河南省部分普通高中2025-2026学年高一下学期7月期末联考数学试题

**基本信息** 2026年河南高一期末数学联考卷，通过统计（如志愿者成绩分析）、立体几何（如垂心四面体）等情境，考查统计、解三角形、向量、概率等知识，注重数学眼光、思维与语言的综合运用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|统计（平均数）、解三角形（正弦定理）、复数（实数条件）|第8题圆锥与球滚动，考查空间想象与几何直观| |填空题|3/15|向量模长、直三棱柱外接球、上四分位数|第14题结合数据特征，培养数据意识| |解答题|5/77|复数几何意义、解三角形条件选择、统计（频率分布直方图）、垂心四面体证明与二面角|18题志愿者成绩分析体现现实情境，19题折叠问题发展推理能力|

参照秘密级管理★启用前 参考答案类型：A 2026年7月河南省普通高中高一年级期末联考 数学参考答案 1．D 【详解】由题， 2．B 【分析】先根据正弦定理求出的值，再结合三角形大边对大角的性质，判断出正确选项. 【详解】在中，由正弦定理得，， 所以， 由于，所以，又，所以. 3．A 【详解】由题意得， 若为实数，则，即. 4．A 【分析】利用向量模长的平方等于向量自身的数量积这一性质，将已知模长等式两边平方，代入已知模长数值即可求出的值. 【详解】 将两边平方，得： ， 代入已知，，可得，， 且，代入上式得： ， 整理计算得，即，因此的值为1. 5．D 【分析】设圆台上、下底面半径分别为 ，．由轴截面面积和圆台体积求出 与 ，进而得到 ，再在轴截面内求母线长及线面角的正弦值． 【详解】设圆台上、下底面半径分别为 ，，其中 ，母线长为 ． 圆台的轴截面是上、下底分别为 ，，高为 的等腰梯形． 由轴截面面积为 ，得所以 ． 由圆台的体积公式，得所以 ． 因为 ，所以 ． 于是 由 ，得 ． 在轴截面内，母线、高以及两底面半径之差构成直角三角形， 所以 6．D 【分析】应用概率的基本性质及已知得，结合及对立事件的概率求法求概率. 【详解】由题设， 又，则，整理得， 由，且，可得， 所以. 7．B 【分析】余弦定理结合向量的数量积定义求解即可 【详解】由余弦定理知． 又是锐角三角形，所以且， 得所以， 则，又， 令，因为在单调递增， 又，. 故的取值范围是． 8．A 【分析】画出圆锥轴截面图，由题圆锥底面被小球滚动过的区域为一个圆，由图结合题设可得圆半径，据此可得答案. 【详解】设圆锥母线长为，底面圆半径为，则. 因母线与底面的夹角为，则圆锥轴截面为等边三角形，从而. 如下图作出圆锥轴截面，小球与底面相切于.设底面中心为，连接. 由题可得为有一个角为的直角三角形，又，则， 又由题可得小球可滚动区域为一个圆，则圆半径为， 从而被小球滚动过的区域最大面积为. 9．BD 【详解】对A，因为正八面体每个面都是三角形，所以A错误； 对B，棱柱的侧棱平行且相等，所以B正确； 对C，圆台的母线长都相等，所以C错误； 对D，球面就是半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面，所以D正确. 10．AD 【分析】根据余弦二倍角公式得，进而得，再根据余弦定理求解，判断A；根据面积公式计算判断B；根据正弦定理计算判断C；根据，结合余弦定理得，再代入数据计算判断D. 【详解】已知在中，，，， 由二倍角公式：，代入得： ， 因为，所以. 对于A选项，由余弦定理： ，即，故A选项正确； 对于B选项，三角形面积公式：，故B选项错误； 对于C选项，由正弦定理（为外接圆直径）： ， 故C选项错误； 对于D选项，因为是的中线， 所以， 所以， 由余弦定理得： ，即， 代入数值得：，故D选项正确. 11．BD 【详解】由题意：事件，事件，事件， 由于，所以事件B与C不互斥，A错误； 由于，所以，B正确； 由于，即， 即，所以事件A与C不独立，C错误； 由于，即， 即，所以事件与相互独立，D正确. 12． 【分析】由及平面向量数量积的坐标运算可求出，再利用平面向量数量积的运算性质可求出的值. 【详解】因为，所以，即， 因为，，则，解得， 故. 13． 【分析】利用该直三棱柱的外接球的表面积等于将该直棱柱补充为长方体后长方体外接球的表面积，其体对角线为外接球直径，再由球的表面积公式可得. 【详解】由题意可得， 该直三棱柱的外接球的表面积等于将该直棱柱补充为长方体后长方体外接球的表面积，其体对角线为外接球直径， 设外接球半径为，则， 所以外接球的表面积为. 14．10 【详解】由题意可得：，解得， 将数据按升序排列可得：3，4，6，6，8，10，12， 则，从小到大，选择第6个数据作为上四分位数，即10. 15．(1) (2) 【分析】（1）由是纯虚数，先利用复数的除法进行化简，再利用纯虚数的定义即可求的值； （2）若，的夹角为锐角，则且，的夹角不为0，结合复数的几何意义即可求解m的取值范围. 【详解】（1） 由于是纯虚数，所以. （2）由向量对应的复数是，向量对应的复数是可得 ，， 若，的夹角为锐角，则且，的夹角不为0,那么 解得 ，且， 所以，m的取值范围. 16．(1) (2) 【分析】（1）选①利用正弦定理和三角恒等变换即可求解；选②利用正弦定理和余弦定理即可求解；选③利用正弦定理和余弦定理即可求解； （2）利用三角形的面积公式得，结合余弦定理即可求解. 【详解】（1）选①：由得， 由正弦定理得：． 即， 即， 因为，所以， 又因为C为三角形内角，所以； 选②：由和正弦定理，得， 由余弦定理，得， 又因为C为三角形内角，所以； 选③：由和正弦定理得， 整理得，则由余弦定理，， 又因为C为三角形内角，所以； （2）由，所以， 由余弦定理，，得，即， 则，所以， 故的周长为． 17．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据向量数量积的定义直接求解即可； （2）结合转化法求向量的模，利用向量数量积的定义直接分步求解即可； （3）表示出在方向上的投影向量，然后用转化法表示向量的模，分析最值，求解即可. 【详解】（1）因为，满足，，与的夹角为， 所以. （2）因为， 又， 且， 所以. （3）由题知，在方向上的投影向量为， 所以 ， 所以当时，的最小值为. 18．(1) (2)平均数73，第30百分位数66.25 (3) 【详解】（1）由题可得组距为10，所以， 解得. （2）由小问（1）可得，计算各组的中点及频率， 的中点为55，频率为， 的中点为65，频率为， 的中点为75，频率为， 的中点为85，频率为， 的中点为95，频率为， 则平均数， 累计频率为，累计频率为， 则第30百分位数位于内，设为x，则， 解得. （3）的人数为人，的人数为人， 人数比为，所以中抽取4人设为甲、乙、丙、丁， 中抽取1人设为戊， 从这5人中抽取2人有，，，，，，，，，，一共10种选法， 恰有1人在内有，，，一共4种选法， 则概率为. 19．(1)设点在平面的投影为，连接． 在三角形中，，即翻折后与不垂直， 从而,不重合，由是的垂心得， 因为平面平面，所以， 又因为，平面，所以平面. 因为平面，所以． (2)； (3)时，取得最小值． 【分析】（1）过作平面的投影，再利用线面垂直的性质定理和判定定理即可证明； （2）首先证明两两垂直，再建立合适的空间直角坐标系，求出相关平面法向量，再利用线面角的空间向量求法即可得到答案； （3）求出相关平面的法向量，再求出面面角的表达式，最后利用基本不等式即可求出最值. 【详解】（1）略 （2）同（1）可得， 在平面内，过作交于点， 又因为，平面，所以平面. 又平面，所以， 由及勾股定理得：， 等价为：① 又平面，所以， 由及勾股定理得：② 联立①②得：， 结合题意，解得：． 由余弦定理得：， 则， 则由勾股定理逆定理可得：． 又因为，平面， 所以平面, 因为平面，所以，即两两垂直． 则以为原点，分别为,,轴建立空间直角坐标系， 则, , 设平面的法向量为， 则，即取 设直线与平面夹角大小为， 则. （3）由（2）知， 平面的法向量为． 由得：， 同理得：． 设平面的法向量为， 则，即，可取， 所以，即， 当且仅当即时取等． 综上所述：时，取得最小值． 数学参考答案　第 1 页（共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 秘密★启用前 试题卷类型：A 2026年7月河南省普通高中高一年级期末联考 数学 本试题卷共4页，19小题，满分150分。考试时间120分钟。 注意事项： 1． 答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上。 2． 回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，用0.5毫米的黑色墨水签字笔将答案写在答题卡上。写在本试题卷上无效。 3． 考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．样本数据，，，，的平均数为（     ） A． B． C． D． 2．在中，若，，，则的大小为（    ） A． B． C．或 D．或 3．设复数，．若为实数，则（     ） A． B．2 C． D．4 4．已知向量满足，且满足，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．已知圆台的高为3，轴截面面积为15，体积为19π，则其母线与底面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 6．已知事件与事件相互独立，若，，则（    ） A． B． C． D． 7．已知锐角的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，则的取值范围是（   ） A．（0,9） B．（0,27） C． D． 8．已知圆锥的侧面积为，母线与底面的夹角为．若半径的小球在该圆锥内滚动，则在滚动过程中，圆锥的底面被小球滚动过的区域最大面积为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（    ） A．所有面都是三角形的多面体一定是三棱锥 B．棱柱的侧棱平行且相等 C．圆台的母线长不一定相等 D．半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面为球面 10．在中，，，，则（     ） A． B．的面积为 C．外接圆的直径是 D．若是的中线，则 11．一质地均匀正八面体,八个面分别标有数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，记事件 “得到的点数为奇数”，事件 “得到的点数不大于4”，事件“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是（     ） A．事件B与C互斥 B． C．事件A与C相互独立 D．事件与相互独立 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知向量、满足，，，则_______． 13．在直三棱柱中，，则直三棱柱的外接球表面积为________． 14．一组数据6，4，，8，6，10，12的平均数为7，则该组数据的上四分位数为_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）在复平面内，是原点，向量对应的复数是，向量对应的复数是，. (1)若是纯虚数，求m； (2)若，的夹角为锐角，求m的取值范围. 16．（15分）已知的内角，，的对边分别为，，，从下面三个条件中选取一个解答问题：①；②；③． (1)求角的大小； (2)若，的面积为，求的周长． 17．（15分）已知向量，满足，，与的夹角为． (1)求； (2)若向量，，求的值； (3)若在方向上的投影向量为，求（）的最小值． 18．（17分）2025年8月31日，哈尔滨马拉松赛事成功举行，志愿者服务是赛事有序开展的重要保障，共青团哈尔滨市委员会统筹了志愿者选拔的面试工作，现随机抽取了名候选志愿者的面试成绩，已知名候选志愿者的分数全部介于分到分之间（满分分），工作人员将所有测试分数分成组：，，，，，整理得到如图所示的频率分布直方图． (1)求的值； (2)由频率分布直方图估计这名候选志愿者面试分数的平均数以及第百分位数； (3)此前工作人员已按照分层抽样的方法，从分数在内的候选志愿者中抽取出甲、乙、丙、丁、戊人，查阅他们的答题记录．求从甲、乙、丙、丁、戊人中选出人进行复核面试时，所选出的人中恰有人分数在内的概率． 19．（17分）若四面体任意顶点在对面的投影恰好为该面三角形的垂心，则称该四面体为垂心四面体．如图，中，，，，在上取一点，将沿折叠到某个位置得到，使得三棱锥为垂心四面体． (1)求证：； (2)求与平面的夹角的正弦值； (3)设动点在棱上，动点在棱上，满足，记平面与平面所成锐二面角为，求的最小值及此时的值． 数学试题卷　第 1 页（共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $