精品解析：河南省信阳高级中学新校（贤岭校区）、老校（文化街校区）2025-2026学年高一下学期7月期末数学试题

河南省信阳高级中学新校（贤岭校区）、老校（文化街校区） 2025-2026学年高一期07月期末数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设是不重合的两个平面，的法向量分别为，和是不重合的两条直线，的方向向量分别为，那么的一个充分条件是（ ） A. ，，且， B. ，，且 C. ，，且 D. ，，且 【答案】C 【解析】 【分析】由垂直关系和平行关系的相关定理依次判断各个选项即可得到结果. 【详解】对于A，由线面垂直的性质可知，只要，，都有，，并不能说明，A错误； 对于B，若，，且，则平面平行或者相交，B错误； 对于C，由，，且可得：，则，C正确； 对于D，若，，且，则平面平行或者相交，D错误. 故选：C. 2. 计算1+i+i2+i3+…+i89的值为（ ） A. 1 B. i C. ﹣i D. 1+i 【答案】D 【解析】 【分析】由虚数单位的性质可得i90＝i2，而由等比数列的求和公式可得所求等于1+i+i2+i3+…+i89，代入化简可得答案. 【详解】解：由等比数列的求和公式可得：1+i+i2+i3+…+i89， 而i90＝i88•i2＝i2＝﹣1， 故1+i+i2+i3+…+i891+i， 故选：D. 【点睛】本题考查了等比数列的前n项和，复数的运算，以及的性质，属于容易题. 3. 如图，为水平放置的用斜二测画法画出的直观图，其中，为的中点，为轴上一点，且平行于轴，平行于轴，，则为（ ） A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰非等边三角形 【答案】D 【解析】 【详解】由题意得，故 ；而是中点， 得，，得， 而平行于轴，平行于轴，根据斜二测画法还原图形， 平行于轴，所以轴，且是 中点，所以是等腰三角形， 因为， ，，， 所以，故是等腰非等边三角形. 4. 如图，在空间四边形中，，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】在空间四边形中，，， 则，又， 且不共面，因此， 所以. 5. 设样本数据，，…，的平均数为，标准差为s，若样本数据，，…，的平均数比标准差少3，则的最大值为（ ） A. 1 B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平均数与标准差的性质，结合已知条件可得，然后根据二次函数与指数函数的性质求解最大值． 【详解】样本数据，，…，的平均数为，标准差为， 则样本数据，，…，的平均数为，标准差为， 依题意有，得． 由，知在上单调递增， 当时，取到最小值， 所以， 即当时，取得最大值4． 故选：C． 6. 先后抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次出现的点数记为，第二次出现的点数记为，则下列事件发生的可能性最小的是（ ） A. B. C. D. 方程有实数解 【答案】A 【解析】 【分析】利用古典概型的概率公式求出各选项中事件的概率，即可得出合适的选项. 【详解】样本空间中样本点的个数为个，以表示样本空间中的一个样本点， 对于A选项，记事件“”， 则，所以； 对于B选项，记事件“”， 则，所以； 对于C选项，记事件“”， 则，所以，； 对于D选项，记事件“方程有实数解”，则， 则，所以，. 所以A选项中的事件发生的概率最小. 故选：A. 7. 如图所示的几何体是从棱长为2的正方体中截去到正方体的某个顶点的距离均为2的几何体后的剩余部分，则该几何体的表面积为（ ） A. 24－3π B. 24－π C. 24＋π D. 24＋5π 【答案】B 【解析】 【分析】根据几何体结构特征，利用球、正方体和圆的面积公式可得. 【详解】由题意知，该几何体是从棱长为2的正方体中截去以正方体某个顶点为球心，2为半径的球后的剩余部分， 其表面积等于正方体表面积减去三个半径为2的圆，再加上2为半径的球面， 则. 故选：B 8. 已知面积为S，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，，角A的平分线交于点O，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先应用余弦定理得出，再结合向量的数量关系应用数量积公式得出边长，最后应用角分线定理计算面积. 【详解】因为，所以，所以，所以，所以， 又因为，所以，且， 所以，所以，所以，所以， 在中，，所以，所以，所以， 由角平分线定理得，所以，所以， 所以 . 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 若 为两个随机事件，且，则（ ） A. 当 时， B. 当A和互斥时， C. 当A和独立时， D. 当A和独立时， 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A：根据包含关系结合概率的性质分析判断；对于B：根据互斥事件结合事件的运算分析判断；对于C：根据题意结合独立事件概率乘法公式分析判断；对于D：根据互斥与独立事件概率的计算分析判断. 【详解】对于选项A：因为， 若，则，可得， 即，故A错误； 对于选项B：因为， 则， 若A和互斥，则，即， 所以，故B正确； 对于选项C：因为，则， 若A和独立，则和独立， 所以，故C正确； 对于选项D：若，则， 即，可知A和不独立， 所以A和独立时，，故D正确； 故选：BCD. 10. 若平面向量，满足，则（ ） A. B. 向量与的夹角为 C. 向量在上的投影向量为 D. 若平面向量满足，则的最大值为 【答案】AD 【解析】 【分析】选项A：用模平方公式求目标模长；选项B：用夹角公式推目标夹角；选项C：按投影公式求目标投影向量；选项D：由数量积为零得终点轨迹，结合几何求模长最大值. 【详解】已知，对平方得：， 解得，逐一判断选项： 选项A： ，得，A选项正确； 选项B：设与的夹角为，由夹角公式： ，得，B选项错误； 选项C：在上的投影向量为：，C选项错误； 选项D：说明当始点相同时， 的终点在以终点连线为直径的圆上： 设，得圆心为，半径，原点到圆心的距离为， 因此的最大值为原点到圆心距离加半径：，D选项正确. 11. 已知正方体棱长为2，，分别为边，的中点，且存在点，满足，，，则下列选项中正确的是（ ） A. 若直线平面，点P的轨迹长度为 B. 若，则直线与所成角的取值范围是 C. 若，则平面平面 D. 若，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，由线面平行的性质，线面角，线面垂直的性质以及平面对称的向量求法即可求解. 【详解】依题意，如图以A为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，，，，， 因为，则, 对于A，设平面的法向量为， 因为，，, 所以，故可取 ，由平面可得，即， 即点三条共线，故的轨迹为线段，而，故A正确； 对于B，当时，，所以，， 设与所成角为， 则， 因在上单调递增，故在上单调递增, 故可得,又因在上单调递减，则有,故B错误； 对于C，设平面法向量为， 因为，， 则，故可取， 设平面的法向量为， 当时，，， ，故可取, ，故平面平面，即C正确； 对于D，当时，点在平面内， 关于平面的对称点，连接交平面于点, 连接，则，因， 由图知 则当三点共线且点在之间时，取得最小值为，故D正确. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是关于的实系数方程的一个根，则______. 【答案】 【解析】 【分析】将代入方程，根据复数相等，求得的值，进而求得. 【详解】因为是关于的方程的一个根， 所以， 化简得， 又为实数， 所以. 所以. 13. 如图，，，三点位于同一水平面，位于的北偏西方向，位于的北偏东方向，在的正西方向，且，之间的距离为50米，处正上方建有一栋楼房，处正上方建有一座塔，从处观察塔尖，测得仰角为，从楼房顶处观察塔尖，测得仰角为，则楼房的高度为__________米． 【答案】25 【解析】 【分析】画出图形，通过作辅助线将空间几何问题转化为平面几何问题通过三角函数即可解决. 【详解】由题意知，，，，米，. 则米，米. 过点作，交于点， 则米，，所以米， 所以米， 故楼房的高度为25米. 14. 已知菱形的边长为2，.将沿折起，使得点至点的位置，得到四面体.当二面角的大小为120°时，四面体的体积为___________；当四面体的体积为1时，以为球心，的长为半径的球面被平面所截得的曲线在内部的长为_______________. 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】画出图形，求出四面体的高，从而求出四面体的体积；通过分析得到，，即O，F两点重合，画出图形，得到落在内部的长，从而求出答案. 【详解】 如图1，过点P作PF⊥CO交CO的延长线于点F，则∠POF=60°， 因为菱形的边长为2，， 所以，， 故四面体的体积为； 当四面体的体积为1时，此时， 解得：，，即O，F两点重合， 即PO⊥底面BCD，如图2， 以为球心，的长为半径的球面被平面所截得的曲线为以O为圆心，半径为的圆， 落在内部的长为圆周长的一半的三分之一，所以长度为. 故答案为：， 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知，，与的夹角为. （1）若与共线，求实数的值； （2）求的值； （3）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用向量共线定理得到方程组，解出即可； （2）根据向量数量积的运算律和定义计算即可； （3）根据向量夹角为锐角，则向量数量积大于0，并去掉共线同方向的情况即可. 【小问1详解】 因为与共线， 所以存在实数使得， 所以，解得，所以； 【小问2详解】 因为，，与的夹角为， 所以， 所以， 则； 【小问3详解】 向量与的夹角是锐角， 可得，且与不同向共线， 即为， 即有，解得， 由与共线，可得， 解得，当时，两者同向共线， 则实数的取值范围为. 16. 读书启智，书香润心．坚持课外阅读不仅能积累知识、开阔眼界，更能涵养品格、丰盈内心，青少年应当主动培养每日阅读的良好习惯．为营造书香校园氛围，了解学生日常阅读情况，某校随机抽取100名高一学生，调查他们一周课外阅读时长（单位：小时），根据统计结果作得下面频率分布直方图． （1）求的值，并估计该校高一学生平均每周课外阅读时长（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）用分层抽样的方法，样本按比例分配，从课外阅读时长在的学生中抽取5人，请问课外阅读时长在有多少人； （3）定义“阅读爱好者”为一周课外阅读时长不低于第80百分位数的学生，请估计该校高一学生“阅读爱好者”一周课外阅读时长的最小值． 【答案】（1），平均每周课外阅读时长为小时； （2）人； （3）小时． 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图的性质，列出方程，求得的值，结合频率分布直方图的平均数的计算公式，求得平均每周课外阅读时长； （2）求得课外阅读时长在和的频率分别为和，结合分层抽样的方法，即可求解； （3）根据题意，结合百分位数的计算方法，即可求解. 【小问1详解】 解：由频率分布直方图的性质，可得， 可得， 则平均每周课外阅读时长（小时）. 【小问2详解】 解：由频率分布直方图知，课外阅读时长在的频率为， 其中课外阅读时长在的频率为， 若从课外阅读时长在的学生中抽取5人，则课外阅读时长在有人. 【小问3详解】 解：由频率分布直方图知，前3个矩形的面积和为， 前4个矩形的面积之和为， 设第分位数位于，设第分位数为，则， 所以该校高一学生“阅读爱好者”一周课外阅读时长的最小值为小时. 17. 如图1，在中，，，分别为边，的中点，且，将沿折起到的位置，使，如图2，连接，. （1）求证：平面； （2）若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值； （3）线段上一动点满足，判断是否存在，使平面与平面夹角正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 因为，分别为，的中点，所以. 因为，所以，所以， 又，，，平面， 所以平面 （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）由题意可得，结合已知可得平面； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法可求得直线与平面所成角的正弦值； （3）假设存在，使平面与平面夹角的正弦值为，求得平面的法向量，利用向量法可得，求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，，，所以，，两两垂直. 以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 依题意有，，，，，， 则，，，. 设平面的法向量， 则有， 令，得，，所以是平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 假设存在，使平面与平面夹角的正弦值为， 即使平面与平面夹角的余弦值为. 由（2）得，， 所以，，. 又平面的一个法向量为. 设平面的法向量， ， 解得，令，得， 则是平面的一个法向量. 则有， 即，所以，解得或， 又因为，所以. 故存在，使平面与平面夹角的正弦值为. 18. 甲、乙两支篮球队进入某次决赛，比赛采用“主客场比赛制”，具体赛制如下：若某队两场比赛均获胜或一胜一平，则获得冠军；若某队两场比赛均平局或一胜一负，则通过加时赛决出冠军.现假定甲队在主场获胜的概率为，平局的概率为，其中；甲队在客场获胜和平局的概率均为；加时赛甲队获胜的概率为.不同对阵的结果相互独立，假设甲队先主场后客场. （1）已知. （i）求甲队通过加时赛获得冠军的概率； （ii）求甲队获得冠军的概率. （2）除“主客场比赛制”外，也经常采用在第三方场地的“单场比赛制”：若某队比赛获胜则获得冠军；若为平局，则通过加时赛决出冠军.假定甲队在第三方场地获胜的概率为，平局的概率为，加时赛甲队获胜的概率为.问哪种赛制更有利于甲队夺冠？ 【答案】（1）（i）；（ii） （2）“主客场比赛制”比第三方场地的“单场比赛制”更加有利于甲队夺冠 【解析】 【分析】（1）（i）先分析出事件即甲队通过加时赛获得冠军，包含甲队主胜客负，主负客胜，主平客平三种情况，然后加时赛获胜，得到的表达式，将代入计算即可；（ii）先分析出事件即甲队获得冠军包含甲队加时赛胜，主胜客胜，主胜客平，主平客胜四种情况，得到的表达式，将代入计算即可； （2）先分析出事件即在第三方场地的“单场比赛制”下甲队获胜包含甲队胜，甲队平且加时赛胜两种情况，得到的表达式，分析出的取值范围，借助的取值范围得到，的大小关系即可知哪种赛制更有利于甲队夺冠. 【小问1详解】 （i）设甲队通过加时赛获得冠军为事件， 则事件包含甲队主胜客负，主负客胜，主平客平，然后加时赛获胜， 所以. 因为，所以； （ii）设甲队获得冠军为事件， 则事件包含甲队加时赛胜，主胜客胜，主胜客平，主平客胜， 则. 因为，所以. 【小问2详解】 在第三方场地的“单场比赛制”下，将甲队获胜记为事件， 则事件包含甲队胜，甲队平且加时赛胜， 则， 因为，所以，此时，符合题意， ， 因为，，，所以， 即“主客场比赛制”比第三方场地的“单场比赛制”更加有利于甲队夺冠. 19. 在中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，． （1）求A； （2）若，，D为线段BC内一点，且，求线段AD的长； （3）法国著名科学家柯西在数学领域有非常高的造诣；很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如对于任意的，都有被称为柯西不等式；若，求：的最小值． 【答案】（1）； （2）； （3）48 【解析】 【分析】（1）利用同角三角函数关系和正弦定理边角互化对等式进行化简，再结合余弦定理即可求解. （2）将用表示，再利用数量积的运算律求解. （3）根据柯西不等式的定义直接化简，当且仅当为正三角形时取等号，即可得到最小值． 【小问1详解】 由， 得， 即， 在中，由正弦定理得， 由余弦定理得，而，所以． 【小问2详解】 由，得， 则， 所以； 【小问3详解】 依题意， ． 当且仅当为正三角形时取等号，所以所求的最小值为48． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省信阳高级中学新校（贤岭校区）、老校（文化街校区） 2025-2026学年高一期07月期末数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设是不重合的两个平面，的法向量分别为，和是不重合的两条直线，的方向向量分别为，那么的一个充分条件是（ ） A. ，，且， B. ，，且 C. ，，且 D. ，，且 2. 计算1+i+i2+i3+…+i89的值为（ ） A. 1 B. i C. ﹣i D. 1+i 3. 如图，为水平放置的用斜二测画法画出的直观图，其中，为的中点，为轴上一点，且平行于轴，平行于轴，，则为（ ） A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰非等边三角形 4. 如图，在空间四边形中，，，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 设样本数据，，…，的平均数为，标准差为s，若样本数据，，…，的平均数比标准差少3，则的最大值为（ ） A. 1 B. C. 4 D. 6. 先后抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次出现的点数记为，第二次出现的点数记为，则下列事件发生的可能性最小的是（ ） A. B. C. D. 方程有实数解 7. 如图所示的几何体是从棱长为2的正方体中截去到正方体的某个顶点的距离均为2的几何体后的剩余部分，则该几何体的表面积为（ ） A. 24－3π B. 24－π C. 24＋π D. 24＋5π 8. 已知面积为S，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，，角A的平分线交于点O，则的面积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 若 为两个随机事件，且，则（ ） A. 当 时， B. 当A和互斥时， C. 当A和独立时， D. 当A和独立时， 10. 若平面向量，满足，则（ ） A. B. 向量与的夹角为 C. 向量在上的投影向量为 D. 若平面向量满足，则的最大值为 11. 已知正方体棱长为2，，分别为边，的中点，且存在点，满足，，，则下列选项中正确的是（ ） A. 若直线平面，点P的轨迹长度为 B. 若，则直线与所成角的取值范围是 C. 若，则平面平面 D. 若，则的最小值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是关于的实系数方程的一个根，则______. 13. 如图，，，三点位于同一水平面，位于的北偏西方向，位于的北偏东方向，在的正西方向，且，之间的距离为50米，处正上方建有一栋楼房，处正上方建有一座塔，从处观察塔尖，测得仰角为，从楼房顶处观察塔尖，测得仰角为，则楼房的高度为__________米． 14. 已知菱形的边长为2，.将沿折起，使得点至点的位置，得到四面体.当二面角的大小为120°时，四面体的体积为___________；当四面体的体积为1时，以为球心，的长为半径的球面被平面所截得的曲线在内部的长为_______________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知，，与的夹角为. （1）若与共线，求实数的值； （2）求的值； （3）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 16. 读书启智，书香润心．坚持课外阅读不仅能积累知识、开阔眼界，更能涵养品格、丰盈内心，青少年应当主动培养每日阅读的良好习惯．为营造书香校园氛围，了解学生日常阅读情况，某校随机抽取100名高一学生，调查他们一周课外阅读时长（单位：小时），根据统计结果作得下面频率分布直方图． （1）求的值，并估计该校高一学生平均每周课外阅读时长（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）用分层抽样的方法，样本按比例分配，从课外阅读时长在的学生中抽取5人，请问课外阅读时长在有多少人； （3）定义“阅读爱好者”为一周课外阅读时长不低于第80百分位数的学生，请估计该校高一学生“阅读爱好者”一周课外阅读时长的最小值． 17. 如图1，在中，，，分别为边，的中点，且，将沿折起到的位置，使，如图2，连接，. （1）求证：平面； （2）若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值； （3）线段上一动点满足，判断是否存在，使平面与平面夹角正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 18. 甲、乙两支篮球队进入某次决赛，比赛采用“主客场比赛制”，具体赛制如下：若某队两场比赛均获胜或一胜一平，则获得冠军；若某队两场比赛均平局或一胜一负，则通过加时赛决出冠军.现假定甲队在主场获胜的概率为，平局的概率为，其中；甲队在客场获胜和平局的概率均为；加时赛甲队获胜的概率为.不同对阵的结果相互独立，假设甲队先主场后客场. （1）已知. （i）求甲队通过加时赛获得冠军的概率； （ii）求甲队获得冠军的概率. （2）除“主客场比赛制”外，也经常采用在第三方场地的“单场比赛制”：若某队比赛获胜则获得冠军；若为平局，则通过加时赛决出冠军.假定甲队在第三方场地获胜的概率为，平局的概率为，加时赛甲队获胜的概率为.问哪种赛制更有利于甲队夺冠？ 19. 在中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，． （1）求A； （2）若，，D为线段BC内一点，且，求线段AD的长； （3）法国著名科学家柯西在数学领域有非常高的造诣；很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如对于任意的，都有被称为柯西不等式；若，求：的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $