精品解析：广东省潮州市2024-2025学年高二下学期期末教学质量检测数学试卷

潮州市2024—2025学年度第二学期期末高二级教学质量检测卷 数学 一、单项选择题（本题共8道小题，每小题只有一个选项正确，每小题5分，共40分） 1. 某运动物体的位移s（单位：米）关于时间t（单位：秒）的函数关系式为，则该物体在秒时的瞬时速度为（ ）米/秒 A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由得，利用导数的物理意义，即可计算物体在秒时的瞬时速度. 【详解】由，得，则物体在秒时的瞬时速度米/秒. 故选：B. 2. 设函数的定义域为，若曲线在处的切线方程为，则（ ） A. B. C. 6 D. 14 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数的几何意义可求解. 【详解】因为曲线在处的切线方程为， 所以，， 所以． 故选：D. 3. 某企业节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据如表所示： x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5 若根据表中数据得出y关于x的线性回归方程为，则（ ） A. 0.25 B. 0.3 C. 0.35 D. 0.4 【答案】C 【解析】 【分析】由表中数据计算出，，根据线性回归方程过样本中心点即可求解. 【详解】由表中数据，计算得：，， 又线性回归方程过样本中心点，所以，解得. 故选：C. 4. 已知双曲线的离心率为，则其渐近线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用双曲线的性质结合给定条件求解即可. 【详解】因为双曲线的离心率为， 所以，故，即，， 解得，故，即渐近线方程是，故D正确. 故选：D 5. 从4位男同学、5位女同学中选出3位同学，男女生都要有的选法有（ ） A. 140种 B. 44种 C. 70种 D. 252种 【答案】C 【解析】 【分析】根据组合数的计算，结合间接法求解即可. 【详解】利用间接法可得男女生都要有的选法种数为. 故选：C. 6. 同时拋掷甲、乙两枚质地均匀的骰子，记事件“甲骰子正面向上的点数大于3”，事件“甲、乙骰子正面向上的点数之和为6”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用列举法列出所有可能结合，再由条件概率公式计算可得. 【详解】用表示甲骰子向上的点数，表示乙骰子向上的点数，则两枚骰子的情况用数对表示， 则所有可能情况有，，，，，，，， ，，，，，，，，，， ，，，，，，，，，， ，，，，，，，，共个结果. 其中包含共个基本事件， 包含共个基本事件， 所以，，所以. 故选：C 7. 下列说法正确的是（ ） A. 根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验（），可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05 B. 若随机变量ξ，η满足，则 C. “事件A，B互斥”是“事件A，B对立”的充分不必要条件 D. 若随机变量X服从两点分布，，则 【答案】A 【解析】 【分析】由卡方的独立性检验可判断A；故方差的性质可判断B；利用充分与必要条件的定义可判断C；设，可昨，可判断D. 【详解】A选项，，故可判断X与Y有关联， 此推断犯错误的概率不大于0.05，故A正确． B选项，若随机变量ξ，η满足，则，故B错误； C选项，事件A，B互斥不能推出事件A，B对立，但事件A，B对立，则一定有事件A，B互斥， 故“事件A，B互斥”是“事件A，B对立”的必要不充分条件，故C错误； D选项，随机变量X服从两点分布，设，由 得：，显然不是方程的解，故D错误． 故选：A. 8. 已知是函数的导数，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】不等式可化为，故考虑构造函数，结合条件判断其单调性，利用单调性解不等式可得结论. 【详解】不等式可化为， 设，则原不等式可化为， 对函数求导，得， 因为，所以， 所以函数是实数集上的增函数， 所以． 故不等式的解集为. 故选：B. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，每小题有多个选项正确，每小题全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 9. 对于的展开式，下列说法正确的是（ ） A. 展开式共有6项 B. 展开式的各项系数之和为 C. 展开式的第2项是 D. 展开式的各二项式系数之和为32 【答案】ABD 【解析】 【分析】由即可判断选项A；令，即可判断选项B；展开式中的第2项是，即可判断选项C；展开式的二项式系数和为，即可判断选项D. 【详解】由可知的展开式共有6项，故选项A正确； 令，则，故选项B正确； 展开式中的第2项是，故选项C错误； 展开式的二项式系数和为，故选项D正确. 故选：ABD. 10. 设函数的导函数为，则（ ） A. B. 是函数的极值点 C. 存在两个零点 D. 在上单调递增 【答案】AD 【解析】 【分析】对函数求导得，由即可判断选项B，D；将代入即可判断选项A；令，得，由一元二次方程根的判别式可知恒成立，则只有一个零点，即可判断选项C. 【详解】因为，所以， 所以函数在R上单调递增，所以函数不存在极值点，故选项B错误，选项D正确； 将代入得，故选项A正确； 令，得， 在中，，所以恒成立， 则只有一个零点，即，故选项C错误. 故选：AD. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，E为线段的中点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 三棱锥的体积为 C. 点B到直线的距离为 D. 平面截正方体的截面的面积为5 【答案】ABC 【解析】 【分析】以为坐标原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，根据向量的减法的坐标运算即可判断选项A；根据等体积法即可判断选项B；根据点线距的向量求法即可判断选项C；记的中点为F，连接，，则平行四边形为平面截正方体的截面，求出菱形的面积即可判断选项D. 【详解】依题意，以为坐标原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系如图所示， 则，，，，，，， ∴，，， ∴，故选项A正确； ∵三棱锥的体积，故选项B正确； ∵，，∴， ∴点B到直线的距离为，故选项C正确； 记的中点为F，连接，，则，∴，， ∴，∴，，∴A，E，，F四点共面， 即平行四边形为平面截正方体的截面. 由勾股定理易得，∴平行四边形是菱形. 又，∴，， ∴，故选项D错误. 故选：ABC. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知等差数列中，，则________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据题意与等差数列的性质即可求解. 【详解】在等差数列中，. 又∵，∴. 故答案为：6. 13. 某不透明纸箱中共有6个小球，其中2个白球，4个红球，它们除颜色外均相同.一次性从纸箱中摸出3个小球，记摸出红球个数为，则_______. 【答案】##0.6 【解析】 【分析】根据给定条件，可得服从超几何分布，再利用超几何分布的概率公式即可求解. 【详解】依题意得，摸出红球个数服从超几何分布，所以. 故答案为：. 14. 已知存在，使得函数与的图象存在相同的切线，且切线的斜率为1，则b的最大值为___. 【答案】-3 【解析】 【分析】分别求出两函数的导函数，由切线斜率为1求得切点坐标，写出曲线在切点处的切线方程，把的切点代入，可得b与a的关系式，再由导数求最值即可 【详解】解: 令，得，切点为， 令，得，切点为. 切线方程为代入，可得则 令，则,当时，，当时， ∴h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减， ∴即b的最大值为-3. 故答案为：-3. 四、解答题（本大题共5小题，满分77分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知在时有极值0． （1）求常数，的值； （2）求在区间上的最值． 【答案】（1），； （2）最小值为0，最大值为4 【解析】 【分析】（1）根据题意列方程求解可得； （2）根据导数讨论单调性，然后可得最值. 【小问1详解】 ， 由题知：, 解得或． 因为，故舍去； 当时，， 当时，，当时，，当时，， 所以在处有极小值， 所以，，符合题意. 【小问2详解】 由（1）可知，函数在和上单调递增，在上单调递减． 函数在取得极大值，在取极小值； 因为， 所以，，，， 所以最小值为0，最大值为4 16. 设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，． （1）求的方程； （2）求过点，且与的准线相切的圆的方程． 【答案】（1）；（2）或． 【解析】 【分析】（1）方法一：根据抛物线定义得，再联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理代入求出斜率，即得直线的方程； （2）方法一：先求AB中垂线方程，即得圆心坐标关系，再根据圆心到准线距离等于半径得等量关系，解方程组可得圆心坐标以及半径，最后写出圆的标准方程. 【详解】（1）［方法一］：【通性通法】焦点弦的弦长公式的应用 由题意得，设直线l的方程为． 设，由得． ，故． 所以． 由题设知，解得（舍去）或．因此l的方程为． ［方法二］：弦长公式的应用 由题意得，设直线l的方程为． 设，则由得． ，由，解得（舍去）或．因此直线l的方程为． ［方法三］：【最优解】焦点弦的弦长公式的应用 设直线l的倾斜角为，则焦点弦，解得，即．因为斜率，所以． 而抛物线焦点为，故直线l的方程为． ［方法四］：直线参数方程中的弦长公式应用 由题意知，可设直线l的参数方程为（t为参数）． 代入整理得． 设两根为，则． 由，解得． 因为，所以，因此直线l的参数方程为 故直线l的普通方程为． ［方法五］：【最优解】极坐标方程的应用 以点F为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，此时抛物线的极坐标方程为． 设，由题意得，解得，即． 所以直线l的方程为． （2）［方法一］：【最优解】利用圆的几何性质求方程 由（1）得AB的中点坐标为，所以AB的垂直平分线方程为 ，即． 设所求圆的圆心坐标为，则 解得或， 因此所求圆的方程为或． ［方法二］：硬算求解 由题意可知，抛物线C的准线为，所求圆与准线相切． 设圆心为，则所求圆的半径为． 由得． 所以， 解得或， 所以，所求圆的方程为或． 【整体点评】（1）方法一：根据弦过焦点，选择焦点弦长公式运算，属于通性通法； 方法二：直接根据一般的弦长公式硬算，是解决弦长问题的一般解法； 方法三：根据弦过焦点，选择含直线倾斜角的焦点弦长公式，计算简单，属于最优解； 方法四：根据直线参数方程中的弦长公式，利用参数的几何意义运算； 方法五：根据抛物线的极坐标方程，利用极径的意义求解，计算简单，也是该题的最优解． （2）方法一：根据圆的几何性质确定圆心位置，再根据直线与圆的位置关系算出，是求圆的方程的最优解； 方法二：直接根据圆经过两点，硬算，思想简单，运算相对复杂． 17. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，平面平面，E为中点，. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的大小. 【答案】（1） ∵，E是的中点，∴. ∵平面平面，平面平面，平面，， ∴平面. ∵平面，∴. ∵平面，平面，∴. 又，，平面，∴平面. （2） 【解析】 【分析】（1）由及E是的中点，可得.根据面面垂直的性质定理可得，平面.结合线面垂直的性质得，.利用线面垂直的判定定理即可证明； （2）由平面，可知平面，进而，.由平面，可得，.故以D为坐标原点，，，分别为，，轴空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的向量求法即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵平面，，∴平面. ∵，平面，∴，. ∵平面，，平面，∴，. 故以D为坐标原点，，，分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，， ∴，，. 设平面的法向量为， 则，即. 令，则，故平面的一个法向量为. 设直线与平面所成角为， 则. ∵，∴， 即直线与平面所成角的大小为. 18. 已知某种机器的电源电压U（单位：V）服从正态分布．其电压通常有3种状态：①不超过200V；②在200V~240V之间③超过240V．在上述三种状态下，该机器生产的零件为不合格品的概率分别为0.15，0.05，0.2． （1）求该机器生产的零件为不合格品的概率； （2）从该机器生产的零件中随机抽取n（）件，记其中恰有2件不合格品的概率为，求取得最大值时n的值． 附：若，取，． 【答案】（1）0.09； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据题意，由正态分布的概率公式代入计算，再由全概率公式，即可得到结果； （2）根据题意，由二项分布的概率公式代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 记电压“不超过200V”、“在200V~240V之间”、“超过240V”分别为事件A，B，C，“该机器生产的零件为不合格品”为事件D． 因为，所以， ， ． 所以 ， 所以该机器生产的零件为不合格品的概率为0.09． 【小问2详解】 从该机器生产的零件中随机抽取n件，设不合格品件数为X，则， 所以． 由，解得． 所以当时，； 当时，；所以最大． 因此当时，最大． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 潮州市2024—2025学年度第二学期期末高二级教学质量检测卷 数学 一、单项选择题（本题共8道小题，每小题只有一个选项正确，每小题5分，共40分） 1. 某运动物体的位移s（单位：米）关于时间t（单位：秒）的函数关系式为，则该物体在秒时的瞬时速度为（ ）米/秒 A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 2. 设函数的定义域为，若曲线在处的切线方程为，则（ ） A. B. C. 6 D. 14 3. 某企业节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据如表所示： x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5 若根据表中数据得出y关于x的线性回归方程为，则（ ） A. 0.25 B. 0.3 C. 0.35 D. 0.4 4. 已知双曲线的离心率为，则其渐近线方程是（ ） A. B. C. D. 5. 从4位男同学、5位女同学中选出3位同学，男女生都要有的选法有（ ） A. 140种 B. 44种 C. 70种 D. 252种 6. 同时拋掷甲、乙两枚质地均匀的骰子，记事件“甲骰子正面向上的点数大于3”，事件“甲、乙骰子正面向上的点数之和为6”，则（ ） A. B. C. D. 7. 下列说法正确的是（ ） A. 根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验（），可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05 B. 若随机变量ξ，η满足，则 C. “事件A，B互斥”是“事件A，B对立”的充分不必要条件 D. 若随机变量X服从两点分布，，则 8. 已知是函数的导数，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，每小题有多个选项正确，每小题全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 9. 对于的展开式，下列说法正确的是（ ） A. 展开式共有6项 B. 展开式的各项系数之和为 C. 展开式的第2项是 D. 展开式的各二项式系数之和为32 10. 设函数的导函数为，则（ ） A. B. 是函数的极值点 C. 存在两个零点 D. 在上单调递增 11. 如图，在棱长为2的正方体中，E为线段的中点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 三棱锥的体积为 C. 点B到直线的距离为 D. 平面截正方体的截面的面积为5 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知等差数列中，，则________． 13. 某不透明纸箱中共有6个小球，其中2个白球，4个红球，它们除颜色外均相同.一次性从纸箱中摸出3个小球，记摸出红球个数为，则_______. 14. 已知存在，使得函数与的图象存在相同的切线，且切线的斜率为1，则b的最大值为___. 四、解答题（本大题共5小题，满分77分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知在时有极值0． （1）求常数，的值； （2）求在区间上的最值． 16. 设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，． （1）求的方程； （2）求过点，且与的准线相切的圆的方程． 17. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，平面平面，E为中点，. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的大小. 18. 已知某种机器的电源电压U（单位：V）服从正态分布．其电压通常有3种状态：①不超过200V；②在200V~240V之间③超过240V．在上述三种状态下，该机器生产的零件为不合格品的概率分别为0.15，0.05，0.2． （1）求该机器生产的零件为不合格品的概率； （2）从该机器生产的零件中随机抽取n（）件，记其中恰有2件不合格品的概率为，求取得最大值时n的值． 附：若，取，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $