2.2 直线的方程（十三大题型）训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.2 直线的方程 题型一 直线的方程的概念 1．若表示两条直线，则实数的值为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】由题可得方程左边一定可以表示为两个一次式的乘积，设比较系数可求出. 【详解】若表示两条直线，则其左边一定可以表示为两个一次式的乘积，又因缺少项，则可设， 即， 则，解得. 故选：B. 【点睛】关键点睛：解决本题的关键是判断出方程左边一定可以表示为两个一次式的乘积，可设为. 2．过直线与x轴的交点，且与该直线夹角为的直线的方程是 【答案】或 【解析】求出直线与x轴的交点，由题可得所求直线的倾斜角为或，则可得直线方程. 【详解】直线与x轴的交点为， 且直线的斜率为，故倾斜角为， 则与该直线夹角为的直线的倾斜角为或， 故直线方程为或. 故答案为：或. 3．已知的顶点，AB边上的中线CM所在直线方程为，AC边上的高BH所在直线方程为求： 顶点C的坐标； 直线BC的方程． 【答案】(1)；(2) 【分析】先求直线AC的方程，然后求出C的坐标；设出B的坐标，求出M代入直线方程为，与直线为联立求出B的坐标然后可得直线BC的方程． 【详解】由及AC边上的高BH所在的直线方程 得AC所在直线方程为 又AB边上的中线CM所在直线方程为 由得 设，又是AB的中点，则 由已知得得 又得直线BC的方程为 【点睛】本题考查两条直线的交点，待定系数法求直线方程，是基础题． 题型二 直线的点斜式方程及辨析 4．若三点共线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，求出直线的方程，再利用点在直线上即可判断得解. 【详解】直线的斜率，直线方程为，即， 由点共线，得在直线上，所以. 故选：A 5．将直线绕点逆时针旋转得到的直线的点斜式方程是 . 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据倾斜角与斜率的关系，先确定所求直线的斜率，在用点斜式写出直线方程，化简即可. 【详解】因为直线的斜率为1，所以其倾斜角为. 将直线绕点逆时针旋转，所得直线的倾斜角为， ， 所以所求直线的点斜式方程为. 故答案为：. 6．已知直线过点，且直线的倾斜角比直线的倾斜角小． (1)求直线的方程； (2)若点在直线上，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据直线方程确定斜率，进而得到倾斜角，再求直线的斜率，应用点斜式写出直线方程； （2）根据目标式的几何意义，利用数形结合即可求解. 【详解】（1）由直线的斜率为，所以其倾斜角为， 所以直线的倾斜角为，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为：， （2）由表示与点连线的斜率， 又是直线在部分上的动点，如下图示： 所以，直线的斜率不存在，所以， 所以的取值范围为. 题型三 直线图像的辨析 7．若直线经过第一、二、四象限，则有（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】由一次函数的性质判断 【详解】直线即，经过第一、二、四象限， 则，得， 故选：B 8．已知直线y＝(3－2k)x－6不经过第一象限，则k的取值范围为 . 【答案】[，＋∞) 【分析】先根据一次函数的图象不过第一象限列出关于k的不等式，求出k的取值范围即可． 【详解】直线y＝(3－2k)x－6不经过第一象限，则 故答案为：[，＋∞). 【点睛】本题考查的是直线的图象与系数的关系，熟知直线y=kx+b中，当 时函数的图象在二、三、四象限是解答此题的关键． 9．如图，在平行四边形中，边所在直线方程为，顶点. （1）求边所在直线的方程； （2）求边上的高所在直线的方程. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）由平行四边形的性质可得，再利用点斜式即可求解. （2）根据题意可得，再由点斜式即可求解. 【详解】解：（1）在平行四边形中， 由边所在直线方程为， 可得. 又由顶点的坐标为， 由点斜式方程得直线的方程为， 即. （2）因为， 所以，又由顶点的坐标为， 由点斜式方程得直线的方程为， 即. 题型四 直线两点式方程及辨析 10．过点和的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用直线的两点式方程可得答案. 【详解】由题意可知，直线的两点式方程为，即为. 故选：D. 11．过点，且，的直线的两点式方程为 ． 【答案】 【分析】略. 【详解】略. 故答案为： 12．已知△ABC的顶点坐标是为的中点. (1)求中线的方程； (2)求经过点且与直线平行的直线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出点的坐标，再根据两点式方程即可得解； （2）先求出直线的斜率，再根据点斜式方程即可得解. 【详解】（1）因为，所以， 故的方程是，即； （2）因为直线的斜率， 所以经过点且与直线平行的直线方程为，即. 题型五 直线与坐标轴围成图形的面积 13．已知直线方程为，则该直线与两坐标轴围成的三角形的面积为（    ） A．3 B．6 C．2 D．4 【答案】A 【分析】先求出直线与两坐标轴的交点，再求三角形面积即可. 【详解】令得，则该直线与轴交点； 令得，则该直线与轴交点； 所求三角形的面积. 故选：A. 14．过点的直线分别与轴、轴交于不同的A，B两点，为坐标原点，若存在4条直线使得△AOB的面积均为，则的取值范围是 . 【答案】． 【分析】设直线的方程为，求出坐标，再求得的面积，由关于的方程有四个不等的实根可求得的范围． 【详解】显然直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为， 令得，令得， 则， 由题意关于的方程有四个不同的实数解， ， 所以有两个不等实根且有两个不等实根， ，解得或． 又，所以． 故答案为：． 15．已知两点，直线为线段AB的垂直平分线，求： (1)直线的方程； (2)直线与坐标轴所围成的三角形的面积. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用中点坐标和直线垂直的斜率关系，结合点斜式即可得解. （2）求出直线与坐标轴的交点坐标，进而求出三角形面积. 【详解】（1）点，则线段的中点为 ，直线的斜率， 于是直线的斜率为，其方程为，即. （2）由（1）知，直线交轴于点，交轴于点， 所以直线与坐标轴所围成的三角形的面积. 题型六 直线截距式方程及辨析 16．直线在轴上的截距为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】令求解即可. 【详解】在中令，得， 所以直线在轴上的截距为 故选：B 17．若直线在两坐标轴上的截距相等，则的值为 . 【答案】1或2 【分析】根据给定条件，利用直线在坐标轴上的截距的意义列方程求解. 【详解】依题意，，直线在轴上的截距分别为， 因此，解得或，所以的值为1或2. 故答案为：1或2 18．（1）已知两点，过点的直线l与线段AB有公共点．求直线l的斜率k的取值范围． （2）直线与两坐标轴在第一象限所围成的三角形面积为，两截距之差为，求直线的方程． 【答案】（1）；（2）或. 【分析】（1）首先求出直线的斜率，再结合图形求解即可. （2）首先设出直线方程为：，再分类讨论和，结合面积求解即可. 【详解】（1）两点，点，则直线的斜率分别为： ，，如图所示： 观察图形知，当且仅当或时，直线l与线段AB有公共点， 所以直线l的斜率k的取值范围是.   （2）由题意可设直线方程为：， 若，则，解得：（舍）或，， 直线，即； 若，则，解得：（舍）或，， 直线，即； 综上所述：直线方程为或. 题型七 直线的一般式方程及辨析 19．直线在轴上的截距为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出直线与轴交点的纵坐标即可. 【详解】令，解得，即直线在轴上的截距为， 故选：A. 20．已知 ，，则过不同的两点的直线方程为 ． 【答案】 【分析】根据方程解的性质，结合直线的方程进行求解即可. 【详解】因为，， 所以两点的坐标是方程的解， 因此过点的直线方程为， 故答案为： 21．已知直线的方程为，. (1)若不经过第二象限，求的取值范围； (2)若的斜率存在且不为，在轴上的截距为轴上截距的倍，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，可得直线不经过第二象限；当时，结合函数图象可知斜率为正，且在轴截距小于等于零，从而构造不等式组求得结果； （2）当过坐标原点时，可求得满足题意；当不过坐标原点时，求出直线在轴，轴上的截距，利用在轴上的截距为轴上截距的倍构造方程求得结果. 【详解】（1）当，即时，直线为，不经过第二象限，满足条件， 当，即时，直线可转化为， 则解得， 综上所述，的取值范围为； （2）当过坐标原点时，，解得，符合题意， 因为的斜率存在且不为，所以且， 当不过坐标原点时，即，令，则，令，则， 因为在轴上的截距为轴上截距的倍，所以， 解得，又，所以该方程无解； 综上所述， 题型八 直线的一般式方程与其他形式之间的互化 22．已知直线的方程为，则该直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将直线的一般方程转化为斜截式方程，直接可得该直线的斜率. 【详解】直线的方程为，化为斜截式， 故直线的斜率为. 故选：A. 23．已知关于直线l的对称点为，则直线l的方程为 .（结果用一般式方程表示） 【答案】 【分析】由题意可得直线l为线段的中垂线，求出直线的斜率进而可得l的斜率，由点斜式再化为一般式即可. 【详解】∵已知关于直线l的对称点为， ∴直线l为线段的中垂线． 求得的中点为，即，的斜率为， 故直线l的斜率为，故直线l的方程为，化简可得, ​故答案为:. 24．已知，，的平分线所在的直线的方程为． (1)求的中垂线的一般方程； (2)求直线的一般方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出的中点坐标及，故可得到的中垂线斜率，点斜式求出方程； （2）利用关于的对称点在直线AC上，求出，利用两点式求出直线方程，得到答案. 【详解】（1）的中点坐标为， 又，故的中垂线斜率为4， 故的中垂线方程为，即．    （2）由对称性可知，关于的对称点在直线上， 故，解得，故， 故直线的方程为，即． 题型九 由一般式方程判断直线的平行 25．直线过点，且一个方向向量为，下列直线与平行的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由方向向量求得斜率，得到直线的方程，再比较选项即可求解. 【详解】由直线的方向向量， 可得， 则直线的方程为：， 即， 结合选项可知只有C满足， 故选：C 26．若直线与直线平行，则 . 【答案】 【分析】根据两直线平行公式，列式即可求解. 【详解】根据两直线平行可得：解之得：. 故答案为： 27．已知直线：；：. (1)若，求实数的值； (2)若直线在两个坐标轴上的截距相等，求实数的值. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据直线一般式中平行满足的系数关系，即可列式子求解， （2）分别求解轴上的截距，根据相等列方程求解即可. 【详解】（1）当时，满足，解得， （2）由题意可知，故， 令，则， 令，则， 故，解得或 题型十 由一般式方程判断直线的垂直 28．已知直线，，若，则实数（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】由两直线垂直的关系求解. 【详解】因为，所以. 故选：C 29．若直线和直线垂直，则 ． 【答案】 【分析】利用两直线垂直斜率乘积为计算可得. 【详解】易知直线的斜率为， 直线的斜率为, 由两直线垂直可得，解得. 故答案为： 30．已知直线;直线. (1)若，求实数的值; (2)若，且它们之间的距离为，求直线的斜截式方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由，得到，即可求解； （2）由，求得，再结合两平行线间的距离公式，求得的值即可求解. 【详解】（1）由题意，直线，， 因为，可得，解得. （2）由直线，， 因为，可得，可得， 此时直线， 又由间的距离为， 根据两平行线间的距离公式，可得，解得或. 所以直线的斜截式方程为或. 题型十一 由两条直线平行求方程 31．已知直线过点，且与直线平行，则（    ） A．1 B．2 C．-2 D．-1 【答案】D 【分析】根据平行设出直线方程，将点代入，求出值即可. 【详解】设与直线平行的直线为， 又直线经过点，所以，所以， 所以该直线方程为， 两边都除以得，所以， 所以， 故选：D 32．经过点且与直线平行的直线方程是 . 【答案】 【分析】根据两直线平行可设所求直线方程（），代入点求解即可. 【详解】设所求直线方程（）， 代入得. 所以直线方程为. 故答案为：. 33．已知直线的方程为. (1)若直线与平行，且过点，求直线的方程； (2)若直线与垂直，且l2与两坐标轴围成的三角形面积为4，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）可设的方程为，将点代入，求出即可； （2）可设的方程为，由三角形面积求得即可. 【详解】（1）由直线与平行，可设的方程为， 将点代入，得，即得， 所以直线的方程为. （2）由直线与垂直，可设的方程为， 令，得，令，得， 故三角形面积， 所以，解得， 所以直线的方程是或. 题型十二 题型十一 由两条直线垂直求方程 34．过点且与直线垂直的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据垂直关系，设出直线方程，待定系数法求出结果. 【详解】设与直线垂直的直线方程为，将点代入可得：，解得：, 所以过点且与直线垂直的直线方程是； 故选：B 35．若直线过点且与直线垂直，则的方程为 . 【答案】 【分析】设出与直线垂直的直线系，再将点代入即可. 【详解】因为直线与直线垂直， 所以设直线的方程为， 将点代入得： 所以直线的方程为. 故答案为：. 36．已知直线：. (1)求直线所过的定点A的坐标； (2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围； (3)已知，若点P到直线的距离为d，求d最大时直线的一般式方程. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将直线的方程变为，利用直线的点斜式得到直线恒过的定点； （2）由直线不经过第四象限，结合图像得到的范围； （3）由直线恒过的定点，结合图像可知，当时，d取得最大值，求出此时的直线的斜率，利用两直线垂直，在斜率存在的情况下，斜率之积为，求出直线的斜率，利用直线的点斜式得到直线的方程. 【详解】（1）直线的方程为，则，因此直线恒过定点. （2）如图1，若直线不经过第四象限，则. （3）由（1）知直线恒过定点. 如图2，当时，d取得最大值，此时直线的斜率. 则直线的斜率. 所以直线的方程为，即. 所以直线的一般式方程为. 题型十三 直线过定点问题 37．不论取何值，直线都过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】提取得，从而得到方程组，解出即可. 【详解】，即，则，解得. 则过定点. 故选：C. 38．若直线恒过点，则点的坐标为 【答案】 【分析】根据直线恒过定点可得，解之即可求解. 【详解】由题意知，直线方程为， 即， 则，解得， 所以直线恒过定点. 故答案为： 39．（1）已知，，求线段的垂直平分线所在直线的方程； （2）求证：不论m为何实数，直线都过某一定点，并求出定点坐标． 【答案】（1）；（2）证明见解析， 【分析】（1）由垂直关系确定斜率，再结合中点坐标公式即可求解； （2）法一，通过特殊值确定交点坐标，代入验证即可；法二：由求解即可. 【详解】（1）解：由题可得，则其垂直平分线的斜率为， 线段的中点坐标为，即， 则边上的垂直平分线所在直线的方程为，即． （2）证明：方法一：当，直线方程为； 当时，直线方程为. 两直线的交点为， 将点P的坐标代入原方程，左边右边， 故不论m取何实数，点总在直线上，即直线恒过点 方法二：原方程可化为. 若对任意m都成立，则解得 所以不论m为何实数，所给直线都过定点． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2 直线的方程 题型一 直线的方程的概念 1．若表示两条直线，则实数的值为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 2．过直线与x轴的交点，且与该直线夹角为的直线的方程是 3．已知的顶点，AB边上的中线CM所在直线方程为，AC边上的高BH所在直线方程为求： 顶点C的坐标； 直线BC的方程． 题型二 直线的点斜式方程及辨析 4．若三点共线，则（    ） A． B． C． D． 5．将直线绕点逆时针旋转得到的直线的点斜式方程是 . 6．已知直线过点，且直线的倾斜角比直线的倾斜角小． (1)求直线的方程； (2)若点在直线上，且，求的取值范围． 题型三 直线图像的辨析 7．若直线经过第一、二、四象限，则有（    ） A．， B．， C．， D．， 8．已知直线y＝(3－2k)x－6不经过第一象限，则k的取值范围为 . 9．如图，在平行四边形中，边所在直线方程为，顶点. （1）求边所在直线的方程； （2）求边上的高所在直线的方程. 题型四 直线两点式方程及辨析 10．过点和的直线方程为（    ） A． B． C． D． 11．过点，且，的直线的两点式方程为 ． 12．已知△ABC的顶点坐标是为的中点. (1)求中线的方程； (2)求经过点且与直线平行的直线方程. 题型五 直线与坐标轴围成图形的面积 13．已知直线方程为，则该直线与两坐标轴围成的三角形的面积为（    ） A．3 B．6 C．2 D．4 14．过点的直线分别与轴、轴交于不同的A，B两点，为坐标原点，若存在4条直线使得△AOB的面积均为，则的取值范围是 . 15．已知两点，直线为线段AB的垂直平分线，求： (1)直线的方程； (2)直线与坐标轴所围成的三角形的面积. 题型六 直线截距式方程及辨析 16．直线在轴上的截距为（    ） A．2 B． C． D． 17．若直线在两坐标轴上的截距相等，则的值为 . 18．（1）已知两点，过点的直线l与线段AB有公共点．求直线l的斜率k的取值范围． （2）直线与两坐标轴在第一象限所围成的三角形面积为，两截距之差为，求直线的方程． 题型七 直线的一般式方程及辨析 19．直线在轴上的截距为（    ） A． B． C． D． 20．已知 ，，则过不同的两点的直线方程为 ． 21．已知直线的方程为，. (1)若不经过第二象限，求的取值范围； (2)若的斜率存在且不为，在轴上的截距为轴上截距的倍，求的值. 题型八 直线的一般式方程与其他形式之间的互化 22．已知直线的方程为，则该直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 23．已知关于直线l的对称点为，则直线l的方程为 .（结果用一般式方程表示） 24．已知，，的平分线所在的直线的方程为． (1)求的中垂线的一般方程； (2)求直线的一般方程． 题型九 由一般式方程判断直线的平行 25．直线过点，且一个方向向量为，下列直线与平行的为（    ） A． B． C． D． 26．若直线与直线平行，则 . 27．已知直线：；：. (1)若，求实数的值； (2)若直线在两个坐标轴上的截距相等，求实数的值. 题型十 由一般式方程判断直线的垂直 28．已知直线，，若，则实数（    ） A．2 B． C． D． 29．若直线和直线垂直，则 ． 30．已知直线;直线. (1)若，求实数的值; (2)若，且它们之间的距离为，求直线的斜截式方程. 题型十一 由两条直线平行求方程 31．已知直线过点，且与直线平行，则（    ） A．1 B．2 C．-2 D．-1 32．经过点且与直线平行的直线方程是 . 33．已知直线的方程为. (1)若直线与平行，且过点，求直线的方程； (2)若直线与垂直，且l2与两坐标轴围成的三角形面积为4，求直线的方程． 题型十二 题型十一 由两条直线垂直求方程 34．过点且与直线垂直的直线方程是（    ） A． B． C． D． 35．若直线过点且与直线垂直，则的方程为 . 36．已知直线：. (1)求直线所过的定点A的坐标； (2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围； (3)已知，若点P到直线的距离为d，求d最大时直线的一般式方程. 题型十三 直线过定点问题 37．不论取何值，直线都过定点（    ） A． B． C． D． 38．若直线恒过点，则点的坐标为 39．（1）已知，，求线段的垂直平分线所在直线的方程； （2）求证：不论m为何实数，直线都过某一定点，并求出定点坐标． 1 学科网（北京）股份有限公司 $