广东梅州市兴宁市齐昌中学等2025-2026学年高二下学期7月期末数学试题

2025—2026学年第二学期高二期末试题（数学） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1.已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2.“兴宁鸽”是兴宁市标志性特色农产品，有近400年养殖史，获“全国名特优新农产品”“国家地理标志”等认证，亮相广州塔、大湾区推广，是兴宁乡村振兴支柱产业．肉鸽在0～25日龄快速生长期内，体重W（单位：g）与日龄t（单位：天）的函数关系为，则鸽子在日龄时的瞬时生长率为（ ） A.16g/天 B.18g/天 C.20g/天 D.22g/天 3.某风景区有5个出入口，如果甲同学从其中的任意一个门进入景区，并要求从其它的门出去，那么共有多少种不同的进出景区的方式？（ ） A.5 B.10 C.20 D.30 4. 下列函数中是偶函数且最小正周期为的是（ ） A. B. C. D. 5.梅州市被评为“中国金柚之乡”，梅州金柚为国家地理标志产品．设梅州金柚（把梅州金柚近似看成球体）的直径（单位：cm）服从正态分布，若直径在内为优质果，则在随机抽取的10000个梅州金柚中，优质果的个数约为（ ） 附：若，则， ， A.6827 B.9545 C.9973 D.3173 6.已知角的始边为x轴的非负半轴，终边过点，则（ ） A. B. C. D. 7. 某学习小组6名学生在一次数学测验中的得分（单位：分）如下85，88，90，95，108，112．这6人成绩的第60百分位数是n．若在该小组随机选取两名学生，则得分都比n低的概率为（ ） A. B. C. D. 8.如图，过原点斜率为k的直线与曲线交于两点，， ①k的取值范围是． ②． ③当时，先减后增且恒为负． 以上结论中所有正确结论的序号是（ ） A.① B.①② C.②③ D.①②③ 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.下列命题中，正确的是（ ） A.有一组数据6，8，5，6，7，10，则这组数据的中位数为5.5 B.已知随机变量X服从二项分布，若，则 C.若，则 D.对具有线性相关关系的变量x，y，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则数m的值是 10.函数，的图象与直线a为常数）的交点可能有（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 11.已知函数，则下列说法正确的是（ ） A.若，则 B.有三个零点 C.若在上单调递增，则a的范围为 D.函数有两个极值点 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12.求函数的图像在点处的切线的方程______． 13.已知，的二项展开式中各项系数和为64，则展开式中项的系数是______． 14.已知集合，集合，现有甲，乙两名同学玩一种游戏，甲、乙两人分别从集合A，B中随机抽取2个不同的元素各构成最大的两位数X和Y，若，则甲获得胜利．甲获得胜利的概率为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（13分）随着科技的进步，人工智能（AI）工具在现实生活中的应用日益广泛，像豆包、DeepSeek等常见的AI工具，已被证明能有效提升人们的工作效率和准确率. 某学校为了解教师使用这类AI工具的熟练度，进行了一次内部统计，统计结果如下表： 能够熟练使用AI工具 不能够熟练使用AI工具 男教师 40 10 女教师 30 20 （1）根据的独立性检验，能否认为性别与使用AI工具的熟练度具有相关关系？ （2）现按熟练度采用分层抽样的方法从该公司的男员工中随机抽取15人，再从这15人中随机抽取2人，记其中不能够熟练使用AI工具的人数为，求的分布列以及数学期望． 附：，其中．， 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16.（15分）已知函数，． （1）若，讨论的单调性； （2）若函数在为增函数，求实数的取值范围． 17.（15分）设常数，，． （1）若是奇函数，求实数k的值． （2）求此函数值域． （3）设，中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，，，求的面积． 18.（17分）已知盒子中共有N个大小相同的球，有红、黄、黑三种颜色，其中黄球有个，随机不放回依次取出一个球，直到将球全部取出． （1）若，，求第二次取出的球是黄球的概率． （2）若，，且红球和黑球的个数比为，求黄球最先被全部取出（取出最后一个黄球时盒子里还有红球和黑球）的概率． （3）记随机变量X为最后一个黄球取出时总共所取出球的个数，是X的数学期望，证明：． 19．（17分）对于定义在R上的连续函数，若存在常数，使得对任意的实数x都成立，则称是阶数为t的回旋函数． （1）试判断函数是否是一个阶数为的回旋函数，并说明理由； （2）若是回旋函数，求实数的值； （3）若回旋函数在上恰有2026个零点，求的值． 答案及解析 一、选择题（每小题5分，共40分） 1.答案：D 解析：，故．，因此． 2.答案：B 解析：瞬时生长率为，代入得（g/天）． 3.答案：C 解析：进景区有5种选择，出景区不能与进的门相同，有4种选择，总方式数为． 4.答案：A 解析： A：，偶函数；周期，符合； B：是奇函数，排除； C：非奇非偶（x为奇函数，为偶函数），排除； D：是奇函数，排除． 5.答案：B 解析：直径，，，到，概率，故优质果个数约为． 6.答案：D 解析：终边过，故，． ． 7.答案：C 解析：6个数据排序为85，88，90,95,108,112，第60百分位数，向上取整为4，故．比n低的数为85，88，90（共3个），随机选2人的总组合数为，均低于n的组合数为，概率为． 8.答案：D 解析： ①：直线与相切时，故交于两点时，正确； ②：设，则，且，故，正确； ③：，，在处取极小值，且，故在先减后增且恒负，正确． 二、选择题（每小题6分，共18分） 9.答案：BD 解析： A：排序后5,6,6,7,8,10，中位数为，错误； B：，，正确； C：，错误； D：样本中心代入回归方程得，正确． 10.答案：ABC 解析：，则．在的值域为，故： 或时，0个交点； 或时，1个交点； 且时，2个交点．综上，交点可能为0、1、2个． 11.答案：AD 解析：，． A：，，正确； B：当或时，仅有2个零点，错误； C：在恒成立，需（推导略），而非，错误； D：恒成立，故有两个极值点，正确． 三、填空题（每小题5分，共15分） 12.答案： 解析：，，切线方程为，即． 13.答案：15 解析：令，得．展开式通项为，令，系数为． 14.答案： 解析：甲的最大两位数：所有2元子集对应21，31,41,32,42,43,（共6种）；乙的最大两位数Y：21,31,32（共3种）．甲获胜（X＞Y）的情况共12种，总情况，概率为． 四、解答题（共77分） （13分）解：（1）列联表如下： 能熟练使用 不能熟练使用 合计 男教师 40 10 50 女教师 30 20 50 合计 70 30 100 计算卡方统计量： 由于4.762＜6.635（的临界值），故不能认为性别与使用AI熟练度有关． 分层抽样抽取15名男教师，其中能熟练使用人，不能熟练使用3人． X的可能取值为0,1,2，分布列为： ，， 期望． 16.（15分） 解：（1）时， ． 当时，，单调递减； 当时，，单调递增． （3），要使在为增函数，需在恒成立，即． 当时，，故． 17.（15分） 解：（1）为奇函数，则对任意x成立： 化简得对所有x成立，故． （2），令，则（开口向下的二次函数）． 当时，最大值在顶点处，为； 当时，最大值在端点处，为．结合端点值，值域为（）或（）． （4）时，，即． 由余弦定理，代入，得： 联立，解得，或，面积（注：因方程无整数解，此处为近似值）． 18.（17分） 解：（1） 第二次取黄球的概率等于黄球占比，即（对称性：每个位置取黄球概率相等）． （2） 黄球最先被全部取出的概率等于黄球数占总球数比例，即（经典结论：多颜色球中，某颜色最先取完的概率为其数量占比）． （3） 证明：表示前个球含个黄球，第k个为黄球． 排列数为： 符合条件排列数 总排列数为，故： 期望： 代入，化简得： 得证． 19.（17分） 解：（1） 是阶数为-1的回旋函数．验证：，故对所有成立． （2）是回旋函数，需存在t使得对所有x成立． 化简得，故（）．对任意，取即可，故为非零实数． （3）（注：原题无法成为回旋函数，若为，则零点满足，．在上恰有2026个零点，即（），故．） 学科网（北京）股份有限公司 $