精品解析：河南周口市项城市第三高级中学2025-2026学年高一下学期期末考试数学试题

项城三高2025-2026学年度下期期末考试 高一数学试卷 （满分150分，考试时间120分钟） 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，所有答案都写在答题卡上. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每个小题所给的选项中，只有一项是符合要求的.） 1. 若复数，则的虚部为（ ） A. 1 B. 4 C. i D. 5 【答案】A 【解析】 【详解】由，所以的虚部为1． 2. 已知，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先计算的坐标，再利用平面向量共线的坐标充要条件列方程求解. 【详解】由，，得. 因为，所以，整理得，解得. 3. 某中学为了弘扬燕赵传统文化，计划从高一年级､高二年级和高三年级中，采用按比例分层随机抽样的方法，抽取容量为的样本组成“非遗文化宣讲团”．已知该校高一年级有学生1200人，高二年级有学生1000人，高三年级有学生800人．若从高一年级抽取了12人，则的值为（ ） A. 24 B. 28 C. 30 D. 36 【答案】C 【解析】 【详解】由题可知，，解得． 4. 已知一组数据：4，6，，10，12，14的平均数为9，则这组数据的第60百分位数为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】根据平均数求得，结合百分位数的定义得到结果． 【详解】由题知，解得， 所以这组数据为，，，，，. 又因为，所以这组数据的第百分位数为第四个数. 5. 某地有四人先后感染了传染性肺炎，其中只有到过疫区，确定是受感染的．对于因为难以判定是受还是受感染的，于是假定他受和感染的概率都是同样也假定受，和感染的概率都是在这种假定下，，，中恰有两人直接受感染的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得出：因为直接受感染的人至少是，而恰有一人是由感染的，由此可计算出概率． 【详解】设直接受感染分别为事件，则事件是相互独立的， ，，，由题意可知，除了外，二人中恰有一人是由感染的， 由于二人中恰有一人是由感染的事件是，并且，， 所以， 所以中恰有两人直接受感染的概率是，故C正确. 6. 设，是两个平面，，是两条直线，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，，则 B. ， C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】C 【解析】 【详解】选项A，若，，则或，错误. 选项B，若，，则或，错误. 选项C，由线面平行的性质定理可知，若直线平行于一个平面，且该直线包含于另一个与已知平面相交的平面内，则这条直线与两平面的交线平行，题设条件完全符合定理要求，故，正确. 选项D：若，，则或，结合，可得与的位置关系可能为平行、相交或，不一定垂直，错误. 7. 已知的内角，，的对边分别为，，，下列结论错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，，，则符合条件的三角形有且仅有1个 C. 若，则 D. 若的面积，则 【答案】C 【解析】 【分析】结合正弦定理、三角形解的个数判定规则、正弦函数的诱导公式、余弦定理与三角形面积公式，逐一验证各选项结论是否成立. 【详解】对于A，因，则 ，又因，由正弦定理可得，故A正确； 对于B，由正弦定理得，又，故，符合条件的三角形仅有1个，故B正确； 对于C，由，且，可得或，即或，并非仅，故C错误； 对于D，因 ，由余弦定理得， 代入题设条件得，即得，又，故，故D正确. 8. 如图，在棱长为的正方体中，P为线段上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（ ） A. 平面 B. 的取值范围是 C. 三棱锥的体积为定值 D. 的最小值为 【答案】D 【解析】 【分析】对于A，易得平面，即为平面，进而由与不垂直，即可判断；对于B，连接，设，，结合余弦定理及勾股定理表示出，进而判断即可；对于C，易得平面，进而结合等体积法求解判断即可；对于D，先得到，，进而得到，进而求解判断即可. 【详解】对于A，由于P为线段上的动点（不含端点）， 则平面，即为平面， 而与不垂直，则与平面不垂直，故A错误； 对于B，连接，设，， 在中，，，， 由余弦定理得， 因为平面，平面，所以， 在中，，，， 则， 在中，由余弦定理可得 ， 当时，，此时为钝角，故B错误； 对于C，在正方体中，， 而P为线段上的动点（不含端点），且平面， 则到平面的距离即为， 所以，故C错误； 对于D，连接， 在正方形中，，则， 因为平面，平面，所以， 所以，随着的增大而增大， 而，即为中点时，取得最小值为， 则的最小值为，故D正确. 二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 某随机试验中，事件与事件互斥，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A，因为与互斥，所以， 即，A正确； 对于B，因为与互斥，所以，即，B错误； 对于C，因为与互斥，所以，因此， 故，C正确； 对于D，因为， 当与互斥时，，因此，D正确． 10. 以，，，，，为棱长的四面体的体积可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】通过合理分配棱长构造不同的四面体，进而计算其可能的体积，从而做出判断. 【详解】①三条长度为1的棱共顶点，三条长度为的棱构成底面等边三角形， 即， 则， 即，即两两相互垂直， 所以； ②三条长度为的棱共顶点，三条长度为1的棱构成底面等边三角形， 即， 作平面，则为平面的中心，连接， 则，， 所以； ③长短棱交叉配对，一组对棱为1，即， 因为，即，所以为等腰直角三角形， 所以. 方法一：以为坐标原点，分别以所在方向为轴正方向建立空间直角坐标 系，则，设，就是到平面的距离. 因为，所以，解得， 所以. 方法二：设在平面的投影为，取的中点，连接， 则，又因为平面，平面，所以， 又平面，，所以平面， 又平面，所以，所以在中垂线上， 在平面内，以为坐标原点，分别以所在方向为轴正方向建立平面直角坐标系， 则， 由得：，解得， 所以，所以，所以. 11. 在△ABC中，若则（ ） A. △ABC为锐角三角形 B. C. D. 若的面积为1，则 【答案】BD 【解析】 【分析】利用三角形内角和的三角诱导公式，把已知化为，将换成展开整理，结合不为零，推出，判定三角形为直角三角形，再依次用三角恒等式、面积公式与勾股定理验算各选项，排除A、C，证得、B、D正确. 【详解】在中，，故， 已知，变形得：. 展开得：. 整理得：. 即. 因为，化简得：. 即，故，，为直角三角形. 选项A：为直角三角形，非锐角三角形，A错误. 选项B：所以，B正确. 选项C：由，得，. ，，，，C错误 选项D：直角三角形中，，面积，故. ，代入，得，.，故，即，D正确. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 如图，圆锥中，母线，底面直径．是中点，是上一动点．一只蚂蚁沿圆锥侧面上的曲线从点爬到点处，则蚂蚁所爬的最短路径长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】通过展开图，计算弧长和圆心角，蚂蚁所爬的最短路径为展开图中直线的距离，通过余弦定理直接计算边长. 【详解】将圆锥展开如图所示，因为底面直径 所以，因为， 所以， 在中，， 由余弦定理得：， 所以. 蚂蚁所爬的最短路径长为. 13. 在中，的面积为___________ 【答案】 【解析】 【详解】由余弦定理，代入得， 整理得，解得（负根舍去）； 故 . 14. 若两个非零向量，满足，则向量与的夹角为__________. 【答案】 【解析】 【详解】 ，可得， 展开得，即 由可得， 展开得， 因为，代入化简得 ， 所以， ， 则， 因为 ，所以. 四、解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知复数（）． （1）若复数在复平面内对应的点在第四象限，求实数的取值范围； （2）若为正实数，是关于x的实系数一元二次方程的一个根，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据对应点所在象限列不等式，由此求得的取值范围. （2）先求得，然后根据虚根成对以及根与系数关系求得，进而求得. 【小问1详解】 若复数在复平面内对应的点在第四象限， 则，解得，即. 【小问2详解】 由于为正实数，所以，解得，所以， 而是方程的一个根， 所以也是方程的一个根， 所以，即， 所以. 16. 某单位组织了“苏超”志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第二、三、四组的频率之和为0.8． （1）求a，b的值； （2）估计这100名候选者面试成绩的众数和平均数（同一组数据用该组区间的中点值作代表）； （3）在第四、五两组志愿者中，采用分层抽样的方法从中抽取5人，然后再从这5人中抽出2人，以确定组长人选，求抽出的2人来自不同组的概率． 【答案】（1）， （2）众数为，平均数为 （3） 【解析】 【分析】（1）由第二、三､四组的频率之和为0.8，所有组频率之和为1，列方程求的值； （2）由频率分布直方图中众数､平均数的定义公式计算； （3）根据分层抽样确定的人数，解决古典概型概率问题. 【小问1详解】 因为第二、三､四组的频率之和为0.8， 所以，解得， 所以第一和第五组的频率之和为，即， 所以. 【小问2详解】 频率分布直方图中，最高矩形的中值点为，即众数为， 平均数为. 【小问3详解】 第四､第五两组志愿者分别有人，人， 采用分层抽样的方法从中抽取5人， 则第四组抽3人，记为，第五组抽2人，记为， 则从这5人中选出2人， 有共10种结果， 两人来自不同组有共6种结果， 所以两人来自不同组的概率为. 17. 已知向量，． （1）若，求实数的值； （2）设向量，点是直线上的一个动点，当取最小值时，求的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量线性运算的坐标表示及向量垂直的坐标表示求解即可. （2）法一，设，根据题意得到，即，根据向量数量积的坐标表示及二次函数性质求解即可. 法二，设，则，根据向量数量积的坐标表示及二次函数性质求解即可. 【小问1详解】 ，, 因为，所以． 即，解得． 【小问2详解】 （法一）设，P是直线上的一个动点，所以，即． 又，， 所以 ， 所以当时，最小值为，此时点P的坐标为． （法二）设，则． 则， 所以当时，最小值为，此时点P的坐标为． 18. 在中，，，，点在边上，且平分． （1）求； （2）求的长． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理即可. （2）利用和面积公式可求解. 【小问1详解】 由余弦定理得， 因为，所以． 【小问2详解】 解法一：因为平分，， 所以. 由于， 即， 所以， 所以． 解法二：在中，由正弦定理得， 即，所以， 又因为，所以，所以，所以， 在中，， 由正弦定理得， 又因为， 所以，即． 19. 如图，四棱锥中，底面是平行四边形，，，，分别为，的中点，平面． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）若，，求PA与平面PCD所成角的正弦值． 【答案】（1）连接交于点，连接． 因为四边形是平行四边形，所以是中点． 又是中点，所以． 因为平面平面， 所以平面． （2）由题知，在中，，， 由余弦定理，得，所以． 在中，，，所以是等边三角形，所以， 所以，即． 因为平面平面，所以． 又，，平面，所以平面． 因为平面，所以平面平面． （3） 【解析】 【分析】（1）连接交于点，连接，根据线面平行的判定定理证明即可； （2）根据余弦定理结合勾股定理可得，再由线面垂直的性质定理及面面垂直的判定定理证明即可； （3）根据等体积法计算点到平面的距离，再由线面角的定义计算求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为平面平面，所以，． 由（2）知，所以． 设点到平面的距离为． 因为，，所以， 等腰底边上的高为，所以， 所以． 又点到的距离为，所以， 所以，解得． 记与平面所成角为，则， 所以与平面所成角的正弦值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 项城三高2025-2026学年度下期期末考试 高一数学试卷 （满分150分，考试时间120分钟） 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，所有答案都写在答题卡上. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每个小题所给的选项中，只有一项是符合要求的.） 1. 若复数，则的虚部为（ ） A. 1 B. 4 C. i D. 5 2. 已知，，且，则（ ） A. B. C. D. 3. 某中学为了弘扬燕赵传统文化，计划从高一年级､高二年级和高三年级中，采用按比例分层随机抽样的方法，抽取容量为的样本组成“非遗文化宣讲团”．已知该校高一年级有学生1200人，高二年级有学生1000人，高三年级有学生800人．若从高一年级抽取了12人，则的值为（ ） A. 24 B. 28 C. 30 D. 36 4. 已知一组数据：4，6，，10，12，14的平均数为9，则这组数据的第60百分位数为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 12 5. 某地有四人先后感染了传染性肺炎，其中只有到过疫区，确定是受感染的．对于因为难以判定是受还是受感染的，于是假定他受和感染的概率都是同样也假定受，和感染的概率都是在这种假定下，，，中恰有两人直接受感染的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 设，是两个平面，，是两条直线，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，，则 B. ， C. 若，，，则 D. 若，，，则 7. 已知的内角，，的对边分别为，，，下列结论错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，，，则符合条件的三角形有且仅有1个 C. 若，则 D. 若的面积，则 8. 如图，在棱长为的正方体中，P为线段上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（ ） A. 平面 B. 的取值范围是 C. 三棱锥的体积为定值 D. 的最小值为 二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 某随机试验中，事件与事件互斥，且，则（ ） A. B. C. D. 10. 以，，，，，为棱长的四面体的体积可以是（ ） A. B. C. D. 11. 在△ABC中，若则（ ） A. △ABC为锐角三角形 B. C. D. 若的面积为1，则 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 如图，圆锥中，母线，底面直径．是中点，是上一动点．一只蚂蚁沿圆锥侧面上的曲线从点爬到点处，则蚂蚁所爬的最短路径长为__________． 13. 在中，的面积为___________ 14. 若两个非零向量，满足，则向量与的夹角为__________. 四、解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知复数（）． （1）若复数在复平面内对应的点在第四象限，求实数的取值范围； （2）若为正实数，是关于x的实系数一元二次方程的一个根，求的值． 16. 某单位组织了“苏超”志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第二、三、四组的频率之和为0.8． （1）求a，b的值； （2）估计这100名候选者面试成绩的众数和平均数（同一组数据用该组区间的中点值作代表）； （3）在第四、五两组志愿者中，采用分层抽样的方法从中抽取5人，然后再从这5人中抽出2人，以确定组长人选，求抽出的2人来自不同组的概率． 17. 已知向量，． （1）若，求实数的值； （2）设向量，点是直线上的一个动点，当取最小值时，求的坐标． 18. 在中，，，，点在边上，且平分． （1）求； （2）求的长． 19. 如图，四棱锥中，底面是平行四边形，，，，分别为，的中点，平面． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）若，，求PA与平面PCD所成角的正弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $