包裹，则AI机器人每小时分拣4x件小型包裹，根据时间差关系列分式方程求解，最后检验方程的解即可． 【解答】解：设人工每小时分拣x件小型包裹，则AI机器人每小时分拣4x件小型包裹． 根据题意得， ， 解得x＝400 经检验，x＝400是原分式方程的解，且符合实际意义， 故答案为：400． 【点评】本题考查了分式方程的应用，关键是根据题意找到关系式． 27．（2026•梅州模拟）某工厂计划生产1000个零件，而在实际生产时，每天比原计划多生产10个，结果提前5天完成，设实际每天生产零件x个，可得方程：　　 ． 【分析】根据工作效率的关系表示出原计划每天生产零件个数，再根据工作时间＝工作总量÷工作效率，分别得到原计划与实际完成任务所需时间，最后利用“实际比原计划提前5天完成”的等量关系列方程． 【解答】解：设实际每天生产零件x个，则原计划每天生产零件x﹣10个， 原计划完成所需时间为天，实际完成所需时间为天， 根据实际提前5天完成任务，列方程得． 故答案为：． 【点评】本题考查分式方程的应用，正确进行计算是解题关键． 28．（2025秋•南部县期末）春运期间，两列火车匀速行驶．一列200m长的客运火车完全通过一条长3800m的山体隧道和一列250m长的货运火车完全通过一座长1750m的跨河大桥所用时间恰好相等．当这列货运火车完全通过该山体隧道时，同一时间内客运火车行驶的路程为　8100m 【分析】根据两车完全通过各自隧道和大桥的时间相等，建立速度关系；再根据货运火车完全通过山体隧道的时间，计算同一时间内客运火车行驶的路程． 【解答】解：设客运火车速度为v1 m/s，货运火车速度为 v2 m/s， ∴3800+200＝4000（m），时间， 1750+250＝2000（m），时间， ∵时间相等，即t1＝t2， ∴根据题意列分式方程得，， ∴v1＝2v2， ∵v1≠0，v2≠0， ∴原方程有意义， 当货运火车完全通过山体隧道的路程为3800+250＝4050（m），时间为， ∴同一时间内，客运火车行驶的路程 ， 故答案为：8100m． 【点评】本题主要考查分式方程的运用，理解数量关系，正确列式求解是关键． 29．（2024秋•同步）一项工程，甲单独完成需要a天，乙单独完成需要b天． （1）甲的工作效率为 　　 ，乙的工作效率为 　　 ． （2）现在甲、乙两人合作8天完成了这项工程，则可以列出的等式为 　（）×8＝1　 ． （3）若甲先单独工作5天后，甲、乙两人又合作3天完成了这项工程，则可以列出的两等式为 　　 ． （4）若甲先单独工作5天后，乙又单独工作了2天，最后甲、乙两人合作2天终于完成了全部工程，则可以列出的等式为 　　 ． （5）若甲、乙两人合作m天完成了整个工程的一半，则可列的等式为 　　 ． （6）若乙单独工作c天，又与甲合作m天完成了整个工程的，则可列的等式为 　　 ． 【分析】（1）1除以甲单独做完成的天数，即为甲的工作效率；1除以乙单独做完成的天数，即为乙的工作效率； （2）根据等量关系：甲、乙合作8天完成了这项工程，列出方程即可； （3）根据等量关系：甲先单独工作5天后，甲、乙又合作3天完成了这项工程，列出方程即可； （4）根据等量关系：甲先单独工作5天后，乙又单独工作2天，最后甲、乙合作2天终于完成了全部工程，列出方程即可； （5）根据等量关系：甲、乙合作m天完成了整个工程的一半，列出方程即可； （6）根据等量关系：乙单独工作c天，又与甲合作m天完成了整个工程的，列出方程即可． 【解答】解：（1）甲的工作效率为，乙的工作效率为． （2）现在甲、乙合作8天完成了这项工程，则可以列出等式为（）×8＝1． （3）若甲先单独工作5天后，甲、乙又合作3天完成了这项工程，则可以列出等式为． （4）若甲先单独工作5天后，乙又单独工作2天，最后甲、乙合作2天终于完成了全部工程，则可以列出等式为． （5）若甲、乙合作m天完成了整个工程的一半，则可列等式为． （6）若乙单独工作c天，又与甲合作m天完成了整个工程的，则可列等式为． 故答案为：（1），；（2）（）×8＝1；（3）；（4）；（5）；（6）． 【点评】本题考查了分式方程的应用，注意仔细审题得到等量关系，要将任务量看作1进行计算，属于工程问题． 30．（2026•丽江模拟）2026年1月18日，锦辉•普洱健康城普洱思茅马拉松燃情开跑，11000名跑者满怀热爱踏上“重走茶马古道”的征程，开启一场融合生态之美、人文之韵与民族团结之力的奔跑盛宴．甲、乙两人参加全程40公里的比赛、两人同时出发，已知甲平均每小时跑的公里数是乙的1.2倍，最终甲比乙早1小时到达，求乙的平均速度． 【分析】设乙的平均速度为x公里/小时，则甲的平均速度为1.2x公里/小时，根据甲、乙两人参加全程40公里的比赛，甲比乙早1小时到达，列出分式方程，解方程即可． 【解答】解：设乙的平均速度为x公里/小时，则甲的平均速度为1.2x公里/小时， 由题意得：1， 解得：x， 经检验，x是原方程的解，且符合题意， 答：乙的平均速度为公里/小时． 【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 31．（2026•沙坪坝区模拟）列方程解下列问题： 为提高新质生产力，某机器人科技公司计划投入一笔资金对甲，乙两类生产线进行改造升级．经测算，改造1条甲类生产线比改造1条乙类生产线需多投入10万元，改造2条甲类生产线和3条乙类生产线共需投入120万元． （1）求该科技公司计划改造1条甲类，1条乙类生产线分别需投入多少万元？ （2）实际改造过程中，两类生产线的改造费用较测算均有所增加．改造1条甲类生产线增加的费用是改造1条乙类生产线增加的费用的3倍，180万元全部用于改造甲类生产线的数量和110万元全部用于改造乙类生产线的数量相同，求实际改造1条乙类生产线增加的费用是多少万元？ 【分析】（1）设计划改造1条甲类生产线需投入x万元，改造1条乙类生产线分别需投入y万元，根据改造1条甲类生产线比改造1条乙类生产线需多投入10万元，改造2条甲类生产线和3条乙类生产线共需投入120万元，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设实际改造1条乙类生产线增加的费用是m万元，则改造1条甲类生产线增加的费用是3m万元，根据180万元全部用于改造甲类生产线的数量和110万元全部用于改造乙类生产线的数量相同，列出分式方程，解分式方程即可． 【解答】解：（1）设计划改造1条甲类生产线需投入x万元，改造1条乙类生产线分别需投入y万元， 由题意得：， 解得：， 答：该科技公司计划改造1条甲类生产线需投入30万元，改造1条乙类生产线分别需投入20万元； （2）设实际改造1条乙类生产线增加的费用是m万元，则改造1条甲类生产线增加的费用是3m万元， 由题意得：， 解得：m＝2， 经检验，m＝2是原方程的解，且符合题意， 答：实际改造1条乙类生产线增加的费用是2万元． 【点评】本题考查了分式方程的应用、二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出分式方程． 32．（2026•临湘市模拟）为办好2026跨年音乐节无人机表演，计划租赁一批A型、B型无人机．已知单场租赁一架A型无人机的费用比一架B型无人机贵80元，且用7200元租赁A型无人机的数量与用4800元租赁B型无人机的数量相同． （1）设一架A型无人机单场租赁费用为x元，则用4800元租赁B型无人机的数量为　　 架（用含x的式子表示）； （2）求一架A型无人机和一架B型无人机的单场租赁费用分别是多少元？ 【分析】（1）先表示出一架B型无人机的单价，再用总金额除以单价等于数量表示即可； （2）根据题意列出分式方程，求出解，并检验得出答案． 【解答】解：（1）根据题意可知租赁一架B型无人机（x﹣80）元， ∴用4800元租赁B型无人机的数量为架， 故答案为：； （2）根据题意列分式方程得， ， 整理得，2400x＝576000， 解得x＝240， 经检验，x＝240是原方程的根， ∴x﹣80＝160， 所以一架A型无人机单场租赁费用为240元，一架B型无人机单场租赁费用为160元． 【点评】本题考查了分式方程的应用，关键是根据题意找到关系式． 【考点4】创新及压轴题（第33–36题） · 含参分式方程：利用增根或解的范围求参数。 · 方案设计问题：根据条件列方程或不等式。 · 注意分类讨论。 33．（2026春•南宁校级月考）已知某项工程，乙工程队单独完成所需天数是甲工程队单独完成所需天数的2倍．若甲工程队单独做10天后，再由乙工程队单独做15天，恰好完成该工程的，共需施工费用85万元，甲工程队每天的施工费用比乙工程队每天的施工费用多1万元． （1）单独完成此项工程，甲、乙两工程队各需要多少天？ （2）甲、乙两工程队每天的施工费用各为多少万元？ 【分析】（1）令此项工程中总工作量为1，根据“甲队工作量+乙队工作量＝1，列方程求解即可； （2）根据：甲队的总费用+乙队的总费用＝85”列方程求解可得． 【解答】解：（1）设甲工程队单独施工完成此项工程的天数为x天，乙工程队单独施工完成此项工程的天数为2x天，根据题意得： ， 解得：x＝25， 经检验：x＝25是原方程的根， 则2x＝25×2＝50（天）， 答：甲、乙两工程队各需要25天和50天； （2）设甲工程队每天的施工费为a万元，则乙工程队每天的施工费为（a﹣1）万元， 根据题意得：10a+15（a﹣1）＝85， 解得：a＝4， 则a﹣1＝3（万元）， 答：甲工程队每天的施工费为4万元，乙工程队每天的施工费为3万元． 【点评】本题考查分式方程、一元一次一次方程、一元一次不等式组的应用，分析题意，找到合适的等量关系，列出方程是解决问题的关键，注意分式方程要检验． 34．（2024秋•东坡区期末）要使关于x的方程的解是正数，求a的取值范围． 【分析】先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是正数”建立不等式求a的取值范围． 【解答】解：去分母，得（x+1）（x﹣1）﹣x（x+2）＝a，解得x 因为这个解是正数，所以0，即a＜﹣1． 又因为分式方程的分母不能为零，即1且2，所以a≠±3． 所以a的取值范围是a＜﹣1且a≠﹣3． 【点评】由于我们的目的是求a的取值范围，根据方程的解列出关于a的不等式．另外，解答本题时，易漏掉分母不等于0这个隐含的条件，这应引起足够重视． 35．（2024秋•海拉尔区期末）人工智能是研究用计算机来模拟人的某些思维过程和智能行为（如学习、推理、思考、规划等）的学科，主要包括计算机实现智能的原理、制造类似于人脑智能的计算机，使计算机能实现更高层次的应用.2020数字中国创新大赛﹣中小学生赛道，决赛是用电脑程序控制智能赛车进行30米比赛，“天元号”和“朝阳号”两辆赛车在第一轮比赛时，两辆赛车从起点同时出发，当“天元号”到达终点时，“朝阳号”才行驶到全程的，“天元号”比“朝阳号”每秒多行0.8米． （1）求“朝阳号”的行驶速度； （2）如果将“天元号”的行驶路程增加，“朝阳号”的行驶路程不变，两辆赛车再次重新比赛，两车能同时到达吗？通过计算说明； （3）若按照（2）中的路程行驶，请你调整其中一辆赛车的行驶速度，使两车能同时到达终点． 【分析】（1）设“朝阳号”的平均速度为x米/秒，则“天元号”的平均速度为（x+0.8）米/秒，根据“朝阳号”运动24与“天元号”运动30米所用时间相等，可得方程，解出即可； （2）求出“天元号”和“朝阳号”到达终点所用的时间，比较即可； （3）设调整后“天元号”的平均速度为y，根据时间相等，得出方程求解即可． 【解答】解：（1）设“朝阳号”的平均速度为x米/秒，则“天元号”的平均速度为（x+0.8）米/秒， 由题意得， 解得：x＝3.2， 经检验x＝3.2是原方程的解． 答：“朝阳号”的行驶速度是3.2米/秒； （2）不能同时到达． 设调整后“天元号”的行驶路程为30×（1）＝36（米）， “天元号”到达终点所用的时间为9（秒）， “朝阳号”到达终点所用的时间为9.375（秒）， ∴两车不能同时到达； （3）设调整后“天元号”的平均速度为y米/秒， ， 解得：y＝3.84． 答：调整后“天元号”的平均速度为3.84米/秒可使两车能同时到达终点． 【点评】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是仔细审题，找到等量关系，建立方程． 36．（2024秋•厦门期末）甲、乙两商场自行定价销售某一商品． （1）甲商场将该商品提价15%后的售价为1.15元，则该商品在甲商场的原价为　1　 元； （2）乙商场将该商品提价20%后，用6元钱购买该商品的件数比没提价前少买1件，求该商品在乙商场的原价是多少？ （3）甲、乙两商场把该商品均按原价进行了两次价格调整． 甲商场：第一次提价的百分率是a，第二次提价的百分率是b； 乙商场：两次提价的百分率都是（a＞0，b＞0，a≠b）． 请问甲、乙两商场，哪个商场的提价较多？请说明理由． 【分析】（1）灵活利用利润公式：售价﹣进价＝利润，直接填空即可； （2）设该商品在乙商场的原价为x元，根据提价20%后，用6元钱购买该商品的件数比没提价前少买1件，即可列方程求解． （3）假设原价均为1元，分别求出甲、乙两商场提价后的代数式，比较大小即可求解． 【解答】解：（1）1.15÷（1+15%）＝1（元）； （2）设该商品在乙商场的原价为x元，则 ， 解得x＝1． 经检验：x＝1满足方程，符合实际． 答：该商品在乙商场的原价为1元． （3）假设原价均为1元，则 甲商场两次提价后的价格为：（1+a）（1+b）＝1+a+b+ab． 乙商场两次提价后的价格为：（1． ∵． ∴乙商场两次提价后价格较多． 【点评】此类题目贴近生活，有利于培养学生应用数学解决生活中实际问题的能力．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 随堂检测 · 精选练习 · 练习1： 列分式方程 · 练习2： 解分式方程求参数 · 练习3： 列分式方程 · 练习4： 行程问题列方程 · 练习5： 工程问题列方程 37．小星和小红到距离新蒲30km的遵义会议纪念馆参观，小星乘燃油车先出发，10min后，小红乘新能源车出发，结果他们同时到达．已知新能源车的平均速度是燃油车平均速度的1.3倍，设燃油车的平均速度为xkm/h，则下方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题意，小星先出发10min，同时到达，故小星所用时间比小红多10min（即小时），利用，列出时间差方程即可． 【解答】解：由题意得： ，即， 故选：C． 【点评】本题考查了列分式方程，解题的关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程． 38．（2025春•单元）若分式与的值互为相反数，则x＝（　　） A．﹣2.4 B． C．﹣8 D．2.4 【分析】如果两数互为相反数，那么两数之和为0．根据题意得，方程两边都乘最简公分母，可把分式方程转化为整式方程求解． 【解答】解：根据题意得 方程两边都乘（5﹣x）（2﹣3x）， 得2﹣3x+2（5﹣x）＝0， 解得x＝2.4， 经检验x＝2.4是原方程的解．故选D 【点评】（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，方程两边都乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程求解． （2）解分式方程一定要注意代入最简公分母验根． 39．（2026春•同步）一种药品有两种大小的包装，每个大瓶比每个小瓶多装20克药品．已知120克药品单独装满小瓶的瓶数是单独装满大瓶的瓶数的1.5倍．设每个小瓶可装药品x克，根据题意列方程为　1.5　 ． 【分析】设每个小瓶可装药品x克，则每个大瓶可装药品（x+20）克，根据“120克药品单独装满小瓶的瓶数是单独装满大瓶的瓶数的1.5倍”列出方程即可． 【解答】解：由题意，得1.5． 故答案为：1.5． 【点评】本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 40．甲、乙两人进行100m赛跑，甲的速度为xm/s，乙比甲每秒快2m，结果乙比甲快3s，可以列出方程：　3　 【分析】根据“甲、乙两人的行走相同的路程需要的时间差为3s”列出方程并解答． 【解答】解：设甲的速度为xm/s，则乙的速度是（x+2）m/s， 依题意得：3． 故答案为：3． 【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 41．（2026•盐湖区一模）为落实乡村快递配送，某物流园分别投入A型无人配送车与B型无人配送车承担快递转运任务．已知A型无人车运送720件快递所用的时间与B型无人车运送480件快递所用的时间相等，且A型无人车每小时比B型无人车多运送15件．求A型无人配送车每小时可运送多少件快递． 【分析】根据“A型无人车运送720件快递所用的时间与B型无人车运送480件快递所用的时间相等”这一等量关系，列出分式方程求解，最后检验方程的根是否符合题意． 【解答】解：设A型无人配送车每小时可运送x件快递， 由题意列分式方程得，， 整理得，240x＝10800， 解得x＝45， 经检验，x＝45是所列方程的根． 答：A型无人配送车每小时可运送45件快递． 【点评】本题考查了分式方程的应用，关键是根据题意找到关系式． 课后巩固 · 针对性练习 · 作业1： 行程问题列方程 · 作业2： 工程问题列方程 · 作业3： 修路问题 · 作业4： 购买问题 · 作业5： 列车提速问题 · 作业6： 合作工程 · 作业7： 图形铺砖 · 作业8： 分式计算与方程 · 作业9： 配套与工程 · 作业10： 销售问题 ❤复习建议 熟练掌握解分式方程的步骤： 去分母、解整式方程、检验，缺一不可。 重视增根问题： 增根是使最简公分母为0的根，含参问题常考。 应用题建模是关键： 仔细审题，找出等量关系，设未知数，列方程，注意单位统一。 常见模型要熟悉： 工程问题、行程问题、销售问题等，掌握基本关系式。 检验要双重： 既要检验是否为增根，也要检验是否符合实际意义。 42．（2025•辽阳）九年级（1）班学生周末从学校出发到某实践基地研学旅行，实践基地距学校150千米，一部分学生乘慢车先行，出发30分钟后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达实践基地，已知快车的速度是慢车速度的1.2倍，如果设慢车的速度为x千米/时，根据题意列方程得（　　） A．30 B．30 C． D． 【分析】设慢车的速度为x千米/小时，则快车的速度为1.2x千米/小时，根据题意可得走过150千米，快车比慢车少用小时，列方程即可． 【解答】解：设慢车的速度为x千米/小时，则快车的速度为1.2x千米/小时， 根据题意可得：． 故选：C． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列方程． 43．（2025春•岳麓区校级月考）某中学计划在校园内栽72棵木兰树，开工后每天比原计划少栽2棵，结果推迟3天完成任务，问原计划每天栽多少棵？设原计划每天栽x棵，那么下列方程正确的是（　　） A．3 B．3 C．3 D．3 【分析】设原计划每天栽x棵，实际每天栽（x﹣2）课，根据实际比计划推迟3天完成任务，列方程即可． 【解答】解：设原计划每天栽x棵，实际每天栽（x﹣2）天， 由题意得3． 故选：C． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程． 44．（2025•漯河一模）为有效落实党中央“精准扶贫”战略决策，某市对农村实施“户户通”修路计划，已知该市计划在某村修路5000m，在修了1000m后，由于引入新技术，工作效率提高到原来的1.2倍，结果提前5天完成了任务，若设原来每天修路xm，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【分析】本题首先依题意可知等量关系为：原计划工作时间﹣5＝实际工作时间，根据等量关系列出方程． 【解答】解：设原来每天修路xm， 根据题意，得． 故选：D． 【点评】考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 45．（2025•本溪）为推进垃圾分类，推动绿色发展．某化工厂要购进甲、乙两种型号机器人用来进行垃圾分类．用360万元购买甲型机器人和用480万元购买乙型机器人的台数相同，两种型号机器人的单价和为140万元．若设甲型机器人每台x万元，根据题意，所列方程正确的是（　　） A． B． C．140 D．140 【分析】设甲种型号机器人每台的价格是x万元，根据“用360万元购买甲型机器人和用480万元购买乙型机器人的台数相同”，列出关于x的分式方程． 【解答】解：设甲型机器人每台x万元，根据题意，可得：， 故选：A． 【点评】本题考查了分式方程的应用，解题的关键正确找出等量关系，列出分式方程． 46．列车中途受阻，停车10分钟，再启动后速度提高到原来的1.5倍，这样行驶了20km，正好将耽误的时间补上，则列车原来的速度是　40　 千米/小时． 【分析】关键描述语为：“行驶了20km，正好将耽误的时间补上”；等量关系为：原计划20km行驶时间﹣提速后20km行驶时间＝10分钟．基本等量关系是：时间． 【解答】解：设列车原来的速度是x千米/小时．依题意列方程： ， 解方程得x＝40． 经检验，x＝40符合题意． 答：列车原来的速度是40千米/小时． 【点评】分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 47．甲乙两班学生绿化校园．如果两班合作6天可以完工，如果单独工作，甲班比乙班少用5天．两班单独工作各要多少天完成？若设甲班单独工作要x天完成，则根据题意列方程是　　 ． 【分析】要求的未知量是工作效率，有工作时间，一定是根据工作总量来列等量关系的．关键描述语是：“两班合作6天可以完工”；等量关系为：甲6天的工作量+乙6天的工作量＝1． 【解答】解：甲6天的工作量为：，乙6天的工作量为：．所列方程为：． 【点评】题中一般有三个量，已知一个量，求一个量，一定是根据另一个量来列等量关系的．找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键． 48．李师傅要给一块长9米、宽7米的长方形地面铺瓷砖，如图，现有A和B两种款式的瓷砖，且A款正方形瓷砖的边长与B款长方形瓷砖的长相等，B款瓷砖的长大于宽，李师傅打算按如图设计图的规律铺瓷砖，若A款瓷砖的用量比B款瓷砖的2倍少14块，且恰好铺满地面，则B款瓷砖的长为 　1　 米，宽为 　或　 米． 【分析】设A款瓷砖边长为a米，B款瓷砖长为a米、宽为b米，根据A款瓷砖的用量比B款瓷砖的2倍少14块，列出分式方程，解方程，即可解决问题． 【解答】解：设A款瓷砖边长为a米，B款瓷砖长为a米、宽为b米， 由题意得：22（1）14， 整理得：14＝0， 解得：a＝1， 经检验，a＝1是原方程的解，且符合题意， 由题意可知，是正整数， 设k（k为正整数）， 解得：b， 当k＝1时，b（1，不符合题意，舍去）； 当k＝2时，b（1，不符合题意，舍去）； 当k＝3时，b； 当k＝4时，b； 故答案为：1，或． 【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 49．（2026春•济南月考）（1）计算：； （2）解方程：． 【分析】（1）根据分式的加减法运算即可； （2）根据解分式方程的步骤解答即可． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原方程去分母可得： 1﹣x+2（x﹣2）＝1， 1﹣x+2x﹣4＝1， 解得x＝4， 经检验，x＝4是原方程的解， ∴原方程的解为x＝4． 【点评】本题考查了解分式方程，熟练掌握该知识点是关键． 50．（2026•沙坪坝区校级模拟）某工厂为准备六一儿童节，组织工人制作飞机模型玩具．已知一个飞机模型由一个机身和两个机翼构成，用1块材料板可做40个机身或90个机翼． （1）现有340块材料板，用多少块做机身，多少块做机翼才能使机身与机翼恰好配套？ （2）在（1）问的条件下，现由工人分组加工制作这批飞机模型，制作到刚好一半时，工厂又调配了一些工人加入制作，结果每天制作的飞机模型比原来多了20%，最后提前3天完成．请问原计划每天制作多少个飞机模型？ 【分析】（1）设用x块材料做机身，则用（340﹣x）块做机翼，根据机翼总量是机身总量的2倍列出方程，解方程即可； （2）设原计划每天制作y个飞机模型，则提速后每天制作（1+20%）y＝1.2y（个），根据前一半任务所用时间+后一半任务所用时间＝原先完成任务所用时间+3列出方程，解方程即可． 【解答】解：（1）设用x块材料做机身，则用（340﹣x）块做机翼， 根据题意得：2×40＝90（340﹣x）， 解得：x＝180， 此时340﹣180＝160（块）， 答：用180块材料做机身，则用160块做机翼恰好配套； （2）设原计划每天制作y个飞机模型，则提速后每天制作（1+20%）y＝1.2y（个）， 制作飞机模型总数：40×180＝7200（个）， 根据题意得：3， 整理得：3， 解得y＝200， 经检验，y＝200是与原方程的根， 答：原计划每天制作200个飞机模型． 【点评】本题考查一元一次方程和分式方程的应用，关键是找到等量关系列出方程． 51．（2025•扬州校级一模）某服装店购进一批甲、乙两种款型时尚T恤衫，甲种款型共用了7800元，乙种款型共用了6400元，甲种款型的件数是乙种款型件数的1.5倍，甲种款型每件的进价比乙种款型每件的进价少30元，求甲、乙两种款型的T恤衫各购进多少件？ 【分析】设乙种款型的T恤衫购进x件，则甲种款型的T恤衫购进1.5x件，根据甲种款型每件的进价比乙种款型每件的进价少30元，列出方程即可求解； 【解答】解：设乙种购进x件，则甲种购进1.5x件， 根据题意，得：30， 解得：x＝40， 经检验x＝40是所列分式方程的解， 1.5x＝60， 答：甲种购进60件，乙种购进40件． 【点评】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系，并据此列出方程求解． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13.3 分式方程（知识精讲+典例+创新题+练习） 高效提优讲义 七年级数学新教材沪教版五四制 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 理解分式方程的定义，能识别分式方程。 · 掌握解分式方程的一般步骤，会检验增根。 · 能列分式方程解决实际问题，掌握建模思想。 · 理解分式方程应用中的常见模型（工程、行程、销售等）。 · 能处理含参数的分式方程及创新综合题，提升数学素养。 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 1. 分式方程的定义 定义： 分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 · 分式方程与整式方程的区别在于分母是否含有未知数。 · 解分式方程的基本思想是将分式方程转化为整式方程（去分母）。 ☑ 典型例题 1 题目： 下列方程中，是分式方程的是（ ） A. B. C. D. 解析： 分母中含有未知数的是分式方程。A、B、D的分母不含未知数，C中分母含 。 答案： C ☆ 2. 解分式方程的一般步骤 1. 去分母： 方程两边同乘最简公分母，化为整式方程。 1. 解整式方程： 按整式方程的解法求解。 1. 检验： 将整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母不为0，则是原方程的解；若为0，则是增根，舍去。 · 增根是使最简公分母为0的根，但不是原方程的根。 · 解分式方程必须检验。 ☑ 典型例题 2 题目： 解方程 。 解析： 去分母，得 ，解得 。检验：当 时，，所以 是原方程的解。 答案： ☆ 3. 增根 定义： 在解分式方程时，去分母后所得的整式方程的解，若使最简公分母为0，则这个解称为原分式方程的增根。 · 增根不是原方程的解，必须舍去。 · 产生增根的原因：去分母时方程两边同乘了可能为0的整式。 · 含参分式方程中，常利用增根求参数值。 ☑ 典型例题 3 题目： 若关于 的方程 有增根，则 的值为（ ） A. B. C. D. 解析： 最简公分母为 ，增根为 或 。去分母得 ，分别代入增根，当 时，，；当 时，，（不在选项中）。故选A。 答案： A ☆ 4. 列分式方程解应用题的一般步骤 · 审题：弄清题意，找出等量关系。 · 设未知数：用字母表示未知量。 · 列方程：根据等量关系列出分式方程。 · 解方程：解分式方程并检验（包括增根和实际意义）。 · 答：写出答案。 ☑ 典型例题 4 题目： 甲、乙两人做某种机器零件，已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与乙做60个所用的时间相等，求甲、乙每小时各做多少个？ 解析： 设甲每小时做 个，则乙每小时做 个。由题意得 ，解得 ，经检验是原方程的解，且符合实际。则乙每小时做12个。 答案： 甲18个/小时，乙12个/小时。 ☆ 5. 常见应用模型 · 工程问题： 工作量 = 工作效率 × 工作时间，常把总工作量看作1。 · 行程问题： 路程 = 速度 × 时间。 · 销售利润问题： 单价、数量、总价关系。 · 浓度问题、配套问题等。 ☑ 典型例题 5 题目： 一项工程，甲队单独做需30天完成，乙队单独做需20天完成。若两队合作，多少天可以完成？ 解析： 设两队合作 天完成，则 ，解得 。经检验符合题意。 答案： 12天。 ☆ 知识总结表 核心概念 要点 注意事项 分式方程 分母含未知数的方程 区别于整式方程 解分式方程 去分母 → 整式方程 → 检验 必须检验，防止增根 增根 使最简公分母为0的根 舍去，不是原方程的解 列分式方程 找等量关系，列方程 检验根的实际意义 工程问题 工作量=效率×时间 总工作量常为1 行程问题 路程=速度×时间 注意单位统一 核心考点 ·4大典型考点精讲 【考点1】解分式方程（第1–8题） · 去分母时，每一项都要乘以最简公分母。 · 解整式方程后必须检验。 · 注意符号和变号。 1．（2026•南岗区校级一模）分式方程的解为（　　） A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝2 D．x＝﹣2 2．（2025秋•平江县期末）解分式方程，去分母得（　　） A．x﹣2﹣1＝﹣1.5 B．2﹣x﹣1＝1.5 C．x﹣2﹣（1﹣2x）＝1.5 D．x﹣2﹣（2x﹣1）＝﹣1.5 3．（2026•柯城区一模）解方程时，在方程的两边同乘以（x﹣3），得（　　） A．2x﹣2＝2x﹣1 B．2x﹣2（x﹣3）＝﹣（2x﹣1） C．2x﹣2＝﹣（2x﹣1） D．2x﹣2（x﹣3）＝2x﹣1 4．（2025秋•广汉市校级期末）小明在纸上书写了一个正确的演算过程，同桌小亮一不小心撕坏了一角，如图所示，则撕坏的一角中“■”为（　　） A． B． C． D． 5．（2026春•泉州期中）若与互为相反数，则x＝　 　 ． 6．（2025•雨花区校级开学）解方程：，x＝　 　 ． 7．（2024秋•宝山区期末）通过教材中分式单元的阅读材料，我们知道了一个分式可以写成几个分式的和，如：． 观察下列解方程的过程：． ． ． 在上述的解方程过程中，应用了，使解方程的过程变得简捷． 类似地，解方程， 这个方程的解是x＝ 　 　 ． 8．（2026春•泰州校级月考）解分式方程： （1）； （2）． 【考点2】实际问题抽象出的分式方程（第9–21题） · 仔细审题，找出等量关系。 · 设未知数时注意单位统一。 · 列出方程后检查是否符合题意。 9．（2025秋•永定区期末）随着人民生活质量的提高，全民健身运动深入人心，马拉松运动成为众多运动爱好者的选择．在一次马拉松比赛中，某时刻，甲落后乙40米，已知乙的平均配速为2.6米/秒．如果甲想再跑300米刚好追上乙，则甲接下来的平均配速为多少米/秒？设甲接下来的平均配速为x米/秒，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 10．（2026•惠州一模）由于平台优化派单算法及改善交通工具，某外卖小哥现在每小时比原来可多送3件外卖，送40件的时间比原来少用了3小时．设原来平均每小时送x件外卖，依题意，可列方程为（　　） A． B． C． D． 11．（2026春•沙坪坝区校级期中）小阳与小红两人周末去广阳岛骑行，小阳的速度是小红速度的1.2倍，两人各自骑行了10km，小阳骑行时间比小红少用了0.1h．设小红的骑行速度为xkm/h，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 12．（2025秋•西丰县期末）已知甲做300个零件与乙做420个零件所用的时间相同，若两人一天共做120个零件，设甲一天做x个零件，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 13．（2026•法库县一模）岩石会“说话”，山川有“韵律”，大自然中蕴涵着无尽的秘密，吸引着热爱研学的重庆一中的师生们走进其中一探究竟．甲、乙两同学分别从距离活动地点12千米和5千米的两地同时出发参加活动，甲同学的速度是乙同学速度的1.5倍，乙同学比甲同学提前4分钟达到活动地点．若假设乙同学的速度是x千米/小时，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 14．（2026•广州模拟）某快递公司引进智能机器人进行包裹分拣，一台智能机器人每小时分拣包裹的数量是一个工人平均分拣数量的40倍．已知分拣8000件同样的包裹，一台智能机器人所用时间比20个工人同时分拣所用时间还要少40分钟，设一个工人平均每小时分拣x个包裹，根据题意可列方程（　　） A． B． C． D． 15．（2026•泉港区一模）《百骏图》是中国十大传世名画之一，是意大利籍清代宫廷画家郎世宁的作品，其图共绘有100匹骏马，姿势各异，或立、或奔、或跪、或卧，可谓曲尽骏马之态．如图，已知局部临摹画面装裱前是一个长为2.8m，宽为0.9m的矩形，装裱后的长与宽的比是7：3，且四周边衬的宽度相等．设边衬的宽度为xm，根据题意可列方程（　　） A． B． C． D． 16．（2026•松江区二模）小明准备去距离学校10千米的博物馆，已知汽车的速度比骑自行车的速度快30千米/小时，乘汽车去比骑自行车去可以早小时到达．设骑自行车的速度为x千米/小时，可列方程为　 　 ． 17．（2026•阳谷县校级模拟）一项工程，甲队独做提前2天完成，乙队独做要延期5天，现在两队合作3天后，余下的由乙队独做，正好如期完工，设工程期限为x天，可列方程 　 　 ． 18．（2025春•开福区校级期末）为美化校园，学校安排甲、乙两人种植麦冬草，已知两人每小时共种植40株麦冬草，且甲种植50株麦冬草所用时间是乙种植15株麦冬草所用时间的2倍，求甲、乙两人每小时各种植多少株麦冬草？设甲每小时种植x株麦冬草，则可得方程 　 　 ． 19．（2024秋•海港区期末）某船往返于某段河流，顺流航行66千米与逆流航行60千米用时相同，已知水流速度为每小时1千米．设船的静水速度是每小时x千米，根据题意，可得方程为　 　 ． 20．（2026•玉溪一模）“人间烟火味，最抚凡人心”，玉溪城区、夜市、景区的个体商户是市民就业增收的重要渠道．某商户购进了玉溪花腰傣文创玩具和澄江化石文创玩具两种特色文创产品．已知用600元购进花腰傣文创玩具的数量比用300元购进澄江化石文创玩具的数量多10个，且花腰傣文创玩具单价是澄江化石文创玩具单价的1.5倍．求两种文创玩具的单价各是多少元？ 根据以上信息，解答下列问题： （1）甲同学设澄江化石文创玩具的单价为x元，可列方程为　 　 ； 乙同学设花腰傣文创玩具的数量为y个，可列方程为　 　 ． （2）请帮助甲同学完成剩下的解题过程． 21．根据题意列出方程，并将列出的方程进行分类． （1）小彬的储钱罐内有12元零钱，以后平均每天他都能将节省下来的1.5元放入储钱罐，大约几天后小彬的储钱罐内有30元？如果设x天后储钱罐内有30元，那么可以得到的方程是 　 　 ． （2）父亲和儿子的年龄之和是50，父亲的年龄比儿子的年龄大28岁，求儿子的年龄． （3）A种饮料比B种饮料的单价少1元，小峰买了2瓶A种饮料和3瓶B种饮料，一共花了13元，求B种饮料的单价． （4）某校今年七年级新生入学人数为440人，比去年入学的新生人数增加了37.5%．你知道去年该校七年级新生有多少人吗？ （5）公元前1700年的古埃及纸草书中，记载着一个数学问题：“它的全部，加上它的，其和等于19．”试求此问题中“它”的值． （6）甲、乙两人做某种机器零件．已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与乙做60个所用的时间相等，求甲、乙每小时各做多少个．设甲每小时做x个零件，根据题意得方程 　 　 ． 上述列出的方程中，　 　 是一元一次方程． 【考点3】分式方程的应用（第22–32题） · 工程问题：将工作量设为1。 · 行程问题：利用路程、速度、时间关系。 · 销售问题：单价×数量=总价。 · 解方程后要检验是否符合实际。 22．（2026•环翠区一模）近年来，威海市积极推进无人机等低空装备警务化应用，广泛运用于案件侦查、治安巡逻、活动安保等领域，成效显著．从幸福门出发经环海路到火炬八街，警车治安巡逻需行驶约25公里，无人机空中巡逻航线约20公里，且无人机完成单向巡逻的时间比警车缩短了30分钟．若该无人机的平均速度是警车平均速度的2倍，则无人机的平均速度为（　　） A．60km/h B．64km/h C．70km/h D．72km/h 23．（2026•菏泽一模）斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度．如图，某路口的斑马线路段A﹣B﹣C横穿双向行驶车道，其中AB＝BC＝12米，在绿灯亮时，小敏共用22秒通过AC路段，其中通过BC路段的速度是通过AB路段速度的1.2倍，则小敏通过BC路段时的速度是（　　） A．1.5米/秒 B．1米/秒 C．1.2米/秒 D．2米/秒 24．（2026春•虹口区校级月考）某河的水流速度为每小时2千米，A，B两地相距36千米，一动力橡皮船从A地出发，逆流而上去B地，出航1小时，机器发生故障，橡皮船随水向下漂流，30分钟后机器修复，继续向B地开去，但船速比修复前每小时慢了1千米，到达B地比预定时间迟了54分钟，则橡皮船在静水中起初的速度为（　　）千米/时． A．11 B．12 C．13 D．14 25．（2025秋•重庆校级期末）在延时体育活动跳绳时，相同时间内小张跳80下，小王比小张多跳30下．已知小王每分钟比小张多跳40下，设小张每分钟跳y下，下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 26．（2026•陕西模拟）随着人工智能的快速发展，某快递站使用AI机器人分拣小型包裹，其效率是人工分拣的4倍，且AI机器人分拣3200件小型包裹比人工分拣1600件小型包裹少用2h，则人工每小时分拣小型包裹的数量为　 　 件． 27．（2026•梅州模拟）某工厂计划生产1000个零件，而在实际生产时，每天比原计划多生产10个，结果提前5天完成，设实际每天生产零件x个，可得方程：　 　 ． 28．（2025秋•南部县期末）春运期间，两列火车匀速行驶．一列200m长的客运火车完全通过一条长3800m的山体隧道和一列250m长的货运火车完全通过一座长1750m的跨河大桥所用时间恰好相等．当这列货运火车完全通过该山体隧道时，同一时间内客运火车行驶的路程为　 　 29．（2024秋•同步）一项工程，甲单独完成需要a天，乙单独完成需要b天． （1）甲的工作效率为 　 　 ，乙的工作效率为 　 　 ． （2）现在甲、乙两人合作8天完成了这项工程，则可以列出的等式为 　 　 ． （3）若甲先单独工作5天后，甲、乙两人又合作3天完成了这项工程，则可以列出的两等式为 　 　 ． （4）若甲先单独工作5天后，乙又单独工作了2天，最后甲、乙两人合作2天终于完成了全部工程，则可以列出的等式为 　 　 ． （5）若甲、乙两人合作m天完成了整个工程的一半，则可列的等式为 　 　 ． （6）若乙单独工作c天，又与甲合作m天完成了整个工程的，则可列的等式为 　 　 ． 30．（2026•丽江模拟）2026年1月18日，锦辉•普洱健康城普洱思茅马拉松燃情开跑，11000名跑者满怀热爱踏上“重走茶马古道”的征程，开启一场融合生态之美、人文之韵与民族团结之力的奔跑盛宴．甲、乙两人参加全程40公里的比赛、两人同时出发，已知甲平均每小时跑的公里数是乙的1.2倍，最终甲比乙早1小时到达，求乙的平均速度． 31．（2026•沙坪坝区模拟）列方程解下列问题： 为提高新质生产力，某机器人科技公司计划投入一笔资金对甲，乙两类生产线进行改造升级．经测算，改造1条甲类生产线比改造1条乙类生产线需多投入10万元，改造2条甲类生产线和3条乙类生产线共需投入120万元． （1）求该科技公司计划改造1条甲类，1条乙类生产线分别需投入多少万元？ （2）实际改造过程中，两类生产线的改造费用较测算均有所增加．改造1条甲类生产线增加的费用是改造1条乙类生产线增加的费用的3倍，180万元全部用于改造甲类生产线的数量和110万元全部用于改造乙类生产线的数量相同，求实际改造1条乙类生产线增加的费用是多少万元？ 32．（2026•临湘市模拟）为办好2026跨年音乐节无人机表演，计划租赁一批A型、B型无人机．已知单场租赁一架A型无人机的费用比一架B型无人机贵80元，且用7200元租赁A型无人机的数量与用4800元租赁B型无人机的数量相同． （1）设一架A型无人机单场租赁费用为x元，则用4800元租赁B型无人机的数量为　 　 架（用含x的式子表示）； （2）求一架A型无人机和一架B型无人机的单场租赁费用分别是多少元？ 【考点4】创新及压轴题（第33–36题） · 含参分式方程：利用增根或解的范围求参数。 · 方案设计问题：根据条件列方程或不等式。 · 注意分类讨论。 33．（2026春•南宁校级月考）已知某项工程，乙工程队单独完成所需天数是甲工程队单独完成所需天数的2倍．若甲工程队单独做10天后，再由乙工程队单独做15天，恰好完成该工程的，共需施工费用85万元，甲工程队每天的施工费用比乙工程队每天的施工费用多1万元． （1）单独完成此项工程，甲、乙两工程队各需要多少天？ （2）甲、乙两工程队每天的施工费用各为多少万元？ 34．（2024秋•东坡区期末）要使关于x的方程的解是正数，求a的取值范围． 35．（2024秋•海拉尔区期末）人工智能是研究用计算机来模拟人的某些思维过程和智能行为（如学习、推理、思考、规划等）的学科，主要包括计算机实现智能的原理、制造类似于人脑智能的计算机，使计算机能实现更高层次的应用.2020数字中国创新大赛﹣中小学生赛道，决赛是用电脑程序控制智能赛车进行30米比赛，“天元号”和“朝阳号”两辆赛车在第一轮比赛时，两辆赛车从起点同时出发，当“天元号”到达终点时，“朝阳号”才行驶到全程的，“天元号”比“朝阳号”每秒多行0.8米． （1）求“朝阳号”的行驶速度； （2）如果将“天元号”的行驶路程增加，“朝阳号”的行驶路程不变，两辆赛车再次重新比赛，两车能同时到达吗？通过计算说明； （3）若按照（2）中的路程行驶，请你调整其中一辆赛车的行驶速度，使两车能同时到达终点． 36．（2024秋•厦门期末）甲、乙两商场自行定价销售某一商品． （1）甲商场将该商品提价15%后的售价为1.15元，则该商品在甲商场的原价为　 　 元； （2）乙商场将该商品提价20%后，用6元钱购买该商品的件数比没提价前少买1件，求该商品在乙商场的原价是多少？ （3）甲、乙两商场把该商品均按原价进行了两次价格调整． 甲商场：第一次提价的百分率是a，第二次提价的百分率是b； 乙商场：两次提价的百分率都是（a＞0，b＞0，a≠b）． 请问甲、乙两商场，哪个商场的提价较多？请说明理由． 随堂检测 · 精选练习 · 练习1： 列分式方程 · 练习2： 解分式方程求参数 · 练习3： 列分式方程 · 练习4： 行程问题列方程 · 练习5： 工程问题列方程 【练习1】小星和小红到距离新蒲30km的遵义会议纪念馆参观，小星乘燃油车先出发，10min后，小红乘新能源车出发，结果他们同时到达．已知新能源车的平均速度是燃油车平均速度的1.3倍，设燃油车的平均速度为xkm/h，则下方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【练习2】（2025春•单元）若分式与的值互为相反数，则x＝（　　） A．﹣2.4 B． C．﹣8 D．2.4 【练习3】（2026春•同步）一种药品有两种大小的包装，每个大瓶比每个小瓶多装20克药品．已知120克药品单独装满小瓶的瓶数是单独装满大瓶的瓶数的1.5倍．设每个小瓶可装药品x克，根据题意列方程为　 　 ． 【练习4】甲、乙两人进行100m赛跑，甲的速度为xm/s，乙比甲每秒快2m，结果乙比甲快3s，可以列出方程：　 　 【练习5】（2026•盐湖区一模）为落实乡村快递配送，某物流园分别投入A型无人配送车与B型无人配送车承担快递转运任务．已知A型无人车运送720件快递所用的时间与B型无人车运送480件快递所用的时间相等，且A型无人车每小时比B型无人车多运送15件．求A型无人配送车每小时可运送多少件快递． 课后巩固 · 针对性练习 · 作业1： 行程问题列方程 · 作业2： 工程问题列方程 · 作业3： 修路问题 · 作业4： 购买问题 · 作业5： 列车提速问题 · 作业6： 合作工程 · 作业7： 图形铺砖 · 作业8： 分式计算与方程 · 作业9： 配套与工程 · 作业10： 销售问题 ❤复习建议 熟练掌握解分式方程的步骤： 去分母、解整式方程、检验，缺一不可。 重视增根问题： 增根是使最简公分母为0的根，含参问题常考。 应用题建模是关键： 仔细审题，找出等量关系，设未知数，列方程，注意单位统一。 常见模型要熟悉： 工程问题、行程问题、销售问题等，掌握基本关系式。 检验要双重： 既要检验是否为增根，也要检验是否符合实际意义。 【作业1】（2025•辽阳）九年级（1）班学生周末从学校出发到某实践基地研学旅行，实践基地距学校150千米，一部分学生乘慢车先行，出发30分钟后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达实践基地，已知快车的速度是慢车速度的1.2倍，如果设慢车的速度为x千米/时，根据题意列方程得（　　） A．30 B．30 C． D． 【作业2】（2025春•岳麓区校级月考）某中学计划在校园内栽72棵木兰树，开工后每天比原计划少栽2棵，结果推迟3天完成任务，问原计划每天栽多少棵？设原计划每天栽x棵，那么下列方程正确的是（　　） A．3 B．3 C．3 D．3 【作业3】（2025•漯河一模）为有效落实党中央“精准扶贫”战略决策，某市对农村实施“户户通”修路计划，已知该市计划在某村修路5000m，在修了1000m后，由于引入新技术，工作效率提高到原来的1.2倍，结果提前5天完成了任务，若设原来每天修路xm，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【作业4】（2025•本溪）为推进垃圾分类，推动绿色发展．某化工厂要购进甲、乙两种型号机器人用来进行垃圾分类．用360万元购买甲型机器人和用480万元购买乙型机器人的台数相同，两种型号机器人的单价和为140万元．若设甲型机器人每台x万元，根据题意，所列方程正确的是（　　） A． B． C．140 D．140 【作业5】列车中途受阻，停车10分钟，再启动后速度提高到原来的1.5倍，这样行驶了20km，正好将耽误的时间补上，则列车原来的速度是　 　 千米/小时． 【作业6】甲乙两班学生绿化校园．如果两班合作6天可以完工，如果单独工作，甲班比乙班少用5天．两班单独工作各要多少天完成？若设甲班单独工作要x天完成，则根据题意列方程是　 　 ． 【作业7】李师傅要给一块长9米、宽7米的长方形地面铺瓷砖，如图，现有A和B两种款式的瓷砖，且A款正方形瓷砖的边长与B款长方形瓷砖的长相等，B款瓷砖的长大于宽，李师傅打算按如图设计图的规律铺瓷砖，若A款瓷砖的用量比B款瓷砖的2倍少14块，且恰好铺满地面，则B款瓷砖的长为 　 　 米，宽为 　 　 米． 【作业8】（2026春•济南月考）（1）计算：； （2）解方程：． 【作业9】（2026•沙坪坝区校级模拟）某工厂为准备六一儿童节，组织工人制作飞机模型玩具．已知一个飞机模型由一个机身和两个机翼构成，用1块材料板可做40个机身或90个机翼． （1）现有340块材料板，用多少块做机身，多少块做机翼才能使机身与机翼恰好配套？ （2）在（1）问的条件下，现由工人分组加工制作这批飞机模型，制作到刚好一半时，工厂又调配了一些工人加入制作，结果每天制作的飞机模型比原来多了20%，最后提前3天完成．请问原计划每天制作多少个飞机模型？ 【作业10】（2025•扬州校级一模）某服装店购进一批甲、乙两种款型时尚T恤衫，甲种款型共用了7800元，乙种款型共用了6400元，甲种款型的件数是乙种款型件数的1.5倍，甲种款型每件的进价比乙种款型每件的进价少30元，求甲、乙两种款型的T恤衫各购进多少件？ 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $