精品解析：广东省潮州市2024-2025学年高二下学期期末教学质量检测数学试卷

潮州市2024—2025学年度第二学期期末高二级教学质量检测卷 数学 一、单项选择题（本题共8道小题，每小题只有一个选项正确，每小题5分，共40分） 1. 某运动物体的位移s（单位：米）关于时间t（单位：秒）的函数关系式为，则该物体在秒时的瞬时速度为（ ）米/秒 A 10 B. 8 C. 6 D. 4 2. 设函数定义域为，若曲线在处的切线方程为，则（ ） A. B. C. 6 D. 14 3. 某企业节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据如表所示： x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5 若根据表中数据得出y关于x的线性回归方程为，则（ ） A. 0.25 B. 0.3 C. 0.35 D. 0.4 4. 已知双曲线的离心率为，则其渐近线方程是（ ） A. B. C. D. 5. 从4位男同学、5位女同学中选出3位同学，男女生都要有的选法有（ ） A. 140种 B. 44种 C. 70种 D. 252种 6. 同时拋掷甲、乙两枚质地均匀的骰子，记事件“甲骰子正面向上的点数大于3”，事件“甲、乙骰子正面向上的点数之和为6”，则（ ） A. B. C. D. 7. 下列说法正确的是（ ） A. 根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验（），可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05 B. 若随机变量ξ，η满足，则 C. “事件A，B互斥”是“事件A，B对立”的充分不必要条件 D. 若随机变量X服从两点分布，，则 8. 已知是函数导数，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，每小题有多个选项正确，每小题全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 9. 对于的展开式，下列说法正确的是（ ） A. 展开式共有6项 B. 展开式的各项系数之和为 C. 展开式的第2项是 D. 展开式的各二项式系数之和为32 10. 设函数的导函数为，则（ ） A. B. 是函数的极值点 C. 存在两个零点 D. 在上单调递增 11. 如图，在棱长为2的正方体中，E为线段的中点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 三棱锥的体积为 C. 点B到直线的距离为 D. 平面截正方体的截面的面积为5 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知等差数列中，，则________． 13. 某不透明纸箱中共有6个小球，其中2个白球，4个红球，它们除颜色外均相同.一次性从纸箱中摸出3个小球，记摸出红球个数为，则_______. 14. 已知存在，使得函数与的图象存在相同的切线，且切线的斜率为1，则b的最大值为___. 四、解答题（本大题共5小题，满分77分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知在时有极值0． （1）求常数，的值； （2）求在区间上的最值． 16. 设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，． （1）求的方程； （2）求过点，且与的准线相切的圆的方程． 17. 如图，在四棱锥中，底面菱形，平面，平面平面，E为中点，. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的大小. 18. 已知某种机器的电源电压U（单位：V）服从正态分布．其电压通常有3种状态：①不超过200V；②在200V~240V之间③超过240V．在上述三种状态下，该机器生产的零件为不合格品的概率分别为0.15，0.05，0.2． （1）求该机器生产零件为不合格品的概率； （2）从该机器生产的零件中随机抽取n（）件，记其中恰有2件不合格品的概率为，求取得最大值时n的值． 附：若，取，． 19. 已知函数. （1）若，求的值； （2）已知数列满足，且. （i）证明：数列为等比数列，并求的通项公式； （ii）设的前项积为，为整数，若对任意的正整数都有，求的最小值. 参考数据：，，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 潮州市2024—2025学年度第二学期期末高二级教学质量检测卷 数学 一、单项选择题（本题共8道小题，每小题只有一个选项正确，每小题5分，共40分） 1. 某运动物体的位移s（单位：米）关于时间t（单位：秒）的函数关系式为，则该物体在秒时的瞬时速度为（ ）米/秒 A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由得，利用导数的物理意义，即可计算物体在秒时的瞬时速度. 【详解】由，得，则物体在秒时的瞬时速度米/秒. 故选：B. 2. 设函数的定义域为，若曲线在处的切线方程为，则（ ） A B. C. 6 D. 14 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数的几何意义可求解. 【详解】因为曲线在处的切线方程为， 所以，， 所以． 故选：D. 3. 某企业节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据如表所示： x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5 若根据表中数据得出y关于x的线性回归方程为，则（ ） A. 0.25 B. 0.3 C. 0.35 D. 0.4 【答案】C 【解析】 【分析】由表中数据计算出，，根据线性回归方程过样本中心点即可求解. 【详解】由表中数据，计算得：，， 又线性回归方程过样本中心点，所以，解得. 故选：C. 4. 已知双曲线的离心率为，则其渐近线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用双曲线的性质结合给定条件求解即可. 【详解】因为双曲线的离心率为， 所以，故，即，， 解得，故，即渐近线方程是，故D正确. 故选：D 5. 从4位男同学、5位女同学中选出3位同学，男女生都要有的选法有（ ） A. 140种 B. 44种 C. 70种 D. 252种 【答案】C 【解析】 【分析】根据组合数的计算，结合间接法求解即可. 【详解】利用间接法可得男女生都要有的选法种数为. 故选：C. 6. 同时拋掷甲、乙两枚质地均匀的骰子，记事件“甲骰子正面向上的点数大于3”，事件“甲、乙骰子正面向上的点数之和为6”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用列举法列出所有可能结合，再由条件概率公式计算可得. 【详解】用表示甲骰子向上的点数，表示乙骰子向上的点数，则两枚骰子的情况用数对表示， 则所有可能情况有，，，，，，，， ，，，，，，，，，， ，，，，，，，，，， ，，，，，，，，共个结果. 其中包含共个基本事件， 包含共个基本事件， 所以，，所以. 故选：C 7. 下列说法正确的是（ ） A. 根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验（），可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05 B. 若随机变量ξ，η满足，则 C. “事件A，B互斥”是“事件A，B对立”的充分不必要条件 D. 若随机变量X服从两点分布，，则 【答案】A 【解析】 【分析】由卡方独立性检验可判断A；故方差的性质可判断B；利用充分与必要条件的定义可判断C；设，可昨，可判断D. 【详解】A选项，，故可判断X与Y有关联， 此推断犯错误的概率不大于0.05，故A正确． B选项，若随机变量ξ，η满足，则，故B错误； C选项，事件A，B互斥不能推出事件A，B对立，但事件A，B对立，则一定有事件A，B互斥， 故“事件A，B互斥”是“事件A，B对立”的必要不充分条件，故C错误； D选项，随机变量X服从两点分布，设，由 得：，显然不是方程的解，故D错误． 故选：A. 8. 已知是函数的导数，且，则不等式的解集为（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】不等式可化为，故考虑构造函数，结合条件判断其单调性，利用单调性解不等式可得结论. 【详解】不等式可化为， 设，则原不等式可化为， 对函数求导，得， 因为，所以， 所以函数是实数集上的增函数， 所以． 故不等式的解集为. 故选：B. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，每小题有多个选项正确，每小题全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 9. 对于的展开式，下列说法正确的是（ ） A. 展开式共有6项 B. 展开式的各项系数之和为 C. 展开式的第2项是 D. 展开式的各二项式系数之和为32 【答案】ABD 【解析】 【分析】由即可判断选项A；令，即可判断选项B；展开式中的第2项是，即可判断选项C；展开式的二项式系数和为，即可判断选项D. 【详解】由可知的展开式共有6项，故选项A正确； 令，则，故选项B正确； 展开式中的第2项是，故选项C错误； 展开式的二项式系数和为，故选项D正确. 故选：ABD. 10. 设函数的导函数为，则（ ） A. B. 是函数的极值点 C. 存在两个零点 D. 在上单调递增 【答案】AD 【解析】 【分析】对函数求导得，由即可判断选项B，D；将代入即可判断选项A；令，得，由一元二次方程根的判别式可知恒成立，则只有一个零点，即可判断选项C. 【详解】因为，所以， 所以函数在R上单调递增，所以函数不存在极值点，故选项B错误，选项D正确； 将代入得，故选项A正确； 令，得， 在中，，所以恒成立， 则只有一个零点，即，故选项C错误. 故选：AD. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，E为线段的中点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 三棱锥的体积为 C. 点B到直线的距离为 D. 平面截正方体的截面的面积为5 【答案】ABC 【解析】 【分析】以为坐标原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，根据向量的减法的坐标运算即可判断选项A；根据等体积法即可判断选项B；根据点线距的向量求法即可判断选项C；记的中点为F，连接，，则平行四边形为平面截正方体的截面，求出菱形的面积即可判断选项D. 【详解】依题意，以为坐标原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系如图所示， 则，，，，，，， ∴，，， ∴，故选项A正确； ∵三棱锥的体积，故选项B正确； ∵，，∴， ∴点B到直线的距离为，故选项C正确； 记的中点为F，连接，，则，∴，， ∴，∴，，∴A，E，，F四点共面， 即平行四边形为平面截正方体的截面. 由勾股定理易得，∴平行四边形是菱形. 又，∴，， ∴，故选项D错误. 故选：ABC. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知等差数列中，，则________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据题意与等差数列的性质即可求解. 【详解】在等差数列中，. 又∵，∴. 故答案为：6. 13. 某不透明纸箱中共有6个小球，其中2个白球，4个红球，它们除颜色外均相同.一次性从纸箱中摸出3个小球，记摸出红球个数为，则_______. 【答案】##0.6 【解析】 【分析】根据给定条件，可得服从超几何分布，再利用超几何分布的概率公式即可求解. 【详解】依题意得，摸出红球个数服从超几何分布，所以. 故答案为：. 14. 已知存在，使得函数与的图象存在相同的切线，且切线的斜率为1，则b的最大值为___. 【答案】-3 【解析】 【分析】分别求出两函数的导函数，由切线斜率为1求得切点坐标，写出曲线在切点处的切线方程，把的切点代入，可得b与a的关系式，再由导数求最值即可 【详解】解: 令，得，切点为， 令，得，切点为. 切线方程为代入，可得则 令，则,当时，，当时， ∴h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减， ∴即b的最大值为-3. 故答案为：-3. 四、解答题（本大题共5小题，满分77分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知在时有极值0． （1）求常数，的值； （2）求在区间上的最值． 【答案】（1），； （2）最小值为0，最大值为4 【解析】 【分析】（1）根据题意列方程求解可得； （2）根据导数讨论单调性，然后可得最值. 【小问1详解】 ， 由题知：, 解得或． 因为，故舍去； 当时，， 当时，，当时，，当时，， 所以处有极小值， 所以，，符合题意. 【小问2详解】 由（1）可知，函数在和上单调递增，在上单调递减． 函数在取得极大值，在取极小值； 因为， 所以，，，， 所以最小值为0，最大值为4 16. 设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，． （1）求的方程； （2）求过点，且与的准线相切的圆的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）依题意可得直线的方程为，联立直线与抛物线方程，求出，利用焦点弦公式求出，即可得解； （2）首先求出的中点坐标为，从而求出的垂直平分线的方程，设所求圆的圆心坐标为，则，求出、，即可求出圆的方程. 小问1详解】 抛物线的焦点为，直线的方程为． 设，，由得， 则，故． 所以． 由题设知，解得（舍去）或， 因此的方程为． 【小问2详解】 由（1）得，则的中点坐标为， 所以的垂直平分线的方程为，即． 设所求圆的圆心坐标为，则圆的半径为， 则，解得或， 因此所求圆的方程为或． 17. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，平面平面，E为中点，. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的大小. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由及E是的中点，可得.根据面面垂直的性质定理可得，平面.结合线面垂直的性质得，.利用线面垂直的判定定理即可证明； （2）由平面，可知平面，进而，.由平面，可得，.故以D为坐标原点，，，分别为，，轴空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的向量求法即可求解. 【小问1详解】 （1）∵，E是的中点，∴. ∵平面平面，平面平面，平面，，∴平面. ∵平面，∴. ∵平面，平面，∴. 又，，平面，∴平面. 【小问2详解】 ∵平面，，∴平面. ∵，平面，∴，. ∵平面，，平面，∴，. 故以D为坐标原点，，，分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，， ∴，，. 设平面的法向量为， 则，即. 令，则，故平面的一个法向量为. 设直线与平面所成角为， 则. ∵，∴， 即直线与平面所成角的大小为. 18. 已知某种机器的电源电压U（单位：V）服从正态分布．其电压通常有3种状态：①不超过200V；②在200V~240V之间③超过240V．在上述三种状态下，该机器生产的零件为不合格品的概率分别为0.15，0.05，0.2． （1）求该机器生产的零件为不合格品的概率； （2）从该机器生产的零件中随机抽取n（）件，记其中恰有2件不合格品的概率为，求取得最大值时n的值． 附：若，取，． 【答案】（1）0.09； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据题意，由正态分布的概率公式代入计算，再由全概率公式，即可得到结果； （2）根据题意，由二项分布的概率公式代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 记电压“不超过200V”、“在200V~240V之间”、“超过240V”分别为事件A，B，C，“该机器生产的零件为不合格品”为事件D． 因为，所以， ， ． 所以 ， 所以该机器生产的零件为不合格品的概率为0.09． 【小问2详解】 从该机器生产的零件中随机抽取n件，设不合格品件数为X，则， 所以． 由，解得． 所以当时，； 当时，；所以最大． 因此当时，最大． 19. 已知函数. （1）若，求的值； （2）已知数列满足，且. （i）证明：数列为等比数列，并求的通项公式； （ii）设的前项积为，为整数，若对任意的正整数都有，求的最小值. 参考数据：，，. 【答案】（1） （2）（i）证明见解析，；（ii）2 【解析】 【分析】（1）依题意可得，当时可知单调递增，不符合题意，当时，利用导数说明函数的单调性，即可求出参数的值； （2）（i）将两边取倒数，即可得到，结合等比数列的定义及通项公式计算可得；（ii）首先可得，则问题转化为，由（1）可得，当且仅当等号成立，即可得到，再利用放缩法及等比数列求和公式计算可得. 【小问1详解】 函数的定义域为， 由题意可得. 若，则单调递增，当时，，不符合题意； 若，则，令，解得， 故当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 此时为最小值， 若，则有，不满足题意， 若，则，故. 【小问2详解】 （i）因为， 所以，即， 又，故是以首项为，公比为的等比数列， 故，得， 经检验时同样成立，故. （ii）由，且，可得， 则即， 而， 又， 由（1）可得，则，当且仅当等号成立， 故， 故 ， 故 ，所以，则，故最小值为. 【点睛】关键点点睛：本题第三问关键是由（1）可得，当且仅当等号成立，从而得到，再就是利用放缩法得到. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$