专题13.1 分式及其性质【暑假预习】提优讲义 2026-2027学年沪教版（五四制）数学七年级上册

专题13.1 分式及其性质（知识精讲+典例+创新题+练习） 高效提优讲义 七年级数学新教材沪教版五四制 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 理解分式的概念，能准确识别分式，掌握分式有意义的条件。 · 掌握分式的基本性质，能运用性质进行分式的变形。 · 掌握约分的方法，能熟练将分式化为最简分式。 · 理解最简分式的概念，能判断一个分式是否为最简分式。 · 能运用分式的性质解决规律探究、整体代入等综合问题。 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 1. 分式的定义 定义： 一般地，如果 、 表示两个整式，且 中含有字母，那么式子 叫做分式。其中 叫做分子， 叫做分母。 · 分式有意义的条件：分母 。 · 分式 的值为0的条件：分子 且分母 。 · 是常数，不是字母，所以分母中含有 的式子不是分式。 ☑ 典型例题 1 题目： 下列式子中是分式的是（ ） A.   B.   C.   D. 解析： 分母中含有字母的式子是分式。A、B、C的分母中都不含字母，只有D中分母 含有字母。 答案： D ☆ 2. 分式的基本性质 性质： 分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。 · 公式：，（）。 · 注意：所乘（或除）的整式不能为0。 · 符号法则：。 ☑ 典型例题 2 题目： 下列各式从左到右的变形，一定正确的是（ ） A.   B.   C.   D. 解析： A中分子分母加的数不同，不符合基本性质；B中右边应为 ；C中 与 不一定相等；D符合分式基本性质，分子分母同除以 。 答案： D ☆ 3. 约分 定义： 根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。 · 约分的关键：找出分子、分母的公因式。 · 约分的依据：分式的基本性质。 · 约分的结果：化为最简分式或整式。 ☑ 典型例题 3 题目： 化简 的结果是（ ） A.   B.   C.   D. 解析： 分子 ，分母 ，约去公因式 ，得 。 答案： A ☆ 4. 最简分式 定义： 分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。 · 判断方法：将分子、分母分别分解因式，检查是否有公因式。 · 若分子、分母都是多项式，需先因式分解再判断。 · 注意互为相反数的因式也是公因式。 ☑ 典型例题 4 题目： 下列分式是最简分式的是（ ） A.   B.   C.   D. 解析： A可约分为 ；C = ；D = ；B中分子分母无公因式，是最简分式。 答案： B ☑ 知识总结表 核心概念 定义/性质 注意事项 分式的定义 ， 中含字母 分母 ， 不是字母 分式基本性质 约分 约去分子、分母的公因式 依据是分式基本性质 最简分式 分子、分母无公因式 需先因式分解再判断 核心考点 ·5大典型考点精讲 【考点1】分式的定义（第1–7题） · 判断分式：看分母中是否含有字母（ 不是字母）。 · 分式有意义：分母 。 · 分式值为0：分子为0且分母不为0。 · 规律类分式：观察符号、分子、分母的指数变化规律。 1．（2026春•宿城区校级期中）下列式子中是分式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据分式的定义选择． 【解答】解：分母中含有字母的式子是分式，只有是分式， 故选：D． 【点评】本题考查了分式的定义，熟练掌握该知识点是关键． 2．（2026春•新安县期中）在，，，，分式的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】根据分式定义，逐一判断所给式子是否为分式． 【解答】解：根据：一般地，如果A、B（B≠0）表示两个整式，且B中含有字母，那么式子叫做分式进行判断如下： ，其中A＝1，B＝b，B是含有字母的整式，且b≠0，符合分式定义，所以是分式； ，因为π是一个常数（圆周率），不是字母，所以是整式，不是分式； ，A＝3，B＝x+y，B是含有字母的整式，且x+y≠0，符合分式定义，所以是分式； ，A＝5，B＝6+x，B是含有字母的整式，且6+x≠0，符合分式定义，所以是分式； ，它是整式与的和，属于整式的加减运算，是整式，不是分式． 故选：B． 【点评】本题考查了分式的定义，解题的关键是明确分式的概念：一般地，如果A、B（B≠0）表示两个整式，且B中含有字母，那么式子叫做分式． 3．（2025秋•延庆区期末）一组按照规律排列的分式：，…（a≠0，b≠0），则第9个分式是（　　） A． B． C． D． 【分析】观察分式的规律：符号交替为负、正、负、正…，b的指数为奇数序列3，5，7，9，…，a的指数为1，2，3，4，…，归纳出第n项公式，再代入n＝9计算即可． 【解答】解：观察分式的规律可知：第n个分式为， ∴当n＝9时，第9个分式为． 故选：D． 【点评】本题考查了数式类规律探索，解答本题的关键是发现每一项的变化特点，求出相应的项． 4．（2023春•佛山期末）从整式2400，x2，2x﹣y中任意选取两个分别作为分子和分母，则能构成分式的个数为（　　） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【分析】要组成分式，需选取作分母的整式中含有字母． 【解答】解：、、、． 这样不同的分式一共有4种， 故选：C． 【点评】本题考查了分式的定义，掌握分式的定义是解题的关键． 5．（2026•海口开学）已知（其中n≠0，m≠﹣2），则A表示的分式是　　 ． 【分析】利用等式的性质表示A，再根据分式的除法运算法则化简计算即可得到A的表达式． 【解答】解：根据等式的性质，得， ∴， 解得． 【点评】根据分式的定义可得，正确记忆相关知识点是解题关键． 6．（2022春•同步）分式的概念：整式A除以整式B，可以表示成 　　 的形式．如果除式B中含有 　字母　 ，那么称为 　分式　 ，其中A称为分式的 　分子　 ，B称为分式的 　分母　 ，对于任意一个分式，分母都不能为 　0　 ． 【分析】根据分式的定义即可得出答案． 【解答】解：分式的概念：整式A除以整式B，可以表示成的形式．如果除式B中含有字母，那么称为分式，其中A称为分式的分子，B称为分式的分母，对于任意一个分式，分母都不能为0． 故答案为：，字母，分式，分子，分母，0． 【点评】本题考查了分式的定义，在解答此题时要注意分式是形式定义，只要是分母中含有未知数的式子即为分式． 7．（2007•杭州）给定下面一列分式：，…，（其中x≠0） （1）把任意一个分式除以前面一个分式，你发现了什么规律？ （2）根据你发现的规律，试写出给定的那列分式中的第7个分式． 【分析】根据题中所给的式子找出规律，根据此规律找出所求式子． 【解答】解：（1）；（）规律是任意一个分式除以前面一个分式恒等于； （2）∵由式子：，…，发现分母上是y1，y2，y3，…故第7个式子分母上是y7，分子上是x3， x5，x7，故第7个式子是x15，再观察符号发现第偶数个为负，第奇数个为正， ∴第7个分式应该是． 【点评】本题是找规律性的题目，需要同学们认真读题发现规律，利用规律． 【考点2】分式的基本性质（第8–18题） · 分子分母同乘或同除一个非零整式，分式值不变。 · 符号法则：分子、分母、分式本身，改变其中两个符号，值不变。 · 利用性质进行变形时，注意所乘（除）的整式不能为0。 · 整体代入法：将已知条件整体代入化简后的式子。 8．（2026•石家庄校级一模）下列各式从左到右的变形，一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据分式的基本性质，分式的分子与分母同时乘以或除以一个不为0的整式，分式的值不变，然后进行逐项判断． 【解答】解：A、原变形错误，故本选项不符合题意； B、原变形错误，故本选项不符合题意； C、原变形错误，故本选项不符合题意； D、原变形正确，故本选项符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了分式的基本性质．熟练掌握分式的基本性质是关键． 9．（2026春•汝阳县期中）将分式中的x、y的值都变为原来的3倍，则该分式的值（　　） A．扩大为原来的3倍 B．扩大为原来的9倍 C．保持不变 D．缩小为原来的 【分析】根据分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，即可确定答案． 【解答】解：， ∴该分式的值扩大为原来的3倍， 故选：A． 【点评】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 10．（2025秋•南开区期末）若a≠b，则下列等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【分析】可以用特殊值法去判断． 【解答】解：当a＝2，b＝5时，分别代入A，B，C，D验证， ，故A选项错误； ，故B选项错误； ，故C选项正确； ，故D选项错误； 故选：C． 【点评】本题考查了分式的基本性质，分式的分子分母同时乘以或除以不等于0的数分式的值不变．熟悉分式的性质是解题关键． 11．（2025•兰山区开学）根据图中的信息判断，下列等式不成立的是（　　） A．a：c＝d：b B．a：d＝c：b C． D． 【分析】根据四边形的面积得出ab＝cd，再根据比的性质一一验证与题意是否一致即可得出答案． 【解答】解：根据四边形面积可知：ab＝cd， A．由a：c＝d：b可得出ab＝cd，正确，不符合题意； B．由a：d＝c：b可得出ab＝cd，正确，不符合题意； C．由可得出ad＝cb，和题意不符，符合题意； D．由可得出ab＝cd，正确，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题主要考查了四边形的面积以及比的性质，熟练掌握分式的基本性质是关键． 12．（2025春•蜀山区校级期末）若分式中的x和y都扩大为原来的3倍后，分式的值不变，则A可能是（　　） A．3 B．3x2+3 C．3x+2y D．2xy 【分析】当分式中的变量扩大3倍后，分母变为原来的9倍．要使分式的值不变，分子A必须也变为原来的9倍．因此，A的表达式在变量扩大3倍后应等于原表达式的9倍，据此进行判断即可． 【解答】解：原分式为，当x和y扩大为原来的3倍时，分母变为2（3x）2+（3y）2＝9（2x2+y2）．此时分式变为．要使分式的值不变，需满足，即A′＝9A． A：A＝3，扩大后仍为3，不满足A′＝9A．不符合题意； B：A＝3x2+3，扩大后为3（3x）2+3＝27x2+3，而9A＝27x2+27，不相等，不符合题意； C：A＝3x+2y，扩大后为9x+6y，而9A＝27x+18y，不相等，不符合题意； D：A＝2xy，扩大后为2•3x•3y＝18xy，而9A＝18xy，相等，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查分式的基本性质，熟练掌握该知识点是关键． 13．（2025秋•奉贤区期末）若，当0＜x＜2时，M　＜　 0（选填“＞”“＜”或“＝”）． 【分析】根据题意分别判断出分子和分母的符号即可得到答案． 【解答】解：∵x﹣2＜0， ∴， ∴M＜0， 故答案为：＜． 【点评】本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是关键． 14．（2025春•大荔县期末）若，则“？”所代表的分子是c ． 【分析】将式子变形为，结合分式的基本性质即可得解． 【解答】解：由条件可知， ∴？＝c， 故答案为：c． 【点评】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解此题的关键． 15．（2024秋•浦东新区校级期末）在括号里填上使等式成立的式子：，括号内的式子为　12x+2y ． 【分析】根据分式的基本性质，对分式的分子和分母同时乘以6，即可得出结论． 【解答】解：． 故答案为：12x+2y． 【点评】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 16．（2023秋•天元区期末）已知，则　　 ． 【分析】首先设恒等式等于某一常数，然后得到x、y、z与这一常数的关系式，将各关系式代入求值． 【解答】解：设k，则x＝2k，y＝3k，z＝4k，则． 故答案为． 【点评】本题主要考查分式的基本性质，设出常数是解题的关键． 17．（2021春•单元）已知4，则的值为　6　 ． 【分析】由4，得y﹣x＝4xy，即x﹣y＝﹣4xy，代入所求的式子化简即可． 【解答】解：由4， 得y﹣x＝4xy，即x﹣y＝﹣4xy， 则6． 故答案为6． 【点评】解题关键是用到了整体代入的思想． 18．（2012春•白塔区校级期末）若，则　　 ；若，则　　 ． 【分析】（1）可设a＝3x，b＝4x，c＝3y，d＝4y，e＝3z，f＝4z，将其代入原式即可； （2）将已知条件变换即可得． 【解答】解：1）可设a＝3x，b＝4x，c＝3y，d＝4y，e＝3z，f＝4z，将其代入分式得：； （2）由已知可得出，3（x﹣2y）＝2y，3x＝8y，所以． 故答案为、． 【点评】在分式中，无论进行何种运算，如果要不改变分式的值，则所做变化必须遵循分式基本性质的要求． 【考点3】约分（第19–26题） · 先分解因式，再找公因式。 · 公因式包括系数的最大公约数和相同字母的最低次幂。 · 注意互为相反数的因式，可化为相同因式。 · 约分后要检查是否化为最简分式或整式。 19．（2025•唐山校级二模）小明化简分式时，*部分不小心滴上了墨水，请你推测，*部分的式子应该是（　　） A．x2﹣2x+1 B．x2+2x+1 C．x2﹣1 D．x2﹣2x﹣1 【分析】直接利用分式的性质结合约分得出答案． 【解答】解：∵， ∴， 故*部分的式子应该是x2+2x+1． 故选：B． 【点评】此题主要考查了约分，正确掌握分式的性质是解题关键． 20．（2025秋•唐山期中）化简，括号内应填（　　） A．6xy B．3y C．3xy D．3x 【分析】先把分子分解因式，再约去公因式即可． 【解答】解： ∴括号内应填3xy． 故选：C． 【点评】本题考查的是分式的约分，熟练掌握因式分解是关键． 21．（2026春•新津区校级期中）化简：　　 ． 【分析】先把分子分母分解因式，然后进行约分就可以． 【解答】解：原式． 【点评】约分的依据是分式的基本性质，注意在分子、分母能分解因式时应先分解因式． 22．（2023秋•阳谷县校级月考）①如果，那么　　 ； ②约分：　　 ． 【分析】（1）根据分式的性质解答即可； （2）根据分式的性质解答即可． 【解答】解：①∵， ∴， ∴； ②， 故答案为：①；②． 【点评】本题考查了分式化简求值，分式约分，利用分式的基本性质求解是解题关键． 23．（2022秋•丰顺县月考）把分式约分得到的结果是 　　 ． 【分析】先把分子分解因式，然后约分即可． 【解答】解：原式， 故答案为：． 【点评】本题考查了分式的约分，当分子与分母是多项式时，关键是把分子分母进行因式分解． 24．（2021秋•柘城县期末）当1＜x＜2，化简的值是　﹣2　 ． 【分析】根据绝对值的定义，再根据已知条件，化简式子即可得出结果． 【解答】解：因为1＜x＜2， 所以， 故答案为：﹣2 【点评】此题主要考查了绝对值的性质，能够根据已知条件正确地化简式子，比较简单． 25．（2025秋•同步）把下列分式约分： （1）； （2）； （3）； （4）． 【分析】直接将分子与分母分解因式，进而化简得出答案． 【解答】解：（1）； （2）； （3）； （4）． 【点评】此题考查了约分，用到的知识点是因式分解、分式的基本性质，在约分时要注意符号的变化． 26．（2024秋•玉田县校级期末）若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“好分式”，约分后的整式称为这个分式的“好整式”．例如：，则称分式是“好分式”，4x为它的“好整式”． （1）若分式（m，n为常数）是一个“好分式”，它的“好整式”为x﹣7，求m，n的值； （2）若“好分式”的“好整式”为1﹣x，请判断是否是“好分式”，并说明理由． 【分析】（1）根据“好分式”的定义，得到关于（x+n）（x﹣7）＝x2﹣4x+m的恒等式，求解即可； （2）根据给出的“好分式”的定义可得A；将A代入，约分后看是否是一个整式，即可得出结论． 【解答】解：（1）∵分式是一个“好分式”，它的“好整式”为x﹣7， ∴（x+n）（x﹣7）＝x2﹣4x+m， ∴x2+（n﹣7）x﹣7n＝x2﹣4x+m， ∴， 解得：； （2）∵分式的“好整式”为1﹣x． ∴， ∴； ∵， 又x+1是整式， ∴是“好分式”． 【点评】本题考查了分式的化简、因式分解，二元一次方程组的解法，解决本题的关键是弄清楚“好分式”的定义． 【考点4】最简分式（第27–32题） · 将分子、分母分别分解因式。 · 检查是否有公因式（包括互为相反数的因式）。 · 无公因式即为最简分式。 · 注意：单独一个整式不是分式。 27．（2026春•天桥区期中）下列分式是最简分式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据最简分式是指分子和分母没有公因式的分式，分别检查各选项分子与分母是否可约分． 【解答】解：A、，故不是最简分式，不符合题意； B、是最简分式，符合题意； C、，故不是最简分式，不符合题意； D、x﹣1，故不是最简分式，不符合题意； 故选：B． 【点评】本题主要考查了最简分式，熟练掌握该知识点是关键． 28．（2026春•晋江市期中）下列分式中，最简分式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】最简分式是指分子和分母没有公因式的分式，通过检查每个选项的分子和分母是否有公因式，即可判断． 【解答】解：根据最简分式的定义逐项分析判断如下： ∵A：，分子分母有公因式2，可约分为，不是最简分式，不符合题意； B： ，分子分母有公因式a，可约分为，不是最简分式，不符合题意； C： ，分子分母有公因式x+1，可约分为，不是最简分式，不符合题意； D：，分母x2+1在实数范围内不可因式分解，与分子无公因式，是最简分式，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了最简分式的判断，熟练掌握该知识点是关键． 29．（2025秋•兰山区期末）下列各式中：①；②；③；④；⑤，是分式并且属于最简分式有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】判断每个表达式是否为分式且是否为最简分式即可． 【解答】解：根据最简分式的定义逐项分析判断如下： ①，不是最简分式； ②，不是最简分式； ③，分子x+y与分母x2+y2无公因式，是最简分式； ④，分母5π是常数，无变量，不是分式； ⑤，分子5x+1与分母x2无公因式，是最简分式； 综上，是分式且是最简分式的有③和⑤，共2个． 故选：A． 【点评】本题考查了分式的定义，最简分式的判断．熟练掌握以上知识点是关键． 30．（2024春•青神县期中）下列分式中：；；；，其中最简分式有　2　 个． 【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分． 【解答】解：分式；；；，其中最简分式是， 故答案为：2． 【点评】此题主要考查了最简分式，分式的化简过程，首先要把分子分母分解因式，互为相反数的因式是比较易忽视的问题．在解题中一定要引起注意． 31．把下列分式化为最简分式． （1）　　 ； （2）　　 ． 【分析】（1）先把分子和分母分解因式，再约分即可． （2）先把分子和分母分解因式，再约分即可． 【解答】解：（1）； （2）． 故答案为：（1）；（2）． 【点评】本题考查了最简分式，分式的基本性质的应用，能正确根据分式的基本性质进行约分是解此题的关键． 32．将下列各式化为最简分式． （1）． （2）． （3）． （4）． 【分析】（1）先把分子分解因式，再约分即可； （2）先把分子和分母分解因式，再约分即可． （3）先把分子和分母分解因式，再约分即可； （4）先把分子和分母分解因式，再约分即可． 【解答】解：（1） ＝a+b﹣c； （2） ； （3） ＝x﹣1； （4） ＝﹣1． 【点评】本题考查了最简分式，分式的基本性质的应用，能正确根据分式的基本性质进行约分是解此题的关键． 【考点5】创新及压轴题（第33–35题） · 比较大小：利用 的形式比较。 · 设参法：设比值为 ，用 表示各变量。 · 分离常数：将假分式化为整式与真分式的和。 · 利用分式性质研究变化趋势。 33．（2009•定西）附加题：若a，b，试不用将分数化小数的方法比较a、b的大小．观察a、b的特征，以及你比较大小的过程，直接写出你发现的一个一般结论． 【分析】当分子比分母小1时，分子（或分母）越大的数越大． 【解答】解：a、b的特征是分母比分子大1； ∵a1，b1， ∴a＜b， ∴当分子比分母小1时，分子（或分母）越大的数越大． 【点评】本题主要考查了分式的基本性质以及有理数的大小的比较． 34．（2013秋•同步）已知，求的值． 【分析】可以设k，则x＝3k，y＝4k，z＝5k，把这三个式子代入所要求的式子，进行化简就可以求出式子的值． 【解答】解：设k（k≠0），则x＝3k，y＝4k，z＝5k， ∴． 【点评】利用这个题目中的设法，把三个未知数的问题转化为一个未知数的问题，是解题的关键． 35．（2024秋•长宁区期末）阅读理解 材料：为了研究分式与分母x的变化关系，小明制作了表格，并得到如下数据： x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 … … ﹣0.25 ﹣0. ﹣0.5 ﹣1 无意义 1 0.5 0. 0.25 … 从表格数据观察，当x＞0时，随着x的增大，的值随之减小，并无限接近0；当x＜0时，随着x的增大，的值也随之减小． 材料2：对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式．当分母的次数不高于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式．有时候，需要把一个假分式化成整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式．如：． 根据上述材料完成下列问题： （1）当x＞0时，随着x的增大，1的值 　减小　 （增大或减小）； 当x＜0时，随着x的增大，的值 　减小　 （增大或减小）； （2）当x＞1时，随着x的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数； （3）当0≤x≤2时，求代数式值的范围． 【分析】（1）由、的变化情况，判断1、1的变化情况即可； （2）由2，即可求解； （3）由2，再结合x的取值范围即可求解． 【解答】解：（1）∵当x＞0时随着x的增大而减小， ∴随着x的增大，1的值减小； ∵当x＜0时随着x的增大而减小， ∵1， ∴随着x的增大，的值减小， 故答案为：减小，减小； （2）∵2， ∵当x＞1时，的值无限接近0， ∴的值无限接近2； （3）∵5， 又∵0≤x≤2， ∴﹣13， ∴﹣8． 【点评】本题考查分式的性质，熟练掌握分式的基本性质，理解题中的变量分离的方法是解题的关键． 随堂检测 · 精选练习 · 练习1： 最简分式判断 · 练习2： 分式符号变形 · 练习3： 分式个数判断 · 练习4： 分式乘法化简 · 练习5： 比例求值 【练习1】下列分式中，是最简分式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分． 【解答】解：A、是最简分式，正确； B、不是最简分式，错误； C、不是最简分式，错误； D、不是最简分式，错误； 故选：A． 【点评】本题考查了最简分式，分式的化简过程，首先要把分子分母分解因式，互为相反数的因式是比较易忽视的问题．在解题中一定要引起注意． 【练习2】下列各式错误的有（　　） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】观察各式子的特点，看改变了分子、分母还是本身的符号． 【解答】解：①改变了分子、分母和本身的符号，错误； ②改变了分子的符号，错误； ③改变了分子和分母中一个字母的符号，错误； ④改变了分数本身和分母中一个字母的符号，错误． 故选：D． 【点评】分式的分子、分母及本身的符号，任意改变其中的两个，分式的值不变． 【练习3】（2012春•于都县校级期中）下列各式中，分式的个数是（　　） ． A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】判断分式的依据是看代数式的分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式． 【解答】解：，的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式； a的分子不是整式，因此不是分式． ，，的分母中含有字母，因此是分式． 故选：B． 【点评】本题考查了分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，A叫做分式的分子，B叫做分式的分母．注意π不是字母，是常数，所以不是分式，是整式． 【练习4】填空： （1）•　　 ； （2）ca••••　　 ． 【分析】（1）根据分式的乘法运算法则化简即可； （2）根据分式的乘法运算法则化简即可． 【解答】解：（1）•； （2）ca••， 故答案为：；． 【点评】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解答本题的关键． 【练习5】若，且xyz≠0，则 的值为　 　 ． ，且xyz≠0，则的值为　　 ． 【分析】本题中可设x＝5k，y＝4k，z＝3k，因此x+y+z＝12k，y+z＝7k．代入求出的值． 【解答】解：设x＝5k，y＝4k，z＝3k， ∵x+y+z＝12k，y+z＝7k， ∴． 故答案为． 【点评】本题可根据分式的基本性质，先设未知数，然后表示出x，y，z，再计算所要求的值． 课后巩固 · 针对性练习 · 作业1： 最简分式个数 · 作业2： 系数化整数 · 作业3： 分式个数判断 · 作业4： 分式值为整数 · 作业5： 分式求值 · 作业6： 分式识别 · 作业7： 分式基本性质 · 作业8： 规律类分式 · 作业9： 约分计算 · 作业10： 设参法求值 ❤ 复习建议 准确理解分式定义： 分母中含有字母是核心，注意 是常数不是字母。 灵活运用基本性质： 分式的分子分母同乘或同除一个非零整式，值不变，注意符号法则。 约分要彻底： 先分解因式，再找公因式，约分后检查是否为最简分式。 最简分式判断： 分子分母无公因式，注意互为相反数的因式也是公因式。 综合题策略： 设参法、分离常数法、整体代入法，灵活运用分式性质。 【作业1】（2018秋•泰山区期中）下列分式， ， ， ， ，其中最简分式的个数是（　　） ，，，，，其中最简分式的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据最简分式的定义分别对每个分式进行分析即可． 【解答】解：2y，x﹣y，，，都不是最简分式，故错误； 是最简分式，故正确； 故选：A． 【点评】此题考查了最简分式，最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分． 【作业2】（2014•射阳县校级模拟）不改变分式的值，把它的分子分母的各项系数都化为整数，所得结果正确的为（　　） 的值，把它的分子分母的各项系数都化为整数，所得结果正确的为（　　） A． B． C． D． 【分析】因为要求不改变分式的值，把的分子分母的各项系数都化为整数，根据此题的特点，只要将分子、分母同乘以10即可． 【解答】解：∵不改变分式的值， ∴把的分子分母的各项系数都乘以10得：． 故选：C． 【点评】此题主要考查了分式的基本性质，运用分式的基本性质解题必须理解和掌握分式的基本性质：，（其中m≠0）和分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任意两个，分式的值不变． 【作业3】（2020秋•道里区校级月考）在代数式， ， ， ，a ， 中，分式的个数是（　　） ，，，，a，中，分式的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么数字（B≠0）叫做分式，由此即可判断． 【解答】解：，，a，是整式，，是分式， ∴分式的个数是2个． 故选：A． 【点评】本题考查分式，关键是掌握分式的定义． 【作业4】（2018秋•潍坊期末）已知x为整数，且分式的值为整数，满足条件的整数x的个数有（　　） x为整数，且分式的值为整数，满足条件的整数x的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】先化简得到原式，然后利用整数的整除性得到2只能被﹣1，1，﹣2，2这几个整数整除，从而得到x的值． 【解答】解：∵原式， ∴x+1为±1，±2时，的值为整数， ∵x2﹣1≠0， ∴x≠±1， ∴x为﹣2，0，﹣3，个数有3个． 故选：C． 【点评】本题考查了分式的值：把满足条件的字母的值代入分式，通过计算得到对应的分式的值． 【作业5】（2025秋•虹口区校级月考）分式的值是0.2，且xy＝2，则x+y的值为　 或 　 ． 的值是0.2，且xy＝2，则x+y的值为　或　 ． 【分析】将分式进行分子，分母同乘10，进行化简，分式值不变，再对分式进行整理，得出y＝4x，求出x，y 的值． 【解答】解：将分式分子，分母同时乘10得到分式的值不变， ∴0.2， ∵xy＝2， ， ∴﹣5y＝1+y2， ∴y2+5y+1＝0， 解得y， ∵xy＝2， 当y时， ∴x＝﹣5， ∴x+y， 当y， x＝﹣5， ∴x+y， 故答案为：． 【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的性质是解题的关键． 【作业6】（2024秋•泰山区期中）下列各式中：3x﹣4，x2﹣1，， ，0， ， ，其中分式共有　3　 个． x﹣4，x2﹣1，，，0，，，其中分式共有　3　 个． 【分析】根据分式的定义，形如，B中含有字母，这样的式子叫做分式，进行判断即可． 【解答】解：题目所有式子中，分式有，，共3个， 故答案为：3． 【点评】本题考查分式的判断，一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫分式． 【作业7】（2023秋•定西期末）已知分式，若把a，b的值都扩大到原来的5倍，则此时分式的值为 　3　 ．（填数字） ，若把a，b的值都扩大到原来的5倍，则此时分式的值为 　3　 ．（填数字） 【分析】将a和b分别扩大到原来的5倍后再进行计算即可． 【解答】解：3， 故答案为：3． 【点评】本题考查分式的基本性质，熟练地利用它进行相关分式的计算是解题的关键． 【作业8】（2024秋•东昌府区期中）观察下面一列分式：，根据规律，它的第n项是　 　 ． ，根据规律，它的第n项是　　 ． 【分析】先根据所给的分式找出规律，即可得出第n项的表达式． 【解答】解：第一个是：； 第二个是：； 第三个是：， …， 故第n项是：． 故答案为：． 【点评】本题考查的是分式的定义，根据题意找出规律是解答此题的关键． 【作业9】（2025秋•同步）将下列分式约分： （1）； （2）； （3）； （4）． 【分析】（1）直接将分子与分母分解因式，进而化简得出答案； （2）直接将分子与分母分解因式，进而化简得出答案． （3）直接将分子与分母分解因式，进而化简得出答案； （4）直接将分子与分母分解因式，进而化简得出答案． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 ． 【点评】此题主要考查了约分，正确掌握分式的性质和因式分解是解题关键． 【作业10】（2021秋•龙凤区期末）阅读下列解题过程，然后解题： 题目：已知（a、b、c互不相等），求x+y+z的值． 解：设，则x＝k（a﹣b），y＝k（b﹣c），z＝k（c﹣a）， ∴x+y+z＝k（a﹣b+b﹣c+c﹣a）＝k•0＝0，∴x+y+z＝0． 依照上述方法解答下列问题： 已知：，其中x+y+z≠0，求的值． 【分析】根据提示，先设比值为k，再利用等式列出三元一次方程组，即可求出k的值是2，然后把x+y＝2z代入所求代数式． 【解答】解：设k， 则：， （1）+（2）+（3）得：2x+2y+2z＝k（x+y+z）， ∵x+y+z≠0， ∴k＝2， ∴原式． 【点评】本题主要考查分式的基本性质，重点是设“k”法． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13.1 分式及其性质（知识精讲+典例+创新题+练习） 高效提优讲义 七年级数学新教材沪教版五四制 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 理解分式的概念，能准确识别分式，掌握分式有意义的条件。 · 掌握分式的基本性质，能运用性质进行分式的变形。 · 掌握约分的方法，能熟练将分式化为最简分式。 · 理解最简分式的概念，能判断一个分式是否为最简分式。 · 能运用分式的性质解决规律探究、整体代入等综合问题。 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 1. 分式的定义 定义： 一般地，如果 、 表示两个整式，且 中含有字母，那么式子 叫做分式。其中 叫做分子， 叫做分母。 · 分式有意义的条件：分母 。 · 分式 的值为0的条件：分子 且分母 。 · 是常数，不是字母，所以分母中含有 的式子不是分式。 ☑ 典型例题 1 题目： 下列式子中是分式的是（ ） A.   B.   C.   D. 解析： 分母中含有字母的式子是分式。A、B、C的分母中都不含字母，只有D中分母 含有字母。 答案： D ☆ 2. 分式的基本性质 性质： 分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。 · 公式：，（）。 · 注意：所乘（或除）的整式不能为0。 · 符号法则：。 ☑ 典型例题 2 题目： 下列各式从左到右的变形，一定正确的是（ ） A.   B.   C.   D. 解析： A中分子分母加的数不同，不符合基本性质；B中右边应为 ；C中 与 不一定相等；D符合分式基本性质，分子分母同除以 。 答案： D ☆ 3. 约分 定义： 根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。 · 约分的关键：找出分子、分母的公因式。 · 约分的依据：分式的基本性质。 · 约分的结果：化为最简分式或整式。 ☑ 典型例题 3 题目： 化简 的结果是（ ） A.   B.   C.   D. 解析： 分子 ，分母 ，约去公因式 ，得 。 答案： A ☆ 4. 最简分式 定义： 分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。 · 判断方法：将分子、分母分别分解因式，检查是否有公因式。 · 若分子、分母都是多项式，需先因式分解再判断。 · 注意互为相反数的因式也是公因式。 ☑ 典型例题 4 题目： 下列分式是最简分式的是（ ） A.   B.   C.   D. 解析： A可约分为 ；C = ；D = ；B中分子分母无公因式，是最简分式。 答案： B ☑ 知识总结表 核心概念 定义/性质 注意事项 分式的定义 ， 中含字母 分母 ， 不是字母 分式基本性质 约分 约去分子、分母的公因式 依据是分式基本性质 最简分式 分子、分母无公因式 需先因式分解再判断 核心考点 ·5大典型考点精讲 【考点1】分式的定义（第1–7题） · 判断分式：看分母中是否含有字母（ 不是字母）。 · 分式有意义：分母 。 · 分式值为0：分子为0且分母不为0。 · 规律类分式：观察符号、分子、分母的指数变化规律。 1．（2026春•宿城区校级期中）下列式子中是分式的是（　　） A． B． C． D． 2．（2026春•新安县期中）在，，，，分式的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（2025秋•延庆区期末）一组按照规律排列的分式：，…（a≠0，b≠0），则第9个分式是（　　） A． B． C． D． 4．（2023春•佛山期末）从整式2400，x2，2x﹣y中任意选取两个分别作为分子和分母，则能构成分式的个数为（　　） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 5．（2026•海口开学）已知（其中n≠0，m≠﹣2），则A表示的分式是　 　 ． 6．（2022春•同步）分式的概念：整式A除以整式B，可以表示成 　 　 的形式．如果除式B中含有 　 　 ，那么称为 　 　 ，其中A称为分式的 　 　 ，B称为分式的 　 　 ，对于任意一个分式，分母都不能为 　 　 ． 7．（2007•杭州）给定下面一列分式：，…，（其中x≠0） （1）把任意一个分式除以前面一个分式，你发现了什么规律？ （2）根据你发现的规律，试写出给定的那列分式中的第7个分式． 【考点2】分式的基本性质（第8–18题） · 分子分母同乘或同除一个非零整式，分式值不变。 · 符号法则：分子、分母、分式本身，改变其中两个符号，值不变。 · 利用性质进行变形时，注意所乘（除）的整式不能为0。 · 整体代入法：将已知条件整体代入化简后的式子。 8．（2026•石家庄校级一模）下列各式从左到右的变形，一定正确的是（　　） A． B． C． D． 9．（2026春•汝阳县期中）将分式中的x、y的值都变为原来的3倍，则该分式的值（　　） A．扩大为原来的3倍 B．扩大为原来的9倍 C．保持不变 D．缩小为原来的 10．（2025秋•南开区期末）若a≠b，则下列等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 11．（2025•兰山区开学）根据图中的信息判断，下列等式不成立的是（　　） A．a：c＝d：b B．a：d＝c：b C． D． 12．（2025春•蜀山区校级期末）若分式中的x和y都扩大为原来的3倍后，分式的值不变，则A可能是（　　） A．3 B．3x2+3 C．3x+2y D．2xy 13．（2025秋•奉贤区期末）若，当0＜x＜2时，M　 　 0（选填“＞”“＜”或“＝”）． 14．（2025春•大荔县期末）若，则“？”所代表的分子是　 　 ． 15．（2024秋•浦东新区校级期末）在括号里填上使等式成立的式子：，括号内的式子为　 　 ． 16．（2023秋•天元区期末）已知，则　 　 ． 17．（2021春•单元）已知4，则的值为　 　 ． 18．（2012春•白塔区校级期末）若，则　 　 ；若，则　 　 ． 【考点3】约分（第19–26题） · 先分解因式，再找公因式。 · 公因式包括系数的最大公约数和相同字母的最低次幂。 · 注意互为相反数的因式，可化为相同因式。 · 约分后要检查是否化为最简分式或整式。 19．（2025•唐山校级二模）小明化简分式时，*部分不小心滴上了墨水，请你推测，*部分的式子应该是（　　） A．x2﹣2x+1 B．x2+2x+1 C．x2﹣1 D．x2﹣2x﹣1 20．（2025秋•唐山期中）化简，括号内应填（　　） A．6xy B．3y C．3xy D．3x 21．（2026春•新津区校级期中）化简：　 　 ． 22．（2023秋•阳谷县校级月考）①如果，那么　 　 ； ②约分：　 　 ． 23．（2022秋•丰顺县月考）把分式约分得到的结果是 　 　 ． 24．（2021秋•柘城县期末）当1＜x＜2，化简的值是　 　 ． 25．（2025秋•同步）把下列分式约分： （1）； （2）； （3）； （4）． 26．（2024秋•玉田县校级期末）若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“好分式”，约分后的整式称为这个分式的“好整式”．例如：，则称分式是“好分式”，4x为它的“好整式”． （1）若分式（m，n为常数）是一个“好分式”，它的“好整式”为x﹣7，求m，n的值； （2）若“好分式”的“好整式”为1﹣x，请判断是否是“好分式”，并说明理由． 【考点4】最简分式（第27–32题） · 将分子、分母分别分解因式。 · 检查是否有公因式（包括互为相反数的因式）。 · 无公因式即为最简分式。 · 注意：单独一个整式不是分式。 27．（2026春•天桥区期中）下列分式是最简分式的是（　　） A． B． C． D． 28．（2026春•晋江市期中）下列分式中，最简分式的是（　　） A． B． C． D． 29．（2025秋•兰山区期末）下列各式中：①；②；③；④；⑤，是分式并且属于最简分式有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 30．（2024春•青神县期中）下列分式中：；；；，其中最简分式有　 　 个． 31．把下列分式化为最简分式． （1）　 　 ； （2）　 　 ． 32．将下列各式化为最简分式． （1）． （2）． （3）． （4）． 【考点5】创新及压轴题（第33–35题） · 比较大小：利用 的形式比较。 · 设参法：设比值为 ，用 表示各变量。 · 分离常数：将假分式化为整式与真分式的和。 · 利用分式性质研究变化趋势。 33．（2009•定西）附加题：若a，b，试不用将分数化小数的方法比较a、b的大小．观察a、b的特征，以及你比较大小的过程，直接写出你发现的一个一般结论． 34．（2013秋•同步）已知，求的值． 35．（2024秋•长宁区期末）阅读理解 材料：为了研究分式与分母x的变化关系，小明制作了表格，并得到如下数据： x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 … … ﹣0.25 ﹣0. ﹣0.5 ﹣1 无意义 1 0.5 0. 0.25 … 从表格数据观察，当x＞0时，随着x的增大，的值随之减小，并无限接近0；当x＜0时，随着x的增大，的值也随之减小． 材料2：对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式．当分母的次数不高于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式．有时候，需要把一个假分式化成整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式．如：． 根据上述材料完成下列问题： （1）当x＞0时，随着x的增大，1的值 　 　 （增大或减小）； 当x＜0时，随着x的增大，的值 　 　 （增大或减小）； （2）当x＞1时，随着x的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数； （3）当0≤x≤2时，求代数式值的范围． 随堂检测 · 精选练习 · 练习1： 最简分式判断 · 练习2： 分式符号变形 · 练习3： 分式个数判断 · 练习4： 分式乘法化简 · 练习5： 比例求值 【练习1】下列分式中，是最简分式的是（　　） A． B． C． D． 【练习2】下列各式错误的有（　　） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【练习3】（2012春•于都县校级期中）下列各式中，分式的个数是（　　） ． A．2 B．3 C．4 D．5 【练习4】填空： （1）•　 　 ； （2）ca••••　 　 ． 【练习5】若，且xyz≠0，则 的值为　 　 ． ，且xyz≠0，则的值为　 　 ． 课后巩固 · 针对性练习 · 作业1： 最简分式个数 · 作业2： 系数化整数 · 作业3： 分式个数判断 · 作业4： 分式值为整数 · 作业5： 分式求值 · 作业6： 分式识别 · 作业7： 分式基本性质 · 作业8： 规律类分式 · 作业9： 约分计算 · 作业10： 设参法求值 ❤ 复习建议 准确理解分式定义： 分母中含有字母是核心，注意 是常数不是字母。 灵活运用基本性质： 分式的分子分母同乘或同除一个非零整式，值不变，注意符号法则。 约分要彻底： 先分解因式，再找公因式，约分后检查是否为最简分式。 最简分式判断： 分子分母无公因式，注意互为相反数的因式也是公因式。 综合题策略： 设参法、分离常数法、整体代入法，灵活运用分式性质。 【作业1】（2018秋•泰山区期中）下列分式， ， ， ， ，其中最简分式的个数是（　　） ，，，，，其中最简分式的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【作业2】（2014•射阳县校级模拟）不改变分式的值，把它的分子分母的各项系数都化为整数，所得结果正确的为（　　） 的值，把它的分子分母的各项系数都化为整数，所得结果正确的为（　　） A． B． C． D． 【作业3】（2020秋•道里区校级月考）在代数式， ， ， ，a ， 中，分式的个数是（　　） ，，，，a，中，分式的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【作业4】（2018秋•潍坊期末）已知x为整数，且分式的值为整数，满足条件的整数x的个数有（　　） x为整数，且分式的值为整数，满足条件的整数x的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【作业5】（2025秋•虹口区校级月考）分式的值是0.2，且xy＝2，则x+y的值为　 　 ． 的值是0.2，且xy＝2，则x+y的值为　 　 ． 【作业6】（2024秋•泰山区期中）下列各式中：3x﹣4，x2﹣1，， ，0， ， ，其中分式共有　 　 个． x﹣4，x2﹣1，，，0，，，其中分式共有　 　 个． 【作业7】（2023秋•定西期末）已知分式，若把a，b的值都扩大到原来的5倍，则此时分式的值为 　 　 ．（填数字） ，若把a，b的值都扩大到原来的5倍，则此时分式的值为 　 　 ．（填数字） 【作业8】（2024秋•东昌府区期中）观察下面一列分式：，根据规律，它的第n项是　 　 ． ，根据规律，它的第n项是　 　 ． 【作业9】（2025秋•同步）将下列分式约分： （1）； （2）； （3）； （4）． 【作业10】（2021秋•龙凤区期末）阅读下列解题过程，然后解题： 题目：已知（a、b、c互不相等），求x+y+z的值． 解：设，则x＝k（a﹣b），y＝k（b﹣c），z＝k（c﹣a）， ∴x+y+z＝k（a﹣b+b﹣c+c﹣a）＝k•0＝0，∴x+y+z＝0． 依照上述方法解答下列问题： 已知：，其中x+y+z≠0，求的值． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $