奥数思维专题-简单数论·整除与余数（专项训练）-2026-2027学年六年级上册数学人教版

**基本信息** 聚焦整除特征与带余除法，通过“例题精讲+分层练习”系统构建从概念到通解的数论思维，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |例题精讲|3题（含物不知数雏形）|倍数特征判断法、带余除法公式、特解+公倍数通解公式|从整除概念（2/3/5特征）到带余除法原理，再到同余问题通解模型| |分层练习|19题（基础5/提高10/拔高4）|基础：公式直接应用；提高：特征判断+简单同余；拔高：多条件同余+最小公倍数应用|由单一知识点应用到多条件综合，逐步提升抽象建模与逻辑推理能力|

人教版六年级 奥数思维专题·简单数论·整除与余数 （教师版·含答案与详解） 例题精讲 + 分层练习【基础】【提高】【拔高】 + 详细解析 · 答案统一附于卷末 目 录 本专题为人教版六年级奥数思维训练：先读“例题精讲”掌握方法，再按【基础】【提高】【拔高】三档循序练习。教师/家长对照卷末“详细解析”批改讲评。 一、例题精讲（含完整解题步骤与方法点拨） ……………… 3题 二、分层练习 · 【基础】题 ……………… 5题 　　　　　　　 · 【提高】题 ……………… 10题 　　　　　　　 · 【拔高】题 ……………… 4题 三、详细解析（每题解题思路与列式，统一附于卷末） ……………… 19题 学习目标（本专题具体考点） 1. 掌握2、3、5的倍数特征，会判断与填数使一个数能被2、3、5整除。 2. 理解带余除法：被除数＝除数×商＋余数，余数一定小于除数。 3. 会解决“除以几余几”求最小自然数（或指定最小两位数、三位数）等基础数论问题，理解“通解＝特解＋公倍数×k”的周期规律。 一、例题精讲 下面每道例题都给出完整的解题步骤与方法点拨，先学方法，再做后面的练习。 【例1】一个三位数“3□5”，要使它能被3整除，□里最小填几？ 方法点拨：一个数能被3整除，各位数字之和能被3整除。 已知数字和＝3＋□＋5＝8＋□，要使 8＋□ 能被3整除。 □可取1（8＋1＝9能被3整除），最小是1。 答：□里最小填1。 【易错点提示】被3整除看“数字和”；被9整除也看数字和。被2、5看末位。 【例2】一个数除以7余3，除以7的商是6，这个数是多少？ 方法点拨：带余除法——被除数＝除数×商＋余数。 这个数＝7×6＋3＝42＋3＝45 验算：45÷7＝6……3，余数3小于除数7，正确。 答：这个数是45。 【易错点提示】被除数＝除数×商＋余数；余数必须比除数小。 【例3】一个数除以5余3，除以3余2，符合条件的最小自然数是多少？ 方法点拨：两个余数不相等，先各自列举、找出都出现的最小的数（叫“特解”），再明白后面所有符合条件的数都是“特解＋5和3的最小公倍数×k”。 除以5余3的数：3、8、13、18、23……；除以3余2的数：2、5、8、11、14……。 两列里都出现的最小的数是8，这就是最小自然数（也叫特解）。 5和3的最小公倍数是15，所以符合条件的数每隔15出现一次：通解＝8＋15×k，即8、23、38、53……（这正是“周期”本质）。 验算：8÷5＝1……3，8÷3＝2……2，符合。 答：符合条件的最小自然数是8。 【易错点提示】先找一个“特解”，再加最小公倍数的倍数得到一整列数（通解＝特解＋公倍数×k）。让两个余数不相等，最小解天生非平凡；若两个余数相同（如除5余2、除3余2），最小解会恰好等于余数本身（是2而不是17），这时题目必须写明“最小两位数/三位数”才有唯一答案。经典“物不知数”：三三数之剩二、五五数之剩三、七七数之剩二，最小是23。 二、分层练习 说明：题目按【基础】【提高】【拔高】三档标注，建议先做基础题打牢方法，再逐档挑战。 【基础】题（共5题） 1.【基础】一个数除以7余3，商是6，这个数是多少？ 2.【基础】一个数除以8余4，商是5，这个数是多少？ 3.【基础】一个数除以6余2，商是9，这个数是多少？ 4.【基础】一个数除以5余2，除以4余3，符合条件的最小自然数是多少？ 5.【基础】一个数除以5余1，除以3余2，符合条件的最小自然数是多少？ 【提高】题（共10题） 6.【提高】一个数除以9余7，商是4，这个数是多少？ 7.【提高】一个数除以5余3，商是8，这个数是多少？ 8.【提高】一个数除以4余1，商是12，这个数是多少？ 9.【提高】三位数“3□5”能被3整除，□里最小填几？ 10.【提高】三位数“4□2”能被3整除，□里最小填几？ 11.【提高】三位数“7□1”能被3整除，□里最小填几？ 12.【提高】三位数“2□6”能被3整除，□里最小填几？ 13.【提高】一个数除以7余2，除以3余1，符合条件的最小自然数是多少？ 14.【提高】一个数除以7余1，除以4余3，符合条件的最小自然数是多少？ 15.【提高】一个数除以9余4，除以4余1，符合条件的最小自然数是多少？ 【拔高】题（共4题） 16.【拔高】一个数除以5余2，除以3余2，符合条件的最小三位数是多少？ 17.【拔高】一个数除以4余1，除以6余1，符合条件的最小三位数是多少？ 18.【拔高】一个数除以7余3，除以5余3，符合条件的最小三位数是多少？ 19.【拔高】一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，符合条件的最小自然数是多少？（这就是我国古代名题“物不知数”） 三、详细解析 （每题给出解题思路与列式，答案统一附于此处） 【基础】题 1.【基础】一个数除以7余3，商是6，这个数是多少？ 被除数＝除数×商＋余数＝7×6＋3＝42＋3＝45。 验算：45÷7＝6……3（余数3小于除数7）。 答：这个数是45。 2.【基础】一个数除以8余4，商是5，这个数是多少？ 被除数＝除数×商＋余数＝8×5＋4＝40＋4＝44。 验算：44÷8＝5……4（余数4小于除数8）。 答：这个数是44。 3.【基础】一个数除以6余2，商是9，这个数是多少？ 被除数＝除数×商＋余数＝6×9＋2＝54＋2＝56。 验算：56÷6＝9……2（余数2小于除数6）。 答：这个数是56。 4.【基础】一个数除以5余2，除以4余3，符合条件的最小自然数是多少？ 方法点拨：两个余数不相等，先分别列举，找出两列里都出现的最小的数（特解），再明白通解＝特解＋5和4的最小公倍数×k。 除以5余2的数：2、7、12、17……；除以4余3的数：3、7、11、15、19……。 两列里都出现的最小的数是7，这就是最小自然数。 验算：7÷5＝1……2，7÷4＝1……3。 答：符合条件的最小自然数是7。 5.【基础】一个数除以5余1，除以3余2，符合条件的最小自然数是多少？ 方法点拨：两个余数不相等，先分别列举，找出两列里都出现的最小的数（特解），再明白通解＝特解＋5和3的最小公倍数×k。 除以5余1的数：1、6、11、16……；除以3余2的数：2、5、8、11、14……。 两列里都出现的最小的数是11，这就是最小自然数。 验算：11÷5＝2……1，11÷3＝3……2。 答：符合条件的最小自然数是11。 【提高】题 6.【提高】一个数除以9余7，商是4，这个数是多少？ 被除数＝除数×商＋余数＝9×4＋7＝36＋7＝43。 验算：43÷9＝4……7（余数7小于除数9）。 答：这个数是43。 7.【提高】一个数除以5余3，商是8，这个数是多少？ 被除数＝除数×商＋余数＝5×8＋3＝40＋3＝43。 验算：43÷5＝8……3（余数3小于除数5）。 答：这个数是43。 8.【提高】一个数除以4余1，商是12，这个数是多少？ 被除数＝除数×商＋余数＝4×12＋1＝48＋1＝49。 验算：49÷4＝12……1（余数1小于除数4）。 答：这个数是49。 9.【提高】三位数“3□5”能被3整除，□里最小填几？ 能被3整除，各位数字之和能被3整除。已知 3＋5＝8，需 8＋□ 是3的倍数。 依次试0、1、2……，□＝1时 8＋1＝9 能被3整除，最小是1。 答：□里最小填1。 10.【提高】三位数“4□2”能被3整除，□里最小填几？ 能被3整除，各位数字之和能被3整除。已知 4＋2＝6，需 6＋□ 是3的倍数。 依次试0、1、2……，□＝0时 6＋0＝6 能被3整除，最小是0。 答：□里最小填0。 11.【提高】三位数“7□1”能被3整除，□里最小填几？ 能被3整除，各位数字之和能被3整除。已知 7＋1＝8，需 8＋□ 是3的倍数。 依次试0、1、2……，□＝1时 8＋1＝9 能被3整除，最小是1。 答：□里最小填1。 12.【提高】三位数“2□6”能被3整除，□里最小填几？ 能被3整除，各位数字之和能被3整除。已知 2＋6＝8，需 8＋□ 是3的倍数。 依次试0、1、2……，□＝1时 8＋1＝9 能被3整除，最小是1。 答：□里最小填1。 13.【提高】一个数除以7余2，除以3余1，符合条件的最小自然数是多少？ 方法点拨：两个余数不相等，先分别列举，找出两列里都出现的最小的数（特解），再明白通解＝特解＋7和3的最小公倍数×k。 除以7余2的数：2、9、16、23……；除以3余1的数：1、4、7、10、13……。 两列里都出现的最小的数是16，这就是最小自然数。 验算：16÷7＝2……2，16÷3＝5……1。 答：符合条件的最小自然数是16。 14.【提高】一个数除以7余1，除以4余3，符合条件的最小自然数是多少？ 方法点拨：两个余数不相等，先分别列举，找出两列里都出现的最小的数（特解），再明白通解＝特解＋7和4的最小公倍数×k。 除以7余1的数：1、8、15、22……；除以4余3的数：3、7、11、15、19……。 两列里都出现的最小的数是15，这就是最小自然数。 验算：15÷7＝2……1，15÷4＝3……3。 答：符合条件的最小自然数是15。 15.【提高】一个数除以9余4，除以4余1，符合条件的最小自然数是多少？ 方法点拨：两个余数不相等，先分别列举，找出两列里都出现的最小的数（特解），再明白通解＝特解＋9和4的最小公倍数×k。 除以9余4的数：4、13、22、31……；除以4余1的数：1、5、9、13、17……。 两列里都出现的最小的数是13，这就是最小自然数。 验算：13÷9＝1……4，13÷4＝3……1。 答：符合条件的最小自然数是13。 【拔高】题 16.【拔高】一个数除以5余2，除以3余2，符合条件的最小三位数是多少？ 除以5、3都余2，说明这个数减去2后能同时被5和3整除，即是它们的最小公倍数15的倍数。 所以这个数比15的倍数多2，是 2、2＋15、2＋15×2…… 这样一列数。 在三位数里最小的是107（因为再往前一个 107－15＝92 还不到三位数）。 验算：107÷5＝21……2，107÷3＝35……2。 答：符合条件的最小三位数是107。 17.【拔高】一个数除以4余1，除以6余1，符合条件的最小三位数是多少？ 除以4、6都余1，说明这个数减去1后能同时被4和6整除，即是它们的最小公倍数12的倍数。 所以这个数比12的倍数多1，是 1、1＋12、1＋12×2…… 这样一列数。 在三位数里最小的是109（因为再往前一个 109－12＝97 还不到三位数）。 验算：109÷4＝27……1，109÷6＝18……1。 答：符合条件的最小三位数是109。 18.【拔高】一个数除以7余3，除以5余3，符合条件的最小三位数是多少？ 除以7、5都余3，说明这个数减去3后能同时被7和5整除，即是它们的最小公倍数35的倍数。 所以这个数比35的倍数多3，是 3、3＋35、3＋35×2…… 这样一列数。 在三位数里最小的是108（因为再往前一个 108－35＝73 还不到三位数）。 验算：108÷7＝15……3，108÷5＝21……3。 答：符合条件的最小三位数是108。 19.【拔高】一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，符合条件的最小自然数是多少？（这就是我国古代名题“物不知数”） 方法点拨：这是《孙子算经》名题“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二”。三个余数各不相同，最小解天生唯一、非平凡。 除以3余2的数：2、5、8、11、14、17、20、23……；除以5余3的数：3、8、13、18、23……；除以7余2的数：2、9、16、23……。 三列里都出现的最小的数是23。 3、5、7两两互质，最小公倍数是105，所以通解＝23＋105×k，即23、128、233……。 验算：23÷3＝7……2，23÷5＝4……3，23÷7＝3……2。 答：符合条件的最小自然数是23。 学科网（北京）股份有限公司 $