1.4.2 用空间向量研究空间距离、夹角问题 讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学讲义通过表格系统梳理空间向量求距离的六种类型，用框架图呈现空间夹角的三类问题，按“知识点-题型-综合应用”递进构建知识体系，清晰呈现距离与夹角的内在联系及重难点分布。 讲义亮点在于分层题型设计，基础题如点到直线距离计算，综合题如异面直线距离及存在性问题论证，培养数学思维与空间观念。课时精练含选择、填空、解答题，适配不同学生，助力教师实施精准复习教学。

1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 【基础回顾】 一、用空间向量研究距离 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 知识点 1: 向量法求空间距离方法总结 向量法求空间距离 点 到直线 的距离 设 为直线 α上一点, 为直线 的方向向量, 在向量 方向的投影向量模长为. 点 到直线 的距离 . 两平行直线 之间的距离 平行直线 之间距离可看成直线 上一点 到直线 的距离. 则 . 其中 是直线 的方向向量. 点 到平面 的距离 设 为平面 的法向量， 是平面 的一条斜线， ，则点 到平面 的距离等价于向量 在 方向上投影向量的模长，即 直线到平面的距离 直线 到平面 的距离可转化为直线 上一点 到平面 的距离，即直线 到平面 的距离 两平行平面的距离 与平面 平行的平面 到平面 的距离等价于平面 上一点 到平面 的距离,即 异面直线 之间的距离 设 ，直线 ， 的公共法向量为 n (公共法向量的求法与平面的法向量求法相同)，则异面直线 之间的距离为向量 在n 方向上投影向量的模长,即 ,其中 . 题型一 点到直线(平行直线)的距离 1．若、、，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出向量、，利用空间向量法求解即可. 【详解】由题意可得，， 所以点到直线的距离为. 2．如图，正方体的棱长为1，若平面，且满足，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据 四点共面，求得；再建立空间直角坐标系，利用点到直线的距离的求解公式，计算即可. 【详解】根据题意，因为平面，且满足， 故 ，解得； 以为坐标原点，建立如下空间直角坐标系： 故， 则， 则在上的投影为，又， 故点到直线的距离. 3．如图直四棱柱的各棱长均为2，且.动点P在侧面内（不含边界），满足与平面所成角为，当点P在对角线上时，记作，则到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题可得点的轨迹在正方形面内，以点为圆心，以1为半径的半圆弧，点恰好为正方形的中心，以为坐标原点，建立空间直角坐标系计算即可. 【详解】取的中点，连接，，因为底面是菱形，且， 所以. 又因为平面，平面，所以. 由于平面，所以平面. 因为与平面所成角为，所以与平面所成角也是. 由于为直线在平面上的射影，所以. 在中，，所以， 所以点的轨迹在正方形面内，以点为圆心，以1为半径的半圆弧. 当点在对角线上时，记作，可知点恰好为正方形的中心. 取的中点，连接，则直线，，两两垂直， 以为坐标原点，分别以，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图空间直角坐标系. 则，，，，， 记， 所以到直线的距离. 4．在空间直角坐标系中，直线经过点，且其方向向量，则点到直线的距离为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】由向量法求点到直线的距离公式求解即可. 【详解】由题， 所以点到直线的距离为. 5．在三棱台中，，且，若平面，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立适当空间直角坐标系，求出和在方向上的投影，即可由向量方法直接计算点到直线的距离． 【详解】因为平面，所以，又，所以. 可以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，. 所以， 所以在方向上的投影为， 所以点到直线的距离为． 6．鳖臑是指四个面都是直角三角形的三棱锥．如图，在鳖臑中，平面，，，分别是棱，的中点，点是线段的中点，则点到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，根据向量法求点到直线的距离计算即可. 【详解】以为原点，以，，过点且平行于的直线为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，. 因为，分别是棱，的中点，所以，. 因为点是线段的中点，所以. 所以，， 所以点到直线的距离为 . 故选：D. 7．在正三棱锥中，是棱的中点，则点到直线的距离是（   ） A．3 B． C．8 D． 【答案】D 【分析】取棱的中点，连接，作，垂足为，过点作，根据正三棱锥的性质得到平面、，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【详解】如图，取棱的中点，连接，作，垂足为，过点作，交AB于点，交BC于点，连接BD. 因为三棱锥是正三棱锥， 所以平面，又为等边三角形，所以，所以， 则HB，HF，HP两两垂直， 故以为坐标原点，HB，HF，HP所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 因为是边长为的等边三角形，所以，． 因为，所以， 所以，，，，所以， 所以，， 则，， ， 所以点到直线BC的距离． 故选：D    8．在正四棱锥中，，，E，F分别是棱AB，PC的中点，则点D到直线EF的距离是_______________． 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得点D到直线EF的距离. 【详解】如图，连接AC，BD，DE，记，连接OP. 由正四棱锥的性质可知OB，OC，OP两两垂直， 则以为坐标原点，OB，OC，OP所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系. 因为，，所以，， 则， 所以， 则点到直线的距离是. 故答案为：. 9．如图，三棱锥中，底面为直角三角形，为直角，面，且，为棱上一个动点，则到直线的距离的最小值为______． 【答案】/ 【分析】建立空间直角坐标系，根据点到直线距离的向量公式即可求解． 【详解】以为原点，以所在直线为轴，如图建系， 则， 设，则， 在方向上投影向量长度为， 故到直线的距离， 当时，， 故答案为：． 10．在直三棱柱中，，，，，点是棱的中点，点在棱上运动，则点到直线的距离的最小值为_____. 【答案】 【分析】在直三棱柱中，因为平面，，所以可以建立空间直角坐标系，利用参数设动点的坐标，利用点到直线的距离公式表示点到直线的距离，再根据函数单调性求出最值. 【详解】在直三棱柱中，因为平面，，所以三条两两垂直，所以以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则.    因为点是棱的中点，所以. 设，其中， 连接，则，， 所以点到直线的距离 ． 设，，则， 所以． 所以当，即，即点与点重合时，点到直线的距离取得最小值，最小值为. 故答案为：. 题型二 点、直线及平面到平面的距离 1．在空间直角坐标系中，已知点，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题设有，设平面的法向量为， 则，故，取， 而，故点到平面的距离为. 2．如图，正方体棱长为4，点是棱的中点，点分别是线段的中点，则三棱锥的体积为（    ） A． B． C．6 D．8 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求点到平面的距离，再结合棱锥的体积公式求解. 【详解】以为原点，建立如图空间直角坐标系. 则，，，，，. 所以，，. 在中，，， 所以 . 又，，. 设平面的法向量为，则 ，取可得. 所以点到平面的距离为：. 所以. 3．已知三棱台中，平面平面，，底面满足且，点在棱上运动，则点到平面的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取的中点，根据底面是以为直角顶点的等腰直角三角形，得到且．再利用面面垂直和棱台的相似关系建立空间直角坐标系，设在上的位置参数为，求出平面的法向量，利用点到平面的距离公式把问题转化为二次函数最值问题． 【详解】 取的中点，连接，因为，所以， 又因为，，所以，从而， 且是等腰直角三角形，故， 设为的中点．因为为三棱台，所以， 又因为，所以四边形为等腰梯形，故， 因为平面平面，且交线为，所以平面， 在等腰梯形中，， 由，得， 所以； 以为原点，， ，所在直线分别为 ， ，轴，建立空间直角坐标系， 则，， 由于三棱台的上、下底面相似，且， 所以，故， 因为点在棱上运动，故可设， 其中，则， 所以， 设平面 的法向量为， ， 令，则， 所以平面的法向量， 又，故点到平面的距离为， 即， 化简得， 因为，且， 所以当时，取得最小值，此时取得最大值，且. 4．已知三棱锥的各顶点均在表面积为的球的表面上，且，，则三棱锥体积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可建立适当空间直角坐标系，再设，计算可得且，再借助空间向量计算可得点到平面的距离的最大值，最后利用体积公式计算即可得. 【详解】设球的半径为，所以，解得，故， 又，所以，所以， 设的中点为，则是外接圆的圆心， 则平面， 以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系， 如图所示，则， 设点，因为， 所以，即， 两式相减解得，代回上式可得，所以，即， 又平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为， 所以点到平面的最大距离为， 所以三棱锥体积的最大值为. 5．在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则直线到平面的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，得到平面的法向量，可证平面，则直线到平面的距离等于点到平面的距离，利用空间向量求点到平面的距离. 【详解】如图，以点为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系. 则，，，，， 可得，，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，，可得， 因为，可知， 且平面，平面，所以平面， 因此直线到平面的距离等于点到平面的距离， 则点到平面的距离为， 所以直线到平面的距离为. 6．两平行平面，分别经过坐标原点和点，且两平面的一个法向量，则两平面间的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】两平行平面间的距离可转化为点到平面的距离，结合点到平面距离的向量公式求结论. 【详解】两平行平面，分别经过坐标原点和点，，且两平面的一个法向量，两平面间的距离. 故选：B. 7．正方体的棱长为2，，，，分别是棱，，，的中点，则平面和平面之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将问题转化为点到平面的距离，以为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向，并均以1为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】以为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向，并均以1为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，，，， 所以，，，， 所以，因为四点不共线，所以∥， 由面，面，则面， 因为，，分别是棱，的中点，所以∥， 同理，∥平面，而，面， 所以平面∥平面面，故平面， 所以平面和平面之间的距离，就是到平面的距离，也就是点到平面的距离． 设平面的法向量为，则，不妨取，则， 所以点到平面的距离 ， 即平面和平面之间的距离是． 故选：B 8．（多选）已知棱长为3的正方体，则（    ） A． B．与所成角的大小为 C．平面与平面的距离为 D．平面与平面ABCD所成角的大小为 【答案】AC 【分析】如图，计算的值，即可判断A；通过向量夹角公式计算能求出直线与所成角即可判断B；由平面与平面的距离转化为点到面的距离，再利用等体积法求解即可判断C；通过平面与平面ABCD的法向量求两平面的夹角即可判断D. 【详解】以D为坐标原点，的方向为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系. 正方体棱长为3，则 ， 对于选项A，因为，， 所以，故A正确； 对于选项， ， 所以与所成角的大小为，故B不正确； 对于选项C，平面与平面平行， 两平面的距离可转化为点到平面的距离，则， 即，解得，故 C正确； 对于选项D，设平面的法向量， ， 则，取， 易知平面ABCD的一个法向量为， ， 所以平面与平面ABCD所成角的大小不为，故D不正确. 故选：AC 9．（多选）如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为底面内一动点（含边界），则下列说法正确的是（   ） A．存在动点，使平面 B．若平面，则动点的轨迹长度为 C．若平面，则三棱锥体积的最大值为2 D．若正方体的外接球为球，则球被平面所截截面圆的面积为 【答案】BCD 【分析】对于A，建立空间直角坐标系，根据空间位置关系向量法计算判断；对于B，由线面平行的判定定理及面面平行的性质定理求得动点的轨迹计算判断；对于C，由点到直线距离空间向量法及点到平面距离空间向量法结合图形计算判断；对于D，由点到平面距离空间向量法计算距离，进而计算截面圆的半径后可得截面圆面积. 【详解】以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 对于A，设，且， ， 设平面的法向量为， 则，取，则， 所以平面的法向量为， 若平面，则， 由，解得，不合题意， 不存在动点，使平面，故A错误； 对于B，如图，取的中点，的中点，连接， 则，由正方体性质可知，故， 平面，平面， 平面， ， ， 因为，且平面， 平面， 且平面， 平面平面， 若平面，则平面， 动点的轨迹为线段，其长度为，故B正确； 对于C，， ， 空间向量法计算点到直线的距离为， 则的面积为， 显然，当与重合时，三棱锥的体积最大，则， 点到平面的距离为， 三棱锥体积的最大值为，故C正确； 对于D，正方体外接球的球心为，半径， 则，则点到平面的距离为， 故球被平面所截截面圆半径， 截面圆的面积为，故D正确. 10．（多选）如图，在棱长为1的正方体中，E，F分别为的中点，则下列结论正确的是（    ） A．点F到点E的距离为 B．点F到直线的距离为 C．点F到平面的距离为 D．平面到平面的距离为 【答案】ABC 【分析】空间向量法求两点间距离判断A，求点到直线距离判断B，应用点到平面距离判断C，求面面距离判断D选项. 【详解】以D为原点，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系． 由题意知，， ， ． 设平面的法向量为， 所以则可得平面的一个法向量为． 点F到点E的距离，故A正确； 点F到直线的距离为，故B正确； 点F到平面的距离，故C正确； 由正方体的性质可知，平面平面， 平面到平面的距离即为点F到平面的距离．故D错误． 故选：ABC． 题型三 异面直线间的距离 1．如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是（）    A． B． C．与夹角是 D．直线与直线的距离是 【答案】A 【分析】设，依题得，运用向量数量积的运算计算即可判断A，B两项；利用向量夹角的公式计算排除C项；利用空间向量关于点到直线的距离公式计算即可验证D项． 【详解】设， 则， A选项：， ， 所以，A正确， B选项： 所以B错误， C选项：，设夹角为， 计算得， ， 因此C错误， D选项：在平行六面体中， 易得， 则得，故， 故点到直线的距离即直线与直线的距离． 因， 且， 则， 因此直线距离为，所以D错误. 故选：A 2．正方体的棱长为1，若点在上，点在上，则的长度最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得的长度最小值即异面直线和的距离，建立如图所示空间直角坐标系，再求出直线和的法向量，利用空间点面距离公式求解即可. 【详解】点在上，点在上， 则的长度最小值即异面直线和的距离， 以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 则， 设为直线和的法向量， 又因为，，， 则，令，则， 所以异面直线和的距离为， 即的长度最小值为. 故选：C. 3．正四棱锥中，O为底面ABCD的中心，P为侧棱SD的中点，且，则异面直线BD与PC的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合正四棱锥的几何特征建系，再应用空间向量法求与的公垂线方向向量为，最后应用异面直线距离公式计算求解. 【详解】因为为正四棱锥且是在底面内的正投影，所以面， 连接，，则且交于． 因为，面，所以，，所以以，，为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系． 因为，则，，，，， 所以，． 设异面直线与的公垂线方向向量为， 则有，即，取． 又因为， 所以异面直线与的距离． 所以异面直线与的距离是． 故选：C. 4．在棱长为3的正方体中，动点在线段上，动点在线段上，则长度的最小值为（   ） A．1 B． C． D．3 【答案】C 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，设，，进而点的坐标可以用来表示，由题可知，时, 取得最小值，利用数量积为0，即可求出，进而可知的模长. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， ，， 因为点在线段上，点在线段上， 所以设，， ，，又，， 所以，，则， 当的长度最小时，有，， 所以，即，解得， 此时，所以， 所以的长度最小值为. 故选：C. 5．定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在棱长为1的正方体中， 直线与之间的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设为直线上任意一点，过作，垂足为，利用向量表示，，再结合向量模的性质求的最小值，由此可得结论. 【详解】设为直线上任意一点，过作，垂足为， 设 ，， 则 ， 因为，所以 即 所以，所以， 所以， ∴当时， 取得最小值， 故直线与之间的距离是 故选：B. 6．已知正方体的边长为1，P为上的动点，S，T分别是面ABCD和面上的动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，分别作关于面ABCD和面对称的直线，点对称后为，以为原点建立空间直角坐标系，由，故的最小值为异面直线的距离，再利用空间向量法求异面直线距离即可. 【详解】根据题意，分别作关于面ABCD和面对称的直线， 点对称后为，以为原点建立空间直角坐标系， ， 又是异面直线上的点， 所以的最小值为异面直线的距离， ， ， 设与直线都垂直的一个向量， 则，不妨取，， 所以异面直线的距离. 故选：C. 7．正四棱锥中，为顶点在底面内的正投影，为侧棱的中点，且，则异面直线与的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，，可得且交于，再由面，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【详解】因为为正四棱锥且是在底面内的正投影， 所以面， 连接，，则且交于. 因为 面， 所以，. 所以以，，为 ，，轴建立如图所示的空间直角坐标系. 因为， 则，，，，， 所以，. 设异面直线与的公垂线方向向量为， 则有 ，即，取. 又因为， 所以异面直线与的距离. 所以异面直线与的距离为. 故选：B 8．在三棱锥中，、均为等腰直角三角形，其中，，，点M，N分别在线段AB，PC上，则的最小值为______. 【答案】 【分析】先利用线面垂直证得平面，然后将求的最小值转化为求异面直线AB，PC的距离，建立空间直角坐标系，利用异面直线距离的向量法公式即可得解. 【详解】因为为等腰直角三角形，， 因为，所以，又，，平面，所以平面， 又，补成长方体，以点为原点，建立空间直角坐标系如图， 则， 故， 点M，N分别在线段AB，PC上，要求的最小值，即求异面直线AB，PC的距离， 设同时垂直于，则， 取，则，故， 所以的最小值为. 故答案为： 9．如图，四边形，都是正方形，，.分别是线段，上的动点，且则的最小值是______.    【答案】2 【分析】建立空间直角坐标系，设，用表示出点的坐标，将表示成关于的函数，求最值即可. 【详解】以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. 因为，所以，，，， 则，. 设，则，所以. 因为，所以，所以，则， 故 . 因为，所以，即的最小值是. 故答案为：    10．如图，正方形ABCD和正方形ABEF的边长为1，且平面ABCD与平面ABEF互相垂直，M，N分别在正方形对角线AC，BF上移动． ①________． ②线段MN长度的最小值是________． 【答案】 【分析】以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，坐标运算求，由异面直线间的距离求线段MN长度的最小值. 【详解】正方形ABCD和正方形ABEF的边长为1，平面平面， 平面平面，，平面， 则有平面， 以A为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则，，，， ，，. M，N分别在正方形对角线AC，BF上移动，线段MN长度的最小值是异面直线AC，BF间的距离， 设与都垂直的一个法向量为， 由，令，有， 得，又， 所以线段MN长度的最小值是 故答案为：； 2、 向量法求空间夹角 知识点 1: 向量法求异面直线所成角 若异面直线 所成的角为 ,其方向向量分别为 ,则 (两条异面直线所成的角与其方向向量的夹角关系是相等或者互补) 步骤: (1)选好基底或建立空间直角坐标系； (2)求出两直线的方向向量 ； (3)代入公式 求解. (4)两异面直线所成角 的范围是 ,两向量的夹角 的范围是 ,当异面直线方向向量的夹角为锐角或直角时,就是该异面直线所成角; 当异面直线的方向向量的夹角为钝角时, 其补角才是异面直线所成角. 知识点 2: 向量法求直线与平面所成角 如图所示,设直线 的方向向量为 ,平面 的法向量为 ,直线 与平面 所成角为 ,两向量 与 的夹角为 ,则 或 , 所以 知识点 3: 向量法求平面与平面所成角 (1)在两个半平面内找与棱垂直的直线的方向向量，求出其夹角. 如图所示， 即为所求二面角的平面角. (2)对于易于建立空间直角坐标系的几何体，求二面角的大小时，可以用这两个平面的法向量的夹角来求. 如图所示,二面角 ,平面 的法向量为 ,平面 的法向量为 ,则二面角 的大小为 或 . 则二面角大小为 . 注意:在利用向量法求二面角时，一定要结合图形判断出二面角是锐二面角还是钝二面角. 知识点 4: 面面角与二面角的区别 二面角: 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角, 这条直线叫作二面角的棱, 这两个半平面叫作二面角的面. 面面角: 平面 与平面 相交,形成四个二面角,我们把这四个二面角中不大于 90° 的二面角称为平面 与平面 的夹角. 两者的区别主要是取值范围的不同, 平面与平面的夹角的取值范围为 ,二面角的取值范围为 . 若求得的二面角为锐角,则面面角即为二面角; 若二面角为钝角, 则面面角为其补角. 题型四 求空间线线夹角 1．在正四面体中，分别为的中点，连接，若正四面体的边长为2，则直线与直线所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取底面的中心，连接，以为原点，为轴，过作平行于的直线为轴，为轴建立空间直角坐标系，用空间向量法求异面直线所成的角. 【详解】取底面的中心，连接，则平面，以为原点，为轴，过作平行于的直线为轴，为轴建立空间直角坐标系，由正四面体的边长为2，则底面的外接圆半径，则由题易得高 ，故， ，由、分别为、的中点，所以， 同理得，故， 所以由向量夹角公式可知. 2．直三棱柱，，分别是的中点，，则与所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】以为坐标原点建立空间直角坐标系，根据异面直线所成角的向量求法可求得结果. 【详解】以为坐标原点，的正方向为轴正方向，可建立如图空间直角坐标系， ，，，，，， ，即， 与所成的角为. 3．如图所示,图中的组合体由4个棱长均为1的正方体堆叠而成,则直线与直线夹角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，求出，的坐标，利用空间向量求解即可. 【详解】如图所示以为原点建立空间直角坐标系，则 故，设直线与直线夹角为， 所以， 则. 4．如图，四边形，，，将沿折起，当二面角的值属于区间时，直线和所成角为，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，将几何问题转化为关于二面角的函数问题，再求解三角函数的最值即可. 【详解】取的中点记为，连接，，.，，则二面角的平面角为. 记二面角的大小为，则. 如图所示，以为原点，为轴，为轴， 过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系. ，. ，，. 直线和所成角为， ，. 当，即，有最小值，最小值为. 5．如图，在棱长为2的正方体中，点分别在线段和上，下面结论中不正确的是（    ） A．四面体的体积为 B．存在点，使为等边三角形 C．过点三点的正方体截面一定是平行四边形 D．有且仅有一条直线与垂直 【答案】D 【分析】A选项，根据锥体体积公式进行求解；B选项，设，，需满足与的夹角等于，建立空间直角坐标系，由夹角公式得，令，结合零点存在性定理可得B正确；C选项，画出截面图形，得到C正确；D选项，举出例子，得到不止一条直线与垂直. 【详解】A选项，点在线段上，故点到直线的距离， 故， 又点在线段上，故点到平面的距离， 故四面体的体积为，故A正确； B选项，假设存在点，使为等边三角形，故， 由勾股定理可得， 所以，故只需与的夹角等于即可， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 设，，则， 故， 则， 整理可得，两边平方得， 即，令， 显然在上单调递增， 其中，， 故由零点存在性定理可得，使得， 所以假设成立，故存在点，使为等边三角形，B正确； C选项，在平面中，过点作， 分别交于点，连接， 由于平面平面，故，故四边形为平行四边形， 当分别在线段和运动时，均满足四边形为平行四边形， 故过点三点的正方体截面一定是平行四边形，C正确； D选项，当分别与重合时，⊥， 又为等边三角形，所以当为的中点，与重合时，⊥， 故不止一条直线与垂直，D错误. 6．如图，已知两个正方形，的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直.点M，N分别在正方形对角线和上移动，且.当的长最小时，直线和夹角的余弦值是（    ） A． B．0 C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间两点间距离公式、配方法进行求解最小时的，进而利用向量计算即可求得结果. 【详解】因为平面平面，，， 且平面平面，平面， 故平面，又平面， 故，从而两两垂直，建立如图所示空间直角坐标系， 有，，，，， ，，， ， ， 当时，最小，最小值为； 即当，为、中点时，最短， 则，， ，， ， 直线和夹角的余弦值是. 7．《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.在阳马中，若平面，且，异面直线与所成角的余弦值为，则（    ） A． B．4 C．2 D．3 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量即可求. 【详解】由题意，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建系如图， 设，因为， 所以， ， 设异面直线与所成角为， 则， 解得，即. 故选：B. 8．（多选）如图，在正方体中，，分别是和的中点，则（    ） A．平面ABCD B． C．三棱锥的体积是正方体体积的 D．异面直线与所成角的余弦值为 【答案】ABC 【分析】建立空间直角坐标系，结合向量垂直的坐标表示判断AB；根据棱锥的体积公式判断C；利用向量夹角的运算判断D. 【详解】如图，以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，设棱长为1， 则，，，，，，，，，. ，易知平面ABCD的法向量为，则， 又平面，故平面，故A正确； ，，则，故，故B正确； 三棱锥的体积， 正方体的体积，所以，故C正确； ，，则， 所以异面直线与所成角的余弦值为，故D错误. 9．（多选）在棱长为4的正方体中，，分别为棱，的中点，则下列结论正确的有（    ） A．直线与直线共面 B．直线 C．点到平面的距离为 D．直线与直线所成角的正弦值为 【答案】ABD 【分析】利用线线平行可判断A选项，建立空间直角坐标系，利用空间向量可逐个分析B，C，D选项. 【详解】连接，，，因为P，Q分别为棱，的中点，所以， 因为，所以，所以四点共面，所以直线与直线共面，所以A正确； 以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 由已知棱长为，所以，，，， 所以，，所以,所以，所以B正确； 点，，，所以,， 设平面的法向量为， 所以，即，取， 所以平面的一个法向量为，， 所以点到平面的距离，所以C错误； ，，设直线与直线所成角为， 所以，所以，所以D正确. 10．（多选）已知异面直线，，，，，，，，四点A，B，P，Q不共面，O是线段的中点，，，则（    ） A．当时， B．当时，直线，所成角为 C．点O到直线的距离为 D．三棱锥的体积的最大值为3 【答案】AC 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量一一判定选项即可. 【详解】过点作，根据题意，以为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示， 设，，可得，，， 若，则，得， 又，解得，即. 对于A，，故A正确； 对于B，因为，所以直线所成角为，故B错误； 对于C，易知且， 所以点到直线的距离为，故C正确； 对于D，，当且仅当时取等号，故D错误. 题型五 求空间线面夹角 1．如图，为圆柱的一条母线，是下底面圆的直径，弦与交于点.已知圆柱的高为1，侧面积为.若且M恰为DE的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由圆柱侧面积公式求出底面半径，再利用线段差求出，借助勾股定理算出；接着以为原点建立空间直角坐标系，求出相关点与向量坐标；然后通过平面法向量的方程组求得平面的法向量，最后利用线面角与向量夹角的关系，代入公式算出直线与平面所成角的正弦值. 【详解】设圆柱的底面半径为，则其侧面积，解得. 连接，则， 所以，易知， 所以. 以为坐标原点，平面内过点且与垂直的直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的法向量为，则， 即，则，取，得. 设直线与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为. 2．在直三棱柱中，，点为的中点，点为侧面内（含边界）的动点，且 平面，设直线与平面所成的角为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，求平面的法向量为，设，进而得，利用向量夹角公式即可求解. 【详解】根据题意，以为坐标原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，如图， 设，则， 所以， 设平面的法向量为， 所以，令，得， 设，所以， 因为 平面， 所以，解得， 所以， 显然平面的一个法向量为， 所以， 当时，取最大值，即取最大值，即， 所以，所以. 3．在正方体中，点为线段的中点.点在线段上，直线与平面所成的角为，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，根据向量法求出直线与平面所成的角为的正弦值，再表示出并求出其最小值即可. 【详解】设正方体边长为2，以D为原点建立空间直角坐标系如图所示， 则,,,, 设,则,, 设平面的法向量为,则由得 取，则, 所以为平面的一个法向量， 所以直线与平面所成的角的正弦值 又由，所以, 所以， 又因,所以,所以最小值为 故选：A 4．如图，圆锥PO的底面圆周上有三点，为底面圆O的直径，点是底面直径所对弧的中点，点D是母线PA的中点，若，则直线和平面所成角的正弦值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用空间向量求线面夹角. 【详解】点是底面直径所对弧的中点，所以，建立空间直角坐标系如图所示:    则，，，，，， 可得，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 设直线和平面所成角为， 可得. 5．如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为四边形内（包括边界）一个动点，若直线与平面所成的角为，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立适当空间直角坐标系，设，求和面的一个法向量，由得到关系，再结合二次函数性质计算即可求解. 【详解】由题意可以以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则， 设，则，而平面的一个法向量， 由直线与平面所成的角为得， 整理得， 因此 ，当且仅当时取等号， 所以的最小值为． 故选：D 6．如图，在正四棱柱中，底面边长为2，直线与平面所成角的余弦值为，则正四棱柱的高为（   ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】建立空间坐标系，设棱柱高，求出平面的法向量，令，求出的值. 【详解】以为原点，以，，为坐标轴建立空间坐标系如图所示，    设，则，，， 故，，， 设平面的一个法向量为， 则，可取， 故， 又直线与平面所成角的正弦值为， ，解得. 故选：D. 7．如图，在四棱锥中，平面平面，底面为直角梯形，，，在平面内过点作，交AB于，连PO.设点是平面上的动点，若直线与平面所成的角为，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】证明平面，是正方形，以为原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，利用空间向量法求线面角从而得出满足的关系，再计算，结合函数知识得最小值． 【详解】，则，又， 所以是矩形 ，因为，，所以，即是正方形， 从而是中点，而，所以，， 因为平面平面，平面平面 ，平面， 所以平面， 以为原点 ，分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，，， 设，则，， 设平面的一个法向量是， 则，取，得， 因为直线与平面所成的角为， 所以，化简得， 由得， 在时是增函数， 所以时，． 故选：D． 8．（多选）如图，在正四棱柱中，，为四边形对角线的交点，下列结论正确的是（    ） A．点到侧棱的距离相等 B．正四棱柱外接球的体积为 C．若，则平面 D．点到平面的距离为 【答案】BD 【分析】利用正四棱柱的体对角线等于外接球直径，以及空间位置关系的向量方法证明和空间距离的向量方法计算方法即可求解. 【详解】对于A, 到侧棱的距离等于, 到侧棱的距离相等且等于,故A错误； 对于B，设正四棱柱外接球的直径为，则有, 即，所以外接球的体积等于，故B正确； 对于C，建立空间直角坐标系，如图， 则, 因为，所以, 所以，，, 所以，所以与平面不垂直，故C错误； 对于D,由以上知，设平面的法向量为， 则有，, ,即，令则， 所以， 因为,所以点到平面的距离为，故D正确. 故选:BD. 9．（多选）正方形的边长为1，且它们所在的平面互相垂直．点分别在正方形对角线和上移动，且．则（   ） A．直线与所成的角为 B．平面 C．当时，的长最小，且最小值为 D．当的长最小时，点到平面的距离为 【答案】ABC 【分析】构造空间直角坐标系，求出相关向量坐标，利用向量夹角余弦公式计算向量夹角，判断选项A；利用向量与平面法向量平行证明线面平行判断选项B；利用向量模的公式构造二次方程判断选项C，利用点到平面距离公式求出点面距离，判断选项D． 【详解】已知正方形的边长为1，且它们所在的平面互相垂直， 以为坐标原点，建立下图所示空间直角坐标系， 则，故， 设夹角为，则， ，故A正确； ， ， ， ， 平面的法向量为， ， ， 平面， 平面，故B正确； ， ，函数开口向上，对称轴为， 当时取得最小值，最小值为， 故C正确； 当时，， ，设平面的法向量为， 则，令，则， ， 则点到平面的距离为：，故D错误． 10．（多选）如图，正方体的棱长为，点分别为的中点，点为线段上的动点，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．当为线段中点时，平面 D．点到直线的距离的最小值为 【答案】ACD 【详解】以为原点，方向分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，，，，，. A选项，可求得，，所以，因此，所以A选项正确； B选项，在中，，，， ， 因此，所以B选项错误； C选项，若为线段中点时，则，所以，易得平面的一个法向量为， 所以，且平面，所以平面，所以C选项正确； D选项，，，其中，，， 所以点到直线的距离， 且，，， 代入可得：， 当时，有最小值， 此时，所以选项正确. 题型六 求空间面面夹角 1．如图，四棱锥的底面是梯形，平面，且，，，，为的中点. (1)求证：平面平面； (2)当二面角的余弦值为时，求直线与平面所成角的正切值. 【答案】(1)证明见解析 (2)2 【分析】（1）根据平面，得，根据三角形性质得，进而得到平面，面面垂直的判定即可得出结果； （2）建立空间直角坐标系，设，平面法向量，求出坐标，法一：根据直线与平面所成角的向量求解；法二：由题知平面，所以为与平面所成角的平面角，最后根据三角形性质求解. 【详解】（1）因为平面，在平面内，所以，   在中，，，，所以，   又，为的中点，所以，   又， 在平面内，所以平面，   又平面， 所以平面平面； （2）以为原点，以方向为轴正方向，以方向为轴正方向，以方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，   则，，，， 设，平面法向量. 则，，， 令则， 取平面的法向量， 所以， 解得.   法一：即，，取平面的法向量 设直线与平面所成角为， 则.   所以，直线与平面所成角的正切值为.   法二：由题知平面，所以为与平面所成角的平面角，   ，在中，，，， 所以，直线与平面所成角的正切值为. 2．如图，在三棱台中，，，，． (1)证明：平面； (2)求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）将棱台补成棱锥后，结合棱台性质与勾股定理逆定理可得、，再利用线面垂直判定定理即可得证； （2）建立适当空间直角坐标系后，求出平面与平面的法向量后，利用空间向量夹角公式及同角三角函数基本关系计算即可得. 【详解】（1）将棱台补成棱锥，设棱锥顶点为，由，，有， 则，则、、分别为、、的中点， 由，则，由，则， 故为等边三角形，由，则， 又，则，故， 又，则有，故， 又，则， 又，、平面， 故平面，即平面； （2）以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则，、、、， 则、、， 设平面与平面的法向量分别为、， 则有，， 令，，则，，， 即可取、， 则， 即二面角的正弦值为. 3．如图，四棱台中，，，，，，. (1)证明：平面平面； (2)若，四棱台的体积为，，求平面与平面夹角的正弦值. 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由已知，在中，由正弦定理，可得，在中，由余弦定理，可得，由勾股定理的逆定理可得，则平面，则得平面平面； （2）由（1）和已知，可得四棱台的上、下底面面积，再由四棱台的体积公式求出高，由（1）可得平面，以为坐标原点， 建立空间直角坐标系，求出设平面和平面的法向量，则由坐标运算得到平面与平面夹角的余弦值，再求正弦值即可． 【详解】（1）因为，所以， 在中，由正弦定理， 得，又，， 所以， 所以， 则由勾股定理，得， 在中，，由余弦定理， 得， 所以，所以，即， 又平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面； （2）由（1）知四棱台的下底面面积 ， 因为，所以上底面面积， 设四棱台的高为， 则四棱台的体积为，所以， 因为平面平面， 平面平面， 所以平面，所以两两垂直. 以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则 所以， 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，得， 所以平面的一个法向量为， 由题可知平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为， 则， 所以， 所以平面与平面夹角的正弦值为． 4．如图，在三棱柱中，平面平面，，，，为的中点. (1)求证：； (2)若直线与平面所成角的正切值为，求平面与平面所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取的中点为，连接，由条件可得平面及，进而可得平面，再线面垂直的性质可得线线垂直； （2）直接建立空间直角坐标系，用向量的方法求面面角可得. 【详解】（1）设的中点为，连接.如图： 由，，得是等边三角形，故. 因为平面 ​平面，平面 ​平面，且平面， 根据面面垂直的性质定理，得平面. 又平面，故. 又因为分别是中点，故是的中位线，所以. 由得，故. 因为，平面，所以平面， 又平面，故. （2）由平面，得与平面所成角为，故. 又因为等边中，，所以，代入上式得. 又在直角中，，所以，因此， 所以为等腰直角三角形，所以. 以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图： 得各点坐标： ，，，，， 因为平面在坐标平面内，所以取平面的法向量为. 设平面的法向量为，向量，， 由，得： ，， 令，，， 所以平面与平面所成角的余弦值： . 5．如图，在四棱锥中，侧面是边长为2的等边三角形，，，平面平面，为的中点． (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）首先利用条件证明进而证明，然后再利用面面垂直的性质定理证明进而证明，最后根据垂直的判定定理即可证明结论； （2）以点为坐标原点，分别以所在的直线为轴，过点且平行于的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，分别计算出平面和平面的法向量，然后根据平面与平面夹角的向量公式即可求解. 【详解】（1）， ，． 为的中点，，． 又， ，． ，，． 是等边三角形，为的中点，． 平面平面，平面平面平面 平面． 平面 ． 平面平面， 平面． 平面 平面平面． （2），平面平面，平面平面，平面， 平面． 平面 ， 两两垂直． 以点为坐标原点，分别以所在的直线为轴，过点且平行于的直线为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，则． 设平面的法向量为，则， ， 令，则 ． 设平面的法向量为，则， ， 令，则 ． 设平面与平面的夹角为，则 即平面与平面夹角的余弦值是． 6．如图，已知四棱锥S-ABCD的底面ABCD是直角梯形，，，，平面ABCD，. (1)设钝二面角大小为a，求的值； (2)在棱上是否存在一点（不与端点重合），使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；如不存在，试说明理由； (3)E点在上，F点在上，G点在上，求的面积取值范围. 【答案】(1)； (2)存在，； (3) 【分析】（1）通过建立空间直角坐标系，求出两个面的法向量，再结合二面角为钝角的条件计算即可； （2）通过设参数表示点的坐标，利用向量法计算线面角，即可判断存在性并求线段比例； （3）用参数表示的坐标，再表示面积即可求解. 【详解】（1）以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的法向量为，则，即， 令，则可得； 令平面的法向量为，则，即， 令，则可得， 所以， 因为二面角为钝二面角，所以，则， 所以； （2）若存在，设，, 则，故，所以， 设与平面所成角为， 所以， 即，所以或（舍去）， 所以存在点，且. （3）因为E点在上，F点在上，G点在上，所以 设， 则， 到的距离为， 所以的面积为 ， 对固定的，关于在上二次函数， 可以趋近一条直线，所以面积无最小值， 当时，面积取得最大值， 故. 7．如图，直三棱柱中，，，，分别为，的中点. (1)证明：平面； (2)若三棱锥的体积为，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明过程见解析. (2) 【分析】（1）通过辅助线构造平行四边形证明线面平行即可； （2）建立空间直角坐标系，利用三棱锥的体积得到所需长度，利用平面的法向量求解两个平面的夹角余弦值即可. 【详解】（1） 设的中点为，连接. 因为分别为的中点，所以，且. 在直三棱柱中，，且，所以， 所以四边形为平行四边形，则. 又平面，平面，所以平面. （2）我们以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， 设直三棱柱的侧棱长，可得 三棱锥 ，到底面的距离为，， 因此，解得. 则向量，，， 设平面的法向量为，则， 令，得，，即； 平面的一个法向量为； 设两个平面夹角为，则. 即两个平面的夹角余弦值为. 8．如图，是斜边的等腰直角三角形，正三角形所在平面与三角形所在平面垂直，梯形中，，且梯形所在平面与三角形所在平面垂直． (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明平面，根据三角形的性质及面面垂直的性质判断平面，平面，进而．方法一，连接BE，构造平行四边形PEBN得到，根据面面平行的判定定理证明平面平面；方法二取BC的中点，连接MF，构造平行四边形MPEF得到，根据面面平行的判定定理证明平面平面； （2）取AB的中点，连接ED，分别以EA，ED，EP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面PMC与平面PAN的法向量，再利用向量的夹角公式求解. 【详解】（1）因为平面平面，所以平面. 因为是斜边的等腰直角三角形，所以． 如图1，取AC的中点，连接PE． 因为是正三角形，且，所以，且， 又平面平面ABC，平面平面， 所以平面. 因为，平面平面BCMN，平面平面，平面BCMN， 所以平面， 所以． 如图2，连接BE，因为， 所以四边形PEBN为平行四边形，因此． 因为平面平面， 所以平面， 又平面平面PMN， 所以平面平面. 方法二： 如图3，取BC的中点，连接MF． 因为，所以，又，所以， 又，所以四边形BFMN是平行四边形， 所以， 因为，所以， 连接EF，因为平面平面，平面平面，平面BCMN， 所以平面， 又平面，所以， 因此四边形MPEF是平行四边形，． 因为平面平面ABC，所以平面， 又平面平面平面， 所以平面平面. （2）如图4，取AB的中点，连接ED，因为是AC的中点，所以， 又是斜边的等腰直角三角形， 所以，所以． 又平面平面，所以，所以EP，EA，ED两两垂直． 分别以EA，ED，EP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 则， 所以 ，） 设平面PMC的法向量为， 则即取，得， 则是平面PMC的一个法向量． 设平面PAN的法向量为， 则即取，得， 则是平面PAN的一个法向量． 设平面PMC与平面PAN的夹角为， 则， 因此平面PMC与平面PAN夹角的余弦值为． 9．如图，在四棱锥中，平面，，，，、点在棱上． (1)当时，求三棱锥的体积； (2)若二面角的大小为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可知点E到平面ABCD的距离为，利用割补法求体积； （2）建立空间直角坐标系，设，，求平面BDE、平面BCD的法向量，利用空间向量结合二面角列方程求解. 【详解】（1）因为，且平面，可知点E到平面ABCD的距离为， 所以． （2）在平面ABP内过点B作直线AP的平行线l， 以B为原点，分别以BC，BA，l所在的直线为x轴，y轴，z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 可得，，， 设，，则， 可得， 设平面BDE的一个法向量为，则， 令，则，，可得， 由题意可知：平面BCD的一个法向量为， 因为二面角的大小为， 则，可得， 整理得，解得或（舍去）， 所以． 10．在斜三棱柱中，，，为菱形，，，为中点． (1)证明：平面； (2)线段上是否存在一点，使二面角为，若存在，求出的位置，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)不存在，理由见解析. 【分析】（1）法一作出符合题意的图形，结合中位线定理得到四边形为平行四边形，进而得到，最后利用线面平行的判定定理求解；法二直接利用中位线定理证明，最后利用线面平行的判定定理求解即可. （2）结合题意与线面垂直的判定定理得到平面，再建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，结合二面角的向量求法建立方程，求解参数，最后判断点的存在性即可. 【详解】（1）法一：如图，连接，交于， 取中点，连接，． 为中点，且， 又且，且， 所以四边形为平行四边形，，， 平面，平面， 平面． 法二：如图，连接，交于，连接． 分别为中点，， 平面，平面， 平面． （2）四边形为菱形，，又， 为等边三角形，为中点，， 又，，，平面，平面， ，又，，，平面， 平面， 如图，以为原点，在平面内过点作的平行线为轴， 所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系． 得，，， ，，， ． 设，，， ，， 设平面法向量，且，， ，令，解得， ，而设平面法向量， 则，由题意得二面角为， 得到，化简得  ． 故不存在点满足二面角等于． 题型七 探索性（存在性）问题 1．已知菱形中，，，为边的中点，将沿翻折成（点位于平面上方），连接和． (1)求证：； (2)当时，在线段上是否存在点，使得直线与平面所成夹角的正弦值为?若存在，求出点位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，为中点，理由见解析 【分析】（1）首先根据余弦定理计算出，进而利用勾股定理证明，然后根据线面垂直的判定定理证明平面，最后根据线面垂直的性质即可证明. （2）以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，首先根据，求出点的坐标，然后根据在线段上，设，得，最后根据线面角的向量公式即可求解. 【详解】（1）在菱形中，，，故，为中点，， 由余弦定理得： ， 故， 即，得，， 翻折后，仍成立， 又，平面， 故平面， 又平面，因此. （2）存在，为的中点，过程如下： 以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， 得各点坐标： ，，，， 设，由得， 由，得， 代入，解得，故， 在线段上，设，得，则， 平面中，，设平面的一个法向量为， 由得，取 得，， 设直线与平面夹角为，则， 代入计算： ，化简得，解得（舍去，超出范围）. 因此存在点，为的中点满足条件. 2．如图，在四棱锥中，平面，，，，，. (1)证明：平面平面； (2)若直线与平面所成的角为，求线段的长； (3)是否存在线段上一点，使得到点的距离都相等？说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，理由见解析 【分析】（1）根据线面垂直的性质可得，再结合得到平面，最后根据面面垂直的判定定理证明平面平面； （2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，作交于点，设，根据已知条件写出的坐标，再运用线面角的向量求法列出方程，可得即的长； （3）先假设存在点满足条件，得到即为（2）中的，写出长度的表达式，根据根分布可得存在满足条件的点. 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 又因为，所以平面， 又因为平面，所以平面平面. （2）以为坐标原点，以为轴正半轴方向，建立空间直角坐标系， 在平面内，作交于点，则， 在中，，， 设，则，由得， 所以， ，设平面的法向量为， 由，得，取， 得平面的一个法向量为，又， 由直线与平面所成的角为可得， 即，解得或（舍去，因为）， 所以. （3）假设在线段上存在一点到的距离都相等，由， 得，从而，即为（2）中的点， 有，而在中， ， 所以，其中， 设，则， 此时，在有两个不同的解， 即在线段上存在一点，使得到的距离都相等. 3．如图平面，，是线段上的动点，是的中点，已知. (1)证明：平面； (2)若，. ①求点到平面的距离； ②试探究：在线段上是否存在点，使得平面与平面夹角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)①点到平面的距离为；②存在，或. 【分析】（1）由线面垂直可得线线垂直，再由线面垂直的判定定理得出线面垂直即可得证； （2）①建立空间直角坐标系，利用向量法求点到平面距离；②设存在，根据向量法由平面的夹角公式求出即可得解. 【详解】（1），是的中点，， 平面，平面，， 又，又，平面，平面， 平面， 又平面，， 又，平面，平面， 平面； （2） ①以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系： ，，，，， ，， 设平面的法向量为 则，即，取，可得， 所以，即点到平面的距离为； ②， 设，则， ， 设平面的法向量为 则，即， 令，可得， 设平面与平面夹角， 所以 ， 又平面与平面夹角的正弦值为，所以，又， 所以，所以， 化简得，解得或， 所以或， 所以或. 4．如图，在四棱锥中，平面，是的中点． (1)求证：平面； (2)若， （i）求平面与平面夹角的正弦值； （ii）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为1？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）（ii）存在， 【分析】（1）取中点，连接，根据线线平行证明线面平行； （2）（i）建立空间直角坐标系，利用坐标法可求得平面的法向量，利用向量法可得面面角余弦值，再由同角三角函数的基本关系求正弦值； （ii）设，利用向量法表示点到平面的距离，列方程，解方程即可. 【详解】（1）取中点，连接， 因为为中点，所以，且， 又，所以， 所以四边形为平行四边形，即， 又平面，平面，所以平面； （2）（i）因为平面，且， 以点为原点，建立如图所示空间直角坐标系： 则， 所以， 因为平面，平面， 所以平面平面， 又因为平面平面平面， 所以平面，所以平面的一个法向量为， 设平面的法向量为，则 不妨取，则，则， 所以平面与平面夹角的正弦值为； （ii）存在点满足题意， 易知， 假设存在点满足题意，设， 所以， 设平面的法向量为，则， 令，则， 所以点到平面的距离，化简可得， 解得或（舍去），即. 5．在三棱锥中，平面平面，，，，，分别为，，的中点，为棱上一点，且，． (1)求证：平面平面． (2)线段（含端点）上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为?若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，点为上靠近点的四等分点 【分析】（1）由面面垂直得到线线垂直，再由线线垂直得到线面垂直，进而得到面面垂直． （2）建立空间直角坐标系，令，，利用空间向量的夹角公式建立关于的方程，通过判断此方程是否有解进行判断． 【详解】（1）因为平面平面，平面平面， 又平面，且， 所以平面． 因为平面，所以． 因为，，分别为，，的中点， 所以，且， ，且， 所以四边形为平行四边形． 又，，所以，且， 所以四边形为正方形，所以． 因为，且，平面， 所以平面． 又平面， 所以平面平面． （2）由（1）知，四边形为正方形， 又平面，所以，，两两垂直， 故以点为坐标原点，以，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，． 假设上存在点满足条件， 令，， 则，． 设平面的法向量为， 则 令，则，， 故平面的一个法向量为． 易知平面的一个法向量为． 因为平面与平面夹角的余弦值为， 所以 解得或（舍）， 即当点为上靠近点的四等分点时，平面与平面夹角的余弦值为． 6．如图，四棱锥的底面是边长为4的菱形，，，，，是的中点． (1)证明：； (2)若点为线段上动点，是否存在这样的点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）通过证明线面垂直来证明线线垂直，通过证明平面，从而证明. （2）通过建立坐标系来确定各点的坐标，然后通过线面角的公式来求得未知点的坐标，最后通过判断点的坐标是否可能在上，从而判断点是否存在. 【详解】（1）连接AC， 由题意可知：是等边三角形，且是的中点，， 则，， 因为，，则，， 又因为，则，可知， 且，平面，可得平面， 且平面，所以. （2）以为原点，为轴，为轴，过作垂直于底面的直线为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 可得，，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 设，则， 设为与平面的夹角为， 则, 整理可得，解得， 且，所以线段上不存在满足条件的点. 7．如图，在直角梯形中， 为的中点.将沿翻折，使点到达点的位置，且平面平面. (1)求证：平面平面. (2)在线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）由面面垂直的性质定理得平面，所以，由线面垂直的判定定理结合正方形的性质，可得平面，根据面面垂直的判定定理即可证得平面平面； （2）假设在线段上存在点，满足题意，且，建立恰当的空间直角坐标系，根据线面角的向量求法求得的值，即可判断. 【详解】（1）在直角梯形中， 为的中点， 所以，四边形是正方形，所以. 所以在四棱锥中，. 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面. 因为平面，所以. 又正方形中，， 因为平面，所以平面. 因为平面，所以平面平面. （2）由（1）知平面，，所以两两垂直. 以坐标原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则. 所以， 设平面的法向量为，则. 令，则，所以平面的一个法向量为. 假设在线段上存在点，满足题意，且， 则. 由与平面所成角的正弦值为，得， 所以， 化简得，所以（负值舍去）. 所以，所以. 即存在点M满足题意，且. 8．如图1，等腰直角的斜边，D为BC的中点，沿BC边上的高AD折叠，使得二面角为，如图2所示，设M为CD的中点． (1)证明：平面． (2)求平面和平面的夹角的余弦值． (3)在线段AC（含端点）上是否存在点Q，使得直线MQ与平面所成角的正弦值为？若存在，求出线段AQ的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在； 【分析】（1） 由线面垂直的判定定理证明平面，从而；由已知条件证明，再根据线面垂直的判定定理证得平面； （2）建立空间直角坐标系，根据面面角的向量求法，可求得平面和平面的夹角的余弦值； （3）假设存在点Q满足题意，且，根据线面角的向量求法，列出方程，求解可得的值. 【详解】（1）在图1的等腰直角中，D为的中点，可得， 所以在图2中，可得． 因为，且，平面，所以平面．            又因为平面，所以． 因为平面，所以是二面角的平面角，即， 所以为等边三角形 因为M为的中点，所以． 又因为，且AD，平面，所以平面．        （2）以D为坐标原点，在平面内作垂直于DC的直线为x轴，DC，DA所在直线分别为y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则， 则． 设平面的法向量为，则        则，取，可得，所以． 设平面DAB的法向量为，则       则，取，可得，所以． 所以， 所以平面和平面所成角的余弦值为．        （3）假设在线段AC上存在点Q，使得直线MQ与平面所成角的正弦值为． 由（2）得， 设，则．       平面的一个法向量为， 设直线与平面所成的角为， 则， 化简得，解得或（舍去）， 所以存在点Q，使得直线与平面所成角的正弦值为． 当时，． 9．如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，E为线段的中点，F为线段上的动点．    (1)证明：平面平面； (2)设点G是线段上的一点，且满足．在线段上是否存在点F，使得A，E，G，F四点共面？若存在，试确定点F的位置；若不存在，请说明理由； (3)求平面与平面夹角的余弦值的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在唯一的点F，使得A，E，G，F四点共面，此时，(F点在线段上靠近点的三等分点处). (3) 【分析】（1）由线面垂直的性质定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系后，将用两种不同的方式表示，列方程组求解； （3）先求平面的一个法向量，再表示平面的一个法向量，接着表示出夹角的余弦值，从而求出最大值. 【详解】（1）因为底面为正方形，所以， 又底面，底面，所以， 因为，平面，所以平面， 又平面，所以， 在中，，为的中点，所以， 平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. （2）    以点为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 因为，则，则得， 则，，，， 设， 若A，E，G，F四点共面，则存在实数使得 即，得方程组： ，解得 即存在唯一的点F，使得A，E，G，F四点共面，此时，(F点在线段上靠近点的三等分点处). （3）由（2）可知 设平面的一个法向量为， 则，故可取， 设平面的一个法向量为， 则故可取， 设平面与平面夹角为，则 ， 当时，取得最大值， 所以平面与平面夹角的余弦值的最大值是 . 10．如图，等边三角形的边长为8，分别为所在边的中点，为线段的中点，现将三角形沿直线折起，使得二面角为直二面角． (1)求线段的长度； (2)求直线与平面所成角的余弦值； (3)棱上是否存在异于端点的点，使得点到平面的距离为．若存在，请指出点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)存在，点位于线段的靠近点的三等分点 【分析】（1）连接，证明，结合面面垂直性质定理证明平面，取边的中点记为，建立空间直角坐标系，求的坐标，再求线段的长度； （2）求平面的法向量，结合向量夹角公式求直线与平面所成角的正弦值，再利用同角三角函数基本关系求出余弦值； （3）设，求平面的法向量，结合点到平面的距离的向量求法求点到平面的距离，列方程求，由此可得结论. 【详解】（1）连接，因为为线段的中点，所以， 由题意知面面，且面面， 又面，所以平面，取边的中点记为，则． 以点为原点，以为轴建立空间直角坐标系， 易知，所以； （2）由（1）可知， 所以，，， 记平面的一个法向量， 所以 ，不妨取，得，即， 记直线与平面所成角为， 则， 考虑到，有，从而， 所以直线与平面所成角的余弦值为． （3）设，其中． ， ， ，记平面的一个法向量为， 则有， 不妨取，解得，即， 则点到平面的距离， 整理得：，即， 解得或（舍去）， 所以当点位于线段的靠近点的三等分点时， 点到平面的距离为． 课时精练 一、单选题 1．已知直线l的方向向量为，平面的法向量为，若l与所成角的正弦值为，则（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】根据题意，由线面角的计算公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意，l与所成角的正弦值为， 于是，即，解得. 故选：B. 2．在空间直角坐标系中，若点，，则两点间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用两点间距离公式直接求解即可. 【详解】，，， 即两点间的距离为. 故选：D. 3．在三棱锥中，平面，，分别是棱的中点，，，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，用向量的方法直接计算线面角的正弦值. 【详解】因为平面，平面，所以. 又因为，所以， 故以A点为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图： 则， 又因为分别是棱的中点，所以. 设平面的法向量为，. 由，得，令，则，即. 因为，所以直线与平面所成角的正弦值为 . 故选：C. 4．设正方形与正方形的边长都是1，若对角线与所成角的余弦值为，则二面角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用空间向量数量积的运算律及夹角公式列式求解. 【详解】设二面角的大小为，由， 得，， 则， 而，由对角线与所成角的余弦值为，得， 解得，又，解得， 所以二面角的大小为. 5．如图，正四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，平面，为侧棱上的点，则二面角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，结合向量即可求解. 【详解】连接，设交于点，则平面， 以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 设底面边长为，则， 显然是平面的一个法向量， 因为平面，所以是平面的一个法向量， 设二面角为，则由图可知，为钝角， 所以. 6．在正四棱柱中，，以为球心，表面积为的球与平面只有1个公共点，若为棱的中点，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得球与平面相切，结合三角形面积公式求得，进而建立空间直角坐标系利用点到面的距离公式求解. 【详解】设，则三棱锥的体积为， 由球的表面积为，得球的半径， 又球与平面只有1个公共点，则球与平面相切， 所以点到平面的距离为1. 在中，，， 所以的面积为， 所以，解得，即． 以点为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量为，则，即， 取，则， 所以到平面的距离为． 7．在三棱锥中，，，为的中点，且，，若二面角的大小为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，二面角的平面角就是向量与的夹角，进而得与的夹角为，再根据数量积定义求解即可. 【详解】因为，为的中点，所以， 因为， 所以二面角的平面角就是向量与的夹角，为， 因为向量与方向相反， 所以与的夹角为 ， 因为，， 所以 8．已知正方体的顶点都在体积为的球的球面上，分别为棱的中点，则平面截球所得的截面面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由球的体积求出外接球半径，再结合正方体外接球性质求出棱长；接着建立坐标系，求出平面的法向量，利用求出球心到平面的距离；最后利用球的截面性质算出截面圆半径，进而得到截面面积． 【详解】 由，得， 设正方体的棱长为，则，所以， 建立如图所示的空间直角坐标系， ，，，， ，，，， ，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 所以，取，得， 球心到平面的距离， 设平面截球所得的截面的半径为，则， 所以平面截球所得的截面面积． 9．已知“经过点且法向量为的平面的方程是”．现知道平面的方程为，则过与的直线与平面所成角的正弦值是___________． 【答案】/ 【详解】依题意，平面的法向量，直线的方向向量， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 10．如图，为直四棱柱，底面ABCD是等腰梯形，，.点在平面内，是等腰三角形. ①若，直线与平面所成角的正弦值为__________； ②若二面角为，四棱锥的体积为__________. 【答案】 / 【分析】①问求线面角的正弦值，由等腰三角形条件确定点的坐标特征，再利用空间中两点距离公式及线面角的定义，将正弦值转化为垂线段与斜线段的比值直接求解； ②建立空间直角坐标系，依次求出底面梯形几何量（下底长、高、面积），并利用法向量（定义法列方程组）与二面角的余弦值建立方程解出高，最后代入棱锥体积公式得出结果. 【详解】已知直四棱柱底面是等腰梯形，，，. 过点分别作底边的垂线，垂足分别为. 因为，所以四边形为矩形，. 在中，，（腰长），由三角函数定义： ， 由等腰梯形的对称性，得. 因此下底. 上底面与底面全等，其面积：高 以为原点，方向为轴，梯形高方向（在底面内垂直于）为轴， 侧棱方向为轴.设侧棱长为，得各点坐标： ， 平面即为平面.点在该平面内，且为等腰三角形， 故在的垂直平分线上，得. 记为到上底面的距离， 已知，则解得. 设直线与平面所成角为，则 ②在平面内 设平面的法向量，则， 取，，则，故. 设平面的法向量， 点坐标为，取，则.另取. 则，取，则，代入得， 又，故，因此. 二面角的大小为，其余弦值为. 两法向量夹角的余弦值为： ， ， ， 所以：， 结合二面角方向判断，二面角为钝角，余弦值为负， 得：，解得（取正值）. 四棱锥体积： 代入得： 11．如图，在三棱锥中，，，为的中点，若点在棱上，且二面角的大小为，则与平面所成角的正弦值为______． 【答案】 【分析】方法一：建立空间直角坐标系，得到相关点及相关向量的坐标，设出点坐标，结合二面角的向量求法及已知条件求出点，根据线面角的向量求法求解即可. 方法二：根据三正弦定理求解即可. 【详解】方法一：因为，为的中点，所以，且. 连接，因为，，， 所以是等腰直角三角形，又为的中点，所以，且. 在中，，所以是直角三角形，且. 所以，，两两垂直， 以点为原点，以，，为，，轴建立空间直角坐标系. 则，，，，， 设 . 则，， 设平面的法向量为， 则，即，取，则，， 所以. 易知平面，所以平面的一个法向量为. 又二面角的大小为，所以， 整理得，解得或（舍去），所以. 又，设与平面所成角为， 所以， 所以与平面所成角的正弦值为. 方法二：设与平面所成角为．由题意知，，二面角的大小是， 由三正弦定理得． 12．已知直线l过点，其方向向量为，则点到直线l的距离为_____________. 【答案】2 【详解】依题意，，所以点到直线l的距离 13．在三棱锥中，且，点为中点，则直线与直线所成角的余弦值为____________． 【答案】 【分析】根据空间向量基本定理和向量数量积、向量的模的公式进行计算即可. 【详解】因为点为中点，所以. 所以. 因为， 所以 . 由于 所以直线与直线所成角的余弦值为. 14．如图，在三棱锥中，平面，，，，，，过点M，P的平面与交于点N，，则_____. 【答案】 【分析】法1，建立空间直角坐标系，设出点的参数坐标，利用向量垂直 求出参数，再用空间两点间距离公式求；法2，通过线面垂直判定⊥平面，结合余弦定理、平行线分线段成比例求出，再用勾股定理求. 【详解】法一（坐标法）：如图建立空间直角坐标系， ，，，， 由，得， 由得， 即，得，则， 则. 法二（几何法）：由平面，平面知， 由，，平面，平面， 所以平面，由平面得，取上一点使得， 由余弦定理得，， ，可得， 由平行线分线段成比例知，故， 故. 15．如图，在四棱锥中，，，，，，． (1)求证：平面； (2)若，求直线BD与直线MC所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）在中，得到，证得，再由，利用线面垂直的判定定理，即可证得平面. （2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，设点，由，求得，再由，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）证明：在中，因为， 可得，所以， 因为，且，平面， 所以平面. （2）解：在中，因为， 可得，所以， 由（1）知：平面，平面，所以， 以为原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则，可得， 设，可得， 因为，可得， 可得，解得，即，所以， 又由，可得 设异面直线与所成的角为， 可得. 16．如图，正方体的棱长为6，点，分别是棱，上的动点（包含端点），且． (1)证明：； (2)当三棱锥的体积最大时，求平面与平面夹角的余弦值； (3)若直线和平面所成角的正弦值为，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据题意，建立空间直角坐标系，利用坐标法证明即可证明结论； （2）根据，结合基本不等式得三棱锥的体积最大时，，再求解对应面的法向量，计算平面的夹角余弦值即可； （3）求解平面的法向量为，再根据线面角求得即可求得. 【详解】（1）证明：以为坐标原点，，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系． 设，则，，，，，，，． 因为，， 所以， 所以，即． （2）解：三棱锥的体积即三棱锥的体积，此时． 因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当三棱锥的体积最大时，，此时， 所以，． 设平面的一个法向量为，则 令，则，，所以． 因为平面的一个法向量为， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为． （3）解：设平面的法向量为，则 因为，，所以 令，则，，所以． 设直线和平面所成的角为，则． 因为，， 所以，解得或（舍去），     所以． 17．如图，平面四边形中，是边长为2的等边三角形，，．现将沿翻折至，使得． (1)证明：平面平面； (2)已知是线段上的点，若直线与平面所成角的正弦值为，求点到直线的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先利用勾股定理的逆定理证明，，再利用线面垂直的判定定理证明平面，最后利用面面垂直的判定定理证明平面平面. （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求点到直线的距离. 【详解】（1）在中，，，， 由余弦定理， ， 即 . 由， 所以为直角三角形，且. 在中，，，， 因为，所以为直角三角形，且， 由平面，，所以平面. 由平面，所以平面 平面. （2）以的中点为原点，所在直线为轴，以过点与平行的直线为轴， 以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 则，，，. 所以，. 设平面的法向量为， 则 ， 令，则，，此时. 因为，设（）， 则. 因为，，， 由 ， 又，所以. 所以. 因为，，， 所以点到直线的距离为：. 18．如图，在直三棱柱中，，，，点E，F分别为线段和的中点. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求直线与直线间的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3). 【分析】（1）（方法一）连接，由中位线的定义可得，由线面平行的判定定理即可得证；（方法二）以为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴，利用空间向量法证明即可； （2）利用空间向量法求解即可； （3）利用空间向量法，转化为求点E到直线的距离. 【详解】（1）证明：（方法一）连接，如图所示： 因为，且四边形为矩形， 所以， 又因为，所以， 因为平面，平面， 所以平面； （方法二）因为，，两两垂直， 以为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴， 建立如图所示空间直角坐标系： 可得，，，， ，，，， 平面的一个法向量为， ，， ∵平面. ∴平面. （2）由（1）的方法二可知： ，，. 设平面的一个法向量为， 则， 取，可得，， 所以， 设直线与平面所成角为， 可得， 所以直线与平面所成角的正弦值为. （3）由（1）的方法二可知： ，，， ，∴. 则直线与直线间的距离转化为点E到直线的距离， . 所以直线与直线间的距离为. 19．如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，， ，平面，． (1)设钝二面角大小为，求的值； (2)在棱上是否存在一点（不与端点重合），使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；如不存在，试说明理由； (3)在上，在上，求最小值． 【答案】(1) (2)存在， (3) 【分析】（1）通过建立空间直角坐标系，求出两个面的法向量，再结合二面角为钝角的条件计算即可； （2）通过设参数表示点的坐标，利用向量法计算线面角，即可判断存在性并求线段比例； （3）用参数表示的坐标，将转化为二次函数求最值即可求解. 【详解】（1）以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的法向量为，则，即， 令，则可得； 令平面的法向量为，则，即， 令，则可得， 所以， 因为二面角为钝二面角，所以. （2）若存在，设，, 则，故，所以， 设与平面所成角为， 所以， 即，所以或（舍去）， 所以存在点，且. （3）设， 则， 这是关于的二次函数，最小值在时取得， 即， 所以当时，，故. $1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题 【基础回顾】 一、用空间向量研究距离 知识点1：向量法求空间距离方法总结 设B为直线a上一点，a为直线a的方向向量，AB在向量a方向 A 点A到直 AB·a 的投影向量模长为 a 点 A到直线a的距离 线 Q的距 d 离 12 d =9 AB·a B a 两平行直线 平行直线a,b之间距离可看成直线b上一点A到直线Q的距离. A a,b之间的 d= AB AB·a 则 其中A∈b,B∈a,a是直线a的方 距离 a 向向量 点A到平 设n为平面a的法向量， AB是平面a的一条斜线，B∈a 面ax的距 则点A到平面a的距离等价于向量AB在n方向上投影向量 离 AB·nl /a 的模长， 即d= n 直线到平面 直线1到平面α的距离可转化为直线1上一点A到平面：的距 向 的距离 量 岗，即直线1到平面a的距离d店n n 法 两平行平面 与平面Q平行的平面B到平面a的距离等价于平面B上一点A 求 的距离 空 到平面a的距离即d=m 间 异面直线 设A∈a,B∈b,直线a,b的公共法向量为n(公共法向量 距 a,b之间的 的求法与平面的法向量求法相同)，则异面直线Q,b之间的距离为 离 距离 向量AB在n方向上投影向量的模长，即d= AB·n ,其中 n⊥a,n⊥b,A∈a,B∈b 题型一 点到直线平行直线)的距离 1.若A1,0,1、B0,3,0以、C1,1,2,则点A到直线BC的距离为() V2 B.2 c.2 D.2 2. 如图，正方体ABCD-EFGH的棱长为1，若P∈平面BDE,且满足AP=)AB+入AD+二A正，则点P 到直线AB的距离为() E D 4. 2 3 、6 B. 4 D.4 3.如图直四棱柱ABCD-A,B,C1D1的各棱长均为2，且∠DAB=60°动点P在侧面BCC1B1内（不含边 界)，满足D1P与平面ADD1A1所成角为60°，当点P在对角线B1C上时，记作Po,则P到直线AD1的距离 为() D C B D B V15 15 V14 14 A. 2 B.3 C.3 D.2 4.在空间直角坐标系中，直线经过点00,0,0，且其方向向量n=1,0,1,则点M0,1,1到直线l的距离为 () A.3 B.6 6 C.3 D.2 5.在三棱台ABC-ABC中，AB=BC=BB=2,AB=1,且∠ABC=7,若BB1平面ABC,则点B到 直线AC的距离为() A.2V2 B.5 c.3 2V2 D. 3 6.鳖臑是指四个面都是直角三角形的三棱锥.如图，在鳖臑P-ABC中，PA⊥平面ABC,AB=BC=PA=4 ,D,E分别是棱AB,PC的中点，点F是线段DE的中点，则点F到直线AC的距离是() P 3 G 6 A.4 B. 4 e号 D.2 7.在正三棱锥P-ABC中，AB=23,PA=2V5,D是棱PA的中点，则点D到直线BC的距离是() A.3 B.V3 C.8 D.22 8.在正四棱锥P-ABCD中，PA=2V6,AB=4,E,F分别是棱AB,PC的中点，则点D到直线EF的距离 是 9.如图，三棱锥D-ABC中，底面ABC为直角三角形，∠C为直角，DA⊥面ABC,且CA=CB=DA=1, P为棱AC上一个动点，则P到直线BD的距离的最小值为· B 10.在直三棱柱ABC-A1B,C中，∠ACB=2,AC=2,BC=2,AA:=3,点D是棱AC的中点，点E在 棱BB上运动，则点D到直线C1E的距离的最小值为 题型二点、直线及平面到平面的距离 1.在空间直角坐标系中，已知点A1,0,1,B1,1,0,C0,1,1,D3,3,1,则点D到平面ABC的距离为() 3 2V5 2V6 、53 A. 3 B. D. 3 2.如图，正方体ABCD-A1B,C1D1棱长为4，点M是棱CC1的中点，点E,F分别是线段A1M,BM的中 点，则三棱锥E-ADF的体积为() D B A. 20 16 3 B. 3 C.6 D.8 3.已知三棱台ABC-A1B1C1中，平面ACC1A1⊥平面ABC,AA1=CC1=V10,A1C1=2AC=4,底面 ABC满足AB=BC且∠ABC=90°，点M在棱A1B1上运动，则点B到平面AMC1的距离的最大值为() A. 23 V6 411 3 B.2 C. 11 D 2V22 11 4.已知三棱锥P-ABC的各顶点均在表面积为16π的球O的表面上，且AP=2V2,AB=AC=2,OB⊥OC ,则三棱锥O-PBC体积的最大值为() A.22 B. 23 3 3 c n号 5.在棱长为1的正方体ABCD-A1B,C1D1中，E为线段DD1的中点，F为线段BB的中点，则直线FC1到 平面AB1E的距离是() A 3 B.3 2 D. 6. 两平行平面c,B分别经过坐标原点0和点A1,2,7,且两平面的一个法向量n=-1,0,1小，则两平面间的距 离是() A.2 B.32 c.3 V2 D.2 7.正方体ABCD-A1BC1D1的棱长为2，E,F,G,H分别是棱AB,AD,BC1,D1C1的中点，则平面 EFD1B1和平面GHDB之间的距离为() 1 C. n 4 8.(多选)已知棱长为3的正方体ABCD-A1BC1D1,则() A.A1B⊥AC1 B.A1B与B1C所成角的大小为45 C.平面A1BD与平面B,D1C的距离为V3 D.平面A1BC1与平面ABCD所成角的大小为60 9.(多选)如图，在棱长为2的正方体ABCD-A,B:C1D1中，E为棱BC的中点，F为底面ABCD内一动点 (含边界)，则下列说法正确的是( B A D B F D A.存在动点F,使BF⊥平面A1EC1 B.若D1F/I平面A1EC1,则动点F的轨迹长度为V2 C.若F平面A1EC1,则三棱锥F-A,EC1体积的最大值为2 D.若正方体ABCD-A,B,C,D1的外接球为球O,则球O被平面A1EC1所截截面圆的面积为9 26π 10.(多选)如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1BC1D1中，E,F分别为CD,A1B的中点，则下列结论 正确的是() D F A B D B 9V30 A.点F到点E的距离为V2 B.点F到直线ED的距离为5 6 C.点F到平面AED1的距离为3 V6 D.平面BFC1到平面AED1的距离为3 5 题型三异面直线间的距离 1.如图，在平行六面体ABCD-A1BC1D1中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是 60°，下列说法中正确的是() D B A.BD=62 B.AA1·BD1=18 C.B1C与AA1夹角是60° D.直线AC与直线A1C1的距离是2V3 2.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，若点E在BD上，点F在CB上，则EF的长度最小值为() 3 3 3 3 A.5 B.4 C.3 D.2 3.正四棱锥S-ABCD中，O为底面ABCD的中心，P为侧棱SD的中点，且SO=OD=2,则异面直线BD与 PC的距离是() V10 2V10 2V5 5 A.10 B. 5 C. 5 D.5 4.在棱长为3的正方体ABCD-A1BC1D1中，动点M在线段BD上，动点N在线段AD上，则MN长度的 最小值为() A.1 B.2 c.3 D.3 5.定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在棱长为1的正 方体ABCD-A1B,C1D1中，直线AC与BC1之间的距离是() A.2 3 1 1 B.3 C.2 D.3 6.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的边长为1，P为AC1上的动点，S,T分别是面ABCD和面BCC1B1上的 动点，则PS+PT+ST的最小值为() A.1*2 B.1+3 C.2 D.3 6 7.正四棱锥S-ABCD中，O为顶点S在底面ABCD内的正投影，P为侧棱SD的中点，且SO=OD=2,则 异面直线PC与BD的距离为() V10 V10 5 V5 A. B. 10 5 C.10 D.5 8. 在三棱锥P-ABC中，△ABC、△ABP均为等腰直角三角形，其中AC=BC=1,BA=BP,PC=V3, 点M,N分别在线段AB,PC上，则MN的最小值为 9.如图，四边形ABCD,ABEF都是正方形，AB=4,∠DAF=120°.P,Q分别是线段AE,BD上的动点， AP DQ 且PEQB 则PQ的最小值是 E 10.如图，正方形ABCD和正方形ABEF的边长为1，且平面ABCD与平面ABEF互相垂直，M,N分别在正方 形对角线AC,BF上移动. D M B F ①AC·B= ②线段MN长度的最小值是 二、向量法求空间夹角 知识点1：向量法求异面直线所成角 若异面直线11,12所成的角为0，其方向向量分别为ù，)，则 cos=cos(,= au 时厂 7 (两条异面直线所成的角与其方向向量的夹角关系是相等或者互补)步骤： (1)选好基底或建立空间直角坐标系： (2)求出两直线的方向向量i,)； 3)代入公式cos0=cos(i,= i 求解 〔4两异面直线所成角日的范围是 0,2 ,两向量的夹角α的范围是0，π，当异面直线方向向量的夹角为锐 角或直角时，就是该异面直线所成角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线所成角， 知识点2：向量法求直线与平面所成角 如图所示，设直线1的方向向量为m,平面Q的法向量为i,直线1与平面a所成角为p,两向量m与 的夹角为8则p=0-受或0=号-日，所以c0s0=sin0,Snp=1cs0l-m月 知识点3：向量法求平面与平面所成角 (1)在两个半平面内找与棱垂直的直线的方向向量，求出其夹角.如图所示，(i,)即为所求二面角的平面角. 2)对于易于建立空间直角坐标系的几何体，求二面角的大小时，可以用这两个平面的法向量的夹角来求. 如图所示，二面角a-1-B,平面α的法向量为n1,平面B的法向量为n2,n1,n2=日，则二面角a-1-β 的大小为6或π-0.则二面角大小为cos,= n'n nr n2 注意：在利用向量法求二面角时，一定要结合图形判断出二面角是锐二面角还是钝二面角。 8 知识点4：面面角与二面角的区别 二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角，这条直线叫作二面角的棱，这两个半平面叫作二 面角的面. 面面角：平面Q与平面阝相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面《与平 面阝的夹角. 两者的区别主要是取值范围的不同，平面与平面的夹角的取值范围为 0,2 面角的取值范围为0，π.若求 得的二面角为锐角，则面面角即为二面角；若二面角为钝角，则面面角为其补角. 题型四 求空间线线夹角 1.在正四面体ABCD中，M,N分别为AB,AD的中点，连接CM,BN,若正四面体的边长为2，则直线 CM与直线BN所成角的余弦值为() 3 1 V6 A.6 B.12 C.6 n 2.直三棱柱ABC-A1B1C1,∠BCA=90°，M,N分别是A1B1,CC1的中点，BC=CA=CC1=2,则BM 与AN所成的角为() A程 B.2 c号 2π D. 3.如图所示，图中的组合体由4个棱长均为1的正方体堆叠而成，则直线CQ与直线A1F夹角的正弦值为() G 1 A. 2 2/2 3 B. 3 C. 3 D. 3 9 4.如图，四边形ABCD,AB=BD=DA=3,BC=CD=1,将△ABD沿BD折起，当二面角A-BD-C π2π 的值属于区间 3’3 时，直线AB和CD所成角为a,则cosa的最小值为() B 4.3 2V3-3 V3-V2 3 B. C. 8 8 8 D.4 5.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A,B,C1D1中，点M,N分别在线段AD1和B1C1上，下面结论中不正 确的是() D A B M B 4 A. 四面体NMBC的体积为 B.存在点M,N,使△MBN为等边三角形 C.过点B,M,N三点的正方体截面一定是平行四边形 D.有且仅有一条直线MN与AD1垂直 6.如图，己知两个正方形ABCD,ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直.点M,N分别在正方形对 角线AC和BF上移动，且CM=BN=a0<a<V2l.当MN的长最小时，直线MN和AB夹角的余弦值是() C M B E N 2 2 B.0 C.2 D. 5 4 10 7.《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.在阳马P-ABCD中，若 PA⊥平面ABCD,且PA=AB=2,异面直线PD与AC所成角的余弦值为F,则AD=() 6 A.5 B.4 C.2 D.3 8.(多选)如图，在正方体ABCD-A1BC1D1中，E,F分别是A1D1和BC1的中点，则() A B D C A.EFI∥平面ABCD B.A1C⊥BD C.三棱锥A1-ABD的体积是正方体ABCD-A,B,C1D1体积的后 3 D.异面直线AB与BC所成角的余弦值为2 9.(多选)在棱长为4的正方体ABCD-A1BC1D1中，P,Q分别为棱C1D1,CC1的中点，则下列结论正 确的有() A.直线A1P与直线BQ共面 B.直线AP⊥QD C.点D1到平面A1BD的距离为2V2 D.直线AP与直线BQ所成角的正弦值为5 10.(多选)己知异面直线l1,2,11⊥12，A∈l1,B∈l2,AB⊥1，AB⊥2，P∈l1,Q∈l2,四点A, B,P,Q不共面，O是线段PQ的中点，AB=2,PQ=4,则() A.当AP=2时，BQ=2V2 B.当AP=2时，直线AB,PQ所成角为30 C.点O到直线AB的距离为V/3 D.三棱锥A-BPQ的体积的最大值为3 11 题型五 求空间线面夹角 1.如图，AB为圆柱OO1的一条母线，BC是下底面圆的直径，弦DE与BC交于点M.已知圆柱的高为1，侧面 3V2π 积为之”若BM=2,且M恰为DB的中点，则直线AM与平面ABE所成角的正弦值为) 0 E 2 3 A. 3 B. 3 C. 7 3 D.3 2.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥BC,AB=BC=AA1,点D为CC1的中点，点M为侧面ABBA1内 (含边界)的动点，且C1M‖平面A1DB,设直线CM与平面ABB,A所成的角为0，则tan6的最大值为 () C B D B A.V2 B.2V2 c.3 D.32 3.在正方体ABCD-A1B,C1D1中，点O为线段AC的中点.点P在线段A1C1上，直线OP与平面A1BC1所成 的角为0，则cos的最小值是() 6 3 V2 S A.3 B.3 C. 4 D.4 4.如图，圆锥PO的底面圆周上有A,B,C三点，AB为底面圆O的直径，点C是底面直径AB所对弧的中点， 点D是母线PA的中点，若AB=PO=2,则直线CD和平面PBC所成角的正弦值为() 12 D ==B 1 A.3 4 B. c.V65 9 D.22 3 5.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1BC1D1中，E为棱AA1的中点，P为四边形ABCD内（包括边 界)一个动点，若直线PE与平面ABBA1所成的角为石，则PB的最小值为() D C B A E B 282 V6 3V2 23 A. 3 B.3 C.4 D. 3 2V2 6. 如图，在正四棱柱AC1中，底面边长为2，直线CC1与平面ACD,所成角的余弦值为3， 则正四棱柱的 高为() D B B A.1 B.2 C.3 D.4 13 7.如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD,底面ABCD为直角梯形， ∠ABC=∠BCD=90°，PA=PB=AB=2,DC=BC=1,在平面ABCD内过点D作DO/BC,交AB于O, 连PO.设点E是平面POD上的动点，若直线AE与平面PBC所成的角为石则OE的最小值为() D A.2 B.2 c 3 D.3 8. (多选)如图，在正四棱柱ABCD-A1BC1D1中，AA1=2AB=2,O为四边形DCC1D1对角线的交 点，下列结论正确的是() D E B -------1----C B A.点O到侧棱的距离相等 B.正四棱柱外接球的体积为6π C,若DE-DD,则A,E上平面A0DD.点B到评面A0D,的距离为号 9.(多选)正方形ABCD、ABEF的边长为1，且它们所在的平面互相垂直.点M、N分别在正方形对角线 AC和BF上移动，且CM=BN=a0<a<V2.则() D A.直线AC与BF所成的角为60 B.MN∥平面DAF 14 2 C.当Q=2时，MW的长最小，且最小值为2 2 D.当MN的长最小时，点F到平面AMN的距离为之 10.(多选)如图，正方体ABCD-ABC1D的棱长为2，点M,N,Q分别为DC,CC1,BC的中 点，点P为线段A1M上的动点，则下列说法正确的是() D C B D M B A.A1M⊥DN 4 B.VB-AQN= 3 C. 当P为线段A1M中点时，PQ∥平面ABB1A1 2只V5 D.点P到直线DD的距离的最小值为 题型六 求空间面面夹角 1.如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是梯形，PA⊥平面ABCD,且AB=4,BC=3,AD=5, ∠ABC=90°，E为CD的中点. ->D (1)求证：平面PCD⊥平面PAE: 2 (2)当二面角A-PD-C的余弦值为时，求直线PE与平面ABCD所成角的正切值. 2.如图，在三棱台ABC-A1B1C1中，∠AB1B=∠ACB=90°，CC1=A1C1=B1C1=2,AC=4, AA1=BB1」 15 B B (1)证明：CC1⊥平面ABC: (2)求二面角A-A1B-C1的正弦值. 3.如图，四棱台ABCD-AB,C1D1中，AD11BC,AB⊥DD1,CD=2,AD=3,BC=4, ∠ADB=30°. A D C (1)证明：平面ADD1A1⊥平面ABCD: @若AA山AD,四枝台ABCD-A,BCD的体积方93，B,C2,求平面ABCD与平面CDD,C 角的正弦值， 4.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，平面A1ACC1⊥平面ABC,AA1=AC=2,∠A1AC=60°， ∠ABC=90°，D为AB的中点. B (1)求证：AD⊥AB, (2)若直线A1D与平面ABC所成角的正切值为V6,求平面ABC与平面A,DC所成角的余弦值， 5.如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAB是边长为2的等边三角形，BC⊥AB,DA//BC,BC=2AD=2 ,平面ABCD⊥平面PAB,M为AB的中点. 16 M B (1)证明：平面PBD⊥平面PMC: (2)求平面PCD与平面PMC夹角的余弦值. 6.如图，己知四棱锥S-ABCD的底面ABCD是直角梯形，AD‖BC,AD=3,∠ABC=90°，SA⊥平面 ABCD,SA=AB=BC=1. B (1)设钝二面角B-SC-D大小为a,求tana的值： 9V14 2在棱SC上是否存在一点E(不与端点重合)，使得BE与平面SCD所成角的正弦值为4？若存在，求 E 的值：如不存在，试说明理由： (3)E点在AD上，F点在SB上，G点在SC上，求△EFG的面积取值范围. 7.如图，直三棱柱ABC-AB1C1中，AB=AC=2,AB⊥AC,D,E分别为AB,A1C1的中点 A B (1)证明：A,D/平面EBC: (2②)若三棱锥A-EBC的体积为3，求平面EBC与平面A1ABB夹角的余弦值 4 17 8.如图，△ABC是斜边AB=2V2的等腰直角三角形，正三角形PAC所在平面与三角形ABC所在平面垂直， 梯形BCMN中，MN/IBC,BN⊥BC,BN=3,MN=1,且梯形BCMN所在平面与三角形ABC所在平面垂 直 B (1)求证：平面PMN/平面ABC: (2)求平面PMC与平面PAN夹角的余弦值. 9.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,AB/ICD,AB⊥BC,AB=BC=PA=4,CD=3、 点E在棱PC上 D CE 1 ()当CP=3时，求三棱锥P-BDE的体积： PE 2)若二面角C-BD-E的大小为45，求PC的值. 10.在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥AA1,A1D⊥BC,ABB1A1为菱形，AC=AB=4, ∠A1AB=60°，D为AB中点. A B AD B (1)证明：AC1∥平面CDB: 18 (2)线段A1C1上是否存在一点M,使二面角M-AD-C为30°，若存在，求出M的位置，若不存在，请说明理 由. 题型七探索性（存在性）问题 .已知菱形ABCD中，AB=2,∠BAD=,E为边BC的中点，将△ABE沿AE翻折成△AB,E(点B® 于平面ABCD上方)，连接B1C和B1D B C (1)求证：AE⊥B,C: 87 (②)当B,D=2V2时，在线段AD上是否存在点P,使得直线CP与平面B,CD所成夹角的正弦值为7？若存在， 求出P点位置；若不存在，请说明理由. 2.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,AB⊥AD,AB+AD=3,AB=AP,CD=2, ∠CDA=45° D B D C (1)证明：平面PAB⊥平面PAD: (2)若直线PB与平面PCD所成的角为30°，求线段AB的长： (3)是否存在线段AD上一点E,使得E到点P,B,C,D的距离都相等？说明理由 3.如图MA⊥平面ABC,BC⊥AC,F是线段BC上的动点，E是MC的中点，已知AM=AC, 19 M C :B (1)证明：AE⊥平面MBC: (2)若AM=AC=2,BC=2V3. ①求点M到平面AEB的距离； ②试探究：在线段MB上是否存在点N,使得平面NAC与平面AEB夹角的正弦值为4)3？若存在，求出NB 43 MN 的值；若不存在，请说明理由 4.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,AD‖BC,PA=2,AB=BC=1,AD=2,M是 PD的中点。 M (1)求证：CM/平面PAB: (2)若AB⊥AD, (i)求平面PAB与平面PCD夹角的正弦值； BQ (i)在线段BD上是否存在点Q,使得点D到平面PAQ的距离为1？若存在，求出B0的值：若不存在，请说 明理由！ 5.在三棱锥P-ABC中，平面PAB⊥平面ABC,AC⊥BC,AC=BC=4,D,E,F分别为AB,BC, CA的中点，G为棱PC上一点，且PD⊥AB,PD=3, 20 (1)求证：平面DEG⊥平面PDF 6 2线段PF(含端点)上是否存在点Q,使得平面ABQ与平面ABC夹角的余弦值为3 ？若存在，求出点Q的位 置；若不存在，请说明理由 6.如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为4的菱形，∠ABC-号，PA上PD,BA=2,PC=4,M是AD 的中点 B A Mf、 C D (1)证明：PA⊥CM: V15 (②若点N为线段AP上动点，是否存在这样的点N,使得直线CN与平面PBC所成角的正弦值为5？若存 在，求出点N的位置；若不存在，请说明理由 7.如图，在直角梯形ABCD中，AB‖CD,AD⊥AB,AB=AD=2,CD=4,E为CD的中点.将△BCE沿 BE翻折，使点C到达点P的位置，且平面PBE⊥平面ABED B (1)求证：平面PBD⊥平面PAE 6 PM (2)在线段PA上是否存在点M,使得BM与平面PBD所成角的正弦值为g?若存在，求出MA的值：若不存 在，请说明理由. 21 8.如图1，等腰直角△ABC的斜边BC=4,D为BC的中点，沿BC边上的高AD折叠，使得二面角 B-AD-C为60°，如图2所示，设M为CD的中点. D B 图1 图2 (1)证明：BM⊥平面ACD (2)求平面MAB和平面DAB的夹角的余弦值. 3)在线段AC(含端点)上是否存在点O,使得直线M0与平面ABM所成角的正弦值为S?若存在，求出线 段AQ的长度；若不存在，请说明理由 9.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD,PA=AB=2,E为线段PB的中 点，F为线段BD上的动点， D B (1)证明：平面AEF⊥平面PBC: (2)设点G是线段PC上的一点，且满足PG=2GC.在线段BD上是否存在点F,使得A,E,G,F四点共面？ 若存在，试确定点F的位置；若不存在，请说明理由： (3)求平面AEF与平面PCD夹角的余弦值的最大值. 10.如图，等边三角形ABC的边长为8，E,F分别为所在边的中点，O为线段EF的中点，现将三角形ABC沿 直线EF折起，使得二面角A-EF-B为直二面角： 22 (1)求线段AC的长度： (2)求直线BE与平面ABC所成角的余弦值； 49V33 (3)棱AC上是否存在异于端点的点M,使得点A到平面OBM的距离为 11 若存在，请指出点M的位置： 若不存在，请说明理由. 课时精练 一、单选题 3 1.已知直线1的方向向量为à=(2,11)，平面c的法向量为i=(1,0,k),若1与ca所成角的正弦值为6 ，则 k=() C.2 D.4 2.在空间直角坐标系中，若点M2,0,-1,N1,1,0,则M,N两点间的距离为() A.3 B.2 C.2V3 D.3 3.在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC,∠BAC=90°，D,E,F分别是棱AB,BC,CP的中点， AB=AC=2,PA=1,则直线PE与平面DEF所成角的正弦值为() D E 3710 5 V15 /10 A. B. 5 C. D. 10 15 10 23 4.设正方形ABCD与正方形ABEF的边长都是1，若对角线AC与BF所成角的余弦值为4，则二面角 D-AB-F的大小为() A.30° B.60° C.90° D.120° 5.如图，正四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，SD⊥平面PAC,P为侧 棱SD上的点，则二面角P-AC-B的余弦值为() 3 3 V2 A.3 B.- 2 C.- 2 D.-2 6.在正四棱柱ABCD-A1B,C1D1中，AA1=2,以A为球心，表面积为4的球与平面A1BD只有1个公共 点，若E为棱CC1的中点，则点A1到平面BDE的距离为() 4.37 B. V21 V57 6V7 C. 7 2 3 D.7 7.在三棱锥A-BCD中，AB⊥BC,BD=CD,E为BC的中点，且AB=4,ED=3,若二面角 A-BC-D的大小为石，则恋：办=() A.6 B.2V3 C.-6 D.-2V3 8.已知正方体ABCD-A1BC1D1的顶点都在体积为4V3π的球O的球面上，M,N,P分别为棱 A1B1,B1C1,BB的中点，则平面MNP截球O所得的截面面积为() A.3 35 C.3 2V15 B.3 0 3 9.已知“经过点Px,yo,Zo且法向量为e=A,B,C的平面的方程是Ax-x+By-yo+C2-乙=0 ”.现知道平面Q的方程为x-y+2z=1,则过M1,2,3与N3,2,4的直线与平面Q所成角的正弦值是 10.如图，ABCD-A1BC1D1为直四棱柱，底面ABCD是等腰梯形，AB/CD,∠ADC=60°， AB=AD=2.点P在平面CDD1C1内，△PCD1是等腰三角形 24 B ①若PD1=4,直线PD1与平面ABCD所成角的正弦值为 2兀 ②若二面角P-A1D1-A为3，四棱锥P-AB,C1D1的体积为 11.如图，在三棱锥P-ABC中，AB=BC=2V2,PA=PB=PC=AC=4,O为AC的中点，若点M在棱 BC上，且二面角M-PA-C的大小为30°，则PC与平面PAM所成角的正弦值为一· B 12.己知直线1过点A(1,0,0),其方向向量为e=(-12,2)则点B2,2,0)到直线1的距离为 13.在三楼锥P-ABC中，∠APB=∠APC=∠BPC=号且AP=3PB=2PC=-6,点D为BC巾点，则直线 AD与直线BP所成角的余弦值为 4如图，在三枝锥S-ABC中，SAL平面ABC,∠BAC=,SA=AC=2,AB=1,SM=M 3B驴=2BC,过点M,P的平面与AC交于点N,NP1BS,则MN= M A 25 15.如图，在四棱锥S-ABCD中，AB⊥AD,AB‖CD,AB=2CD=3,AD=AS=4,SB=5, SD=4V2 D (1)求证：AB⊥平面SAD: (2)若SB=4SM,求直线BD与直线MC所成角的余弦值. I6.如图，正方体ABCD-A1B,CD1的棱长为6，点E,F分别是棱BC,CD上的动点（包含端点），且 CE=DF. D B B (1)证明：B1F⊥D1E: (2)当三棱锥C-C1EF的体积最大时，求平面C1EF与平面CEF夹角的余弦值； 33 (3)若直线DB和平面C1DE所成角的正弦值为 11，」 求BE的长 17.如图，平面四边形ABCD中，△ABC是边长为2的等边三角形，∠ADC=30°，CD=4.现将△ABC 沿AC翻折至△APC,使得PD=4. D D (1)证明：平面PAC⊥平面ACD: 5 2)已知M是线段PA上的点，若直线CM与平面PCD所成角9的正弦值为S,求点M到直线CD的距离。 26 18.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC,AC=BC=1,AA1=2,点E,F分别为线段AC1和 B1C的中点. B B (1)证明：EF/1平面ABC: (2)求直线AC1与平面CEF所成角的正弦值： (3)求直线EF与直线A1B1间的距离. 19.如图，已知四棱锥S-ABCD的底面ABCD是直角梯形，AD1∥BC,AD=3,∠ABC=90°，SA⊥平 面ABCD,SA=AB=BC=1」 S (1)设钝二面角B-SC-D大小为a,求cosaα的值： 2在楼SC上是否存在一点E(不与端点重合)，使得BE与平面SCD所成角的正弦值为？若存在，求 V14 E 的值；如不存在，试说明理由； (3)E在SC上，F在AD上，求EF最小值. 27