1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题第2课时导学案——2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦“用空间向量研究夹角问题”，核心内容为线线、线面、面面夹角的向量求法。以“黄赤交角”现实问题导入，通过知识梳理和步骤总结搭建学习支架，衔接空间向量基础与实际应用。 资料特色在于现实情境激发数学眼光，例题与变式形成梯度训练培养数学思维，步骤总结及易错点提示规范数学语言表达。多样化巩固加练提升应用能力，助力学生掌握向量法解决空间夹角，发展逻辑推理与创新意识。

1.4　空间向量的应用 1.4.2　用空间向量研究距离、夹角问题 第2课时　夹角问题 学习目标 1.理解直线与平面所成角的概念。2.会用向量法求线线、线面、面面夹角。 3.能正确区分向量夹角与所求线线角、线面角、面面角的关系. 问题地球绕太阳公转的轨道平面称为“黄道面”,在地球公转的同时自身也绕“地轴”自转,地轴与地球的赤道面垂直,黄道面与赤道面的交角称为“黄赤交角”,黄赤交角约为23°26'，这个黄赤交角如何求？ 一、两条异面直线所成的角 知识梳理 设异面直线,所成的角为,其方向向量分别为则= = = 【例1】在三棱锥P—ABC中，PA、PB、PC两两垂直，且PA=PB=PC，M、N分别为AC、AB的中点，则异面直线PN和BM所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【变式1-1】正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,E,F分别是A1D1,A1C1的中点,则异面直线AE与CF所成角的余弦值是    步骤总结 (1)确定两条异面直线的方向向量; (2)确定两个向量夹角的余弦值; (3)确定异面直线所成的角与向量夹角的关系,得出两条异面直线所成的角。 2、 直线与平面所成的角 如图，直线AB与平面相交于B,设直线AB与平面所成的角为,直线AB的方向向量为,平面的法向量为,则sin =|cos<,>|= = 【例2】如图，在棱长为2的正方体中，E为的中点，求直线与平面BDE所成角的正弦值。 【变式2-1】如图所示,在直四棱柱ABCD⁃A1B1C1D1中,AD∥BC,∠BAD=90°,AB=,BC=1, AD=AA1=3。 (1)证明:AC⊥B1D; (2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值。 步骤总结 (1)建立空间直角坐标系; (2)求直线的方向向量; (3)求平面的法向量; (4)计算:设线面角为,则= 3、 平面与平面的夹角 (1)两平面的夹角:平面与平面相交,形成四个二面角,我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面与平面的夹角。 (2)如图，两平面夹角的计算:若平面,的法向量分别是,设平面与平面的夹角为,则=|<>|= = 。 【例3】如图，在正方体中，求二面角的大小。 【变式3-1】如图，在直三棱柱中，底面是等边三角形，是的中点，且． （1） 证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 易错点提示（1）利用向量方法求两个平面夹角的大小时,这种方法思路简单,但运算量大,所以求解时需特别注意仔细运算。（2）两条异面直线所成的角与两条直线的方向向量所成的角相等或互补。（3）直线与平面所成的角和直线的方向向量与该平面法向量的夹角不相等,直线与平面所成的角和直线的方向向量与该平面法向量夹角(或其补角)互余（4）两个平面所成的二面角和两个平面的法向量的夹角不一定相同。 巩固加练 1.两异面直线的方向向量分别是,若与所成的角为,直线,所成的角为,则 ( ) A.= B.=π- C.cos=|cos| D.cos=|cos| 2.设直线与平面相交,且的方向向量为,的法向量为n,若<>=,则与所成的角为 ( ) A. B. C. D. 3.在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,M,N分别为棱BC和棱CC1的中点,则异面直线AC和MN所成的角为 ( ) A.30° B.45° C.90° D.60° 4.如图，点､､分别在空间直角坐标系的三条坐标轴上，，，，设二面角的大小为，则（ ） A． B． C． D． 5.如图,在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,M是C1C的中点,O是底面ABCD的中心,P是A1B1上的任意一点,则直线BM与OP所成的角为  6.已知在长方体ABCD⁃A1B1C1D1中,AB=1,BC=2,AA1=4,E是侧棱CC1的中点,则直线AE与平面A1ED所成角的正弦值为    7.如图所示,在四面体ABCD中,CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=。求异面直线AB与CD所成角的余弦值。 8.如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点． （1）证明：； （2）点F满足，求二面角的正弦值． 9.如图，三棱锥的体积为，是边长为2的等边三角形，，是棱的中点，，其中. (1)证明：平面平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4　空间向量的应用 1.4.2　用空间向量研究距离、夹角问题 第2课时　夹角问题 学习目标 1.理解直线与平面所成角的概念。2.会用向量法求线线、线面、面面夹角。 3.能正确区分向量夹角与所求线线角、线面角、面面角的关系. 问题地球绕太阳公转的轨道平面称为“黄道面”,在地球公转的同时自身也绕“地轴”自转,地轴与地球的赤道面垂直,黄道面与赤道面的交角称为“黄赤交角”,黄赤交角约为23°26'，这个黄赤交角如何求？ 参考答案 设地心为原点，赤道面、黄道面各建立一组空间法向量，两平面夹角即黄赤交角。赤道面法向量平行地轴，黄道面法向量垂直公转轨道平面，二面角由两法向量夹角判定。 空间向量夹角公式，代入两平面法向量即可计算。 一、两条异面直线所成的角 知识梳理 设异面直线,所成的角为,其方向向量分别为则 【例1】在三棱锥P—ABC中，PA、PB、PC两两垂直，且PA=PB=PC，M、N分别为AC、AB的中点，则异面直线PN和BM所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】以点P为坐标原点，以，，方向为x轴，y轴，z轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 令，则，，，， 则，， 设异面直线PN和BM所成角为，则. 故选：B. 【变式1-1】正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,E,F分别是A1D1,A1C1的中点,则异面直线AE与CF所成角的余弦值是    【答案】 【解析】不妨设正方体棱长为2,分别取DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(2,0,0),C(0,2,0),E(1,0,2),F(1,1,2),则=(-1,0,2),=(1,-1,2),所以||=,||=,·=-1+0+4=3。所以cos<,>==。所以异面直线AE与CF所成角的余弦值为。 步骤总结 (1)确定两条异面直线的方向向量; (2)确定两个向量夹角的余弦值; (3)确定异面直线所成的角与向量夹角的关系,得出两条异面直线所成的角。 2、 直线与平面所成的角 如图，直线AB与平面相交于B,设直线AB与平面所成的角为,直线AB的方向向量为,平面的法向量为,则sin =|cos<,>|=||= 【例2】如图，在棱长为2的正方体中，E为的中点，求直线与平面BDE所成角的正弦值。 【答案】 【解析】以点D为原点，，，分别为x轴、y轴、z轴的正方向， 建立空间直角坐标系，如图所示： 则，，，，， 所以，，， 设平面BDE的一个法向量， 则，即， 令，则，， 所以平面BDE的一个法向量， 设直线与平面BDE所成角为， 所以． 【变式2-1】如图所示,在直四棱柱ABCD⁃A1B1C1D1中,AD∥BC,∠BAD=90°,AB=,BC=1, AD=AA1=3。 (1)证明:AC⊥B1D; (2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值。 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】(1)证明:以A为原点,以,,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系, 则A(0,0,0),C(,1,0),B1(,0,3),D(0,3,0),C1(,1,3),D1(0,3,3)。 易知=(,1,0),=(-,3,-3),所以·=0,所以AC⊥B1D。 (2)设平面ACD1的法向量为=(x,y,z),=(,1,0),=(0,3,3), 则即令x=1,则y=-,z=, 所以平面ACD1的一个法向量为m=(1,-,)。 设直线B1C1与平面ACD1所成的角为θ,因为=(0,1,0), 所以= = ,所以直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值为。 步骤总结 (1)建立空间直角坐标系; (2)求直线的方向向量; (3)求平面的法向量; (4)计算:设线面角为,则= 3、 平面与平面的夹角 (1)两平面的夹角:平面与平面相交,形成四个二面角,我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面与平面的夹角。 (2)如图，两平面夹角的计算:若平面,的法向量分别是,设平面与平面的夹角为,则=|<>|=||=。 【例3】如图，在正方体中，求二面角的大小。 【答案】 【解析】在正方体中，、、两两垂直， 以点为坐标原点，分别以、、所在直线为轴、轴、轴， 建立空间直角坐标系，设棱长为， 则，，，， 所以，，，， 设平面的一个法向量为， 则，即， 不妨令，则，即； 设平面的一个法向量为， 则，即， 不妨令，则，即， 所以，则； 又二面角显然是锐二面角， 所以二面角的大小为 【变式3-1】如图，在直三棱柱中，底面是等边三角形，是的中点，且． （1） 证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】（1）证明：连接交于点，连接， 在三棱柱中，四边形为平行四边形， 因为，则为的中点， 又因为为的中点，则， 平面，平面，因此，平面. （2）因为为等边三角形，为的中点，则， 又因为平面，以点为坐标原点， 、、的方向分别为、、的正方向， 建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、 、、， 设平面的法向量为， 故，， 则，取，可得， 设平面的法向量为， 故，， 则，取，可得， 所以. 平面与平面夹角的余弦值为. 易错点提示（1）利用向量方法求两个平面夹角的大小时,这种方法思路简单,但运算量大,所以求解时需特别注意仔细运算。（2）两条异面直线所成的角与两条直线的方向向量所成的角相等或互补。（3）直线与平面所成的角和直线的方向向量与该平面法向量的夹角不相等,直线与平面所成的角和直线的方向向量与该平面法向量夹角(或其补角)互余（4）两个平面所成的二面角和两个平面的法向量的夹角不一定相同。 巩固加练 1.两异面直线的方向向量分别是,若与所成的角为,直线,所成的角为,则 ( ) A.= B.=π- C.cos=|cos| D.cos=|cos| 【答案】D 【解析】=或=π-,且∈,因而cos=|cos|。 2.设直线与平面相交,且的方向向量为,的法向量为n,若<>=,则与所成的角为 ( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】因为线面角的范围是,又<>=,则与所成的角为-=。 3.在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,M,N分别为棱BC和棱CC1的中点,则异面直线AC和MN所成的角为 ( ) A.30° B.45° C.90° D.60° 【答案】D 【解析】以D为原点,分别以DA,DC,DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,设正方体ABCD⁃A1B1C1D1的棱长为2,因为M,N分别为棱BC和棱CC1的中点,所以M(1,2,0),N(0,2,1),A(2,0,0),C(0,2,0),=(-1,0,1),=(-2,2,0),设异面直线AC和MN所成的角为,则cos ===,又是锐角,所以=60°。所以异面直线AC和MN所成的角为60°。 4.如图，点､､分别在空间直角坐标系的三条坐标轴上，，，，设二面角的大小为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，，， 所以，， 设平面的法向量为， 则即取 又因为平面的法向量为， 所以 5.如图,在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,M是C1C的中点,O是底面ABCD的中心,P是A1B1上的任意一点,则直线BM与OP所成的角为  【答案】 【解析】建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体棱长为2,A1P=x,则O(1,1,0),P(2,x,2),B(2,2,0),M(0,2,1),=(1,x-1,2),=(-2,0,1)。因为·=0,所以直线BM与OP所成的角为。 6.已知在长方体ABCD⁃A1B1C1D1中,AB=1,BC=2,AA1=4,E是侧棱CC1的中点,则直线AE与平面A1ED所成角的正弦值为    【答案】 【解析】在长方体ABCD⁃A1B1C1D1中,AB=1,BC=2,AA1=4,E是侧棱CC1的中点,以D为原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则 A(2,0,0),E(0,1,2),A1(2,0,4),D(0,0,0),=(2,-1,-2),=(2,0,4),=(0,1,2),设平面A1ED的法向量为=(x,y,z),则取z=1,得=(-2,-2,1)为平面A1ED的一个法向量,设直线AE与平面A1ED所成角为,则sin=|cos<,>|===。所以直线AE与平面A1ED所成角的正弦值为。 7.如图所示,在四面体ABCD中,CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=。求异面直线AB与CD所成角的余弦值。 【答案】 【解析】取BD的中点O,连接OA,OC。由题意知OA,OC,BD两两垂直。 以O为原点建立空间直角坐标系,如图所示,则B(1,0,0),D(-1,0,0),C(0,,0),A(0,0,1),所以=(-1,0,1),=(-1,-,0),所以cos<,>==。 所以异面直线AB与CD所成角的余弦值为。 8.如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点． （1）证明：； （2）点F满足，求二面角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）． 【解析】（1）连接，因为E为BC中点，，所以①， 因为，，所以与均为等边三角形， ，从而②，由①②，，平面， 所以，平面，而平面，所以． （2）不妨设，，． ，，又，平面平面． 以点为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 设， 设平面与平面的一个法向量分别为， 二面角平面角为,而， 因为，所以，即有， ，取，所以； ，取，所以， 所以，，从而． 所以二面角的正弦值为 9.如图，三棱锥的体积为，是边长为2的等边三角形，，是棱的中点，，其中. (1)证明：平面平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】（1）设点到平面的距离为， 则， 又因为三棱锥的体积为，所以； 又，是线段的中点，所以， 所以平面，又平面，所以平面平面. （2）以为坐标原点，分别为轴､轴､轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，， 设平面的法向量为， 则，即， 取，则，所以， 因为，， 设直线与平面所成的角为， 则， 解得：。 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $