专题13.2 分式的运算【暑假预习】提优讲义 2026-2027学年沪教版（五四制）数学七年级上册

专题13.2 分式的运算（知识精讲+典例+创新题+练习） 高效提优讲义 七年级数学新教材沪教版五四制 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 掌握分式乘除的运算法则，能熟练进行分式的乘除运算。 · 理解通分的概念，能确定最简公分母并进行通分。 · 掌握分式加减的运算法则，能进行异分母分式的加减运算。 · 理解负整数指数幂的意义，能进行整数指数幂的运算。 · 能运用分式运算解决新定义、分离常数等综合问题，提升代数推理能力。 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 1. 分式的乘除法则 乘法法则： 分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即 。 除法法则： 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即 。 · 运算结果应化为最简分式或整式。 · 分子、分母是多项式时，先分解因式再约分。 ☑ 典型例题 1 题目： 计算 的结果是（ ） A. B. C. D. 解析： 原式 。 答案： A ☆ 2. 通分 定义： 把几个异分母分式分别化成与原来分式相等的同分母分式，叫做通分。 · 关键：确定各分母的最简公分母（取各分母系数的最小公倍数与所有因式的最高次幂的积）。 · 通分的依据：分式的基本性质。 ☑ 典型例题 2 题目： 将分式 与 通分时，需将 的分子、分母同时乘以（ ） A. B. C. D. 解析： ，，最简公分母为 ，故 需乘以 。 答案： A ☆ 3. 分式的加减法则 同分母加减： 分母不变，把分子相加减，即 。 异分母加减： 先通分，变为同分母分式，再加减，即 。 · 结果要约分，化为最简分式或整式。 · 注意符号，特别是减号后面加括号。 ☑ 典型例题 3 题目： 计算 的结果等于（ ） A. B. C. D. 解析： 原式 。 答案： D ☆ 4. 整数指数幂 负整数指数幂： （， 为正整数）。 · 零指数幂：（）。 · 幂的运算法则对整数指数幂同样适用。 ☑ 典型例题 4 题目： 计算 的结果是（ ） A. B. C. D. 解析： 。 答案： B ☆ 5. 分式的混合运算与技巧 分式混合运算顺序与分数类似：先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内的。 · 常用技巧：分离常数法（将假分式化为整式与真分式之和）。 · 整体换元、拆项法等。 ☑ 典型例题 5 题目： 将分式 化为整式与真分式的和的形式为（ ） A. B. C. D. 解析： 。 答案： A ☆ 知识总结表 核心概念 法则/定义 注意事项 分式乘法 分子乘分子，分母乘分母 先分解因式再约分 分式除法 乘除数的倒数 转化为乘法 通分 化成同分母 最简公分母的确定 分式加减 同分母直接加减，异分母先通分 结果要约分 整数指数幂 底数不为0 分离常数法 假分式化为整式+真分式 构造分母倍式 核心考点 ·5大典型考点精讲 【考点1】分式的乘除（第1–8题） · 乘法直接乘，除法变为乘以倒数。 · 分子分母为多项式时，先分解因式再约分。 · 注意符号处理。 1．（2025•栾城区校级模拟）化简分式（　　）的结果为单项式，则“（　　）”上填的式子可以是（　　） A． B． C． D． 【分析】将选项逐个代入根据分式乘法法则计算，再根据结果判断即可． 【解答】解：将选项逐个代入分式计算可得： 结果不是单项式，所以A不符合题意； 结果是单项式，所以B符合题意； 结果不是单项式，所以C不符合题意； 结果不是单项式，所以D不符合题意． 故选：B． 【点评】本题主要考查了分式的乘法运算，熟练掌握运算法则是关键． 2．（2025秋•祁阳市校级期末）若的计算结果是整式，则“□”中的式子可能是（　　） A． B．x2﹣1 C．x2﹣x D．x﹣1 【分析】设“口”中的式子为M，把除法运算化乘法运算，约分得到原式，然后把各选项的式子分别代入即可得到答案． 【解答】解：设“口”中的式子为M， 原式• ， 所以当M＝x2﹣x＝x（x﹣1）时， 原式1，结果为整式． 故选：C． 【点评】本题考查了分式的乘除法，因式分解，正确因式分解是解题的关键． 3．（2025春•甘孜州期末）计算的结果是（　　） A． B． C． D．a+1 【分析】利用分式的除法法则计算即可． 【解答】解： ＝a+1， 故选：D． 【点评】此题考查了分式的除法运算，熟练掌握分式除法法则是解题的关键． 4．（2025春•永靖县校级月考）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据分式的乘法运算法则计算即可． 【解答】解：根据分式的乘法运算法则可得： ， 故选：D． 【点评】本题考查了分式的乘法运算，掌握其运算法则是关键． 5．（2025春•济南期末）的结果是（　　） A． B． C． D． 【分析】原式变形后，约分即可得到结果． 【解答】解：原式• ． 故选：A． 【点评】此题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 6．（2025秋•普陀区月考）计算：　　 ． 【分析】根据分式的乘法法则计算即可得． 【解答】解： ， 故答案为：． 【点评】本题考查了分式的乘法，熟练掌握分式的乘法法则是解题关键． 7．（2025春•鲤城区校级期中）计算：　﹣x ． 【分析】先将除法转化为乘法，再约分即可得到答案． 【解答】解： ＝﹣x． 故答案为：﹣x． 【点评】本题考查分式的乘除运算法则等知识，熟练掌握分式乘除运算法则是解决问题的关键． 8．（2025秋•曲靖期末）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）先计算乘方，再算乘除法即可； （2）根据平方差公式、完全平方公式和分式的除法的运算法则进行计算即可． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 【点评】本题考查了分式的乘除法运算、平方差公式、完全平方公式，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法． 【考点2】通分（第9–13题） · 找出各分母的最简公分母。 · 通分时分子分母同乘适当的整式。 · 注意因式分解的准确性。 9．（2025秋•路南区月考）化简 ① ② 其中步骤①、②的运算依据分别属于（　　） A．①是整式乘法；②是通分 B．①是分解因式；②是通分 C．①是分解因式；②是约分 D．①是整式乘法；②是约分 【分析】根据分式的化简方法，公式法，因式分解法即可求解． 【解答】解：①提公因式；m2﹣8m+16＝（m﹣4）2＝（4﹣m）2这是用完全平方公式分解因式，最后一步是分式的约分化简， 故选：C． 【点评】本题主要考查分式的化简，掌握分式化简中提取公因式法，公式法，约分等知识是解题的关键． 10．（2026春•霍州市月考）将分式通分时，需要把的分子、分母同时乘以　（a+1）　 ． 【分析】将分母分解因式后，找到各分母的最简公分母作为公分母，再将各分式化为该公分母的形式即可． 【解答】解：分式的最简公分母为2（a+1）（a﹣1）， ∴需要把的分子、分母同时乘以（a+1）， 故答案为：（a+1）． 【点评】本题考查了分式的通分，确定最简公分母是解题的关键． 11．（2025春•单元）与通分后的结果是 　；　 ． 【分析】首先找出两个分式的最简公分母是（1﹣a）（a+1）2，由此根据分式的基本性质化为同分母分式即可． 【解答】解：； ． 故答案为：；． 【点评】此题主要考查分式的通分，关键是找出最简公分母． 12．将分式，，通分，分母所乘的单项式依次为 　6y2，4x，3y ． 【分析】分母2x，3y2，4xy中各系数的最小公倍数是12，x和y的最高指数分别是1和2，则最简公分母为12xy2． 【解答】解：分式，，最简公分母为12xy2， ∴各分母所乘单项式依次为6y2，4x，3y． 【点评】本题考查通分，单项式等知识，解题的关键是掌握通分的方法，属于中考常考题型． 13．（2017春•仪征市校级同步）通分 ①x，； ②，； ③，． 【分析】找出各项中两式的最简公分母，通分即可． 【解答】解：①x，； ②，； ③，． 【点评】此题考查了通分，通分的关键是找出最简公分母． 【考点3】分式的加减（第14–23题） · 同分母直接加减，异分母先通分。 · 结果要化为最简分式。 · 整体代入、完全平方公式等技巧。 14．（2026•河西区一模）计算的结果等于（　　） A． B． C．1 D． 【分析】根据分式的加减运算法则即可求解． 【解答】解：原式 ． 故选：D． 【点评】本题考查了分式的加减，熟练掌握分式的加减运算法则是解题的关键． 15．（2026•西青区一模）计算的结果是（　　） A．1 B． C． D． 【分析】先对异分母分式通分，再根据同分母分式加法法则计算，得到结果后匹配选项即可． 【解答】解：先对异分母分式通分可得： ． 故选：D． 【点评】本题考查了分式的加减，熟练掌握运算法则是关键． 16．（2026•北辰区一模）计算的结果是（　　） A．3 B．a C． D． 【分析】解题思路是先变形统一分母，再根据同分母分式加法法则计算，约分后得到结果 【解答】解：3， 故选：A． 【点评】本题考查分式的加减运算，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 17．（2025秋•碧江区 校级月考）若，则（　　） A．m＝4，n＝﹣4 B．m＝3，n＝1 C．m＝5，n＝﹣1 D．m＝4，n＝1 【分析】先利用分式的加法法则计算，由已知可得关于m、n的方程，求解即可． 【解答】解：∵ ， 又∵， ∴． ∴m+m＝4，2n﹣m＝﹣1． ∴n＝1，m＝3． 故选：B． 【点评】本题考查了分式的加减法，掌握分式的加减法法则是解决本题的关键． 18．（2025•邯郸二模）如图是一个正确的运算过程，但有一个算式被遮挡了，则被遮挡的算式是（　　） A． B．x2 C． D．2x﹣1 【分析】由题意列出盖住部分的代数式，然后进行计算即可． 【解答】解：根据题意盖住部分的代数式为： ， 故选：C． 【点评】本题主要考查分式的加减运算，熟练掌握分式的加减运算法则是解决本题的关键． 19．（2026•咸宁模拟）化简：x﹣3　 ． 【分析】先化为同分母的分式，再进行加减即可． 【解答】解：原式 ＝x﹣3． 故答案为x﹣3． 【点评】本题考查了分式的加减，分式的加减运算中，如果是同分母分式，那么分母不变，把分子直接相加减即可；如果是异分母分式，则必须先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减． 20．（2026春•锦江区校级期中）已知，则xy＝　2　 ． 【分析】利用完全平方公式，将两边平方后，结合已知的的值，建立关于xy的方程求解． 【解答】解：根据完全平方公式得， 展开得， 将代入上式得， 移项得， 解得xy＝2． 故答案为：2． 【点评】本题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是关键． 21．（2025秋•鹿泉区期末）已知a+b＝5，ab＝3，　　 ． 【分析】将a+b＝5、ab＝3代入原式，计算可得． 【解答】解：当a+b＝5、ab＝3时， 原式 ， 故答案为：． 【点评】本题主要考查分式的加减法，解题的关键是熟练掌握分式的加减运算法则和完全平方公式． 22．（2025秋•下陆区期末）已知2x2﹣3x﹣2＝0．则x2　　 ． 【分析】等式两边都除以2x，得x，等式两边平方，再去括号，移项合并同类项就可得出结果． 【解答】解：∵2x2﹣3x﹣2＝0， ∴x， ∴， x2﹣2， x2， 故答案为：． 【点评】本题考查了分式的加减法，掌握等式的性质，把2x2﹣3x﹣2＝0化为x形式是解题的关键． 23．（2026春•盐城期中）根据以下素材，探索完成任务． 素材1 定义：如果两个分式P与Q的和为常数k，则称P与Q互为“和定分式”，常数k称为“和定值”．例如：分式，，，则P与Q互为“和定分式”，“和定值”k＝2． 素材2 分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式，例如：分式，是真分式． 素材3 如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，是假分式． 问题解决： （1）已知分式，，判断A与B是否互为“和定分式”？若不是，请说明理由；若是，请求出． （2）已知分式，，若C与D互为“和定分式”，且分式为真分式，求“和定值”k的值，求代数式M（用含x的式子表示）． （3）已知分式，（a，b为常数），若E与F互为和定分式”，则a＝　3　 ，b＝　﹣1　 ． 【分析】（1）求出A+B，看和是否为定值，即可判断； （2）求出，由C与D互为“和定分式”且分式为真分式，得到2x2﹣9x+4+M是x2﹣16的2倍，可得k＝2，﹣9x+4+M＝﹣16×2，即可求解； （3）求出，根据题意可得分子 ax2+（﹣a﹣3）x+4+b是分母x2﹣2x+1的a倍，即k＝a，推出ax2+（﹣a﹣3）x+4+b＝a（x2﹣2x+1），即可求解． 【解答】解：（1）∵，， ∴， ∴A与B互为“和定分式”，“和定值”k＝3； （2）由条件可知C+D ， ∵C与D互为“和定分式”，且分式为真分式， ∴2x2﹣9x+4+M是x2﹣16的倍数， 又∵2x2﹣9x+4+M中，x2的系数为2，x2﹣16中x2的系数为1， ∴k＝2，﹣9x+4+M＝﹣16×2， ∴M＝﹣36+9x； （3）由条件可知E+F ， ∵E与F互为“和定分式”，分子 ax2+（﹣a﹣3）x+4+b中，x2的系数为a，x2﹣2x+1中x2的系数为1， ∴分子 ax2+（﹣a﹣3）x+4+b是分母x2﹣2x+1的a倍，即k＝a， ∴ax2+（﹣a﹣3）x+4+b＝a（x2﹣2x+1） 即ax2+（﹣a﹣3）x+4+b＝ax2﹣2ax+a， ∴， 解得a＝3，b＝﹣1． 故答案为：3，﹣1． 【点评】本题考查了分式的加减法，熟练掌握该知识点是关键． 【考点4】整数指数幂（第24–32题） · 负指数化为正指数的倒数。 · 零指数幂为1（底数非零）。 · 幂的运算法则适用于整数指数。 24．（2026•仪陇县模拟）计算（﹣2）﹣2的结果是（　　） A． B． C．﹣4 D．4 【分析】根据负整数指数幂的运算方法即可求解． 【解答】解：原式． 故选：B． 【点评】本题考查的是负整数指数幂，解题的关键是熟练掌握（a≠0，p为正整数）． 25．（2025秋•平泉市期末）计算2﹣3的结果为（　　） A． B．6 C． D．8 【分析】根据负整数指数幂运算法则求解即可． 【解答】解：根据负整数指数幂运算法则可得： ． 故选：A． 【点评】本题主要考查了负整数指数幂运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 26．（2025秋•徐汇区校级月考）化简（x+y﹣1）﹣1为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据负整数指数幂的运算法则计算即可． 【解答】解：（x+y﹣1）﹣1， 故选：C． 【点评】本题考查负整数指数幂，关键是掌握负整数指数幂的运算法则． 27．计算的结果为（　　） A．2﹣7 B．27 C．﹣48 D．﹣4﹣8 【分析】直接利用积的乘方运算法则将原式变形进而化简得出答案． 【解答】解：原式 ＝2﹣7． 故选：A． 【点评】此题主要考查了积的乘方运算，正确将原式变形是解题关键． 28．（2026春•榆树市期中）将写成不含分母的形式：　3a﹣2（x﹣y）﹣1 ． 【分析】本题把分式表示为负整数指数幂的形式，就不含分母，由此根据负整数指数幂的形式即可解决． 【解答】解：将分式改为不含分母的形式为：3a﹣2（x﹣y）﹣1． 故答案为：3a﹣2（x﹣y）﹣1． 【点评】本题考查了负整数指数幂，熟练掌握负整数指数幂的运算法则是关键． 29．（2025秋•长沙期末）计算x﹣2y3（x2y﹣2）﹣3＝　　 ． 【分析】根据积的乘方和单项式乘单项式运算法则，负整数指数幂运算法则，进行计算即可． 【解答】解：x﹣2y3（x2y﹣2）﹣3 ＝x﹣2y3•x﹣6y6 ＝x﹣8y9 ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了幂的乘方混合运算，负整数指数幂运算，熟练掌握相关运算法则是关键． 30．（2025春•鲤城区校级期中）计算：． 【分析】根据乘方，零指数幂，负整数指数幂的运算法则计算各项再算加减法即可． 【解答】解： ＝﹣8+1﹣9 ＝﹣16． 【点评】本题考查了实数的混合运算，涉及乘方，零指数幂，负整数指数幂的运算，熟练掌握以上知识点是关键． 31．（2025秋•杨浦区期末）计算：（x﹣1+y﹣1）÷（x﹣2﹣y﹣2） 【分析】首先应用平方差公式，可得（x﹣2﹣y﹣2）＝（x﹣1+y﹣1）（x﹣1﹣y﹣1），据此推得（x﹣1+y﹣1）÷（x﹣2﹣y﹣2）；然后根据负整数指数幂的运算方法，求出算式的值是多少即可． 【解答】解：（x﹣1+y﹣1）÷（x﹣2﹣y﹣2） ＝（x﹣1+y﹣1）÷[（x﹣1+y﹣1）（x﹣1﹣y﹣1）] 【点评】此题主要考查了负整数指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①a﹣p（a≠0，p为正整数）；②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算；③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数． 32．（2025春•单元）（1）你发现了吗？ （）2，（）﹣2，由上述计算，我们发现（）2　＝　 （）﹣2． （2）仿照（1），请你通过计算，判断（）3与（）﹣3之间的关系． （3）我们可以发现：（）﹣m　＝　 （）m（ab≠0）． （4）计算：（）﹣2•（）2． 【分析】（1）观察计算的结论即可得出结论； （2）利用有理数的乘方和负整数指数幂的意义进行运算，观察计算的结论即可得出结论； （3）利用（1）（2）的结论得出即可； （4）利用上述结论和积的乘方的逆运算解答即可． 【解答】解：（1）观察计算结论可得：（）2＝（）﹣2， 故答案为：＝； （2）∵，， ∴． （3）由（1）（2）中的规律可以发现： （）﹣m＝（）m（ab≠0）； （4）原式 ＝32 ＝9． 【点评】本题主要考查了有理数的乘方，有理数的乘法，负整数指数幂的意义，本题是探求规律型题目，反映了由特殊到一般的规律性． 【考点5】创新及压轴题（第33–35题） · 新定义题：理解定义，转化为常规运算。 · 分离常数法：将假分式拆分成整式与真分式之和。 · 拆分法：将复杂分式拆成简单分式的和差。 33．（2026春•大邑县期末）在小学阶段，我们知道可以将一个分数拆分成两个分数的和（差）的形式，例如，． 类似地，我们也可以把一个较复杂的分式拆分成两个较简单，并且分子次数小于分母次数的分式的和或者差的形式．例如，仿照上述方法，若分式可以拆分成的形式，那么 （B+1）﹣（A+1）＝　　 ． 【分析】由可得，据此知，解之求得A、B的值，代入计算可得． 【解答】解： ， ∵， ∴， 则， 解得：， 所以（B+1）﹣（A+1）＝3﹣2， 故答案为：． 【点评】本题主要考查分式的加减法，解题的关键是熟练掌握分式的加减运算法则，根据题意列出关于A、B的方程组． 34．（2025春•英德市期末）（1）已知b＞a＞0，分式的分子分母都加上1，说明所得分式的值是增大了还是减少了？ （2）甲、乙两位采购员同去一家饲料公司购买两次饲料．两次饲料的价格有变化，第一次的价格为m元/千克，第二次的价格为n元/千克，（m，n是正数，且m≠n）；甲每次购买800千克；乙每次用去800元，而不管购买多少饲料． ①甲、乙所购饲料的平均单价是多少元？ ②谁的购买方式平均单价较低？ 【分析】（1）两分式相减，差与0比较，并讨论是增是减； （2）①根据题意分别求出甲、乙所购饲料的平均单价； ②由①得甲、乙所购饲料的平均单价，甲、乙平均单价的式子相减，差与0比较，判断大小． 【解答】解：（1） ， ∵b＞a＞0， ∴b2+b＞0，a﹣b＜0， ∴0， ∴说明所得分式的值是增大了； （2）①甲所购饲料的平均单价是：（元/千克）； 乙所购饲料的平均单价是：（元/千克）； ② ， ∵m，n是正数，且m≠n， ∴0， ∴， ∴乙所购饲料的平均单价低． 【点评】本题考查了分式的加减运算和分式比较大小，解题的关键是掌握分式的基本性质． 35．（2025春•二七区校级期中）阅读下面材料，并解答问题． 将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：由分母为x2﹣1，可设x4+x2﹣3＝（x2﹣1）（x2+a）+b． 则x4+x2﹣3＝（x2﹣1）（x2+a）+b＝x4﹣x2+ax2﹣a+b＝x4+（a﹣1）x2﹣a+b ∴，∴ ∴（x2+2） 这样，分式被拆分成了一个整式x2+2与一个分式的和． 根据上述作法，将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 【分析】根据阅读材料中的方法将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式即可． 【解答】解： ＝x2+7． 【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 随堂检测 · 精选练习 · 练习1： 幂的运算判断 · 练习2： 分式加减 · 练习3： 分式化简 · 练习4： 分式加减综合 · 练习5： 假分式化整式 【练习1】（2025秋•普陀区月考）下列计算正确的是（　　） A．x2+x2＝x4 B．（﹣2a）3＝﹣6a3 C． D．（﹣a）3•（﹣a）4＝﹣a7 【分析】根据合并同类项、积的乘方、同底数幂的乘法、负整数指数幂法则逐项计算即可得． 【解答】解：根据合并同类项、积的乘方、同底数幂的乘法、负整数指数幂法则逐项分析判断如下； A．a2+a2＝2a2，原计算错误，不符合题意； B．（﹣2a）3＝﹣8a3，原计算错误，不符合题意； C.3a﹣2，原计算错误，不符合题意； D．（﹣a）3•（﹣a）4＝﹣a3•a4＝﹣a7，原计算正确，符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了合并同类项、积的乘方、同底数幂的乘法、负整数指数幂，熟练掌握各运算法则是解题关键． 【练习2】（2025秋•天津期末）计算的结果是（　　） 的结果是（　　） A． B． C． D． 【分析】先通分，然后根据同分母分式加减运算法则，进行计算即可． 【解答】解：原式 ． 故选：D． 【点评】本题主要考查了分式加减运算，熟练掌握分式加减运算法则是解题的关键． 【练习3】（2026•金华模拟）化简：　 　 ． 　　 ． 【分析】根据同分母分式加减的运算法则可知：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减，故可将直接原式进行化简． 【解答】解：原式． 【点评】本题考查了同分母分式加减的运算，关键在于学生熟练掌握运算法则进行化简． 【练习4】（2025春•西湖区校级同步）（1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9）x﹣1． 【分析】（1）进行同分母分式加减运算即可； （2）进行同分母分式加减运算即可； （3）进行同分母分式加减运算即可，最后要注意将结果化为最简分式； （4）进行同分母分式加减运算即可，最后要注意将结果化为最简分式； （5）进行同分母分式加减运算即可，最后要注意将结果化为最简分式； （6）先通分，然后进行同分母分式加减运算即可； （7）先通分，然后进行同分母分式加减运算，最后要注意将结果化为最简分式； （8）先通分，然后进行同分母分式加减运算，最后要注意将结果化为最简分式； （9）先通分，然后进行同分母分式加减运算即可． 【解答】解：（1） ； （2） ＝2； （3） ＝﹣8； （4） ； （5） ； （6） ； （7） ＝2； （8） ； （9）x﹣1 ． 【点评】本题考查了分式的加减运算，题目比较容易，解题的关键是熟练掌握运算法则． 【练习5】（2025春•方城县月考）对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 例如：像，，…，这样的分式是假分式，像，，…，这样的分式是真分式，类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式． 例如：；． （1）将分式化为整式与真分式的和的形式为：x﹣3　 （直接写出结果即可）； （2）如果分式的值为整数，求x的整数值． 【分析】（1）根据题干中的例子进行化简即可； （2）先化简这个分式，根据分式的值为整数，所以x﹣3＝±1，或±13，进而求出x的值． 【解答】解：（1）原式 ＝x+3﹣6 ＝x﹣3， 故答案为：x﹣3； （2）原式 ＝2（x﹣3）+17 ＝2x+11， 因为分式的值为整数， 所以x﹣3＝±1，或±13， 所以x的整数值为4，2，16，﹣10． 【点评】本题考查了分式的运算，考核学生的计算能力，注意整数包括正整数，负整数和0，不要漏解． 课后巩固 · 针对性练习 · 作业1： 分式加减 · 作业2： 比例求值 · 作业3： 分式乘除 · 作业4： 完全平方公式与分式 · 作业5： 负指数幂有意义 · 作业6： 负指数幂比较大小 · 作业7： 通分 · 作业8： 分式加法求系数 · 作业9： 差整分式新定义 · 作业10： 分离常数法 ❤ 复习建议 熟练掌握运算法则： 分式乘除、加减的法则要记牢，注意符号和约分。 通分与约分是基础： 通分时要准确找到最简公分母，约分时要彻底。 负整数指数幂要灵活运用： 注意底数不为0，可与其他运算结合。 分离常数法技巧： 将假分式化为整式与真分式之和，便于求值或判断范围。 新定义题多理解： 仔细阅读定义，转化为已学知识，列方程或比较系数。 【作业1】（2026•章丘区模拟）计算的结果等于（　　） 的结果等于（　　） A．3 B． C．﹣3 D． 【分析】根据分式的加减运算法则解答即可． 【解答】解：原式 ． 故选：D． 【点评】本题考查了分式的加减运算，熟练掌握运算法则是关键． 【作业2】（2025秋•婺城区月考）已知，求 的值（　　） ，求的值（　　） A． B． C． D．4 【分析】将所求分式拆分为分式与常数的和，结合已知条件计算结果即可． 【解答】解：将所求分式拆分为分式与常数的和可得： ∴． 故选：C． 【点评】本题主要考查了分式的加减运算，熟练掌握分式的加减运算是解题的关键． 【作业3】化简的结果是（　　） 的结果是（　　） A．a2 B． C． D． 【分析】先将的分子因式分解；然后将除法转化为乘法后约分化简，即可得到结果． 【解答】解：原式． 故选：C． 【点评】本题主要考查分式的乘除法，熟练掌握分式乘除法的运算法则是解题的关键． 【作业4】（2026•福州校级自主招生）若xy＝a，（b＞0），则（x+y）2的值为（　　） xy＝a，（b＞0），则（x+y）2的值为（　　） A．b（ab﹣2） B．a（ab+2） C．a（ab﹣2） D．b（ab+2） 【分析】因为（x+y）2＝x2+2xy+y2，可通过已知得出x2+y2及xy＝a，从而得出结论． 【解答】解：∵xy＝a，（b＞0）， ∴b，即x2+y2＝a2b． ∴（x+y）2＝x2+2xy+y2＝a2b+2a＝a（ab+2）．故选B． 【点评】分式中的一些特殊求值题并非是一味的化简，代入，求值．许多问题还需运用到常见的数学思想，如化归思想（即转化）、整体思想等，了解这些数学解题思想对于解题技巧的丰富与提高有一定帮助．就本节内容而言，分式求值题中比较多的题型主要有三种：转化已知条件后整体代入求值；转化所求问题后将条件整体代入求值；既要转化条件，也要转化问题，然后再代入求值． 【作业5】（2025春•包河区校级期末）若式子（a﹣2）﹣1有意义，则a的取值范围是 a≠2　 ．a﹣2）﹣1有意义，则a的取值范围是 a≠2　 ． 【分析】根据负整数指数幂的底数不为0，进行求解即可． 【解答】解：由条件可得a≠2； 故答案为：a≠2． 【点评】本题考查负整数指数幂，熟练掌握该知识点是关键． 【作业6】（2025秋•怀化期中）若a＝（0.3）2，b＝﹣3﹣2，，则a，b，c的大小关系为 b＜a＜c （用“＜”连接）． a＝（0.3）2，b＝﹣3﹣2，，则a，b，c的大小关系为 b＜a＜c （用“＜”连接）． 【分析】根据a＝（0.3）2＝0.09，，，比较即可． 【解答】解：∵a＝（0.3）2＝0.09，，， ∴， 故b＜a＜c， 故答案为：b＜a＜c． 【点评】本题考查了幂的计算，负整数指数幂，实数大小比较，熟练掌握公式和大小比较的原则是解题的关键． 【作业7】（2025春•同步）通分： （1）， （2）． 【分析】找出各式的最简公分母，通分即可． 【解答】解（1）∵最简公分母是18x3y3， ∴，，； （2）∵最简公分母是（a﹣b）（a+b）2， ∴，，． 【点评】此题考查了通分，通分的关键是找出最简公分母． 【作业8】（2025秋•文登区校级期中）已知，则4A﹣B的值为　2　 ． ，则4A﹣B的值为　2　 ． 【分析】先计算等式右边的加法，再与等式的左边进行比较可得一个关于A，B的二元一次方程组，解方程组即可得． 【解答】解：先计算等式右边的加法，再与等式的左边进行比较可得一个关于A，B的二元一次方程组， ， ， ∵， ∴， ∴， 由①+②得：﹣A＝﹣1， 解得：A＝1， 将A＝1代入①得：B＝2， ∴， 所以4A﹣B＝4×1﹣2＝2． 故答案为：2． 【点评】本题考查了分式的加法、解二元一次方程组，熟练掌握分式的加法法则是解题关键． 【作业9】（2025秋•朔州期末）综合与实践 问题背景：若两个分式P与Q，满足P﹣Q＝k，k为整数且k≠0，则称Q为P的“差整分式”，k称为“差整值”．例如：分式，，P﹣Q＝1，则Q为P的“差整分式”，“差整值”k＝1． 探究1： （1）已知三个分式，，，则下列结论中，正确的是　③　 （填序号）． ①A是B的“差整分式”；②A是C的“差整分式”；③B是C的“差整分式”． 探究2： （2）已知分式，（S是关于x的整式），若M为N的“差整分式”，且“差整值”k＝4，求整式S． 探究3： （3）已知分式，（a，b为整数），若M为N的“差整分式”，请直接写出“差整值”k的值． 【分析】（1）根据“差整分式”逐个计算即可解答； （2）根据M为N的“差整分式”，“差整值”k＝4，列出等式求出整式S； （3）根据题意N﹣M＝k，解方程组等式两边，比较系数即可解答． 【解答】解：（1），结果含分母，不是整数，故①错误； ，结果含分母，不是整数，故②错误； ，结果为整数且非0，故③正确； 故答案为：③； （2）由条件可知N﹣M＝4，即， 方程两边同时乘以（2x+3）（2x﹣3）得：S﹣（x﹣2）（2x+3）＝4（2x+3）（2x﹣3）， 展开得：S﹣2x2+x+6＝16x2﹣36， 故整式S＝18x2﹣x﹣42； （3）根据题意 ， 通分合并分子得：4x+b﹣（ax﹣2）（x﹣1）＝k（x﹣1）2， 展开左边：﹣ax2+（a+6）x+（b﹣2）， 展开右边：kx2﹣2kx+k， 比较系数得方程组：﹣a＝k，a+6＝﹣2k， 解得：k＝﹣6． 答：k＝﹣6． 【点评】本题考查的是新定义运算的理解，分式的加减运算，理解题意是解本题的关键． 【作业10】（2026春•扬州期中）数学兴趣小组在学习了《分式》知识后，探究了分式的一种特殊变形． 例如：． 我们把这种将分式的分母不变，分子中构造含分母的结构，从而将原分式分离出一个常数和一个分子为常数的分式结构的变形方法叫做“分离常数法”．“分离常数法”是分式研究的重要数学思想方法． （1）请利用“分离常数法”将分式变形为（其中m，n为常数），求m，n的值； （2）若分式的值为整数，求满足条件的整数x的值； （3）利用分离常数法，请直接写出分式的取值范围． 【分析】（1）利用分离常数法，即可得到结论； （2）利用分离常数法，可将原式变形为，即可得到结论； （3）利用分离常数法，可将原式变形为，由分母x2+1≥1，即可得到结论． 【解答】解：（1）根据分离常数法可得： ， ∴m＝3，n＝﹣4； （2）根据分离常数法可得： ， ∵分式的值为整数，且x为整数， ∴x﹣1＝±1， ∴x＝0或2； （3）根据分离常数法可得： ， ∴， ∴， ∴． 【点评】本题考查了分式的加减法，熟练掌握基本性质是关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13.2 分式的运算（知识精讲+典例+创新题+练习） 高效提优讲义 七年级数学新教材沪教版五四制 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 掌握分式乘除的运算法则，能熟练进行分式的乘除运算。 · 理解通分的概念，能确定最简公分母并进行通分。 · 掌握分式加减的运算法则，能进行异分母分式的加减运算。 · 理解负整数指数幂的意义，能进行整数指数幂的运算。 · 能运用分式运算解决新定义、分离常数等综合问题，提升代数推理能力。 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 1. 分式的乘除法则 乘法法则： 分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即 。 除法法则： 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即 。 · 运算结果应化为最简分式或整式。 · 分子、分母是多项式时，先分解因式再约分。 ☑ 典型例题 1 题目： 计算 的结果是（ ） A. B. C. D. 解析： 原式 。 答案： A ☆ 2. 通分 定义： 把几个异分母分式分别化成与原来分式相等的同分母分式，叫做通分。 · 关键：确定各分母的最简公分母（取各分母系数的最小公倍数与所有因式的最高次幂的积）。 · 通分的依据：分式的基本性质。 ☑ 典型例题 2 题目： 将分式 与 通分时，需将 的分子、分母同时乘以（ ） A. B. C. D. 解析： ，，最简公分母为 ，故 需乘以 。 答案： A ☆ 3. 分式的加减法则 同分母加减： 分母不变，把分子相加减，即 。 异分母加减： 先通分，变为同分母分式，再加减，即 。 · 结果要约分，化为最简分式或整式。 · 注意符号，特别是减号后面加括号。 ☑ 典型例题 3 题目： 计算 的结果等于（ ） A. B. C. D. 解析： 原式 。 答案： D ☆ 4. 整数指数幂 负整数指数幂： （， 为正整数）。 · 零指数幂：（）。 · 幂的运算法则对整数指数幂同样适用。 ☑ 典型例题 4 题目： 计算 的结果是（ ） A. B. C. D. 解析： 。 答案： B ☆ 5. 分式的混合运算与技巧 分式混合运算顺序与分数类似：先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内的。 · 常用技巧：分离常数法（将假分式化为整式与真分式之和）。 · 整体换元、拆项法等。 ☑ 典型例题 5 题目： 将分式 化为整式与真分式的和的形式为（ ） A. B. C. D. 解析： 。 答案： A ☆ 知识总结表 核心概念 法则/定义 注意事项 分式乘法 分子乘分子，分母乘分母 先分解因式再约分 分式除法 乘除数的倒数 转化为乘法 通分 化成同分母 最简公分母的确定 分式加减 同分母直接加减，异分母先通分 结果要约分 整数指数幂 底数不为0 分离常数法 假分式化为整式+真分式 构造分母倍式 核心考点 ·5大典型考点精讲 【考点1】分式的乘除（第1–8题） · 乘法直接乘，除法变为乘以倒数。 · 分子分母为多项式时，先分解因式再约分。 · 注意符号处理。 1．（2025•栾城区校级模拟）化简分式（　　）的结果为单项式，则“（　　）”上填的式子可以是（　　） A． B． C． D． 2．（2025秋•祁阳市校级期末）若的计算结果是整式，则“□”中的式子可能是（　　） A． B．x2﹣1 C．x2﹣x D．x﹣1 3．（2025春•甘孜州期末）计算的结果是（　　） A． B． C． D．a+1 4．（2025春•永靖县校级月考）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 5．（2025春•济南期末）的结果是（　　） A． B． C． D． 6．（2025秋•普陀区月考）计算：　 　 ． 7．（2025春•鲤城区校级期中）计算：　 　 ． 8．（2025秋•曲靖期末）计算： （1）； （2）． 【考点2】通分（第9–13题） · 找出各分母的最简公分母。 · 通分时分子分母同乘适当的整式。 · 注意因式分解的准确性。 9．（2025秋•路南区月考）化简 ① ② 其中步骤①、②的运算依据分别属于（　　） A．①是整式乘法；②是通分 B．①是分解因式；②是通分 C．①是分解因式；②是约分 D．①是整式乘法；②是约分 10．（2026春•霍州市月考）将分式通分时，需要把的分子、分母同时乘以　 　 ． 11．（2025春•单元）与通分后的结果是 　 　 ． 12．将分式，，通分，分母所乘的单项式依次为 　 　 ． 13．（2017春•仪征市校级同步）通分 ①x，； ②，； ③，． 【考点3】分式的加减（第14–23题） · 同分母直接加减，异分母先通分。 · 结果要化为最简分式。 · 整体代入、完全平方公式等技巧。 14．（2026•河西区一模）计算的结果等于（　　） A． B． C．1 D． 15．（2026•西青区一模）计算的结果是（　　） A．1 B． C． D． 16．（2026•北辰区一模）计算的结果是（　　） A．3 B．a C． D． 17．（2025秋•碧江区 校级月考）若，则（　　） A．m＝4，n＝﹣4 B．m＝3，n＝1 C．m＝5，n＝﹣1 D．m＝4，n＝1 18．（2025•邯郸二模）如图是一个正确的运算过程，但有一个算式被遮挡了，则被遮挡的算式是（　　） A． B．x2 C． D．2x﹣1 19．（2026•咸宁模拟）化简：　 　 ． 20．（2026春•锦江区校级期中）已知，则xy＝　 　 ． 21．（2025秋•鹿泉区期末）已知a+b＝5，ab＝3，　 　 ． 22．（2025秋•下陆区期末）已知2x2﹣3x﹣2＝0．则x2　 　 ． 23．（2026春•盐城期中）根据以下素材，探索完成任务． 素材1 定义：如果两个分式P与Q的和为常数k，则称P与Q互为“和定分式”，常数k称为“和定值”．例如：分式，，，则P与Q互为“和定分式”，“和定值”k＝2． 素材2 分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式，例如：分式，是真分式． 素材3 如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，是假分式． 问题解决： （1）已知分式，，判断A与B是否互为“和定分式”？若不是，请说明理由；若是，请求出． （2）已知分式，，若C与D互为“和定分式”，且分式为真分式，求“和定值”k的值，求代数式M（用含x的式子表示）． （3）已知分式，（a，b为常数），若E与F互为和定分式”，则a＝　 　 ，b＝　 　 ． 【考点4】整数指数幂（第24–32题） · 负指数化为正指数的倒数。 · 零指数幂为1（底数非零）。 · 幂的运算法则适用于整数指数。 24．（2026•仪陇县模拟）计算（﹣2）﹣2的结果是（　　） A． B． C．﹣4 D．4 25．（2025秋•平泉市期末）计算2﹣3的结果为（　　） A． B．6 C． D．8 26．（2025秋•徐汇区校级月考）化简（x+y﹣1）﹣1为（　　） A． B． C． D． 27．计算的结果为（　　） A．2﹣7 B．27 C．﹣48 D．﹣4﹣8 28．（2026春•榆树市期中）将写成不含分母的形式：　 　 ． 29．（2025秋•长沙期末）计算x﹣2y3（x2y﹣2）﹣3＝　 　 ． 30．（2025春•鲤城区校级期中）计算：． 31．（2025秋•杨浦区期末）计算：（x﹣1+y﹣1）÷（x﹣2﹣y﹣2） 32．（2025春•单元）（1）你发现了吗？ （）2，（）﹣2，由上述计算，我们发现（）2　 　 （）﹣2． （2）仿照（1），请你通过计算，判断（）3与（）﹣3之间的关系． （3）我们可以发现：（）﹣m　 　 （）m（ab≠0）． （4）计算：（）﹣2•（）2． 【考点5】创新及压轴题（第33–35题） · 新定义题：理解定义，转化为常规运算。 · 分离常数法：将假分式拆分成整式与真分式之和。 · 拆分法：将复杂分式拆成简单分式的和差。 33．（2026春•大邑县期末）在小学阶段，我们知道可以将一个分数拆分成两个分数的和（差）的形式，例如，． 类似地，我们也可以把一个较复杂的分式拆分成两个较简单，并且分子次数小于分母次数的分式的和或者差的形式．例如，仿照上述方法，若分式可以拆分成的形式，那么 （B+1）﹣（A+1）＝　 　 ． 34．（2025春•英德市期末）（1）已知b＞a＞0，分式的分子分母都加上1，说明所得分式的值是增大了还是减少了？ （2）甲、乙两位采购员同去一家饲料公司购买两次饲料．两次饲料的价格有变化，第一次的价格为m元/千克，第二次的价格为n元/千克，（m，n是正数，且m≠n）；甲每次购买800千克；乙每次用去800元，而不管购买多少饲料． ①甲、乙所购饲料的平均单价是多少元？ ②谁的购买方式平均单价较低？ 35．（2025春•二七区校级期中）阅读下面材料，并解答问题． 将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：由分母为x2﹣1，可设x4+x2﹣3＝（x2﹣1）（x2+a）+b． 则x4+x2﹣3＝（x2﹣1）（x2+a）+b＝x4﹣x2+ax2﹣a+b＝x4+（a﹣1）x2﹣a+b ∴，∴ ∴（x2+2） 这样，分式被拆分成了一个整式x2+2与一个分式的和． 根据上述作法，将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 随堂检测 · 精选练习 · 练习1： 幂的运算判断 · 练习2： 分式加减 · 练习3： 分式化简 · 练习4： 分式加减综合 · 练习5： 假分式化整式 【练习1】（2025秋•普陀区月考）下列计算正确的是（　　） A．x2+x2＝x4 B．（﹣2a）3＝﹣6a3 C． D．（﹣a）3•（﹣a）4＝﹣a7 【练习2】（2025秋•天津期末）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【练习3】（2026•金华模拟）化简：　 　 ． 【练习4】（2025春•西湖区校级同步）（1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9）x﹣1． 【练习5】（2025春•方城县月考）对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 例如：像，，…，这样的分式是假分式，像，，…，这样的分式是真分式，类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式． 例如：；． （1）将分式化为整式与真分式的和的形式为：　 　 （直接写出结果即可）； （2）如果分式的值为整数，求x的整数值． 课后巩固 · 针对性练习 · 作业1： 分式加减 · 作业2： 比例求值 · 作业3： 分式乘除 · 作业4： 完全平方公式与分式 · 作业5： 负指数幂有意义 · 作业6： 负指数幂比较大小 · 作业7： 通分 · 作业8： 分式加法求系数 · 作业9： 差整分式新定义 · 作业10： 分离常数法 ❤ 复习建议 熟练掌握运算法则： 分式乘除、加减的法则要记牢，注意符号和约分。 通分与约分是基础： 通分时要准确找到最简公分母，约分时要彻底。 负整数指数幂要灵活运用： 注意底数不为0，可与其他运算结合。 分离常数法技巧： 将假分式化为整式与真分式之和，便于求值或判断范围。 新定义题多理解： 仔细阅读定义，转化为已学知识，列方程或比较系数。 【作业1】（2026•章丘区模拟）计算的结果等于（　　） A．3 B． C．﹣3 D． 【作业2】（2025秋•婺城区月考）已知，求的值（　　） A． B． C． D．4 【作业3】化简的结果是（　　） A．a2 B． C． D． 【作业4】（2026•福州校级自主招生）若xy＝a，（b＞0），则（x+y）2的值为（　　） A．b（ab﹣2） B．a（ab+2） C．a（ab﹣2） D．b（ab+2） 【作业5】（2025春•包河区校级期末）若式子（a﹣2）﹣1有意义，则a的取值范围是 　 　 ． 【作业6】（2025秋•怀化期中）若a＝（0.3）2，b＝﹣3﹣2，，则a，b，c的大小关系为 　 　 （用“＜”连接）． 【作业7】（2025春•同步）通分： （1）， （2）． 【作业8】（2025秋•文登区校级期中）已知，则4A﹣B的值为　 　 ． 【作业9】（2025秋•朔州期末）综合与实践 问题背景：若两个分式P与Q，满足P﹣Q＝k，k为整数且k≠0，则称Q为P的“差整分式”，k称为“差整值”．例如：分式，，P﹣Q＝1，则Q为P的“差整分式”，“差整值”k＝1． 探究1： （1）已知三个分式，，，则下列结论中，正确的是　 　 （填序号）． ①A是B的“差整分式”；②A是C的“差整分式”；③B是C的“差整分式”． 探究2： （2）已知分式，（S是关于x的整式），若M为N的“差整分式”，且“差整值”k＝4，求整式S． 探究3： （3）已知分式，（a，b为整数），若M为N的“差整分式”，请直接写出“差整值”k的值． 【作业10】（2026春•扬州期中）数学兴趣小组在学习了《分式》知识后，探究了分式的一种特殊变形． 例如：． 我们把这种将分式的分母不变，分子中构造含分母的结构，从而将原分式分离出一个常数和一个分子为常数的分式结构的变形方法叫做“分离常数法”．“分离常数法”是分式研究的重要数学思想方法． （1）请利用“分离常数法”将分式变形为（其中m，n为常数），求m，n的值； （2）若分式的值为整数，求满足条件的整数x的值； （3）利用分离常数法，请直接写出分式的取值范围． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $