第05讲 乘法公式（暑假预习讲义，7题型突破+过关检测）新七年级数学新教材沪教版五四制

第05讲 乘法公式 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1运用平方差公式进行运算 题型2 平方差公式与几何图形 题型3运用完全平方公式进行运算 题型4 通过对完全平方公式变形求值 题型5完全平方公式在几何图形中的应用 题型6 求完全平方式中的字母系数 题型7整式的混合运算 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 平方差公式、完全平方和公式、完全平方差公式、两数和、两数差、平方差、平方和、完全平方式、配凑法、几何面积验证 1. 知识目标（基础必达） 1. 自主推导平方差、完全平方公式，能用多项式乘法法则验证公式正确性； 2. 准确识别两个公式的结构特征，区分可套公式与不可套公式的多项式乘法； 3. 理解公式中字母a、b可代表数字、单项式、多项式，掌握整体换元思想； 4. 能用正方形面积图形解释两个乘法公式（数形结合）。 2. 能力目标（重点难点） 1. 直接套用公式进行整式快速计算，处理含系数、负号、括号的复杂式子； 2. 连续多次套用平方差公式简化大数、连乘式运算； 3. 逆用完全平方公式判断完全平方式，求参数取值； 4. 利用公式变形，已知a+b、a−b、ab、a2+b2中两个代数式，求剩余代数式的值； 5. 混合运算中结合去括号、合并同类项规范化简求值。 1. 体会“特殊多项式乘法→通用公式”的从一般到特殊数学思想； 2. 养成先观察结构、再选公式、最后规范计算的解题习惯； 3. 能用乘法公式解决简单几何面积、数字简便运算实际问题。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01平方差公式 1、平方差公式定义：两数和与这两数差相乘，等于这两个数的平方差．． （1）．可以表示数，也可以表示式子（单项式和多项式） （2）有些多项式相乘，表面上不能用公式，但通过适当变形后可以用公式： 如： 2、平方差公式的特征： （1）左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数． （2）右边是乘式中两项的平方差． 【方法总结】先圈相同项，剩余为相反项，永远同方减异方。 知识点02 平方差公式的应用 （1）常见验证平方差公式的几何图形（利用图形的面积和作为相等关系列出等式即可验证平方差公式）． （2）运用几何直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出几何解释． 知识点03 完全平方公式 1、完全平方公式定义：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们积的两倍．、 2、完全平方公式的特征： （1）左边是两个相同的二项式相乘； （2）右边是三项式，是左边两项的平方和，加上（这两项相加时）或减去（这两项相减时）这两项乘积的2倍； （3）公式中的字母可以表示具体的数（正数或负数），也可以表示单项式或多项式等代数式． 【方法总结】口诀记忆：首平方，尾平方，首尾乘积两倍放中央。 知识点04 完全平方公式的应用 （1）运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释． （2）常见验证完全平方公式的几何图形 （a+b）2＝a2+2ab+b2．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b的长方形的面积和作为相等关系） 题型1运用平方差公式进行运算 【例1】．（25-26七年级上·上海·期末）下列各式中能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【例2】．（24-25七年级上·上海崇明·期中）计算：_______． 【例3】．（25-26七年级上·上海青浦·期中）简便计算：． 【技巧归纳】：看到完全平方，直接预判结果为三项式，必须包含2ab乘积项 【变式1-1】．（25-26七年级上·上海闵行·期末）下列算式中，适合用平方差公式计算的是（    ）． A． B． C． D． 【变式1-2】．（25-26七年级上·上海宝山·期末）计算：___． 【变式1-3】．（25-26七年级上·上海杨浦·期末）计算：． 题型2 平方差公式与几何图形 【例4】．（25-26七年级上·上海崇明·期中）如图，在边长为m正方形纸片中剪去一个边长为小正方形纸片（），把剩余的部分拼成一个长方形纸片．通过计算两个纸片中阴影部分的面积，可得等式（       ） A． B． C． D． 【例5】．（25-26七年级上·上海·期中）如图，正方形与正方形的面积差是5，则阴影部分的面积是________． 【变式2-1】．（24-25七年级上·上海·期中）如图，在边长为a的正方形正中间剪去一个边长为b的小正方形，把剩下的部分按照图中的线段分割成四等腰梯形，将四个等腰梯形拼成一个大平行四边形．剪拼前后的两个图形可以验证的乘法公式是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】．（25-26七年级上·上海松江·阶段检测）将边长分别为x，y的小正方形和大正方形按如图所示摆放，若，求图中阴影部分的总面积． 【变式2-3】．（22-23七年级上·上海闵行·期中）如图，正方形与正方形的面积之差是6，求阴影部分的面积． 题型3 运用完全平方公式进行运算 【例6】．（25-26七年级上·上海崇明·期中）下列各式中正确的是（     ） A． B． C． D． 【例7】．（25-26七年级上·上海·阶段检测）计算：__________． 【例8】．（24-25七年级上·上海黄浦·阶段检测）计算： 【技巧归纳】首平方，尾平方，积的2倍放中央，符号看前方 【变式3-1】．（25-26七年级上·上海·期中）已知，则的值是（   ） A．24 B．25 C．26 D．27 【变式3-2】．（23-24七年级上·上海·阶段检测）填空：________． 【变式3-3】．（25-26七年级上·上海·期中）如果，，计算：的值． 题型4通过对完全平方公式变形求值 【例9】．已知，则的值是　　 A．3 B．7 C．9 D．11 【例10】．（25-26七年级上·上海·期末）若x满足，则的值为_____． 【例11】．（25-26七年级上·上海·阶段检测）已知，求的值． 【易错警示】避坑重点：严禁先代入数值再化简，极易计算出错、步骤失分。 【变式4-1】．（25-26七年级上·上海闵行·阶段检测）整式可以变形为，由此可知的最小值是5．那么按此方法，整式的最小值是（   ）． A． B． C． D． 【变式4-2】．（25-26七年级上·上海·期中）设，，．若，则的值是________________． 【变式4-3】．（24-25七年级上·上海·期中）已知，，求下列各式的值： (1) (2) 题型5 完全平方公式在几何图形中的应用 【例12】．（25-26七年级上·上海·期末）用四个完全一样的长方形（长、宽分别设为a、b，）拼成如图所示的大正方形，已知大正方形的面积为81，中间空缺的小正方形的面积为9，那么下列关系式中不正确的是（   ） A． B． C． D． 【例13】．（25-26七年级上·上海·阶段检测）如图有两张正方形纸片A和B，图1将B放置在A内部，测得阴影部分面积为2，图2将正方形并列放置后构造新正方形，测得阴影部分面积为18，若将3个正方形A和2个正方形B并列放置后构造新正方形如图3，（图2、图3中正方形纸片均无重叠部分），则图3阴影部分面积为______． 【例14】．（24-25七年级上·上海杨浦·期中）我们知道，利用图形的面积能解释与得出代数恒等式，请你解答下列问题： (1)如图，根据3个正方形和6个长方形的面积之和等于大正方形的面积．可以得到代数恒等式：______； (2)若、满足：，，求的值． 【变式5-1】．（22-23七年级上·上海普陀·期中）如图，长方形ABCD的周长是12厘米，以、AB、BC为边向外作正方形ABGH和正方形BCEF，如果正方形ABGH和正方形BCEF的面积之和为18平方厘米，那么长方形ABCD的面积是（    ） A．6平方厘米 B．8平方厘米 C．9平方厘米 D．10平方厘米 【变式5-2】．（25-26七年级上·上海浦东新·期末）如图1是中国数学会的会徽，它是由四个相同的直角三角形拼成的一个正方形．将会徽抽象为图2，记．对图2进行图形运动得到图3，图形运动后，原正方形与六边形的面积相等，由此可得关于的等式为___________． 【变式5-3】．（25-26七年级上·上海·期中）现有若干个正方形纸片，从中任取两个大小不等的正方形如下图摆放，、、三点在一条直线上． (1)如图①，，，这两个正方形的面积之差是________．（用、的代数式表示） (2)如图②，如果大正方形和小正方形的面积之和是4，图中阴影部分的面积为1，则是_________． (3)如图③，大正方形和小正方形的面积之和是25，的长度等于7，图中阴影部分的面积是________． (4)如图④，正方形和正方形的边长分别为，如果，，求图中阴影部分面积之和是多少？ 题型6求完全平方式中的字母系数 【例15】．（25-26七年级上·上海·课后作业）若二次三项式是完全平方式，则的值是（    ） A．9 B．3 C． D．3或 【例16】．（23-24七年级上·上海·阶段检测）如果是一个完全平方式（其中N为常数），则_____________． 【例17】．对于任意四个有理数数a、b、c、d，可以组成两个有理数对与．我们规定：．例如：． (1)若是一个完全平方式，求常数的值； (2)若，且，求的值． 【技巧归纳】：题干给出和、差、积，求平方和、平方差，直接整体代入变形公式，无需解方程。 【变式6-1】．（23-24七年级上·上海浦东新·期中）若是一个关于的完全平方式，那么k值是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】．（25-26七年级上·上海·期末）如果关于x的整式是某个关于x的整式的平方，那么常数_______． 【变式6-3】．若我们规定三角“”表示为 ，方框“”表示为例如，请根据这个规定解答下列问题． (1)计算=__________． (2)代数式为完全平方式，求k的值． 题型7整式的混合运算 【例18】．（22-23七年级·上海·暑假作业）计算的结果是（        ）． A． B． C．1 D． 【例19】．（25-26七年级上·上海宝山·期中）计算：__________． 【例20】．（25-26七年级上·上海·期中）计算： 【变式7-1】．（24-25七年级上·上海·阶段检测）若（    ）成立，则括号内的式子等于（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】．（24-25七年级上·上海·期中）计算： 【变式7-3】．（24-25七年级上·上海·阶段检测）（1）计算： （2）计算： （3）计算： （4）计算： 一、单选题 1．下列计算中，正确的是（ ） A． B． C． D． 2．的计算结果是（    ） A． B． C． D． 3．已知，则的值是（    ） A． B．9 C．6 D．3 4．若边长为的正方形边长减少以后，所得较小正方形的面积比原来正方形面积减少了（     ） A． B． C． D． 5．如图，在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形，把余下的部分剪拼成一矩形如图，通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是（   ） A． B． C． D． 6．如图所示，两个正方形的边长分别为和，如果，，那么阴影部分的面积是（   ） A．10 B．20 C．30 D．40 二、填空题 7．计算：________________． 8．已知，则的值为______． 9．已知，．则___________． 10．已知，，，则的值______． 11．如图，两个正方形的边长分别为a，b，如果，，则阴影部分面积为________． 12．如图，点D、C、H、G分别在长方形ABJI的边上，点E、F在CD上，若正方形ABCD的面积等于15，图中阴影部分的面积总和为6，则正方形EFGH的面积等于___________． 13．若，，则的值为________． 14．已知，，则__________． 15．如果是完全平方式，则m的值是________________． 16．已知，则________． 17．已知，则_____________． 三、解答题 18．计算： (1)． (2)． 19．计算： (1)； (2)． 20．用简便方法计算： (1)10 (2) 21．计算： 22．先化简，再求值：，其中，． 23．定义一种新的运算：对于任意两个有理数，规定． 例如，；． 若为有理数，请解答下列问题： (1)若是一个完全平方式，求的值； (2)若，，求的值． 24．已知，求下列式子的值： (1)； (2)； (3)． 25．完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题． (1)若，求的值． (2)①若，则_________． ②若，则_________． (3)如图，点C是线段上的一点，以为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积．    26．从边长为的正方形中减掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是______． A．        B．        C． (2)运用你从（1）写出的等式，完成下列各题： ①已知：，求的值； ②计算：． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 乘法公式 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1运用平方差公式进行运算 题型2 平方差公式与几何图形 题型3运用完全平方公式进行运算 题型4 通过对完全平方公式变形求值 题型5完全平方公式在几何图形中的应用 题型6 求完全平方式中的字母系数 题型7整式的混合运算 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 平方差公式、完全平方和公式、完全平方差公式、两数和、两数差、平方差、平方和、完全平方式、配凑法、几何面积验证 1. 知识目标（基础必达） 1. 自主推导平方差、完全平方公式，能用多项式乘法法则验证公式正确性； 2. 准确识别两个公式的结构特征，区分可套公式与不可套公式的多项式乘法； 3. 理解公式中字母a、b可代表数字、单项式、多项式，掌握整体换元思想； 4. 能用正方形面积图形解释两个乘法公式（数形结合）。 2. 能力目标（重点难点） 1. 直接套用公式进行整式快速计算，处理含系数、负号、括号的复杂式子； 2. 连续多次套用平方差公式简化大数、连乘式运算； 3. 逆用完全平方公式判断完全平方式，求参数取值； 4. 利用公式变形，已知a+b、a−b、ab、a2+b2中两个代数式，求剩余代数式的值； 5. 混合运算中结合去括号、合并同类项规范化简求值。 1. 体会“特殊多项式乘法→通用公式”的从一般到特殊数学思想； 2. 养成先观察结构、再选公式、最后规范计算的解题习惯； 3. 能用乘法公式解决简单几何面积、数字简便运算实际问题。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01平方差公式 1、平方差公式定义：两数和与这两数差相乘，等于这两个数的平方差．． （1）．可以表示数，也可以表示式子（单项式和多项式） （2）有些多项式相乘，表面上不能用公式，但通过适当变形后可以用公式： 如： 2、平方差公式的特征： （1）左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数． （2）右边是乘式中两项的平方差． 【方法总结】先圈相同项，剩余为相反项，永远同方减异方。 知识点02 平方差公式的应用 （1）常见验证平方差公式的几何图形（利用图形的面积和作为相等关系列出等式即可验证平方差公式）． （2）运用几何直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出几何解释． 知识点03 完全平方公式 1、完全平方公式定义：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们积的两倍．、 2、完全平方公式的特征： （1）左边是两个相同的二项式相乘； （2）右边是三项式，是左边两项的平方和，加上（这两项相加时）或减去（这两项相减时）这两项乘积的2倍； （3）公式中的字母可以表示具体的数（正数或负数），也可以表示单项式或多项式等代数式． 【方法总结】口诀记忆：首平方，尾平方，首尾乘积两倍放中央。 知识点04 完全平方公式的应用 （1）运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释． （2）常见验证完全平方公式的几何图形 （a+b）2＝a2+2ab+b2．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b的长方形的面积和作为相等关系） 题型1运用平方差公式进行运算 【例1】．（25-26七年级上·上海·期末）下列各式中能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题主要考查了平方差公式，平方差公式为，需找出可表示为两数和与两数差相乘的选项． 【详解】解：A、不能用平方差公式计算，不符合题意； B、符合平方差公式的特点，能用平方差公式计算，符合题意； C、不能用平方差公式计算，不符合题意； D、不能用平方差公式计算，不符合题意； 故选：B． 【例2】．（24-25七年级上·上海崇明·期中）计算：_______． 【答案】1 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】将2024变形为，2026变形为，再利用平方差公式展开化简计算即可得到结果． 【详解】解： ． 【例3】．（25-26七年级上·上海青浦·期中）简便计算：． 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】先把带分数拆成整数与分数的差或和，再利用平方差公式简化运算． 【详解】解：原式 ． 【技巧归纳】：看到完全平方，直接预判结果为三项式，必须包含2ab乘积项 【变式1-1】．（25-26七年级上·上海闵行·期末）下列算式中，适合用平方差公式计算的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题主要考查了平方差公式，熟练掌握以上知识是解题的关键． 平方差公式适用于形式为的算式，即两个二项式中一项相同，另一项互为相反数，需逐一检查各选项是否符合此形式． 【详解】解：∵ 平方差公式要求两式分别为和的形式， 选项A：，不符合公式； 选项B：，符合的形式（其中）； 选项C：，无相同或相反项，不符合； 选项D：，无相同或相反项，不符合； 故选：B． 【变式1-2】．（25-26七年级上·上海宝山·期末）计算：___． 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了平方差公式的应用，掌握公式特点并灵活运用是关键； 观察到1002025、1002026和1002027是三个连续整数，设，则，，原式，利用平方差公式简化计算． 【详解】解：设，则，， 原式， ， 故答案为． 【变式1-3】．（25-26七年级上·上海杨浦·期末）计算：． 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了整式的混合运算，利用平方差公式进行计算即可得出结果，熟练掌握平方差公式是解此题的关键． 【详解】解： ． 题型2 平方差公式与几何图形 【例4】．（25-26七年级上·上海崇明·期中）如图，在边长为m正方形纸片中剪去一个边长为小正方形纸片（），把剩余的部分拼成一个长方形纸片．通过计算两个纸片中阴影部分的面积，可得等式（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】平方差公式与几何图形 【分析】本题考查平方差公式的图解，关键是通过几何图形之间的数量关系推出平方差公式． 根据题中的两个图形分别表示出阴影部分的面积，再根据阴影部分的面积相等即可得到相应的等式，据此即可作答． 【详解】解：根据第一个图可知：阴影部分的面积为：； 根据第二个图可知：阴影部分的面积为：； ∴， 故选C． 【例5】．（25-26七年级上·上海·期中）如图，正方形与正方形的面积差是5，则阴影部分的面积是________． 【答案】 【知识点】平方差公式与几何图形 【分析】本题考查平方差公式在几何图形中的应用，解题的关键是用含、的代数式表示出阴影部分的面积．设正方形与正方形的边长分别为和，根据两者面积差为5，可得．利用含、的代数式表示出阴影部分的面积，将整体代入即可求解． 【详解】解：设正方形与正方形的边长分别为和， 由题意得：． 由图形可得： ． 故阴影部分的面积为2.5． 故答案为：． 【变式2-1】．（24-25七年级上·上海·期中）如图，在边长为a的正方形正中间剪去一个边长为b的小正方形，把剩下的部分按照图中的线段分割成四等腰梯形，将四个等腰梯形拼成一个大平行四边形．剪拼前后的两个图形可以验证的乘法公式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】平方差公式与几何图形 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，利用两种方法表示出图形的面积，即可得解． 【详解】解：在边长为a的正方形正中间剪去一个边长为b的小正方形， ∴第一个图形中剩余的面积为：， 由第一个图形可知，大平行四边形的高为：, ∴第二个图形的大平行四边形的面积为， ∴； 故选：C． 【变式2-2】．（25-26七年级上·上海松江·阶段检测）将边长分别为x，y的小正方形和大正方形按如图所示摆放，若，求图中阴影部分的总面积． 【答案】 【知识点】平方差公式与几何图形 【分析】本题考查的是平方差公式的几何背景，解题的关键是线段的和差问题，再利用面积公式计算．利用图形可得到两个阴影部分面积的高，求出面积的表达式，用面积公式计算即可． 【详解】解：由题意得大三角形的高为： ，小三角形的高为：， 图中阴影部分的总面积为： ， ， ，即：， 图中阴影部分的总面积为． 【变式2-3】．（22-23七年级上·上海闵行·期中）如图，正方形与正方形的面积之差是6，求阴影部分的面积． 【答案】阴影部分的面积为3 【知识点】平方差公式与几何图形 【分析】设正方形与正方形的边长分别为和，根据两者面积差为6，可得．利用含、的代数式表示出阴影部分的面积，将整体代入即可求解． 【详解】解：设正方形与正方形的边长分别为和， 由题意得：． 由图形可得： ． 故阴影部分的面积为3． 【点睛】本题考查平方差公式在几何图形中的应用，解题的关键是用含、的代数式表示出阴影部分的面积． 题型3 运用完全平方公式进行运算 【例6】．（25-26七年级上·上海崇明·期中）下列各式中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了运用完全平方公式进行运算，解题关键是掌握完全平方公式并能运用求解． 根据公式，逐一验证各选项即可． 【详解】解：，故A错误； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确， 故选：D． 【例7】．（25-26七年级上·上海·阶段检测）计算：__________． 【答案】 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】利用完全平方公式求解即可． 【详解】解：． 【例8】．（24-25七年级上·上海黄浦·阶段检测）计算： 【答案】 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】此题考查完全平方公式，合并同类项，解题的关键是掌握以上运算法则． 首先运用完全平方公式化简，然后合并即可． 【详解】解： ． 【技巧归纳】首平方，尾平方，积的2倍放中央，符号看前方 【变式3-1】．（25-26七年级上·上海·期中）已知，则的值是（   ） A．24 B．25 C．26 D．27 【答案】B 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查了整式混合运算，结合完全平方公式计算是解题的关键． 通过引入中间变量，将原方程转化为关于的方程，简化后直接求解． 【详解】，且， 。 设，则，， 代入得：， 展开：左边， 右边， ， 移项得：， 即， ，， ， ． 故选． 【变式3-2】．（23-24七年级上·上海·阶段检测）填空：________． 【答案】 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】利用完全平方公式，分别展开两个完全平方，计算两者的差即可得到结果． 【详解】∵，， ∴． 【变式3-3】．（25-26七年级上·上海·期中）如果，，计算：的值． 【答案】19 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】此题考查了完全平方公式，掌握完全平方公式的变形以及整体代换的思想是解题的关键，先根据完全平方公式把原式变形为，再整体代入求值即可． 【详解】解： ， ∵，， ， 原式． 题型4通过对完全平方公式变形求值 【例9】．已知，则的值是　　 A．3 B．7 C．9 D．11 【答案】B 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】利用完全平方公式将两边平方，即可得出的值． 【详解】解：， ， ， ， 故选：． 【点睛】本题考查了完全平方公式，熟练掌握公式的特征是解题的关键． 【例10】．（25-26七年级上·上海·期末）若x满足，则的值为_____． 【答案】80 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，通过换元法，设，，则可得到，，再由计算求解即可． 【详解】解：设，， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 故答案为：80． 【例11】．（25-26七年级上·上海·阶段检测）已知，求的值． 【答案】53 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查的是完全平方公式的应用及代数式求值，先求出，再将原式化为，代入计算即可． 【详解】解：， ， 不是方程的解， 方程两边同时除以， ， ， ， ． 【易错警示】避坑重点：严禁先代入数值再化简，极易计算出错、步骤失分。 【变式4-1】．（25-26七年级上·上海闵行·阶段检测）整式可以变形为，由此可知的最小值是5．那么按此方法，整式的最小值是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查了完全平方公式．根据完全平方公式变形求解即可． 【详解】解：， 则代数式的最小值是． 故选：C． 【变式4-2】．（25-26七年级上·上海·期中）设，，．若，则的值是________________． 【答案】16 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查完全平方公式的变形求值，先根据的表达式得到的值，再利用完全平方公式结合已知条件求出的值，最后将变形为的代数式，代入计算即可． 【详解】解：，，， ，，， ，， ， 解得， ∴． 【变式4-3】．（24-25七年级上·上海·期中）已知，，求下列各式的值： (1) (2) 【答案】(1)41 (2) 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查了完全平方公式变形求值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）根据完全平方公式变形求值，即可求解． （2）根据完全平方公式即可求解． 【详解】（1）解：因为， 所以， 当，时，． （2）解：因为， 所以， 当，时，． 题型5 完全平方公式在几何图形中的应用 【例12】．（25-26七年级上·上海·期末）用四个完全一样的长方形（长、宽分别设为a、b，）拼成如图所示的大正方形，已知大正方形的面积为81，中间空缺的小正方形的面积为9，那么下列关系式中不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．用代数式表示图形中各个部分的面积，再由图形中面积之间的和差关系逐项进行判断即可． 【详解】解：∵大正方形的面积为81，中间空缺的小正方形的面积为9， ∴，， 又∵， ∴，， 解得，， ∴，， 因此选项D符合题意， 故选：D． 【例13】．（25-26七年级上·上海·阶段检测）如图有两张正方形纸片A和B，图1将B放置在A内部，测得阴影部分面积为2，图2将正方形并列放置后构造新正方形，测得阴影部分面积为18，若将3个正方形A和2个正方形B并列放置后构造新正方形如图3，（图2、图3中正方形纸片均无重叠部分），则图3阴影部分面积为______． 【答案】38 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】此题考查完全平方公式在几何图形中的应用，正确理解图形的构成，正确掌握完全平方公式是解题的关键．由图1可知，阴影部分面积，图2可知，阴影部分面积，进而得到，由图3可知，阴影部分面积，进而即可求解． 【详解】解：设A卡片的边长为a，B卡片的边长为b，则A卡片的面积为，B卡片的面积为， 图1中阴影部分的面积可以表示为，由题意可知，， 图2阴影部分的面积可以表示为，由题意可知，， 图3阴影部分的面积可以表示为 ， 故答案为：． 【例14】．（24-25七年级上·上海杨浦·期中）我们知道，利用图形的面积能解释与得出代数恒等式，请你解答下列问题： (1)如图，根据3个正方形和6个长方形的面积之和等于大正方形的面积．可以得到代数恒等式：______； (2)若、满足：，，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查因式分解的应用，代数恒等式与图形的面积，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的几何背景． （1）利用面积相等求解即可； （2）利用（1）的结论，得到方程，求出t的值，再由，求符合条件的t的值即可． 【详解】（1）解：∵图中3个正方形的边长分别为a、b、c， ∴面积分别为， ∵边长为a、b的长方形有两个，边长为a、c的长方形有两个，边长为b、c的长方形有两个， ∴面积分别为， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ， ∴， 解得， ∵， ∴舍去， ∴． 【变式5-1】．（22-23七年级上·上海普陀·期中）如图，长方形ABCD的周长是12厘米，以、AB、BC为边向外作正方形ABGH和正方形BCEF，如果正方形ABGH和正方形BCEF的面积之和为18平方厘米，那么长方形ABCD的面积是（    ） A．6平方厘米 B．8平方厘米 C．9平方厘米 D．10平方厘米 【答案】C 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】由完全平方公式，求出的值，即可解决问题． 【详解】解：∵正方形和的面积之和为， ， ∵长方形的周长是， ， ， ， ， ∴长方形的面积是（平方厘米） ． 故选：C． 【点睛】本题考查完全平方公式的应用，关键是应用此公式求出与的积． 【变式5-2】．（25-26七年级上·上海浦东新·期末）如图1是中国数学会的会徽，它是由四个相同的直角三角形拼成的一个正方形．将会徽抽象为图2，记．对图2进行图形运动得到图3，图形运动后，原正方形与六边形的面积相等，由此可得关于的等式为___________． 【答案】 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，解题时注意数形结合思想的运用． 六边形可以看作由四个直角三角形和中间的小正方形组成分别表示出面积可得等式． 【详解】解：∵正方形的边长为， ∴ ∵六边形可以看作由四个直角三角形和中间的小正方形组成， ∴每个直角三角形的面积为，四个总面积为．中间小正方形的边长为，面积为 ． ∵正方形与六边形面积相等： ∴ ∴． 故答案为：． 【变式5-3】．（25-26七年级上·上海·期中）现有若干个正方形纸片，从中任取两个大小不等的正方形如下图摆放，、、三点在一条直线上． (1)如图①，，，这两个正方形的面积之差是________．（用、的代数式表示） (2)如图②，如果大正方形和小正方形的面积之和是4，图中阴影部分的面积为1，则是_________． (3)如图③，大正方形和小正方形的面积之和是25，的长度等于7，图中阴影部分的面积是________． (4)如图④，正方形和正方形的边长分别为，如果，，求图中阴影部分面积之和是多少？ 【答案】(1) (2) (3)12 (4) 【知识点】加减消元法、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，二元一次方程组的应用，三角形面积计算，正方形面积计算，长方形面积计算，解题的关键是数形结合，熟练掌握完全平方公式． （1）设正方形的边长为x，正方形的边长为y，，根据题意得出，求出，再根据正方形的面积公式求差即可； （2）根据大正方形和小正方形的面积之和是4，图中阴影部分的面积为1，结合解析（1）可得，求出，最后求出结果即可； （3）设正方形的边长为x，正方形的边长为y，根据大正方形和小正方形的面积之和是25，的长度等于7，得出，求出，再根据三角形面积公式求出结果即可； （4）根据，，求出，根据阴影部分的面积为，然后再变形求值即可． 【详解】（1）解：设正方形的边长为x，正方形的边长为y，， 根据题意得， 解得， ∴这两个正方形的面积之差是： ． （2）解：由（1）可得 ． ∵大正方形和小正方形的面积之和是4，图中阴影部分的面积为1， ∴， 解得， ∴． （3）解：设正方形的边长为x，正方形的边长为y， 根据题意得， ∴， ∴阴影部分的面积之和为． （4）解：∵，， ∴ ， ∴阴影部分的面积为： ． 题型6求完全平方式中的字母系数 【例15】．（25-26七年级上·上海·课后作业）若二次三项式是完全平方式，则的值是（    ） A．9 B．3 C． D．3或 【答案】D 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】本题考查了求完全平方式中的字母系数，先由二次三项式是完全平方式，得出，再把展开，进行分析，即可作答． 【详解】解：∵二次三项式是完全平方式， ∴， ∴， 解得， 故选：D 【例16】．（23-24七年级上·上海·阶段检测）如果是一个完全平方式（其中N为常数），则_____________． 【答案】 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】将原式首尾两项化为平方形式，再根据完全平方公式确定中间项的系数，需考虑两种不同情况． 【详解】解：根据完全平方公式可得． 由题意得 ，． 因为是完全平方式，因此满足： 化简右边得 两边约去得 即 ． 【例17】．对于任意四个有理数数a、b、c、d，可以组成两个有理数对与．我们规定：．例如：． (1)若是一个完全平方式，求常数的值； (2)若，且，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】求完全平方式中的字母系数、通过对完全平方公式变形求值 【分析】此题考查了新定义公式，完全平方式公式，正确掌握完全平方公式是解题的关键： （1）根据定义的公式得到，由完全平方式即可得到常数k的值； （2）由定义得到原式，由求出，即可得到的值． 【详解】（1）解：由题意得 ， ∵是一个完全平方式， ∴， 解得； （2）解：由题意得 ， ∵， ∴， ∴， ∴． 【技巧归纳】：题干给出和、差、积，求平方和、平方差，直接整体代入变形公式，无需解方程。 【变式6-1】．（23-24七年级上·上海浦东新·期中）若是一个关于的完全平方式，那么k值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可得到k的值． 【详解】解：， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了完全平方式的应用，两数的平方和，再加上或减去他们乘积的倍，就构成一个完全平方式，熟练掌握完全平方公式的特点是解题关键． 【变式6-2】．（25-26七年级上·上海·期末）如果关于x的整式是某个关于x的整式的平方，那么常数_______． 【答案】1或 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．根据完全平方公式，即可求得一次项系数． 【详解】解：整式是完全平方式，且， ． 故答案为：1或． 【变式6-3】．若我们规定三角“”表示为 ，方框“”表示为例如，请根据这个规定解答下列问题． (1)计算=__________． (2)代数式为完全平方式，求k的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，定义新运算， 对于（1），根据题中的新定义解答即可； 对于（2），根据新定义可得原式，再根据完全平方公式可得，即可得出答案. 【详解】（1）解：根据题意，原式； 故答案为：； （2）解：原式， ∵为完全平方公式，即 ∴， 解得. 题型7整式的混合运算 【例18】．（22-23七年级·上海·暑假作业）计算的结果是（        ）． A． B． C．1 D． 【答案】C 【知识点】运用完全平方公式进行运算、整式的混合运算 【分析】直接运用整式的混合运算法则计算即可． 【详解】解： ， ． 故选C． 【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，整式混合运算法则以及完全平方公式是解答本题的关键． 【例19】．（25-26七年级上·上海宝山·期中）计算：__________． 【答案】 【知识点】运用完全平方公式进行运算、整式的混合运算 【分析】本题主要考查多项式平方公式的应用，熟练掌握多项式平方公式计算是解题的关键．注意细心计算．使用多项式平方公式展开计算． 【详解】根据多项式平方公式，其中，，， 代入公式： ． 故答案为：． 【例20】．（25-26七年级上·上海·期中）计算： 【答案】 【知识点】整式的混合运算 【分析】本题考查了整式的混合运算，根据运算法则“先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的运算顺序进行计算”即可求解﹒ 【详解】解： ﹒ 【变式7-1】．（24-25七年级上·上海·阶段检测）若（    ）成立，则括号内的式子等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】运用完全平方公式进行运算、整式的混合运算 【分析】此题考查了完全平方公式和多项式的混合运算．利用完全平方公式展开 即可得到答案． 【详解】解：∵ ， ∴， 故选：A． 【变式7-2】．（24-25七年级上·上海·期中）计算： 【答案】 【知识点】整式的混合运算 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，掌握整式的混合运算法则成为解题的关键． 先算乘方和除法，最后合并同类项即可． 【详解】解： ． 【变式7-3】．（24-25七年级上·上海·阶段检测）（1）计算： （2）计算： （3）计算： （4）计算： 【答案】（1） （2）（3）（4） 【知识点】运用完全平方公式进行运算、整式的混合运算、积的乘方运算、运用平方差公式进行运算 【分析】本题主要考查了整式的混合运算． （1）先按多项式乘以多项式展开，然后合并同类项即可． （2）先计算乘方，然后计算乘除法，最后合并同类项即可． （3）按照平方差公式计算即可． （4）按照完全平方公式以及平方差公式计算即可． 【详解】解：（1） （2） （3） （4） 一、单选题 1．下列计算中，正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】选项A：∵ 根据幂的乘方法则，，∴ A错误； 选项B：∵ 合并同类项可得 ，∴ B错误； 选项C：∵ 根据同底数幂乘法法则，，∴ C错误； 选项D：∵ 根据平方差公式， ，计算正确，∴ D正确． 2．的计算结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查多项式乘多项式，将原式转化为，然后利用平方差公式展开，再利用完全平方公式进行运算即可．掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键． 【详解】解： ． 故选：D． 3．已知，则的值是（    ） A． B．9 C．6 D．3 【答案】B 【分析】本题考查整式的化简求值和完全平方公式，解题的关键将代入式子进行化简计算．将代入中，利用完全平方公式展开，再进行化简计算． 【详解】解：由，得，代入原式： ． 故选：B． 4．若边长为的正方形边长减少以后，所得较小正方形的面积比原来正方形面积减少了（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先分别求出原正方形和边长减少后小正方形的面积，再计算面积的差，化简后得到结果即可选出正确选项． 【详解】解：∵原正方形边长为， ∴原正方形面积为．边长减少后，新正方形边长为 ， 新正方形面积为． 面积减少量为：． 5．如图，在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形，把余下的部分剪拼成一矩形如图，通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式的几何应用，解决本题的关键是分别求解阴影部分的面积． 根据正方形的面积可先求解出阴影部分的面积，再根据矩形面积公式再求解矩形面积，由此可得等式． 【详解】解：边长为的正方形的面积为， 边长为的小正方形的面积为， ∴阴影部分的面积为， 再把余下的部分剪拼成一矩形， 可得矩形的长为，宽为， ∴阴影部分的面积为， ∴可得等式． 故选：D ． 6．如图所示，两个正方形的边长分别为和，如果，，那么阴影部分的面积是（   ） A．10 B．20 C．30 D．40 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，根据题意列出阴影部分面积的表达式是解题的关键．由图可得，列式根据完全平方公式变形再计算即可． 【详解】解： ， 故选：C． 二、填空题 7．计算：________________． 【答案】 【详解】解： ． 8．已知，则的值为______． 【答案】6 【分析】本题考查了整式的混合运算，已知式子的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先运算完全平方公式以及平方差公式，再合并同类项，最后运算除法，得出，又因为，得出，然后代入进行计算，即可作答． 【详解】解： ， ∵， ∴ 则， 故答案为：6． 9．已知，．则___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式乘法的应用，准确利用完全平方公式化简计算是解题的关键． 利用已知条件求出和的值，然后将所求表达式转化为的形式，代入计算。 【详解】由，得； 由，得， 将两式相加，得，所以； 将两式相减，得，所以， 所求表达式为， 将其分组为， 代入已知值： ， 将，代入， 得． 故答案是：． 10．已知，，，则的值______． 【答案】 12 【分析】本题主要考查了运用完全平方公式求值，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．根据，然后将代入求解即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 11．如图，两个正方形的边长分别为a，b，如果，，则阴影部分面积为________． 【答案】8 【分析】用大正方形的面积减去两个空白三角形的面积即可得出答案． 【详解】解：依题意， 把，代入， 得， 故答案为：8 【点睛】本题考查的是完全平方公式的应用，难度适中，需要熟练掌握完全平方公式及其变式． 12．如图，点D、C、H、G分别在长方形ABJI的边上，点E、F在CD上，若正方形ABCD的面积等于15，图中阴影部分的面积总和为6，则正方形EFGH的面积等于___________． 【答案】3 【分析】设大、小正方形边长为a、b，则a2=15，然后利用图中阴影部分的面积总和为6，进而可得正方形EFGH的面积． 【详解】解：设大、小正方形边长为a、b， 则有a2=15，阴影部分面积 ， 即a2-b2=12， 可得b2=3， 即所求面积是3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了平方差公式与图形的面积，解决本题的关键是找准图形间的面积关系． 13．若，，则的值为________． 【答案】/0.25 【分析】该题考查了平方差公式，利用平方差公式，将已知条件代入求解． 【详解】解：由平方差公式，得， 代入已知条件和， 得， ∴， 故答案为：． 14．已知，，则__________． 【答案】 【分析】根据平方差公式变形求解即可． 【详解】解：∵，， ∴． 15．如果是完全平方式，则m的值是________________． 【答案】5或1 【分析】根据完全平方式的结构特征，可判断首末两项是和的平方，中间项应为加上或减去与乘积的倍，据此列方程求解． 【详解】解：是完全平方式， ， 当时，等式两边同除以得，解得， 当时，等式两边同除以得，解得． 16．已知，则________． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式变形求值． 设，，则已知条件为，需求，利用完全平方公式 变形得，将和的值代入计算即可． 【详解】解：设，， 则，且， 所以， 即． 故答案为：． 17．已知，则_____________． 【答案】 【分析】将原式通过配方法变形为三个完全平方式的和，利用非负数的性质求出x，y，z的值，再计算的值即可． 【详解】对原方程配方变形：， 即， ∵平方数都具有非负性，即任意实数的平方都大于等于0，三个非负数的和为0，则每个非负数都为0， ∴，，， 解得：，，， ∴． 三、解答题 18．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了完全平方公式和平方差公式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）运用平方差公式运算即可； （2）运用平方差公式先化简，再利用完全平方公式运算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 19．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的运算，掌握整式的运算法则是解题的关键． （1）根据多项式乘以单项式的运算法则进行计算即可求解； （2）根据完全平方公式和平方差公式运算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 20．用简便方法计算： (1)10 (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平方差公式进行简便运算． （2）应完全平方公式进行简便运算． 【详解】（1）解：． （2）解： ． 21．计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算、乘法公式，利用平方差公式和完全平方公式把整式中的各部分展开，再去括号、合并同类项． 【详解】解： 22．先化简，再求值：，其中，． 【答案】 ， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据多项式乘以多项式和单项式乘以多项式的运算法则以及完全平方公式去括号，然后合并同类项化简，最后代入求值即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 23．定义一种新的运算：对于任意两个有理数，规定． 例如，；． 若为有理数，请解答下列问题： (1)若是一个完全平方式，求的值； (2)若，，求的值． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查定义新运算，完全平方公式，理解新定义的法则是解题的关键： （1）根据新定义的法则，列式计算，根据完全平方公式的结构得出的值； （2）根据新定义得出，进而根据，利用完全平方公式变形求值，即可求解． 【详解】（1）解： ． 因为是一个完全平方式， 所以．所以或． （2）因为， 所以． 所以． 因为， 所以． 所以 24．已知，求下列式子的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了用完全平方公式变形求代数式的值． 把变形，可得：原式，再把当代入变形后的代数式求值； 把变形，可得：原式，再把当代入变形后的代数式求值； 把变形，可得：原式，再把当代入变形后的代数式求值． 【详解】（1）解： ， 当时， 原式 ； （2）解： ， 当时， 原式 ； （3）解： ， 当时， 原式 ． 25．完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题． (1)若，求的值． (2)①若，则_________． ②若，则_________． (3)如图，点C是线段上的一点，以为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积．    【答案】(1) (2)6，17 (3)4.5 【分析】本题考查完全平方公式与几何图形的面积，熟练掌握完全平方公式和完全平方公式的变形是解题的关键． （1）利用完全平方公式的变形计算即可； （2）利用完全平方公式的变形计算即可； （3）设，得到，利用完全平方公式的变形计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：①∵，， ∴， ∴； ②∵，， ∴， ∴； （3）解：设，则：， ， ∴， ∴， ∴阴影部分面积． 26．从边长为的正方形中减掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是______． A．        B．        C． (2)运用你从（1）写出的等式，完成下列各题： ①已知：，求的值； ②计算：． 【答案】(1)B (2)①；② 【分析】本题考查平方差公式的几何背景及其在计算中的应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键． （1）分别表示出图1剩余部分的面积和图2的面积，由二者相等可得等式； （2）①将已知条件代入（1）中所得的等式，计算即可； ②利用平方差公式将原式的各个因式进行拆分，计算即可． 【详解】（1）从边长为的正方形中减掉一个边长为的正方形（如图，然后将剩余部分拼成一个长方形（如图， 图1剩余部分的面积为，图2的面积为，二者相等，从而能验证的等式为：． 故选：B． （2）①， ， ； ②原式 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $