黑龙江六校2025-2026学年高二下学期7月期末数学试题

高二数学 满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的姓名、准考证号分别填写在试卷和答题卡 规定的位置上。 2.答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案涂黑，如需改动，用橡皮擦 干净后，再涂其它答案。非选择题的答案必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题卡上相应 的区域内，写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。 1.已知离散型随机变量X服从两点分布，满足P(X=1)=3P(X=0),则P(X=1)= A月 3 B. 1 C.16 D.3 2.曲线y=f(x)=x(lnx一2)在x=e处的切线斜率为 A.-1 B.-2 C.0 D.1 3.已知随机事件A,B,P(B)=3PAB)=3,则P(AB)= A号 5 C. 4 D.9 4,已知离散型随机变量X的分布规律为P(X=i)=mi2(i=1,2,3,4),则P(1≤X<3)= 1 A.28 5 B.28 c吉 1 D.5 5.仁、义、礼、智、信乃立身之本，是中国传统文化中推崇的五大道德准则.现有分别印有这5个字的 卡片各2张（同字卡片颜色不同），同学甲从中抽取3张卡片分给另外3位同学，每人一张卡片， 恰有2位同学分到的卡片是相同字的分配方案有 A.40种 B.120种 C.200种 D.240种 6.在某次抽奖活动中，一个口袋里装有3个白球和2个黑球，所有球除颜色外无任何不同，每次从 中摸出2个球，观察颜色后放回，若为同色，则中奖.则摸球三次仅中奖两次的概率为 A器 &贸 18 12 C.125 D.125 7.已知函数fe)=:-h红+Dx≥0，若对于任意实数m,不等式fm-am)>号-二恒成 x-e+1,x<0, 2 Je 立，则实数a的取值范围是 A.(-o∞，2) B.(-√2，√2) C.(-2,+∞) D.(-∞，-√2)U(W2,+∞) 高二数学第1页（共4页） 8.某智算中心由A,B两个各自独立的运算系统组成，任务随机分配给A,B的机会相等，A系统 第一次运算成功的概率为0,9，B系统第一次运算成功的概率为0.8，若第一次运算失败，A系统 会自动切换到B系统重新运算，B系统会自动切换到A系统重新运算，切换后A,B两个系统第 二次运算成功的概率均为p(0<p<1),每一个任务最多经过两次运算，若任务最终运算成功的 概率为0.97.则下列说法正确的是 A.p=0.85 B.任务分配给A系统且最终运算失败的概率为0.02 C.第一次运算失败，第二次运算成功的概率为0.12 D.最终运算成功的条件下，第一次由A系统运算的概率为0.6 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.设离散型随机变量X的分布列如表，若离散型随机变量Y满足Y=2X一1，则 X 0 1 2 3 4 P 0.1 0.4 x 0.2 0.2 A.x=0.1 B.E(X)=2,D(X)=1.8 C.E(X)=2,D(X)=1.4 D.E(Y)=3,D(Y)=7.2 10.将含甲、乙的6名男性志愿者和含丙、丁的3名女性志愿者平均分配到A,B,C三个不同社区 进行志愿者服务，则下列说法正确的是 A.甲、乙被分配到不同社区的方法有1260种 B.恰好有1个社区有2名女性志愿者的分配方法有2160种 C.甲、丙、丁至少有2人在同一社区的分配方法有1140种 D.A社区至少分配2名男性志愿者且丁不在C社区的分配方法有800种 1.已知函数f(x)=x3-2sinx一a.x1(a∈R),则下列说法正确的是 A.f(x)的图象是中心对称图形 B.若f(x)有2个极值点，则a∈(-2，十∞) C.f(x)在(0，π)上不单调的充要条件为a∈(-π，3π2+2) D.当a=一2时，过点P(0,0)作曲线y=f(x)的切线有且仅有2条 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.分别对A,B,C三组成对数据做相关性分析，计算出其对应的相关系数分别为0.5，一0.9， 0.78,则A,B,C三组相关性的强弱从弱到强排序依次为 13.设随机变量X~N(1,o2),若P(X≤a)=0.2,且P(1≤X≤a十2)=0.3，则a= 14.在(x-1)(x十1)2(x十2)3的展开式中，含x的项的系数为 高二数学第2页（共4页） 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)为响应国家自主研发创新的号召，国内某工厂开发了一种新型机床，为评估新型机床生 产产品的质量，现从新型国产机床和原有的进口机床所生产的产品中各抽取了250件，对两台 机床生产的产品进行检验，得到如下列联表： 产品质量 机床类型 合计 良品 次品 新型国产机床 175 75 250 原有进口机床 150 100 250 合计 325 175 500 (1)以频率估计概率，估计新型国产机床生产产品的次品率； (2)根据小概率值α=0.05的独立性检验，能否判断产品的质量与使用机床的类型有关. 附：X2= n(ad-bc)2 (a+b)(c+d)(a+c6+dD其中n=a+b+c+d. a 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 16.(15分)已知f(x)=xlnx,g(x)=x3+ax2-x十2. (1)求函数f(x)的单调区间； (2)若对任意x∈(0，十∞)，2f(x)≤g'(x)+2恒成立，求实数a的取值范围. 17.(15分)某新材料实验室研发一种高强度碳纤维复合材料.研发人员发现，复合材料的拉伸强度 y(单位：GPa)与生产过程中添加的固化剂比例x(单位：%)具有相关性，为确定最佳配方，研究 人员进行了5次平行试验，数据如下表： 试验编号i 4 5 固化剂比例x: 4 6 96 10 拉伸强度y: 1 1.5 2.5 4.5 5.5 高二数学第3页（共4页） (1)求y关于x的经验回归方程； (2)求决定系数R2,并依据决定系数判断该线性回归模型的拟合效果是否较好； (3)根据(1)中求得的经验回归方程，若要求复合材料的拉伸强度不低于4.8GPa,求添加固化剂 比例的最小值. 参考公式：经验回归方程为y=z十a,其中：6=一2· ,a=y-6x,R2= 2xi-nz =1 2(y:-y)2 1、 - 18.(17分)某芯片研发机构的研究人员对新研发的10片芯片进行人工质检，发现有3片次品，其余 为正品.现随机不放回抽检n片，若X。为n片中次品的个数. (1)求X4的分布列与期望； (2)证明：E(X+1)=E(X,)+0 3 (3)该机构引进一台高精度光谱分析仪，用于检测新研发芯片的缺陷.为检验该光谱分析仪检测 性能的稳定性，规定：高精度光谱分析仪从经过人工质检的10片（其中3片次品）芯片中随 机不放回抽检n(3≤n≤10)片，若检测出次品数量少于3片，则该光谱分析仪检测性能稳 定.记p.为该高精度光谱分析仪检测性能稳定的概率，当3≤n≤9时，证明：p.>p+1: 19.(17分)已知函数f(x)=xlnx-ax十1有两个不同的零点x1,x2: (I)求实数a的取值范围； (2)证明：x1十x2>2; (3)证明：ln(n!)≥n-lnn-1(n∈N). 高二数学第4页（共4页）高二数学 参考答案及解析 参考答案及解析 高二数学 一、选择题 1.B【详解】因为P(X=)=3P(X=0),则P(X=)+PX=0)=4PK=0)1,所以P(X=0)=4 P(X== 2.C【详解】函数f(x)的定义域为(0，+o),f'(x)=lnx-2+1=lnx-1 则f(e)=0. 3.A【详解】因为P8)-=片P-子 所以PAB)尸 -P1a-手则u P(B)1 0 3 4.C【详解】由m+4m+9m+16m=1,.m= 30， 则P1≤X<3)=P(X=1)+P(X=2)=mt4m=5m= 51 306 5.D【详解】先把字相同的卡片看成一组，第一步：从这5组中选出一组有C=5种选法. ● 第二步：再从余下的4组中选1组，从该组选一张卡片有CC=8种选法. 第三步：把选出的3张卡片分给3位同学有A=6种分法. 所以不同的分配方案有5×8×6=240种」 6。A【锋解】饮服意，损球一发中奖的瓶率为心-子，则换球三次仅中奖丙次的霞家为 36 7B【详解1当≥0时，y)=1-1=士≥0，所以在[0,0）)上单调递增，则)2≥f0=0, x+1x+1 当x<0时，f(x)=1-e0,所以)在(-o,0)上单调递增，则f<0,所以x)为增函数，因为 第1页，共9页 高二数学 参考答案及解析 f化为=片衣以大m-a网九令别烟-am子理得m-am+片Q因为mR 2 所以△=a-4×三<0，解得a∈(-√2，√2) 8.C【详解】记M,为“A系统第i次运算成功”(i1,2),N,为“B系统第i次运算成功”(=1,2)，C 为“任务最终运算失败”，则Oa)+)=×P)(可)+×P丽xP网- 子0-09x1-)+1-0图0-p1-Q9沉解得？=08所以A不正确：记D为“任务分配给A系统且最终运 算失败”，则四=P0a)P0P0网)=0-0a-08)=001,所以B不正确；记B为“第一次运 算失败，第二次运算成功”则P间=20a)+P4)=子xP)P(W,)+子xP(xPM,)= 分1-09叭x08+分0-08×08=0.12，所以c正确：记r为“第次由A系统运算”，则 Pr=号×PM)+方P)P0xM)=x09+0-0908=049,所以sO-PX2- P(C) 097g7,所以D不正确 0.4949 二、选择题 9.ABD【详解】因为01+0.4+x+0.2+0.2=1,所以x=0.1,A正确： E(X)=0×0.1+1×0.4+2×0.1+3×0.2+4×0.2=2, D(X)=(0-2)2×0.1+1-2×0.4+(22}2×0.1+(3-2)}×0.2+(4-2}×0.2=1.8,B正确，C错误； Y=2X-1,则E()=2E(X)-1片3，D()=4D(X)=7.2,D正确， 10.ACD【详解】9名志愿者平均分配到3个社区的方法有CC=1680种方法，甲、乙被分配到同一社区 的方法有，CCA420种方法，所以甲、乙被分配到不同社区的方法有1680-4201260种方法，故A卫 确：恰好有1个社区有2名女性志愿者的分配方法有CC:CA=1080种，故B错误；甲，丙，丁至少有 2人在同一社区的分配方法有CC.CA+】CCA=1140,故C正确：2男+丁在A社区的分配方法有 CC=300种，3男在A社区，丁在B社区的分配方法有CC=200种，2男和除丁以外的2名女性中 的1名在A社区，丁在B社区的分配方法有CCC?=300种，所以A社区至少分配2名男性志愿者且丁 不在C社区的分配方法有300+200+300=800种，故D正确. 第2页，共9页 高二数学 参考答案及解析 11.AB【详解】对于A,令g(x)=x3-2inx-ax,则g(-x)=-x3+2sinx+ax,所以g(x)+g(-x)=0,即 g(x)为奇函数，所以x)=gx)1的图象关于点（0，-1)成中心对称，故A正确；对于B, 令f'(x)=0,则3x2-2cosx-a=0,所以a=3x2-2c0Sx,令h(x)=3x2-2c0sx,则Hx)=2(3x+sinx), 令(x)=3x+sinx,则(x)=3+cosx>0,所以(x)为增函数，又h(O)=0,所以当x>0时，(x)>0,当x<0时， h(x)<0,即hx)在(-o,0)上单调递减，在(0，+o)上单调递增，所以=h(O)=-2，当 x-0和x→十o0时，8)→+o0,若fx)有2个极值点，则方程3x2-2c0sx-a=0有2个不相等的实数根，即 直线y=a与曲线y=x)有2个不同的交点，所以a∈(-2，+o),故B正确：对于C,f(x)=3x2-2cosx-a, 因为x)在(0，T)上不单调，所以f(x)=3x2-2cosx-a在(0，)上有变号零点，由B选项解析可知 f'(x)在(0，+o)上单调递增，所以f'(x)在(0，)上单调递增，因为f(0)=-2-a, [-2-a<0 f'(π)=3π2+2-a,所以 。,解得a(2,3π2+2)，所以C不正确：对于 3π2+2-a> D,设切点为(t,f(t)),f'(x)=3x2-2cosx+2,所以切线方程为y-f(t)=(3t2-2cost+2)(x-t),因为 切线过点P(0,0),所以-t+2sint-2t+1=(3t-2cost+2)(-t),整理得2t3+2sint-2 tcosf+1=0,令 ● p(t)=2t3+2sint-2tc0st+1,则p'(0=6t2+2cost-2cost+2 tsint=2t3t+simt),由B选项知当 t≥0时，3t+sint20,所以p(t)≥0，当长0时，3t+sint长0，所以p(t)>0,所以p(t)单调递增，所以p(t)=0有 唯一解，即有唯一切点，即切线有且只有一条，所以D不正确 三、填空题 12.AC8【详解】己知A,B,C三组相关系数的绝对值为： 0.5=0.5’0.g=0,9’0.78=078, :0.5<0.78<0.9,A,B,C三组相关性的强弱从弱到强排序依次为ACB. 13.0【详解】根据正态曲线的对称性可得P(X≤a=P(X≥2-@=0.2，∴P(a<X<2-a)=0.6,故 P(1≤X≤2-a)=0.3,所以a+2=2-a,解得a=0. 14.17【详解】在因式（x-1)中取x,在2个因式(x+1)中全取x项，在3个(x+2) 中1个取x,另2个取2，，此时x的系数为C·22=12: 在因式(x-1)中取x,在2个因式(x+1)中1个取x,另1个取1， 在3个因式(x+2)中2个取x,另1个取2，此时x的系数为C,C·2=12: 第3页，共9页 高二数学 参考答案及解析 在因式(x-1)中取x,在2个因式(x+1)中全取1，在3个(x+2)因式中全取x,此时x的系数为1： 在因式(x-1)中取-1，在2个因式(x+1)中1个取x,另1个取1，在3个(x+2)因式中全取x,此时 x4的系数为-1C2=一2；在因式(x-1)中取-1，在2个因式(x+1)中全取x,在3个(x+2)因式中2 个取x,1个取2，此时x的系数为-C·2=-6；所以在(x-1)x+1)P(x+2)的展开式中，含x4的项的系数为 12+12+1-2-6=17. 四、解答题 15.解：(1)样本中，新型国产机床生产产品的次品频率为2500 753 利用样本估计总体，得新型国产机床生产产品的次品率约为 3 (5分) (2)零假设为H,:产品的质量与使用机床的类型无关. 山列联表可.女50i09505多938心9分)” 325×175×250×250 91 依据a=0.05的独立性检验，推断H不成立， 即认为产品的质量与使用机床的类型有关.(13分) 16、解：I)函数f=血x的定义域是（⑤p。F武x)-lmr+1.(2分） 令f'(x)<0,得lnx+1<0,解得0<x< e :f(y的单调递减区间是0，○4分) e 令f'(x)>0,得lnr+l>0,解得x>二， e f()的单调递增区间是(。+” 综上，f(的单调递减区间是0，。 1 单调递暗区间是[《+切小：(6分) (2)g'(x)=3x2+2ax-1,2f(x)≤g'(x)+2恒成立，.2xlnx≤3x2+2am+1恒成立. 31 :x>0,.a≥lnx- 2-2 在x∈(0，+o)上恒成立. 31 设h()=hr-2-2x>0),则（四= =13+1=-K-03x+1 x22x2 (10分) 2x2 令()=0，得-1，馬=号含去) 当x∈(0，l)时，h(x)>0,h(x)单调递增： 第4页，共9页 高二数学 参考答案及解析 当x∈(1，+o)时，h(x)<0,h(x)单调递减， ∴.当x=1时，h(x)取得极大值，也是最大值，且h(x)ms=h(1)=-2,(13分) ∴若a≥h(x)在xe(0,+∞)上恒成立，则a≥h(x)mm=-2, 故实数a的取值范围是[-2，+∞).(15分) 17解：《1)因为=2+4+6+8+10=6)-10+15=25+45455-3.(2分) 5 5 2=20. xy=2+6+15+36+55=114,(4分) i-1 y-派7 所以b= 114-5×6×3 =0.6,(5分) 子顺 220-5×62 风 则a=y-bx=3-0.6x6=0.6, 所以=m+a=0.6x-0.6.(6分) (2)因为y=2×0.6-0.6=0.6，y2=4×0.6-0.6=1.8,%=6×0.6-0.6=3, ● y4=8×0.6-0.6=4.2,y=10×0.6-0.6=5.4, (8分) 所以(y-=(1-0.6+1.5-18°+(25-3+(45-42+6.5-5.42-0.6，(9分) ● 又g-可=0-3列+5-3到+(253+(45-到+65-3=15，(10分) 26- 所以R2=1- 0.6 =0.96,(11分) 0y-列 15 因为2的取值接近于1，所以该线性回归模型的拟合效果较好.(12分) (3)由=im+a=0.6r-0.6≥4.8，解得x≥9， 所以添加固化剂比例的最小值为9%.(15分) 18解：(1)X4表示随机抽检的4片中次品的个数，则X4可能的值为0,1,2,3，(1分) C80化=3=Sg1 因为-9若x-等--分等4 C030 所以分布列为 第5页，共9页 高二数学 参考答案及解析 X 0 1 2 3 (3分) 1-6 1-2 3 1 10 30 0)=0rg+2 1 +3x- 6 10 x305 3)(4分) (或者：BX)=405 (2)因为X服从超几何分布， 。者Ax小：品-，6 所以E(X)=x1010 故EKH)-EX)=30+）33 1010101 所以X)=BX)+0(8分) (3)因为检测出次品数量最多为3片，且恰好检测出3片次品的概率 CC -,(10分) C 所以B=1-CC -,(12分) 7刊 则，=1.a-90-m-1-0-2,（14分 10！ 720 2!10-m)月 当≤n≤9时，由PwH-n=1- 2(02+1)(2-1) nn-y0n-2.n-<0,(16分) 720 720 240 故B>PH.（17分) 19.(1)解：f'(x)=lnx-a+1, 因为f'(x)在(0，+o)上单调递增，且f'(ea-)=lnea-1-a+1=a-1-a+1=0,(1分) 所以f(x)在(0，ea-1)上单调递减，在(ea-,+o)上单调递增， 则f(x)mn=f(ea-1)=(a-1)ea-1-aea-1+1=1-ea-1,(3分) 若fs)有两个零点，则必有f(x)mn=1-ea-1<0,即心1.(4分) 当a>1时，f(ea)=aea-aea+1=1>0,当x→0+时，f(x)→1， 所以f(x)在(0，ea-1)和(ea-1,+o)上各有1个零点， 第6页，共9页 高二数学 参考答案及解析 所以a∈(1，+o).(5分) (2)证明：令x2>x1>0, 因为lnx-ax1+1=0,x2lnx2-ax2+1=0, 所以n5+是=n5,+1 1 整理得n点-古立，《6分) 七3 令生=t∈(0,1)，则x=tx2 x2 所以nt=《-1)x=1-1 tx2 ,解得s2=n:则 Int ,(7分) 欲证1+2>2， 只需证明仁1+1>2，(8分) tInt Int 风 整理得2tlnt-t2+1>0, 令g(t)=2tlnt-t2+1(0<t<1),则g'(t)=2(lnt-t+1), 令hd=n-4+l则0-l号>0. ● 所以g'()在(0,1)上单调递增，则g't)3g'①=0， 所以g()在(0,1)上单调递减，即g(0>g(1)=0, 所以2tlnt-t2+1>0, 故x1+x2>2.(10分) (3)证明：当e1时，f(x)=xlnx-x+1,f'(x)=lnx, 因为f'(x)在(0，+o)上单调递增，且∫'(1)=0， 所以当x∈(0,1)时，f'(x)<0,当x∈(1，+o)时，f'(x)>0, 故)在(0,1)上单调递减，在（1，+o)上单调递增， 所以f(x)≥f(1)=0,(12分) 即xlnx-x+1≥0，当且仅当1时取等号， 所以血x21-子 则n1+n2+n++nm≥a-0-方写+占 即a-0+分…++之.(4分 n-1 n 第7页，共9页 高二数学 参考答案及解析 画nx21一得n(c+D≥11三r x+1x+1 令=1 血≥2)，则1mn之1 n-1 n-1-n 1 所以lnn-ln(n-1)≥ 则lh2-lm1≥1， n3-n22 1 n4-n324 m n-In(n -1)z, 当1之2时，将以上1个不等式两边分别相加，得h心≥，++·+了+ ,(16分) n-1。n na0a-0宁+…+--0-+ ≥n-1-lnn, 当=1时，n)=n-l血n-1成立， 所以ln(n)≥n-mn-1,neN.(17分D 第8页，共9页