圆的方程：弦长问题、公共弦问题、面积问题、定点问题专项训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

圆的方程：弦长问题、公共弦问题、面积问题、定点问题专项训练 圆的方程：弦长问题、公共弦问题、面积问题、定点问题专项训练 考点目录 以圆为背景的弦长问题 以圆为背景的公共弦问题 以圆为背景的面积问题 以圆为背景的定点问题 考点一 以圆为背景的弦长问题 1．（25-26高二上·宁夏银川·阶段练习）若直线被圆：截得的弦长为，则（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】设圆心到直线的距离为，圆的半径， 则弦长为， 解得， ， 解得． 故选：C． 2．（25-26高二上·河南·阶段练习）已知直线与圆相交于两点，则（　　） A．2 B．2 C．2 D．3 【答案】B 【详解】设圆心到直线的距离为， 由点到直线的距离公式得， 因为圆的半径为2，所以， 故选：B 3．（25-26高二上·江苏·阶段练习）已知直线l：，圆C：，直线l与圆C交于M，N两点，则弦长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题设l：即， 令得，所以直线过定点， 而圆C：，圆心为，半径为3， 所以，即定点在圆C内， 所以定点与圆心的距离， 要使最小，即定点与圆心的连线与垂直，此时. 故选：D 4．（24-25高二下·云南·阶段练习）直线与圆相交所得的弦长为 . 【答案】 【详解】由，可知圆心为，半径为， 所以到的距离， 则直线与圆相交所得的弦长为. 故答案为：. 5．（25-26高二上·天津·阶段练习）已知圆的圆心为，且与直线相切，则圆被直线截得的弦长为 . 【答案】4 【详解】因为圆与直线相切， 所以圆的半径为， 而圆心到直线的距离为， 所以圆被直线截得的弦长为. 故答案为：4. 6．（25-26高二上·重庆·阶段练习）已知直线与圆相交于A，B两点，则弦长的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为，令，所以过定点， 又因为，所以在圆内， 当经过圆心时，此时有最大值即为圆的直径，， 当与垂直时，此时有最小值，， 所以的取值范围是， 故答案为：. 7．（25-26高二上·江苏连云港·阶段练习）设m为实数，直线和圆相交于P，Q两点，若，则实数m的值为 . 【答案】或 【详解】圆，圆心，半径， 圆心到直线的距离为， 由垂径定理知，， 则，即，解得， 所以，即， 于是有，解得或. 所以m的值为或. 故答案为：或 8．（25-26高三上·四川成都·阶段练习）已知中，，动点满足. (1)求动点的轨迹的方程； (2)设所在直线与轨迹的另一个交点为，当面积最大且在第一象限时，求的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设由，得， 整理可得， 即点的轨迹的方程为， （2）如图所示：    由题意可得，当A到距离最大时， 即纵坐标最大时满足题意，此时， 所以， AD所在直线方程为， 圆心到直线的距离，半径， 可得. 9．（25-26高二上·陕西商洛·阶段练习）已知点、、，圆经过、、三点. (1)求圆的标准方程； (2)若过点的直线与圆交于、两点，求弦长度的最小值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设圆， 圆过、、三点， 解得 圆的一般方程为，标准方程为：. （2）由（1）可得，圆心，半径， 点到圆心的距离为， 点在圆内， 设圆心到直线的距离为，则， 结合图形，可知当时，，， 即弦长度的最小值为. 10．（25-26高二上·江苏·阶段练习）已知圆与直线相切于点，圆心在轴上． (1)求圆的标准方程； (2)若过点的直线与圆交于两点，当时，求直线的一般式方程； 【答案】(1)； (2)或. 【详解】（1）由题可知，设圆的方程为， 由直线与圆相切于点， 得，解得，， 所以圆的标准方程为； （2）依题意，圆心到直线的距离为， 当直线斜率不存在时，方程为，此时圆心到直线的距离为3，符合题意； 当直线斜率存在时，设为，即， 则，即，则，解得， 所以直线的方程为 综上，直线的方程为或 11．（25-26高二上·江苏常州·阶段练习）平面直角坐标系中，已知定点，动点满足，记动点的轨迹为曲线.过点作两条直线，分别与曲线交于点，和，四点（其中点、在上方）. (1)求曲线的方程； (2)若，求四边形面积的取值范围； (3)设交轴于点，交轴于点，证明：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1）设，则 故，化简可得， 故曲线方程为 （2）由题意可知直线均有斜率，且不为0，由于， 设直线， 曲线为圆心为，半径的圆， 则到的距离为，同理可得到的距离为， 故， 故当时，，当且仅当时取到等号，当时，，当且仅当时取到等号， 因此，当且仅当时取到等号， 故，即，因此， 故， 故， （3）设直线，其中均不为0， 联立直线与可得, 设则， 同理设则， 则直线， 令，则,故， 同理可得, 则 ， 因此，故， 因此，得证.    12．（25-26高二上·江苏南京·阶段练习）在平面直角坐标系中，设顶点坐标分别为，，，，，圆M为的外接圆． (1)求圆M的方程； (2)直线过点与圆M相交于两点，，求直线的方程； (3)若圆M上存在点P，满足，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【详解】（1）设圆的一般方程为， 将A、B、C三点坐标分别代入方程可得， 解得，所以圆的一般方程为，整理为标准方程为． （2）已知圆的方程为，则圆心，半径， 设圆心到直线的距离为，所以，解得， 分两种情况讨论直线的斜率， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时圆心到直线的距离为，满足，所以是直线的一个方程； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 根据点到直线的距离公式，圆心到直线的距离， 解得，所以直线的方程为，整理得； 综上，直线的方程为或． （3）设的坐标，因为， 所以， 整理得，， 所以点在以为圆心，为半径的圆上， 又因为点在圆，所以两个圆有公共点， 故有， 解得．    13．（25-26高二上·河北保定·阶段练习）已知：圆的圆心在第一象限，与轴相切，与轴交于，两点，且，，点在斜率为的直线上． (1)若直线与圆交于，两点，且，求直线的方程； (2)若存在圆心在直线上，半径为的圆与圆外切，求的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）设圆：，，根据题意可得，解得，， 所以圆的标准方程为，可知直线：， 圆心到的距离，因为，所以， 即，解得或，所以直线的方程为或. （2）若存在圆与圆外切，连接，即存在点使得,因为到的距离， 所以，所以，即，所以或， 所以的取值范围为. 考点二 以圆为背景的公共弦问题 1．（25-26高二上·山西临汾·阶段练习）已知圆，圆，则两圆的公共弦长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设圆，圆相交于两点， 把圆，化为一般式， ：， ， ， ：， ， ， 两圆作差得： ， ， 公共弦所在直线方程为 . 联立直线方程与圆得：， 解得或， 交点为 和 . . 故选：C    2．（25-26高二上·江西·阶段练习）已知圆与圆交于A，B两点，则直线AB的一般式方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】联立 两式相减可得. 故选：D. 3．（25-26高二上·广东广州·阶段练习）若圆，圆的两交点分别为A，B，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】方法一  将两圆的方程作差，可得，即直线AB的方程为，圆的圆心为，半径为2， 则到直线的距离为，故． 方法二  联立解得或 所以． 故选：B. 4．（25-26高二上·黑龙江大庆·阶段练习）已知圆和圆，若点在两圆的公共弦上，则的最小值为（    ） A．2 B．4.5 C．5 D．6.5 【答案】B 【详解】由题意可得圆圆心为，半径，圆圆心为，半径， 则，，， 则，故两圆相交， 则其公共弦的方程为， 即为，则在，即有， 则， 当且仅当，即、时等号成立，即的最小值为. 故选：B. 5．（24-25高二下·湖北·期中）已知圆和圆，则两圆的公共弦长为 . 【答案】 【详解】    如图，由圆与圆相减， 整理可得两圆的公共弦所在直线方程为：， 由圆的圆心到直线的距离为， 由弦长公式，可得两圆的公共弦长为. 故答案为：. 6．（2025·广东东莞·模拟预测）圆与圆的公共弦长为 . 【答案】 【详解】法1，两圆与圆均过点，，弦长为. 法2，两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程， 圆的圆心到直线的距离， 故公共弦长为. 故答案为：. 7．（25-26高二上·陕西商洛·阶段练习）两圆与的公共弦长等于 . 【答案】 【详解】由题意，两圆的标准方程为，， 两圆方程相减可得公共弦方程为：， 因为圆心为，半径为， 该圆的圆心在公共弦上，所以公共弦长为该圆的直径. 故答案为： 8．（23-24高二上·广东·阶段练习）已知点为直线上的动点，过点作圆的切线，切点为，则的最小值为 ；当最小时，则直线的方程为 . 【答案】 【详解】因为圆可化为，可知圆心为，半径， 又因为是圆的两条切线，则， 可知四点共圆，且，， 因为， 当且仅当时，取到最小值，即取得最小值， 可设直线的方程为， 代入点可得，即，所以直线的方程为， 联立方程，解得，即， 则的最小值为， 所以的最小值为； 又因为， 当且仅当时，取到最小值，即取得最小值， 此时，，且线段的中点为， 则以为直径的圆的圆心为，半径为， 以为直径的圆的方程为，即， 因为圆，两圆相交， 所以两圆方程相减即为直线的方程. 故答案为：；. 9．（25-26高二上·江苏南京·阶段练习）已知圆过圆：与圆；的交点，且圆的圆心在直线：上. (1)求圆的方程； (2)过圆外一点向圆引两条切线切点为、，求经过两切点的直线方程； (3)求直线：被圆截得的弦长最小时的方程. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题可设圆的方程为：， 整理得，其圆心， 因为圆心在直线上，所以，解得：， 所以圆的方程为：. （2）由于过圆外一点向圆引两条切线切点为、，则是以为直径的圆与圆的交点，则经过两切点的直线方程即为这两个圆的公共弦方程； 由于，，所以以为直径的圆的方程为：， 整理得：，即以为直径的圆的方程为， 联立，则， 所以经过两切点的直线方程为. （3）由直线：可得：， 令，解得，则直线过定点， 则当时，直线：被圆截得的弦长最小， 由于，所以，即， 则直线的方程为：.    10．（24-25高二上·云南·阶段练习）已知圆和圆. (1)判断和的位置关系； (2)求与的公共弦所在直线的一般式方程以及公共弦的弦长. 【答案】(1)相交 (2)， 【详解】（1）根据题意，圆的圆心为，半径， 圆，圆心为，半径， 所以圆心距，因为， 故圆和圆相交. （2）将两圆方程相减，有， 所以两圆公共弦所在直线的方程为， 圆心到的距离， 故公共弦的弦长为. 11．（25-26高二上·江苏·阶段练习）已知圆O: 圆 (1)求圆O与圆M 的公共弦长： (2)求圆O与圆M的公切线的交点P的坐标，并求公切线方程. 【答案】(1) (2)，公切线方程为和. 【详解】（1）圆①，圆②， ①②得公共弦方程：. 到的距离， 则公共弦长为. （2）如图所示： 因为，， 所以圆和圆相交， 因为到的距离为，到的距离为， 所以为两圆的一条公切线. 因为，，所以， 设公切线为，即， 到的距离，解得， 即公切线方程为. 综上：，公切线方程为和. 12．（25-26高二上·安徽·阶段练习）已知圆C：与圆：． (1)若圆C与圆有3条公切线，求r的值． (2)若，试求： ①圆C与圆所得的公共弦长； ②经过圆C与圆的交点且过坐标原点O的圆M的方程． 【答案】(1) (2)①；②（或写：） 【详解】（1）圆C：的圆心，半径为r， 圆：的圆心，半径为， 由圆C与圆有3条公切线，所以圆C与圆相外切， 故，所以； （2）①当时，圆C：， 则，故圆C与圆相交， 两圆方程相减得，点C到直线距离为， 所以圆C与圆所得的公共弦长为； ②，， 设圆M的方程为， 因为圆M过坐标原点，所以把代入，可得：，即， 故圆M的方程为， 所以圆M的方程为（或写：）． 考点三 以圆为背景的面积问题 1．（25-26高二上·江苏·阶段练习）已知圆的圆心在直线上，且过点，. (1)求圆的方程； (2)已知点是圆上的任意一点，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题可设圆的圆心为， 则，即， 所以圆的圆心为，半径为， 所以圆C的方程为. （2）由题，， 所以直线，即， 所以圆心到直线的距离为， 所以点到直线的距离的最大值为， 故面积的最大值为. 2．（25-26高二上·江苏盐城·阶段练习）若圆与圆关于直线对称． (1)求圆的方程； (2)求圆与圆公切线的长度； (3)过直线上一点作圆的切线，，切点为，，求当四边形面积最小时，的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题意，设，关于直线对称． ，且， ，圆心为，半径为，圆的方程． （2）由（1）知圆，圆心为，半径为， 圆，圆心为，半径为， 两圆相交，有两条公切线． 又公切线的长度等于． （3）圆的半径， 则四边形的面积． 设， ， 当时，，此时四边形的面积最小，为． 当四边形面积最小时，的坐标为. 3．（25-26高二上·江苏常州·阶段练习）已知在平面直角坐标系中，，．点满足，设点所构成的曲线为． (1)求点的轨迹方程； (2)若，求点的轨迹的方程； (3)过A作两条互相垂直的直线，与点的轨迹分别交于和四点，求四边形面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3)7 【详解】（1）设点，点满足， 所以可得， 化简可得． （2）设点，，由（1）可知点满足方程：， ，， 即 ，， 代入上式消去可得的轨迹方程为． （3）设圆心到直线，的距离分别为，则， ， ，      当且仅当时，等号成立， 因此，四边形面积的最大值为7． 4．（25-26高二上·重庆·阶段练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点，圆与x轴的正半轴的交点是Q，过点P的直线l与圆O交于不同的两点A，B (1)若直线l与y轴交于D，且，求直线l的方程； (2)设直线QA，QB的斜率分别是，，证明：为定值； (3)设AB的中点为M，点，若，求的面积. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）设，求出，， 则或6， 当时，，此时直线的方程为：， 圆心到直线距离，满足题意； 当时，，，直线的方程为：， 圆心到直线距离（舍去）； （2）设直线的方程为：，联立 可得：， 设，则，① ， 则 ，② 将①代入②化简可得， 即； （3）设点，由点，， 可得，化简得，③ 又，④ ④式代入③式解得或， 由圆心到直线的距离，故， 此时，圆心到直线距离， 则，直线方程为：，， 到直线的距离，则. 5．（25-26高二上·江西·阶段练习）过点的直线与圆交于A，B两点，分别在A，B处作圆O的切线，这两条切线相交于点N. (1)当时，求的值； (2)当的斜率为时，求的面积； (3)当时，求的外接圆的周长. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）不妨记ON与AB交于点P，由几何关系易知， 由，，可知四边形OANB是矩形， 由可知其为正方形. 于是，而， 故. （2）得，故由和可解得，又，于是， 故的面积. （3）注意到，而，故P为ON的中点，易知P为AB的中点， 故由垂直关系和对角线关系可知四边形OANB是菱形， 由可知其为正方形，且边长， 故的外接圆半径为斜边的一半，由于,故半径为， 故的外接圆的周长为. 6．（25-26高二上·浙江·阶段练习）如图所示，圆：与轴的交点分别为，，过点的直线与圆交于，两点.    (1)若弦的长为，求直线的方程 (2)记直线，的斜率分别为，，求的值； (3)设为直线与的交点，，的面积分别为，，求的取值范围. 【答案】(1)和 (2) (3) 【详解】（1）①当直线的斜率不存在时，此时，； ②当直线的斜率存在时，设直线斜率为，则直线方程为， 则由，知圆心到直线的距离为， 则，得， 所以的直线为和； （2）解法一：设由题知，，， ①当直线的斜率不存在时，直线方程为，如图所示，    将，代入，解得，，， ，，； ②当直线的斜率存在时，设直线斜率为，则直线方程为， 设，，则，， 联立，消去得， ，， 连接，，由圆的性质可得，， ； 所以； 综上可得，； 解法二：设直线方程为，，， 联立，消去得， ，， ，整理得， ， 所以； （3）由（2）知，直线和直线方程分别为或， 联立，消去得，点在直线上，如图所示，    ，，， 的取值范围为. 7．（25-26高二上·广东·阶段练习）已知点，，动点满足，其轨迹为. (1)求动点轨迹的方程； (2)过点的直线交轨迹于，两点， ①若，求直线的方程； ②求面积的最大值. 【答案】(1) (2)①或；② 【详解】（1）设，则由可得， 化简得，即动点轨迹的方程为； （2）①若直线斜率不存在，则、分别为、， 此时，不符； 则直线斜率存在，设，、， 联立，消去得， 则，即， 有、， ， 即，则， 故直线的方程为或； ②若直线斜率不存在，此时不存在，不符，故直线斜率存在， ， 点到直线的距离， 则， 令，则， 则， 当且仅当，即时等号成立， 故面积的最大值为. 8．（25-26高二上·江苏连云港·阶段练习）圆，过点作直线， (1)若直线为圆的切线，求直线的方程； (2)若直线与圆交于，两点，当的面积最大时，求直线的方程. 【答案】(1)或. (2)或 【详解】（1）由圆，得其标准方程为， 所以圆心为，半径为. 当直线垂直于轴时，即满足条件. 当直线不垂直于轴时，可设直线方程为，即， ，则直线方程为. 切线的方程为或. （2）由直线与圆相交于M，N两点，设C到直线距离为，则 ，当且仅当时等号成立， 所以圆心C到直线的距离，解之得或. 则直线的方程为或 考点四 以圆为背景的定点问题 1．（25-26高二上·重庆·阶段练习）已知圆过点和点，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)已知圆外有一定点，过作圆的切线，切点分别为，两点，求； (3)已知点，过的直线交圆于，两点（不在直线上），直线，分别与直线交于，两点，则以为直径的圆是否过除点以外的定点？若过定点，求出此点的坐标；若不过定点，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)过定点，定点为 【详解】（1）由题可设所求圆圆心为，则， 所以，即，解得， 所以圆的半径为，圆心为 则圆的方程为. （2）由（1）可知圆过点， 所以过作圆的切线，得切线有两条分别为，两切点即为， 所以； （3）由（1）可知点P在圆C上，作出符合题意的图形， 因为直线过，所以直线的参数方程为， 将代入中， 可得，解得或， 则，， 而直线过，则，令， 则，，而的方程为， 当时，，解得， 故，同理可得， 设以为直径的圆上任意一点为，则，即， 可得，， 则， 整理得， 令，，解得或， 故为直径的圆过除点以外的定点，该定点为. 2．（25-26高二上·湖南长沙·阶段练习）已知点是圆内一点，直线. (1)若圆的弦AB恰好被点平分，求弦AB所在直线的方程； (2)若过点作圆的两条互相垂直的弦EF，GH.求四边形EGFH的面积的最大值； (3)若是上的动点，过作圆的两条切线，切点分别为C，D．证明：直线CD过定点. 【答案】(1) (2)11 (3)证明见解析 【详解】（1）因圆的弦AB恰好被圆内的点平分，由垂径定理，可得，即， 则弦AB所在直线方程为，即. （2）因圆的半径为， 如图1，设点到直线EF、GH的距离分别为，则， 因， 故， ，当且仅当，即时取等号， 故四边形EGFH面积的最大值为11. （3）因,则C、D两点均在以OQ为直径的圆上， 如图2，设，则的中点为， 圆的半径为， 则该圆的方程为，即：. 又C、D在圆上， 则圆与圆的公共弦CD的方程为，即， 由，解得，故直线CD过定点. 3．（25-26高二上·浙江·阶段练习）已知点，，且点满足直线与直线的斜率乘积为. (1)求点的轨迹方程. (2)若是直线上的动点，为坐标原点， （i）过点作曲线的一条切线，切点为，求的最大值； （ii）连接，，直线与曲线的交点为，直线与曲线的交点为.证明：直线过定点. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【详解】（1）设点，则有. 化简得； （2）（i）记为，则，因为为锐角，即求最大值， 即求最大值，又，故只需取最小值即可， 则当时，最小，此时取，则， 所以的最大值为； （ii）设，，， 则，， 联立，则， 则，即，故， 联立，则， 则，即，故， 即，， 由图形的对称性可知，直线的定点在轴上， 记直线与轴交点坐标为，当直线斜率不存在时， 即，得，即，此时直线过点； 当直线斜率存在时，即时，有， 即，化简得， 又，故，即，故此时直线过点； 综上所述直线过定点. 4．（24-25高二上·天津·阶段练习）古希腊数学家阿波罗尼斯结合前人的研究成果，写出了《圆锥曲线论》，此书中有许多关于平面轨迹的问题，例如：平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆.后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆.已知平面内有两点和，且该平面内的点Р满足. (1)求点P的轨迹的方程； (2)设点M为直线上的一点.过点作轨迹C的两条切线，切点为Q，R. （i）证明：直线过定点； （ⅱ）求线段长度的最小值. 【答案】(1)； (2)（i）证明见解析；（ii）； 【详解】（1）设点P的坐标为，因为，又，， 所以， 所以， 所以， 所以，即， 所以点P的轨迹方程为． （2） （i）设点，而，则中点为，且， 以为直径圆的方程为， 整理得， 以为直径圆与圆的方程相减，得． 整理得，令，可得， 所以直线过定点． （ii）记圆的半径为，到直线的距离为，则． 当取最大值时有最小值，而，当且仅当时取到， 所以的最小值为． 5．（25-26高二上·吉林长春·阶段练习）已知圆是圆周上位于轴上方两点，两点关于轴对称，直线分别与轴相交于点，圆的切线交轴于点． (1)当点横坐标为2时，求直线的方程； (2)若点横坐标为0，，求； (3)若坐标为，直线是否过定点？ 【答案】(1) (2) (3)是，直线过定点 【详解】（1）当的横坐标为时，则纵坐标为，由题意，直线的斜率显然存在， 设直线的方程为，整理得， 则圆心到直线的距离，整理得，解得， 所以直线的方程为，即. （2）当点的横坐标为时，则点的纵坐标为，，设点，， 则直线的方程为，令，则，即， 直线的方程为，令，则，即， 设直线的方程为，整理得， 则圆心到直线的距离，整理得，解得， 所以直线的方程为，即， 令得，即， 所以， ， 所以. （3）设，则，直线的方程为， 因为在直线上，可得，整理得， 直线的方程为，令，则，即，， 又，所以，即，所以直线过定点. 6．（25-26高二上·河南驻马店·开学考试）已知圆，圆，且. (1)证明：与相切； (2)若与内切，求公切线的方程； (3)若，且，圆与内切于点，且与的面积之积为，若经过点，的直线分别交于点（异于点），交于点（异于点），证明：以为直径的圆过定点. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【详解】（1）证明：由，可得圆心，半径， 圆，可得， 可得圆心，半径， 则， 当时，可得，，则，两圆相外切； 当时，可得，，则，两圆相内切； 当时，可得，，则，两圆相内切. 综上可得，当时，圆与相切. （2）解：联立方程组，可得， 设直线的方程为， 由点到直线的距离为， 点到直线的距离为， 所以直线与相切，也与相切，所以为圆与的公切线方程， 即圆与的公切线方程. （3）证明：联立方程组，整理得，解得， 所以与的切点为，且圆与内切于点， 所以直线过点的直线，此时直线方程为， 当且时，可得，且和的面积之积为， 则，可得， 又由直线的倾斜角为，则有，可得， 则以为直径的圆的方程为：， 整理得， 即， 将其整理为关于的二次多项式，可得： ， 所以，即，解得或， 所以以为直径的圆恒过定点，. 2 学科网（北京）股份有限公司 $圆的方程：弦长问题、公共弦问题、面积问题、定点问题专项训练 圆的方程：弦长问题、公共弦问题、面积问题、定点问题专项训练 考点目录 以圆为背景的弦长问题 以圆为背景的公共弦问题 以圆为背景的面积问题 以圆为背景的定点问题 考点一 以圆为背景的弦长问题 1．（25-26高二上·宁夏银川·阶段练习）若直线被圆：截得的弦长为，则（   ） A．2 B． C． D． 2．（25-26高二上·河南·阶段练习）已知直线与圆相交于两点，则（　　） A．2 B．2 C．2 D．3 3．（25-26高二上·江苏·阶段练习）已知直线l：，圆C：，直线l与圆C交于M，N两点，则弦长的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·云南·阶段练习）直线与圆相交所得的弦长为 . 5．（25-26高二上·天津·阶段练习）已知圆的圆心为，且与直线相切，则圆被直线截得的弦长为 . 6．（25-26高二上·重庆·阶段练习）已知直线与圆相交于A，B两点，则弦长的取值范围是 . 7．（25-26高二上·江苏连云港·阶段练习）设m为实数，直线和圆相交于P，Q两点，若，则实数m的值为 . 8．（25-26高三上·四川成都·阶段练习）已知中，，动点满足. (1)求动点的轨迹的方程； (2)设所在直线与轨迹的另一个交点为，当面积最大且在第一象限时，求的值. 9．（25-26高二上·陕西商洛·阶段练习）已知点、、，圆经过、、三点. (1)求圆的标准方程； (2)若过点的直线与圆交于、两点，求弦长度的最小值. 10．（25-26高二上·江苏·阶段练习）已知圆与直线相切于点，圆心在轴上． (1)求圆的标准方程； (2)若过点的直线与圆交于两点，当时，求直线的一般式方程； 11．（25-26高二上·江苏常州·阶段练习）平面直角坐标系中，已知定点，动点满足，记动点的轨迹为曲线.过点作两条直线，分别与曲线交于点，和，四点（其中点、在上方）. (1)求曲线的方程； (2)若，求四边形面积的取值范围； (3)设交轴于点，交轴于点，证明：. 12．（25-26高二上·江苏南京·阶段练习）在平面直角坐标系中，设顶点坐标分别为，，，，，圆M为的外接圆． (1)求圆M的方程； (2)直线过点与圆M相交于两点，，求直线的方程； (3)若圆M上存在点P，满足，求实数m的取值范围． 13．（25-26高二上·河北保定·阶段练习）已知：圆的圆心在第一象限，与轴相切，与轴交于，两点，且，，点在斜率为的直线上． (1)若直线与圆交于，两点，且，求直线的方程； (2)若存在圆心在直线上，半径为的圆与圆外切，求的取值范围． 考点二 以圆为背景的公共弦问题 1．（25-26高二上·山西临汾·阶段练习）已知圆，圆，则两圆的公共弦长为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·江西·阶段练习）已知圆与圆交于A，B两点，则直线AB的一般式方程为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·广东广州·阶段练习）若圆，圆的两交点分别为A，B，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·黑龙江大庆·阶段练习）已知圆和圆，若点在两圆的公共弦上，则的最小值为（    ） A．2 B．4.5 C．5 D．6.5 5．（24-25高二下·湖北·期中）已知圆和圆，则两圆的公共弦长为 . 6．（2025·广东东莞·模拟预测）圆与圆的公共弦长为 . 7．（25-26高二上·陕西商洛·阶段练习）两圆与的公共弦长等于 . 8．（23-24高二上·广东·阶段练习）已知点为直线上的动点，过点作圆的切线，切点为，则的最小值为 ；当最小时，则直线的方程为 . 9．（25-26高二上·江苏南京·阶段练习）已知圆过圆：与圆；的交点，且圆的圆心在直线：上. (1)求圆的方程； (2)过圆外一点向圆引两条切线切点为、，求经过两切点的直线方程； (3)求直线：被圆截得的弦长最小时的方程. 10．（24-25高二上·云南·阶段练习）已知圆和圆. (1)判断和的位置关系； (2)求与的公共弦所在直线的一般式方程以及公共弦的弦长. 11．（25-26高二上·江苏·阶段练习）已知圆O: 圆 (1)求圆O与圆M 的公共弦长： (2)求圆O与圆M的公切线的交点P的坐标，并求公切线方程. 12．（25-26高二上·安徽·阶段练习）已知圆C：与圆：． (1)若圆C与圆有3条公切线，求r的值． (2)若，试求： ①圆C与圆所得的公共弦长； ②经过圆C与圆的交点且过坐标原点O的圆M的方程． 考点三 以圆为背景的面积问题 1．（25-26高二上·江苏·阶段练习）已知圆的圆心在直线上，且过点，. (1)求圆的方程； (2)已知点是圆上的任意一点，求面积的最大值. 2．（25-26高二上·江苏盐城·阶段练习）若圆与圆关于直线对称． (1)求圆的方程； (2)求圆与圆公切线的长度； (3)过直线上一点作圆的切线，，切点为，，求当四边形面积最小时，的坐标． 3．（25-26高二上·江苏常州·阶段练习）已知在平面直角坐标系中，，．点满足，设点所构成的曲线为． (1)求点的轨迹方程； (2)若，求点的轨迹的方程； (3)过A作两条互相垂直的直线，与点的轨迹分别交于和四点，求四边形面积的最大值． 4．（25-26高二上·重庆·阶段练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点，圆与x轴的正半轴的交点是Q，过点P的直线l与圆O交于不同的两点A，B (1)若直线l与y轴交于D，且，求直线l的方程； (2)设直线QA，QB的斜率分别是，，证明：为定值； (3)设AB的中点为M，点，若，求的面积. 5．（25-26高二上·江西·阶段练习）过点的直线与圆交于A，B两点，分别在A，B处作圆O的切线，这两条切线相交于点N. (1)当时，求的值； (2)当的斜率为时，求的面积； (3)当时，求的外接圆的周长. 6．（25-26高二上·浙江·阶段练习）如图所示，圆：与轴的交点分别为，，过点的直线与圆交于，两点. (1)若弦的长为，求直线的方程 (2)记直线，的斜率分别为，，求的值； (3)设为直线与的交点，，的面积分别为，，求的取值范围. 7．（25-26高二上·广东·阶段练习）已知点，，动点满足，其轨迹为. (1)求动点轨迹的方程； (2)过点的直线交轨迹于，两点， ①若，求直线的方程； ②求面积的最大值. 8．（25-26高二上·江苏连云港·阶段练习）圆，过点作直线， (1)若直线为圆的切线，求直线的方程； (2)若直线与圆交于，两点，当的面积最大时，求直线的方程. 考点四 以圆为背景的定点问题 1．（25-26高二上·重庆·阶段练习）已知圆过点和点，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)已知圆外有一定点，过作圆的切线，切点分别为，两点，求； (3)已知点，过的直线交圆于，两点（不在直线上），直线，分别与直线交于，两点，则以为直径的圆是否过除点以外的定点？若过定点，求出此点的坐标；若不过定点，请说明理由. 2．（25-26高二上·湖南长沙·阶段练习）已知点是圆内一点，直线. (1)若圆的弦AB恰好被点平分，求弦AB所在直线的方程； (2)若过点作圆的两条互相垂直的弦EF，GH.求四边形EGFH的面积的最大值； (3)若是上的动点，过作圆的两条切线，切点分别为C，D．证明：直线CD过定点. 3．（25-26高二上·浙江·阶段练习）已知点，，且点满足直线与直线的斜率乘积为. (1)求点的轨迹方程. (2)若是直线上的动点，为坐标原点， （i）过点作曲线的一条切线，切点为，求的最大值； （ii）连接，，直线与曲线的交点为，直线与曲线的交点为.证明：直线过定点. 4．（24-25高二上·天津·阶段练习）古希腊数学家阿波罗尼斯结合前人的研究成果，写出了《圆锥曲线论》，此书中有许多关于平面轨迹的问题，例如：平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆.后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆.已知平面内有两点和，且该平面内的点Р满足. (1)求点P的轨迹的方程； (2)设点M为直线上的一点.过点作轨迹C的两条切线，切点为Q，R. （i）证明：直线过定点； （ⅱ）求线段长度的最小值. 5．（25-26高二上·吉林长春·阶段练习）已知圆是圆周上位于轴上方两点，两点关于轴对称，直线分别与轴相交于点，圆的切线交轴于点． (1)当点横坐标为2时，求直线的方程； (2)若点横坐标为0，，求； (3)若坐标为，直线是否过定点？ 6．（25-26高二上·河南驻马店·开学考试）已知圆，圆，且. (1)证明：与相切； (2)若与内切，求公切线的方程； (3)若，且，圆与内切于点，且与的面积之积为，若经过点，的直线分别交于点（异于点），交于点（异于点），证明：以为直径的圆过定点. 2 学科网（北京）股份有限公司 $