专题11.3 整式的除法【暑假预习】提优讲义 2026-2027学年沪教版（五四制）数学七年级上册

专题11.3 整式的除法（知识精讲+典例+创新题+练习） 高效提优讲义 七年级数学新教材沪教版五四制 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 掌握同底数幂的除法法则，能熟练进行同底数幂的除法运算。 · 掌握单项式除以单项式的法则，能准确计算。 · 掌握多项式除以单项式的法则，能正确进行整式除法运算。 · 理解整式除法与乘法之间的关系，能解决相关的逆运算问题。 · 能运用竖式除法解决多项式除以多项式的综合问题，体会类比思想。 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 1. 同底数幂的除法 法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减。即 aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ（a≠0，m、n 为正整数，且 m>n）。 · 底数可以是数、字母或整式。 · 逆用：aᵐ⁻ⁿ = aᵐ ÷ aⁿ。 · 注意：a⁰ = 1（a≠0）。 ※ 典型例题 1 题目：若 6ˣ = a，6ʸ = b，则 6ˣ⁻²ʸ = （  ） A. a/b²   B. 2ab   C. ab²   D. a−2b 解析：6ˣ⁻²ʸ = 6ˣ ÷ 6²ʸ = 6ˣ ÷ (6ʸ)² = a/b²。 答案：A ☆ 2. 单项式除以单项式 法则：系数相除，同底数幂相除，对于只在被除式中含有的字母，连同它的指数作为商的一个因式。 · 注意符号和指数运算。 · 结果仍为单项式（当被除式能被除式整除时）。 ※ 典型例题 2 题目：计算 (−2a²b³)² ÷ 4a³b² 的结果是（  ） 解析：先算积的乘方：(−2a²b³)² = 4a⁴b⁶，再除以 4a³b² 得 ab⁴。 答案：ab⁴ ☆ 3. 多项式除以单项式 法则：用多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。即 (ma+mb+mc)÷m = a+b+c。 · 注意符号，特别是负号。 · 结果仍是多项式，项数不变。 ※ 典型例题 3 题目：一个长方形的面积是 8a³−6a²+2a，若它的长是 2a，则它的宽是（  ） A. 8a²−6a+2   B. 4a³−3a²+a   C. 4a²−3a   D. 4a²−3a+1 解析：宽 = 面积 ÷ 长 = (8a³−6a²+2a) ÷ 2a = 4a²−3a+1。 答案：D ☆ 4. 多项式除以多项式（竖式除法） 仿照多位数除法，用竖式计算多项式除以多项式。 · 步骤：按降幂排列，用被除式的首项除以除式的首项得商的首项，相乘后相减，重复进行。 · 被除式 = 除式 × 商式 + 余式。 · 若余式为0，则被除式能被除式整除。 ※ 典型例题 4 题目：用竖式计算 (4x³+8x²−3x−9) ÷ (x−1)。 解析：竖式除法可得商为 4x²+12x+9，余式为0。 答案：4x²+12x+9 ☑ 知识总结表 运算类型 法则 注意事项 同底数幂除法 底数不变，指数相减 底数不能为0，指数为正整数 单项式÷单项式 系数相除，同底数幂相除 只在被除式中的字母照写 多项式÷单项式 各项分别除以单项式 注意符号，不要漏项 多项式÷多项式 竖式除法，按降幂排列 被除式 = 除式×商 + 余式 核心考点 ·4大典型考点精讲 【考点1】同底数幂的除法（第1–8题） 方法总结： · 直接应用：aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ。 · 逆用：aᵐ⁻ⁿ = aᵐ ÷ aⁿ，用于已知幂求值。 · 注意底数可以是整式，指数相减。 · 幂的乘方与除法综合运算时，注意运算顺序。 1．（2026春•浙江期中）若6x＝a，6y＝b，则6x﹣2y＝（　　） A． B．2ab C．ab2 D．a﹣2b 2．（2026春•天宁区校级期中）下面是小明做的四道题：①2a+3b＝5ab；②（3a3）2＝6a6；③a6÷a2＝a3；④a2•a3＝a5．其中做对的题数有（　　） A．1题 B．2题 C．3题 D．4题 3．（2026春•江阴市期中）若am＝16，an＝2，则am﹣n＝　 　 ． 4．（2025春•新华区校级月考）计算（﹣a2）3÷（﹣a2）结果是　 　 ． 5．（2025春•市南区校级期中）已知：5a＝2，5b＝6，则53a﹣2b的值为 　 　 ． 6．（2026春•苏州期中）分别求出下列式子的值． （1）已知：3m＝2，3n＝5，求： ①3m+2n； ②34m﹣3n． （2）如果2x+2+2x+1＝48，求x的值． 7．（2026春•同步）（1）已知3x＝2，3y＝4． ①求27x的值； ②求32x﹣y的值． （2）已知am＝2，an＝4，ak＝32，求a3m+2n﹣k的值． （3）已知x＝3m﹣3，y﹣4＝81m÷3m，用含x的代数式表示y． 8．（2025春•烈山区校级期中）已知2m＝3，2n＝9，2p＝81． （1）求4m的值； （2）求4m+n﹣p的值； （3）字母m，n，p之间的数量关系为 　 　 ． 【考点2】单项式除以单项式（第9–18题） 方法总结： · 系数相除，同底数幂相除。 · 只在被除式中出现的字母，连同指数照写。 · 注意符号运算，负负得正。 · 混合运算时，先算乘方，再算乘除。 9．（2026春•长寿区期中）计算： （1）（﹣a2）3•（﹣a3）2； （2）． 10．（2026•榆林模拟）计算（2m2）3÷m4的结果为（　　） A．4m2 B．4m C．8m D．8m2 11．（2025春•烈山区校级期中）小明在计算整式除法的时候一不小心除数被墨水覆盖了，如﹣4x6y4÷■＝2xy，则“■”所表示的式子是（　　） A．﹣2x5y5 B．﹣2x5y3 C．﹣4x3y5 D．2x5y3 12．（2024秋•循化县期末）计算2x3y÷xy的结果是（　　） A．2x2 B．x2y C．xy D．2xy2 13．（2025春•岑溪市校级月考）若﹣2x2•（　　）＝﹣8x3y，则括号内应填的代数式是（　　） A．﹣4y B．﹣4xy C．﹣4x2y D．4xy 14．（2026春•宣城期中）计算：（﹣2a2b3）2÷4a3b2＝　 　 ． 15．（2024秋•浦东新区校级期末）计算：（﹣a2b）3÷2a＝　 　 ． 16．（2024秋•射洪市校级月考）计算： （1）（﹣a）8÷（﹣a2）＝　 　 ； （2）35a7b3c÷7a4bc＝　 　 ； （3）　 　 ． 17．（2025秋•晋江市期末）计算：4x3y÷2y•（﹣3xy3）2 18．（2024秋•上饶校级期中）已知A、B均为整式，A＝（xy+1）（xy﹣2）﹣2x2y2+2，小马在计算A÷B时，误把“÷”抄成了“﹣”，这样他计算的正确结果为﹣x2y2． （1）将整式A化为最简形式； （2）求整式B； （3）求A÷B的正确结果． 【考点3】多项式除以单项式（第19–30题） 方法总结： · 用多项式的每一项分别除以单项式。 · 注意符号，特别是负号。 · 结果中项数与原多项式相同。 · 逆运算：被除式 = 除式 × 商式 + 余式。 19．（2026春•榕城区期中）[新考法]我们知道两个整数相除时会有除不尽（商不是整数）的情况，例如9÷2就除不尽，可以用余数表示，即：9除以2商4余1．同样两个整式相除时也有可能除不尽，若多项式4x3﹣2x2+ax+3除以bx，商式为2x2﹣x﹣5余3，则a+b的值为（　　） A．﹣8 B．8 C．12 D．﹣12 20．（2026春•碑林区期中）一个长方形的面积是8a3﹣6a2+2a．若它的长是2a，则它的宽是（　　） A．8a2﹣6a+2 B．4a3﹣3a2+a C．4a2﹣3a D．4a2﹣3a+1 21．（2026春•福田区校级期中）一道除法运算题：（21x4y3﹣□+7x2y2）÷（﹣7x2y）＝□+5xy﹣y，其中被除式的第二项被墨水弄污了，商的第一项也被墨水弄污了，则被墨水弄污染的内容是（　　） A．35x2y2，﹣3x2y2 B．﹣35x3y2，3x2y2 C．﹣35x2y2，﹣3x3y2 D．35x3y2，﹣3x2y2 22．（2026春•梁溪区校级期中）乐乐的作业本不小心被撕掉了一部分，留下一道残缺不全的题目，如图所示，请你帮他推测出等号左边被撕掉的内容是（　　） A．（x2﹣2x+6） B．（x2﹣3x2+6） C．（x2﹣3x+6） D．（x2﹣3x﹣6） 23．（2024秋•青山区期末）有两块总面积相等的场地，左边场地为正方形，由四部分构成，各部分的面积数据如图所示，右边场地为长方形，长为2（a+b），则宽为（　　） A． B．a﹣b C． D．a+b 24．（2025春•兴平市期末）小辰与小辉在做游戏时，两人各报一个整式，若将小辰报的整式作为除式，小辉报的整式作为被除式，要求商必须为﹣3xy2．若小辉报的整式是9x4y3﹣6x3y2，则小辰应报的整式是（　　） A．﹣3xy3﹣2x2 B．﹣3x3y﹣2x2y C．3x3y+2xy D．﹣3x3y+2x2 25．（2025秋•翠屏区校级月考）已知多项式x3+ax2﹣2x+8除以x﹣b的商为x2﹣x+2，则a、b的值为（　　） A．a＝3，b＝4 B．a＝﹣3，b＝1 C．a＝3，b＝﹣4 D．a＝3，b＝﹣1 26．（2025秋•杨浦区校级期中）计算：（﹣18x4y5+12x5y7﹣27x3y3）÷（﹣3xy）3＝　 　 ． 27．（2024秋•广阳区校级月考）若■÷5ab＝2a2+ab﹣3b，则被除数等于　 　 ． 28．（2024秋•徐汇区校级期中）已知A＝2x，B是多项式，在计算B+A时，小马虎同学把B+A看成B÷A，结果得x，则B+A＝　 　 ． 29．（2025秋•京山市月考）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式： （1）求所捂的多项式； （2）若，求所捂多项式的值． 30．（2025秋•苍溪县期末）计算： （1）[x（x2y2﹣xy）﹣y（x2﹣x3y）]÷3x2y； （2）． 【考点4】创新及压轴题（第31–34题） 方法总结： · 竖式除法：仿照多位数除法，注意降幂排列和缺项补零。 · 余式定理：被除式 = 除式 × 商式 + 余式。 · 待定系数法：通过比较系数求未知参数。 · 整除条件：余式为0。 31．（2015秋•长宁区校级期中）已知一个三次多项式除以x2﹣9的余式为3x﹣5，除以x2﹣16余式﹣2x﹣7，求这个三次多项式． 32．（2023春•蓬莱区期中）一位同学在研究多项式除法时，把被除式的二次项系数写成a，而把结果的一次项系数又写成了﹣b，等式如下：（x3+ax2+1）÷（x+1）＝x2﹣bx+1，现请你帮他求出a，b的值． 33．（2025春•吉州区校级月考）我们已经学习过多项式除以单项式，多项式除以多项式一般可用竖式计算，例如：计算（6x4﹣7x3﹣x2﹣1）÷（2x+1），可用竖式除法． 步骤如下： ①把被除式、除式按某个字母降幂排列，并把所缺的项用零补齐； ②用被除式的第一项6x4除以除式第一项2x，得到商式的第一项3x3； ③用商式的第一项3x3去乘除式（2x+1），把积（6x4+3x3）写在被除式下面（同类项对齐），再把两式相减； ④把相减所得的差（﹣10x3﹣x2）当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止． 被除式＝除式x商式+余式．若余式为零，说明这个多项式能被另一个多项式整除． ∵余式为0，∴6x4﹣7x3﹣x2﹣1可以整除2x+1． 请根据阅读材料，回答下列问题： （1）请在两个方框内分别填入正确的数或式子　 　 ，　 　 ； （2）请模仿材料中的方法计算多项式（4x3+8x2﹣3x﹣9）÷（x﹣1）． 34．（2021秋•椒江区校级期中）两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多位数相除的计算方法，用竖式进行计算．例如（7x+2+6x2）÷（2x+1），仿照672÷21计算如下： 因此（7x+2+6x2）÷（2x+1）＝3x+2． （1）阅读上述材料后，试判断x3﹣x2﹣5x﹣3能否被x+1整除，说明理由． （2）利用上述方法解决：若多项式2x4﹣3x3+ax2+7x+b能被x2+x﹣2整除，求的值． 随堂检测 · 精选练习 练习1：同底数幂除法练习2：单项式除法求参数练习3：多项式除以单项式练习4：幂的除法与乘方综合练习5：幂的运算规定应用 【练习1】若a6m÷ax＝a2m，则x的值是（　　） A．4m B．3m C．3 D．2m 【练习2】若12x4ym÷28xny3y2，则（　　） A．m＝4，n＝5 B．m＝5，n＝4 C．m＝3，n＝4 D．m＝2，n＝3 【练习3】（2025春•秦都区校级月考）已知长方形面积为6y4﹣3x2y3+x2y2，它的宽为3y2，则这个长方形的长为　 　 ． 【练习4】（2025春•临潼区校级月考）若xa＝xb，则a＝b（x＞0且x≠1，a，b是正整数）． （1）如果22m+1＝64，那么m＝　 　 ； （2）如果7m＝56，8n＝56，那么56mn﹣m﹣n＝　 　 ． 【练习5】（2026春•泰州期中）在幂的运算中规定：若ax＝ay（a＞0且a≠1，x、y是正整数），则x＝y，利用上面规定解答下列问题： （1）若4x﹣3＝242，求x的值； （2）若3x+1﹣3x＝162，求x的值． 课后巩固 · 针对性练习 作业1：余式定理作业2：幂的运算判断作业3：多项式除以单项式作业4：规律探究与除法作业5：同底数幂除法求值作业6：科学计数法除法作业7：整式除法计算作业8：幂的运算综合作业9：代数式化简与无关作业10：错看问题 ❤ 复习建议 牢记幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，注意底数不能为0。 单项式除法要细心：系数相除、同底数幂相除，注意只在被除式中出现的字母要照写。 多项式除以单项式：逐项相除，注意符号，结果项数不变。 竖式除法类比学习：仿照多位数除法，按降幂排列，缺项补零，循序渐进。 逆运算与检验：利用“被除式 = 除式 × 商式 + 余式”检验结果的正确性。 【作业1】设f（x）为实系数多项式，除以x﹣1，余数为9；除以x﹣2．余数为16，则f（x）除以（x﹣1）（x﹣2）的余式为（　　） A．7x+2 B．7x+3 C．7x+4 D．7x+5 E．2x+7 【作业2】下面计算正确的是（　　） A．a3÷a＝a3 B．（a+b）2＝a2+b2 C．（﹣3a3）2＝6a6 D．（﹣b3）2+（﹣b2）3＝0 【作业3】（2019春•城关区校级期中）计算：（8x5﹣6x3﹣4x2）÷（﹣2x）＝（　　） A．﹣4x4﹣3x2+2x B．﹣4x4+3x2+2x C．4x4+3x2﹣2x D．4x4﹣3x2﹣2x 【作业4】阅读下列各等式，观察并总结规律． （x2﹣1）÷（x﹣1）＝x+1 （x3﹣1）÷（x﹣1）＝x2+x+1 （x4﹣1）÷（x﹣1）＝x3+x2+x+1 （x5﹣1）÷（x﹣1）＝x4+x3+x2+x+1 （1）根据你的观察得（x7﹣1）÷（x﹣1）＝　 　 ，那么（xn﹣1）÷（x﹣1）＝　 　 ； （2）利用（1）的结果计算1+22+23+24+…+22019＝　 　 ． 【作业5】若3m＝5，3n＝4，则32m﹣3n＝　 　 ． 【作业6】（2012秋•樟树市期末）已知木星的质量约是a×1024吨，地球的质量约是3a×1021吨，则木星的质量约是地球质量的　 　 倍． （结果取整数） 【作业7】（2013春•平湖市校级单元）（1）a2bx3÷a2x＝　 　 ； （2）3a2b2c÷（a2b2）＝　 　 ； （3）（a5b6﹣a3b2）÷ab＝　 　 ； （4）（8x2y﹣12x4y2）÷（﹣4xy）＝　 　 ． 【作业8】（1）若3m＝6，9n＝2，求32m﹣4n+1的值； （2）若10m＝20，10n，求9m÷32n的值． 【作业9】试说明代数式[（x+2y）（x﹣y）﹣（y﹣x）2]÷（﹣3y）﹣y的值与y无关． 【作业10】小亮在计算一个多项式除以单项式x时，不小心算成乘以x，得到的结果为6x4y3﹣x3y2+2x2y，你能帮他求出正确的结果吗？ 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11.3 整式的除法（知识精讲+典例+创新题+练习） 高效提优讲义 七年级数学新教材沪教版五四制 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 掌握同底数幂的除法法则，能熟练进行同底数幂的除法运算。 · 掌握单项式除以单项式的法则，能准确计算。 · 掌握多项式除以单项式的法则，能正确进行整式除法运算。 · 理解整式除法与乘法之间的关系，能解决相关的逆运算问题。 · 能运用竖式除法解决多项式除以多项式的综合问题，体会类比思想。 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 1. 同底数幂的除法 法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减。即 aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ（a≠0，m、n 为正整数，且 m>n）。 · 底数可以是数、字母或整式。 · 逆用：aᵐ⁻ⁿ = aᵐ ÷ aⁿ。 · 注意：a⁰ = 1（a≠0）。 ※ 典型例题 1 题目：若 6ˣ = a，6ʸ = b，则 6ˣ⁻²ʸ = （  ） A. a/b²   B. 2ab   C. ab²   D. a−2b 解析：6ˣ⁻²ʸ = 6ˣ ÷ 6²ʸ = 6ˣ ÷ (6ʸ)² = a/b²。 答案：A ☆ 2. 单项式除以单项式 法则：系数相除，同底数幂相除，对于只在被除式中含有的字母，连同它的指数作为商的一个因式。 · 注意符号和指数运算。 · 结果仍为单项式（当被除式能被除式整除时）。 ※ 典型例题 2 题目：计算 (−2a²b³)² ÷ 4a³b² 的结果是（  ） 解析：先算积的乘方：(−2a²b³)² = 4a⁴b⁶，再除以 4a³b² 得 ab⁴。 答案：ab⁴ ☆ 3. 多项式除以单项式 法则：用多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。即 (ma+mb+mc)÷m = a+b+c。 · 注意符号，特别是负号。 · 结果仍是多项式，项数不变。 ※ 典型例题 3 题目：一个长方形的面积是 8a³−6a²+2a，若它的长是 2a，则它的宽是（  ） A. 8a²−6a+2   B. 4a³−3a²+a   C. 4a²−3a   D. 4a²−3a+1 解析：宽 = 面积 ÷ 长 = (8a³−6a²+2a) ÷ 2a = 4a²−3a+1。 答案：D ☆ 4. 多项式除以多项式（竖式除法） 仿照多位数除法，用竖式计算多项式除以多项式。 · 步骤：按降幂排列，用被除式的首项除以除式的首项得商的首项，相乘后相减，重复进行。 · 被除式 = 除式 × 商式 + 余式。 · 若余式为0，则被除式能被除式整除。 ※ 典型例题 4 题目：用竖式计算 (4x³+8x²−3x−9) ÷ (x−1)。 解析：竖式除法可得商为 4x²+12x+9，余式为0。 答案：4x²+12x+9 ☑ 知识总结表 运算类型 法则 注意事项 同底数幂除法 底数不变，指数相减 底数不能为0，指数为正整数 单项式÷单项式 系数相除，同底数幂相除 只在被除式中的字母照写 多项式÷单项式 各项分别除以单项式 注意符号，不要漏项 多项式÷多项式 竖式除法，按降幂排列 被除式 = 除式×商 + 余式 核心考点 ·4大典型考点精讲 【考点1】同底数幂的除法（第1–8题） 方法总结： · 直接应用：aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ。 · 逆用：aᵐ⁻ⁿ = aᵐ ÷ aⁿ，用于已知幂求值。 · 注意底数可以是整式，指数相减。 · 幂的乘方与除法综合运算时，注意运算顺序。 1．（2026春•浙江期中）若6x＝a，6y＝b，则6x﹣2y＝（　　） A． B．2ab C．ab2 D．a﹣2b 【分析】逆用同底数幂的除法法则、幂的乘方法则计算即可． 【解答】解：∵6x＝a，6y＝b， ∴6x﹣2y＝6x÷62y＝6x÷（6y）2， 故选：A． 【点评】本题考查了同底数幂的除法、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 2．（2026春•天宁区校级期中）下面是小明做的四道题：①2a+3b＝5ab；②（3a3）2＝6a6；③a6÷a2＝a3；④a2•a3＝a5．其中做对的题数有（　　） A．1题 B．2题 C．3题 D．4题 【分析】利用同底数幂除法，积的乘方，同底数幂乘法法则逐项判断即可． 【解答】解：2a与3b不是同类项，无法合并，则①错误， （3a3）2＝9a6，则②错误， a6÷a2＝a4，则③错误， a2•a3＝a5，则④正确， 则做对的题数有1题， 故选：A． 【点评】本题考查同底数幂除法，积的乘方，同底数幂乘法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 3．（2026春•江阴市期中）若am＝16，an＝2，则am﹣n＝　8　 ． 【分析】利用同底数的相除底数不变指数相减． 【解答】解：∵am＝16，an＝2， ∴am﹣n＝am÷an＝16÷2＝8， 故答案为：8． 【点评】本题考查了乘方运算，记住乘方运算的法则公式是解题的关键． 4．（2025春•新华区校级月考）计算（﹣a2）3÷（﹣a2）结果是a4 ． 【分析】根据幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂相除，底数不变，指数相减计算即可． 【解答】解：（﹣a2）3÷（﹣a2）＝﹣a6÷（﹣a2）＝a4， 故答案为：a4． 【点评】本题考查幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 5．（2025春•市南区校级期中）已知：5a＝2，5b＝6，则53a﹣2b的值为 　　 ． 【分析】逆用同底数幂的除法及幂的乘方与积的乘方进行计算即可． 【解答】解：原式＝53a÷52b ＝（5a）3÷（5b）2 ＝23÷62 ＝8÷36 ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查同底数幂的除法及幂的乘方与积的乘方，灵活运用以上知识点是解题的关键． 6．（2026春•苏州期中）分别求出下列式子的值． （1）已知：3m＝2，3n＝5，求： ①3m+2n； ②34m﹣3n． （2）如果2x+2+2x+1＝48，求x的值． 【分析】（1）①先将3m+2n变形为3m•（3n）2，再代入求值即可；②先将34m﹣3n变形为，再代入求值即可； （2）由2x+2+2x+1＝48变形为4•2x+2•2x＝48，再求解即可． 【解答】解：（1）①3m+2n ＝3m•（3n）2 ＝2×52 ＝2×25 ＝50； ②34m﹣3n ； （2）2x+2+2x+1＝48， 2x•22+2x•21＝48， 6•2x＝48， 2x＝8， x＝3． 【点评】本题考查了幂的运算，解决本题的关键是熟练掌握同底数幂的乘法及幂的乘方运算法则． 7．（2026春•同步）（1）已知3x＝2，3y＝4． ①求27x的值； ②求32x﹣y的值． （2）已知am＝2，an＝4，ak＝32，求a3m+2n﹣k的值． （3）已知x＝3m﹣3，y﹣4＝81m÷3m，用含x的代数式表示y． 【分析】（1）①根据幂的乘方进行变形，再代入求出即可； ②根据幂的乘方和同底数幂的除法进行变形，再代入求出即可； （2）先根据幂的乘方的逆运算进行变形，再整体代入可解答； （3）由已知条件可得3m＝x+3，利用幂的乘方法则将整式变形后整体代入即可． 【解答】（1）∵3x＝2，3y＝4． ①27x＝（3x）3＝23＝8； ②32x﹣y＝（3x）2÷3y＝4÷4＝1； （2）∵am＝2，an＝4，ak＝32， ∴a3m+2n﹣k＝a3m•a2n÷ak＝（am）3•（an）2÷ak＝23×42÷32＝4； （3）∵x＝3m﹣3， ∴3m＝x+3， ∴81m÷3m ＝（3m）4÷3m ＝（3m）3 ＝（x+3）3， ∴y﹣4＝（x+3）3， ∴y＝（x+3）3+4． 【点评】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方和积的乘方等知识点，能灵活运用知识点进行变形是解此题的关键． 8．（2025春•烈山区校级期中）已知2m＝3，2n＝9，2p＝81． （1）求4m的值； （2）求4m+n﹣p的值； （3）字母m，n，p之间的数量关系为 p＝2m+n ． 【分析】（1）根据幂的乘方进行计算即可； （2）将原式化为（2m）2•（2n）2÷（2p）2代入计算即可； （3）根据幂的乘方得到22m+n＝2p即可． 【解答】解：（1）∵2m＝3， ∴4m＝（22）m＝（2m）2＝32＝9； （2）∵2m＝3，2n＝9，2p＝81， ∴4m+n﹣p＝4m•4n÷4p ＝（2m）2•（2n）2÷（2p）2 ＝32×92÷812 ； （3）∵32×9＝81，即（2m）2•2n＝2p， ∴22m+n＝2p， ∴2m+n＝p， 即字母m，n，p之间的数量关系为p＝2m+n， 故答案为：p＝2m+n． 【点评】本题考查幂的乘方与积的乘方，掌握幂的乘方与积的乘方D的计算方法是正确解答的关键． 【考点2】单项式除以单项式（第9–18题） 方法总结： · 系数相除，同底数幂相除。 · 只在被除式中出现的字母，连同指数照写。 · 注意符号运算，负负得正。 · 混合运算时，先算乘方，再算乘除。 9．（2026春•长寿区期中）计算： （1）（﹣a2）3•（﹣a3）2； （2）． 【分析】（1）根据幂的运算法则化简即可； （2）根据整式的除法运算法则化简即可． 【解答】解：（1）原式＝﹣a6•a6 ＝﹣a12； （2）原式 ． 【点评】本题考查了整式的除法，熟练掌握运算法则是关键． 10．（2026•榆林模拟）计算（2m2）3÷m4的结果为（　　） A．4m2 B．4m C．8m D．8m2 【分析】根据幂的乘方与积的乘方计算即可． 【解答】解：根据幂的乘方与积的乘方可得： （2m2）3÷m4＝8m6÷m4＝8m2． 故选：D． 【点评】本题考查了整式的除法，熟练掌握运算法则是关键． 11．（2025春•烈山区校级期中）小明在计算整式除法的时候一不小心除数被墨水覆盖了，如﹣4x6y4÷■＝2xy，则“■”所表示的式子是（　　） A．﹣2x5y5 B．﹣2x5y3 C．﹣4x3y5 D．2x5y3 【分析】根据题意只需要计算出﹣4x6y4÷2xy的结果即可得到答案． 【解答】解：根据单项式除以单项式运算法则可知： ﹣4x6y4÷2xy＝﹣2x5y3， ∴“■”所表示的式子是﹣2x5y3， 故选：B． 【点评】本题主要考查了单项式除以单项式，熟练掌握运算法则是关键． 12．（2024秋•循化县期末）计算2x3y÷xy的结果是（　　） A．2x2 B．x2y C．xy D．2xy2 【分析】根据单项式除以单项式法则，系数与系数相除，同底数幂与同底数幂相除，进行计算即可2x3y÷xy． 【解答】解：原式＝（2÷1）•（x3÷x）•（y÷y） ＝2x2 故选：A． 【点评】本题主要考查了整式的除法运算，解题关键是熟练掌握单项式除以单项式法则：系数与系数相除，同底数幂与同底数幂相除． 13．（2025春•岑溪市校级月考）若﹣2x2•（　　）＝﹣8x3y，则括号内应填的代数式是（　　） A．﹣4y B．﹣4xy C．﹣4x2y D．4xy 【分析】利用两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数，转化为单项式除以单项式计算即可 【解答】解：根据两个因数的积与其中一个因数求另一个因数可得： ﹣8x3y÷（﹣2x2）＝4xy， ∴﹣2x2•（4xy）＝﹣8x3y， 故选：D． 【点评】本题考查单项式的乘法与单项式的除法的关系问题，掌握单项式的乘除是可以互相转化是解题关键． 14．（2026春•宣城期中）计算：（﹣2a2b3）2÷4a3b2＝ab4 ． 【分析】首先计算积的乘方和幂的乘方，然后计算单项式除以单项式运算． 【解答】解：（﹣2a2b3）2÷4a3b2 ＝4a4b6÷4a3b2 ＝ab4． 故答案为：ab4． 【点评】此题考查了积的乘方和幂的乘方，单项式除以单项式运算，解题的关键是掌握以上运算法则． 15．（2024秋•浦东新区校级期末）计算：（﹣a2b）3÷2a＝　　 ． 【分析】先根据积的乘方法则计算，再算单项式的除法即可得到结果． 【解答】解：， 故答案为：． 【点评】本题考查的是整式的混合运算，解答本题的关键是熟练掌握积的乘方法则． 16．（2024秋•射洪市校级月考）计算： （1）（﹣a）8÷（﹣a2）＝　﹣a6 ； （2）35a7b3c÷7a4bc＝　5a3b2 ； （3）　　 ． 【分析】（1）先化为同底数幂，再运用同底数幂的除法公式计算即可； （2）运用单项式除以单项式运算法则计算即可； （3）运用完全平方公式计算即可． 【解答】解：（1）（﹣a）8÷（﹣a2） ＝a8÷（﹣a2） ＝﹣a6； 故答案为：﹣a6； （2）35a7b3c÷7a4bc ＝5a3b2； 故答案为：5a3b2； （3）， 故答案为：． 【点评】本题考查同底数幂的除法，单项式除以单项式，完全平方公式等知识，掌握相关运算法则和公式是解题的关键． 17．（2025秋•晋江市期末）计算：4x3y÷2y•（﹣3xy3）2 【分析】根据整式的乘除运算顺序和运算法则计算可得． 【解答】解：原式＝4x3y÷2y•（﹣3xy3）2 ＝4x3y÷2y•9x2y6 ＝2x3•（9x2y6） ＝18x5y6． 【点评】本题主要考查整式的乘除运算，解题的关键是掌握单项式与单项式的乘除运算法则及幂的运算法则． 18．（2024秋•上饶校级期中）已知A、B均为整式，A＝（xy+1）（xy﹣2）﹣2x2y2+2，小马在计算A÷B时，误把“÷”抄成了“﹣”，这样他计算的正确结果为﹣x2y2． （1）将整式A化为最简形式； （2）求整式B； （3）求A÷B的正确结果． 【分析】（1）根据整式混合运算的顺序和法则进行化简即可； （2）根据题意列出式子再根据整式混合运算的顺序和法则进行计算即可； （3）根据题意列出式子进行计算即可． 【解答】解：（1）A＝（xy+1）（xy﹣2）﹣2x2y2+2， ＝x2y2﹣2xy+xy﹣2﹣2x2y2+2， ＝﹣x2y2﹣xy， （2）由题意，得A﹣B＝﹣x2y2． 由（1）知A＝﹣x2y2﹣xy， ∴﹣x2y2﹣xy﹣B＝﹣x2y2， ∴B＝﹣xy． （3）由（1）知A＝﹣x2y2﹣xy， 由（2）知B＝﹣xy． ∴A÷B＝（﹣x2y2﹣xy）÷（﹣xy）＝xy+1． 故A÷B的正确结果xy+1． 【点评】本题考查整式的除法和多项式乘多项式，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 【考点3】多项式除以单项式（第19–30题） 方法总结： · 用多项式的每一项分别除以单项式。 · 注意符号，特别是负号。 · 结果中项数与原多项式相同。 · 逆运算：被除式 = 除式 × 商式 + 余式。 19．（2026春•榕城区期中）[新考法]我们知道两个整数相除时会有除不尽（商不是整数）的情况，例如9÷2就除不尽，可以用余数表示，即：9除以2商4余1．同样两个整式相除时也有可能除不尽，若多项式4x3﹣2x2+ax+3除以bx，商式为2x2﹣x﹣5余3，则a+b的值为（　　） A．﹣8 B．8 C．12 D．﹣12 【分析】由被除式、除式、商、余式的关系可得（2x2﹣x﹣5）•bx+3＝4x3﹣2x2+ax+3，再展开对比得到关于a、b的方程组求得a、b的值，最后求和即可． 【解答】解：由条件可知：（2x2﹣x﹣5）•bx+3＝4x3﹣2x2+ax+3， 2bx3﹣bx2﹣5bx+3＝4x3﹣2x2+ax+3， ∴，解得：， ∴a+b＝﹣10+2＝﹣8．即A选项符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查了整式的除法，熟练掌握该知识点是关键． 20．（2026春•碑林区期中）一个长方形的面积是8a3﹣6a2+2a．若它的长是2a，则它的宽是（　　） A．8a2﹣6a+2 B．4a3﹣3a2+a C．4a2﹣3a D．4a2﹣3a+1 【分析】根据长方形的宽＝长方形的面积÷长，列出算式，再根据多项式除以单项式法则和单项式除以单项式法则进行计算即可． 【解答】解：由题意得：（8a3﹣6a2+2a）÷2a ＝8a3÷2a﹣6a2÷2a+2a÷2a ＝4a2﹣3a+1， 故选：D． 【点评】本题主要考查了整式的除法，解题关键是熟练掌握多项式除以单项式法则和单项式除以单项式法则． 21．（2026春•福田区校级期中）一道除法运算题：（21x4y3﹣□+7x2y2）÷（﹣7x2y）＝□+5xy﹣y，其中被除式的第二项被墨水弄污了，商的第一项也被墨水弄污了，则被墨水弄污染的内容是（　　） A．35x2y2，﹣3x2y2 B．﹣35x3y2，3x2y2 C．﹣35x2y2，﹣3x3y2 D．35x3y2，﹣3x2y2 【分析】利用多项式除以单项式法则与乘除互逆关系，即可计算出两处被污染的项． 【解答】解：设被除式中被污染的项为A， ∵商的第二项为5xy，且 （﹣A）÷（﹣7x2y）＝5xy， ∴﹣A＝5xy•（﹣7x2y）＝﹣35x3y2， ∴A＝35x3y2； 因此两处被污染的内容依次为35x3y2和﹣3x2y2． 故选：D． 【点评】本题考查了多项式除以单项式法则与乘除互逆关系，熟练掌握以上知识点是关键． 22．（2026春•梁溪区校级期中）乐乐的作业本不小心被撕掉了一部分，留下一道残缺不全的题目，如图所示，请你帮他推测出等号左边被撕掉的内容是（　　） A．（x2﹣2x+6） B．（x2﹣3x2+6） C．（x2﹣3x+6） D．（x2﹣3x﹣6） 【分析】根据题意得到（x3﹣3x2+6x）÷x，计算即可得到等号左边被撕掉的内容． 【解答】解：根据题意可知，（x3﹣3x2+6x）÷x＝x2﹣3x+6． 故选：C． 【点评】此题考查了整式的除法，掌握整式的除法的运算法则是关键． 23．（2024秋•青山区期末）有两块总面积相等的场地，左边场地为正方形，由四部分构成，各部分的面积数据如图所示，右边场地为长方形，长为2（a+b），则宽为（　　） A． B．a﹣b C． D．a+b 【分析】用长方形的面积除以长可得． 【解答】解：（a2+ab+ab+b2）÷2（a+b）． 故选：C． 【点评】本题考查了整式除法的应用．熟练掌握运算法则是关键． 24．（2025春•兴平市期末）小辰与小辉在做游戏时，两人各报一个整式，若将小辰报的整式作为除式，小辉报的整式作为被除式，要求商必须为﹣3xy2．若小辉报的整式是9x4y3﹣6x3y2，则小辰应报的整式是（　　） A．﹣3xy3﹣2x2 B．﹣3x3y﹣2x2y C．3x3y+2xy D．﹣3x3y+2x2 【分析】根据被除式、除式和商的关系列出代数式，再利用多项式除以单项式计算即可． 【解答】解：小辰报的整式为（9x4y3﹣6x3y2）÷（﹣3xy2）， 根据多项式除以单项式计算可得： （9x4y3﹣6x3y2）÷（﹣3xy2） ＝﹣3x3y+2x2． 故选：D． 【点评】本题考查整式的除法，熟练掌握整式除法运算法则，正确列出代数式是解答的关键． 25．（2025秋•翠屏区校级月考）已知多项式x3+ax2﹣2x+8除以x﹣b的商为x2﹣x+2，则a、b的值为（　　） A．a＝3，b＝4 B．a＝﹣3，b＝1 C．a＝3，b＝﹣4 D．a＝3，b＝﹣1 【分析】根据题意得x3+ax2﹣2x+8＝（x2﹣x+2）（x﹣b），根据多项式乘以多项式将其展开，与原多项式比较系数，即可求解． 【解答】解：根据题意得： x3+ax2﹣2x+8＝（x2﹣x+2）（x﹣b） ＝x3﹣（b+1）x2+（b+2）x﹣2b， ∴a＝﹣（b+1），b+2＝﹣2， 解得b＝﹣4，a＝3， 故选：C． 【点评】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握该知识点是关键． 26．（2025秋•杨浦区校级期中）计算：（﹣18x4y5+12x5y7﹣27x3y3）÷（﹣3xy）3＝　　 ． 【分析】先计算除数（﹣3xy）3的值，然后将多项式中的每一项分别除以该除数，利用同底数幂的除法法则和有理数运算进行化简即可得到答案． 【解答】解：原式＝（﹣18x4y5+12x5y7﹣27x3y3）÷（﹣27x3y3） ． 故答案为：． 【点评】本题考查整式的化简，熟练掌握同底数幂的除法和积的乘方是解题的关键． 27．（2024秋•广阳区校级月考）若■÷5ab＝2a2+ab﹣3b，则被除数等于　10a3b+5a2b﹣15ab ． 【分析】根据被除数＝除数乘以商，计算即可． 【解答】解：根据题意被除数＝（2a2+ab﹣3b）×5ab＝10a3b+5a2b﹣15ab， 故答案为：10a3b+5a2b﹣15ab． 【点评】本题考查整式的除法，掌握除法是乘法的逆运算是解题关键． 28．（2024秋•徐汇区校级期中）已知A＝2x，B是多项式，在计算B+A时，小马虎同学把B+A看成B÷A，结果得x，则B+A＝　2x2+3x ． 【分析】根据题意表示出B，即可确定出B+A． 【解答】解：根据题意得：2x（x）+2x＝2x2+x+2x＝2x2+3x， 故答案为：2x2+3x． 【点评】此题考查了整式的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 29．（2025秋•京山市月考）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式： （1）求所捂的多项式； （2）若，求所捂多项式的值． 【分析】（1）设所捂的多项式为A，将乘法转化为除法，由多项式除以单项式法则算即可； （2）将x、y的值代入多项式计算即可． 【解答】解：（1）设所捂的多项式为A， 则 ＝﹣6x+2y﹣1， ∴所捂的多项式是﹣6x+2y﹣1； （2）由条件可得：． 【点评】本题主要考查多项式除以单项式，代数式求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 30．（2025秋•苍溪县期末）计算： （1）[x（x2y2﹣xy）﹣y（x2﹣x3y）]÷3x2y； （2）． 【分析】（1）先去括号，再合并同类项，然后按照单项式除以单项式法则进行计算即可； （2）先根据零指数幂与负整数指数幂的性质计算乘方，再算乘法，最后计算减法即可． 【解答】解：（1）原式＝（x3y2﹣x2y﹣x2y+x3y2）÷3x2y ＝（2x3y2﹣2x2y）÷3x2y ； （2） ＝4﹣2 ＝2． 【点评】本题主要考查整式的乘除及零指数幂以及负指数幂，熟练掌握整式的乘除零指数幂以及负指数幂的运算是解题的关键． 【考点4】创新及压轴题（第31–34题） 方法总结： · 竖式除法：仿照多位数除法，注意降幂排列和缺项补零。 · 余式定理：被除式 = 除式 × 商式 + 余式。 · 待定系数法：通过比较系数求未知参数。 · 整除条件：余式为0。 31．（2015秋•长宁区校级期中）已知一个三次多项式除以x2﹣9的余式为3x﹣5，除以x2﹣16余式﹣2x﹣7，求这个三次多项式． 【分析】设所求三次多项式A＝ax3+bx2+cx+d（a≠0），A除以x2﹣9，x2﹣16时，商式分别为ax+m，ax+n，则ax3+bx2+cx+d＝（x2﹣9）（ax+m）+3x﹣5①，ax3+bx2+cx+d＝（x2﹣16）（ax+n）﹣2x﹣7②，用特值法列出方程组，从而确定a，b，c，d这4个系数． 【解答】解：设所求三次多项式A＝ax3+bx2+cx+d（a≠0）， A除以x2﹣9，x2﹣16时，商式分别为ax+m，ax+n， 则ax3+bx2+cx+d＝（x2﹣9）（ax+m）+3x﹣5①， ax3+bx2+cx+d＝（x2﹣16）（ax+n）﹣2x﹣7②， 在①式中分别取x＝2，﹣2时， 8a+4b+2c+d＝﹣5（2a+m）+1③， ﹣8a+4b﹣2c+d＝﹣5（2a+m）﹣11④， 在②式中分别取x＝3，﹣3时， 27a+9b+3c+d＝﹣7（3a+n）﹣13⑤， ﹣27a+9b﹣3c+d＝﹣7（﹣3a+n）﹣1⑥， 联立③④⑤⑥，解得：a，b，c，d． 故所求的三次多项式为x3x2x． 【点评】本题考查多项式的除法，弄清被除式、除式、商、余式四者之间的关系是解题的关键．其中（3）用特值法列方程组求解，难度较大． 32．（2023春•蓬莱区期中）一位同学在研究多项式除法时，把被除式的二次项系数写成a，而把结果的一次项系数又写成了﹣b，等式如下：（x3+ax2+1）÷（x+1）＝x2﹣bx+1，现请你帮他求出a，b的值． 【分析】由题意得出x3+ax2+1＝（x+1）•（x2﹣bx+1），利用多项式乘多项式法则计算，根据对应系数相等可得答案． 【解答】解：∵x3+ax2+1＝（x+1）•（x2﹣bx+1）＝x3+（1﹣b）•x2+（1﹣b）•x+1， ∴a＝1﹣b，1﹣b＝0 解得：a＝0，b＝1． 【点评】本题考查了整式的混合运算和求值的应用，能正确运用整式的运算法则进行化简是解此题的关键，难度适中． 33．（2025春•吉州区校级月考）我们已经学习过多项式除以单项式，多项式除以多项式一般可用竖式计算，例如：计算（6x4﹣7x3﹣x2﹣1）÷（2x+1），可用竖式除法． 步骤如下： ①把被除式、除式按某个字母降幂排列，并把所缺的项用零补齐； ②用被除式的第一项6x4除以除式第一项2x，得到商式的第一项3x3； ③用商式的第一项3x3去乘除式（2x+1），把积（6x4+3x3）写在被除式下面（同类项对齐），再把两式相减； ④把相减所得的差（﹣10x3﹣x2）当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止． 被除式＝除式x商式+余式．若余式为零，说明这个多项式能被另一个多项式整除． ∵余式为0，∴6x4﹣7x3﹣x2﹣1可以整除2x+1． 请根据阅读材料，回答下列问题： （1）请在两个方框内分别填入正确的数或式子　2　 ，　﹣10x3﹣5x2 ； （2）请模仿材料中的方法计算多项式（4x3+8x2﹣3x﹣9）÷（x﹣1）． 【分析】（1）按照示例的除法竖式进行计算即可； （2）按照示例的除法竖式进行计算即可． 【解答】解：（1）如图： 故答案为：2；﹣10x3﹣5x2． （2）（4x3+8x2﹣3x﹣9）÷（x﹣1）＝4x2+12x+9， ． 【点评】本题考查了整式的除法、同类项、单项式乘多项式，解决本题的关键是按照示例的竖式进行计算． 34．（2021秋•椒江区校级期中）两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多位数相除的计算方法，用竖式进行计算．例如（7x+2+6x2）÷（2x+1），仿照672÷21计算如下： 因此（7x+2+6x2）÷（2x+1）＝3x+2． （1）阅读上述材料后，试判断x3﹣x2﹣5x﹣3能否被x+1整除，说明理由． （2）利用上述方法解决：若多项式2x4﹣3x3+ax2+7x+b能被x2+x﹣2整除，求的值． 【分析】（1）直接利用竖式计算，进一步判定即可； （2）竖式计算，根据整除的意义，利用对应项的系数对应倍数求得答案即可． 【解答】解：（1）x3﹣x2﹣5x﹣3能被x+1整除； 理由如下： （2）若多项式2x4﹣3x3+ax2+7x+b能被x2+x﹣2整除则有 所以a+9＝﹣3，a＝﹣12，b＝6； 2． 【点评】此题考查利用竖式计算整式的除法，注意同类项的对应． 随堂检测 · 精选练习 练习1：同底数幂除法练习2：单项式除法求参数练习3：多项式除以单项式练习4：幂的除法与乘方综合练习5：幂的运算规定应用 【练习1】若a6m÷ax＝a2m，则x的值是（　　） A．4m B．3m C．3 D．2m 【分析】首先根据同底数幂的除法法则可得a6m÷ax＝a6m﹣x＝a2m；即可得出6m﹣x＝2m，然后解出用含n的式子表示的x的解即可． 【解答】解：∵a6m÷ax＝a6m﹣x，a6m÷ax＝a2m， ∴6m﹣x＝2m， ∴x＝4m． 故选：A． 【点评】本题考查同底数幂的除法，掌握运算法则是解题关键． 【练习2】若12x4ym÷28xny3y2，则（　　） A．m＝4，n＝5 B．m＝5，n＝4 C．m＝3，n＝4 D．m＝2，n＝3 【分析】根据整式的除法运算法则运算后得到4﹣n＝0，m﹣3＝2，继而求出m、n值即可． 【解答】解：∵12x4ym÷28xny3x4﹣nym﹣3， ∴4﹣n＝0，m﹣3＝2， ∴m＝5，n＝4． 故选：B． 【点评】本题考查了整式的除法，熟练掌握整式除法运算法则是关键． 【练习3】（2025春•秦都区校级月考）已知长方形面积为6y4﹣3x2y3+x2y2，它的宽为3y2，则这个长方形的长为　　 ． 【分析】根据长方形的长等于面积除以宽，列出式子后运用多项式除以单项式的计算法则计算即可． 【解答】解：根据长方形的长等于面积除以宽可知这个长方形的长为： ． 故答案为：． 【点评】本题考查多项式除以单项式的应用，理解题意是关键． 【练习4】（2025春•临潼区校级月考）若xa＝xb，则a＝b（x＞0且x≠1，a，b是正整数）． （1）如果22m+1＝64，那么m＝　　 ； （2）如果7m＝56，8n＝56，那么56mn﹣m﹣n＝　1　 ． 【分析】（1）将64化为26，从而得到关于m的方程，解方程即可； （2）由已知条件易得7，8，将两式相乘并利用同底数幂乘法法则易得1，从而可得mn＝m+n，将其代入原式计算即可． 【解答】解：（1）∵22m+1＝64， ∴22m+1＝26， ∴2m+1＝6， ∴m， 故答案为：； （2）∵7m＝56，8n＝56， ∴，， ∴7，8， 将两式相乘可得56， ∴1， ∴mn＝m+n， ∴原式＝56m+n﹣m﹣n＝560＝1， 故答案为：1． 【点评】本题考查同底数幂乘法及除法，幂的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【练习5】（2026春•泰州期中）在幂的运算中规定：若ax＝ay（a＞0且a≠1，x、y是正整数），则x＝y，利用上面规定解答下列问题： （1）若4x﹣3＝242，求x的值； （2）若3x+1﹣3x＝162，求x的值． 【分析】（1）根据幂的乘方计算法则得到（22）x﹣3＝242，则22x﹣6＝242，据此根据题意求解即可； （2）根据同底数幂乘法的逆运算法则把等式变形为3×3x﹣3x＝2×34，进而得到3x＝34，据此根据题意求解即可． 【解答】解：（1）由条件可知（22）x﹣3＝242， ∴22x﹣6＝242， ∴2x﹣6＝42， ∴x＝24； （2）∵3x+1﹣3x＝162， ∴3×3x﹣3x＝2×34， ∴3x＝34， ∴x＝4． 【点评】本题考查了幂的运算，熟练掌握相关的运算法则是关键． 课后巩固 · 针对性练习 作业1：余式定理作业2：幂的运算判断作业3：多项式除以单项式作业4：规律探究与除法作业5：同底数幂除法求值作业6：科学计数法除法作业7：整式除法计算作业8：幂的运算综合作业9：代数式化简与无关作业10：错看问题 ❤ 复习建议 牢记幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，注意底数不能为0。 单项式除法要细心：系数相除、同底数幂相除，注意只在被除式中出现的字母要照写。 多项式除以单项式：逐项相除，注意符号，结果项数不变。 竖式除法类比学习：仿照多位数除法，按降幂排列，缺项补零，循序渐进。 逆运算与检验：利用“被除式 = 除式 × 商式 + 余式”检验结果的正确性。 【作业1】设f（x）为实系数多项式，除以x﹣1，余数为9；除以x﹣2．余数为16，则f（x）除以（x﹣1）（x﹣2）的余式为（　　） A．7x+2 B．7x+3 C．7x+4 D．7x+5 E．2x+7 【分析】首先根据题意列出函数关系式f（x）＝g（x）（x﹣1）+9①，f（x）＝h（x）（x﹣2）+16②，然后②×（x﹣1）﹣①×（x﹣2）化简即可确定余式． 【解答】解：根据题意得： ∵f（x）＝g（x）（x﹣1）+9①， f（x）＝h（x）（x﹣2）+16②， ∴②×（x﹣1）﹣①×（x﹣2）得： [（x﹣1）﹣（x﹣2）]f（x）＝[h（x）﹣g（x）]（x﹣1）（x﹣2）+16（x﹣1）﹣9（x﹣2） ＝[h（x）﹣g（x）]（x﹣1）（x﹣2）+7x+2 ∴f（x）除以（x﹣1）（x﹣2）的余式为7x+2． 故选：A． 【点评】本题考查了整式的除法，因式分解与综合除法的应用，解题的关键是正确的变形，难度不大． 【作业2】下面计算正确的是（　　） A．a3÷a＝a3 B．（a+b）2＝a2+b2 C．（﹣3a3）2＝6a6 D．（﹣b3）2+（﹣b2）3＝0 【分析】根据同底数幂除法，底数不变指数相减；完全平方公式，积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；对各选项计算后利用排除法求解． 【解答】解：A、应为a3÷a＝a2，故本选项错误； B、应为（a+b）2＝a2+2ab+b2，故本选项错误； C、应为（﹣3a3）2＝9a6，故本选项错误； D、（﹣b3）2+（﹣b2）3＝b6﹣b6＝0，正确． 故选：D． 【点评】本题考查了同底数幂的除法，完全平方公式，积的乘方，熟练掌握运算性质和公式是解题的关键． 【作业3】（2019春•城关区校级期中）计算：（8x5﹣6x3﹣4x2）÷（﹣2x）＝（　　） A．﹣4x4﹣3x2+2x B．﹣4x4+3x2+2x C．4x4+3x2﹣2x D．4x4﹣3x2﹣2x 【分析】多项式除以单项式，先把多项式的每一项都分别除以这个单项式，然后再把所得的商相加．根据这个法则即可求出结果． 【解答】解：（8x5﹣6x3﹣4x2）÷（﹣2x）， ＝8x5÷（﹣2x）﹣6x3÷（﹣2x）﹣4x2÷（﹣2x）， ＝﹣4x4+3x2+2x． 故选：B． 【点评】本题主要考查多项式除以单项式，先把多项式的每一项都分别除以这个单项式，然后再把所得的商相加，熟练掌握运算法则是解题的关键，要注意各项符号的变化． 【作业4】阅读下列各等式，观察并总结规律． （x2﹣1）÷（x﹣1）＝x+1 （x3﹣1）÷（x﹣1）＝x2+x+1 （x4﹣1）÷（x﹣1）＝x3+x2+x+1 （x5﹣1）÷（x﹣1）＝x4+x3+x2+x+1 （1）根据你的观察得（x7﹣1）÷（x﹣1）＝x6+x5+x4+x3+x2+x+1　 ，那么（xn﹣1）÷（x﹣1）＝xn﹣1+xn﹣2+…+x4+x3+x2+x+1　 ； （2）利用（1）的结果计算1+22+23+24+…+22019＝　22020﹣1　 ． 【分析】（1）仔细观察题目所列的等式，特别是x的次数的变化情况，根据规律可解答； （2）逆用第（1）问的结论计算即可得到答案． 【解答】解：（1）由规律可得，（x7﹣1）÷（x﹣1）＝x6+x5+x4+x3+x2+x+1， （xn﹣1）÷（x﹣1）＝xn﹣1+xn﹣2+…+x4+x3+x2+x+1， 故答案为：x6+x5+x4+x3+x2+x+1；xn﹣1+xn﹣2+…+x4+x3+x2+x+1； （2）∵（22020﹣1）÷（2﹣1）＝22019+22018+…+24+23+22+2+1＝22020﹣1， ∴1+22+23+24+…+22019＝22020﹣1． 故答案为：22020﹣1． 【点评】本题考查了探究型规律题，得到题目所给等式的规律是解答本题的关键． 【作业5】若3m＝5，3n＝4，则32m﹣3n＝　　 ． 【分析】根据同底数幂的除法运算法则运算即可． 【解答】解：∵3m＝5，3n＝4， ∴32m﹣3n＝（3m）2÷（3n）3＝52÷43． 故答案为：． 【点评】本题考查了同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 【作业6】（2012秋•樟树市期末）已知木星的质量约是a×1024吨，地球的质量约是3a×1021吨，则木星的质量约是地球质量的　333　 倍． （结果取整数） 【分析】根据同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．am÷an＝am﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n）即可求解． 【解答】解：由木星的质量约是a×1024吨，地球的质量约是3a×1021吨， 则1024﹣21333， 故答案为：333． 【点评】本题考查了同底数幂的除法，属于基础题，掌握根据同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．am÷an＝am﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n）． 【作业7】（2013春•平湖市校级单元）（1）a2bx3÷a2x＝bx2 ； （2）3a2b2c÷（a2b2）＝　﹣4c ； （3）（a5b6﹣a3b2）÷ab＝a4b5﹣a2b ； （4）（8x2y﹣12x4y2）÷（﹣4xy）＝　﹣2x+3x3y ． 【分析】原式各项分别利用单项式除以单项式，以及多项式除以单项式法则计算即可得到结果． 【解答】解：（1）a2bx3÷a2x＝bx2； （2）3a2b2c÷（a2b2）＝﹣4c； （3）（a5b6﹣a3b2）÷ab＝a4b5﹣a2b； （4）（8x2y﹣12x4y2）÷（﹣4xy）＝﹣2x+3x3y． 故答案为：（1）bx2；（2）﹣4c；（3）a4b5﹣a2b；（4）﹣2x+3x3y 【点评】此题考查了整式的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【作业8】（1）若3m＝6，9n＝2，求32m﹣4n+1的值； （2）若10m＝20，10n，求9m÷32n的值． 【分析】（1）依据32m﹣4n+1＝32m÷34n×3＝（3m）2÷（9n）2×2，即可得到计算结果； （2）依据10m＝20，10n，即可得到m﹣n＝2，进而得出9m÷32n＝9m÷9n＝9m﹣n＝81． 【解答】解：（1）∵3m＝6，9n＝2， ∴32m﹣4n+1＝32m÷34n×3 ＝32m÷（32）2n×3 ＝32m÷92n×3 ＝（3m）2÷（9n）2×3 ＝36÷4×3 ＝27； （2）∵10m＝20，10n， ∴10m÷10n＝20100，即10m﹣n＝100， ∴m﹣n＝2， ∴9m÷32n＝9m÷9n＝9m﹣n＝81． 【点评】本题主要考查了同底数幂的除法，幂的乘方以的运用，幂的乘方的底数指的是幂的底数；性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别． 【作业9】试说明代数式[（x+2y）（x﹣y）﹣（y﹣x）2]÷（﹣3y）﹣y的值与y无关． 【分析】先根据多项式乘多项式的计算法则、完全平方公式计算，再合并后根据整式的除法计算，再合并同类项即可求解． 【解答】解：[（x+2y）（x﹣y）﹣（y﹣x）2]÷（﹣3y）﹣y ＝[x2+xy﹣2y2﹣y2+2xy﹣x2]÷（﹣3y）﹣y ＝[3xy﹣3y2]÷（﹣3y）﹣y ＝﹣x+y﹣y ＝﹣x， 故该式的值与y无关． 【点评】本题主要考查整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握整式的混合运算顺序和法则． 【作业10】小亮在计算一个多项式除以单项式x时，不小心算成乘以x，得到的结果为6x4y3﹣x3y2+2x2y，你能帮他求出正确的结果吗？ 【分析】根据算错的结果倒推，再按原来的要求计算即可得出答案． 【解答】解：（6x4y3﹣x3y2+2x2y）÷（x）÷（x） ＝（6x4y3﹣x3y2+2x2y）÷[（x）•（x）] ＝（6x4y3﹣x3y2+2x2y）x2 ＝54x2y3﹣9xy2+18y， 故正确的结果为54x2y3﹣9xy2+18y． 【点评】本题考查的是整式的除法，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $