26.1 二次函数的概念 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数概念及一般形式，通过喷头水珠曲线等现实情境导入，结合矩形面积、握手次数等问题引导学生抽象函数关系，搭建从实际到数学概念的学习支架。 其亮点在于以实例驱动教学，通过观察三个问题解析式的共同点培养数学眼光，例题涵盖判断、参数求解及实际应用，落实数学思维与语言表达，帮助学生理解概念，教师使用可有效提升学生核心素养。

26.1 二次函数的概念 22051 1.理解二次函数的概念，掌握二次函数的一般形式. 2.会判断用解析式表示出来的两个变量之间的关系是否为二次函数关系． 3.会利用二次函数的概念解决问题，并能根据实际问题列二次函数关系式． 学习目标 22051 从喷头喷出的水珠，在空中走过一条曲线．在这条曲线的各个位置上，水珠的竖直高度 y 与它距离喷头的水平距离 x 之间有什么关系？ 情境导入 22051 问题1 用长为 40 m 的细绳围成一个矩形区域，矩形区域的面积 (单位：) 会随矩形一边长 (单位：)的变化而变化，与之间有什么关系？ （1）对于的每一个值，y的对应值如何？y与х的对应关系如何？ （2）y是х的函数，它们的函数关系是什么？ 根据矩形面积公式，它们之间的关系可以表示为 y = x(20 − x)， 即 y = −x2 + 20 x . 对于的每一个值，y都有唯一的一个值与其对应，即y是х的函数. 新知讲解 22051 问题2：某次会议有n个人参加，会议开始前每两人需要握一次手. 总握手次数m与人数n之间有什么关系？ 每个人要和其他(n-1)个人各握手一次，A和B的握手，与B和A的握手是同一次握手，所以总握手次数是m= n(n-1)．即m=n2-n． 上式表示总握手次数m与人数n之间的关系，对于n的每一个值，m都有一个对应值，即m是n的函数． 同理， m 是 n 的函数吗？ 新知讲解 22051 问题3：为了响应公益环保活动，某单位组织员工植树；今年一共植树200棵，计划今后两年增加棵数.如果每年都比上一年的棵数增加x倍，那么后年该公司植棵数为y，y与x之间的关系应怎样表示？ 明年植树棵数为200(1+x)，后年植树棵数为200(1+x)2. ∴y=200(1+x)2，即y=200x2+400x+200. 对于x的每一个值，y都有一个对应值，即y是x的函数． 同理，y 是 x 的函数吗？ 新知讲解 22051 观察：以上出现的三个函数解析式，它们有什么共同点？ m = n2 - n y = −x2 + 20 x y=200x2+400x+200 1.函数关系式都是整式； 2.化简后自变量的最高次数是2； 3.二次项系数不为0. 新知讲解 22051 二次项系数 自变量 y = ax² + bx + c 一次项系数 常数项 一般地，形如 y = ax² + bx + c (a，b，c 是常数，a≠0) 的函数叫作二次函数. 解析式： 归纳小结 22051 上述概念中的a为什么不能是0？b和c可否为0？若b和c各自为0或均为0，上述函数的式子可以改写成怎样呢？ 当a=0时，可写成y=bx+c； 当b=0时，可写成y=ax²+c； 当c=0时，可写成y=ax²+bx； 当b=0，c=0时，可写成y=ax². 不是二次函数 注意：(1)a，b，c为常数，且a≠0，b，c任意； (2)等式的右边最高次数为2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项，即a≠0. 新知讲解 22051 例1 下列函数中，哪些是二次函数？ 二次函数必须同时满足： （1）函数解析式是整式． （2）化简后自变量的最高次数是2． （3）二次项系数不为0． （1） （2） （3） （4） （5） 例题讲解 22051 例2 若y＝(m－2) xm²－2＋4是二次函数，求m的值和函数解析式． ∴m＝－2， y＝－4x2＋4． 解：由题意得 ∴ 二次项系数不为0 自变量的最高次数是2 例题讲解 22051 1.在二次函数中，二次项系数与一次项系数的和是多少 ？ 解：在二次函数中，二次项系数为2， 一次项次数为， ∴二次项系数与一次项系数的和是：， 故答案为：． 小试牛刀 22051 12 例3 (1)一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积 S 关于半径 r 的函数解析式. 解：(1) 圆柱表面积是其底面积与侧面积的和， 所以 S = 2πr² + 2πr·r， 即S = 4πr². 例题讲解 22051 (2)一种产品某年的销售量为 8 万件，由于其他新产品的出现，后两年的年销售量有所下降，年平均下降率是 x ，写出两年后产品的年销售量 y (单位：万件)关于 x 的函数解析式. 解：(2) 一年后产品的年销售量为 8(1－x) 万件， 两年后的年销售量为 8(1－x)(1－x) 万件， 所以 y = 8(1－x)2即 y = 8x2－16x＋8. 例题讲解 22051 2.某工厂生产的某种产品按质量分为 10 个档次，第 1 档次 (最低档次) 的产品一天能生产 95 件，每件利润 6 元．每提高一个档次，每件利润增加 2 元，但一天产量减少 5 件. 若生产第 x 档次的产品一天的总利润为 y 元(其中 x 为正整数，且 1≤x≤10)，求出 y 关于 x 的函数关系式. y＝[6＋2(x－1)][95−5(x－1)]. 解：由题意得，第 x 档次，提高了 (x－1) 档，利润增加了2(x－1)元，产量减少了 5(x－1) 件． 即 y＝－10x2＋180x＋400 (其中 x 是正整数，且1≤x≤10). 小试牛刀 22051 二次函数 定义 一般形式 特殊形式 右边是整式； 自变量的指数是2； 二次项系数a ≠0. y=ax2+bx+c(a ≠0，a,b,c是常数) y=ax2； y=ax2+bx； y=ax2+c(a ≠0，a,b,c是常数). 课堂小结 22051 16 1 .下列函数中（x是自变量），是二次函数的为( ) A. y=ax2+bx+c B. y2=x2-4x+1 C. y=x2 D. y=22+ x+1 2. 函数 y=(m-n)x2+ mx+n 是二次函数的条件是( ) A. m,n是常数,且m≠0 B. m,n是常数,且n≠0 C. m,n是常数,且m≠n D. m,n为任何实数 C C 当堂检测 基础 22051 3.如果函数是二次函数，则k的值一定是______. 4.已知二次函数y＝1－2x－x2，其中二次项系数a＝ ，一次项系数b＝ ，常数项c＝ ． 0或3 -1 -2 1 当堂检测 基础 22051 5.已知函数 y=(m²-m)x²+(m-1)x+m+1． （1）若这个函数是一次函数，求m的值； （2）若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？ 解:（1）根据一次函数的定义，得m2-m=0， 解得m=0或m=1，又∵m-1≠0即m≠1； ∴当m=0时，这个函数是一次函数； （2）根据二次函数的定义，得：m2-m≠0，解得m1≠0，m2≠1； ∴当m1≠0，m2≠1时，这个函数是二次函数. 当堂检测 提升 22051 6.一农民用40 m长的篱笆围成一个一边靠墙的长方形菜园，和墙垂直的一边长为x m，菜园的面积为y m2，求y与x之间的函数关系式，并说出自变量的取值范围. 当x=12 m时，计算菜园的面积. 解：由题意得：y=x(40-2x)，即y=-2x²+40x(0＜x＜20) 当x=12m时，菜园的面积为 y =-2x²+40x =-2×12²+40×12 =192(m²) x 40-2x 当堂检测 提升 22051 $