精品解析：黑龙江哈尔滨市第三中学校2025-2026学年高二下学期7月期末考试数学试题

哈三中2025—2026学年度下学期高二学年期末考试数学试题 考试说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由可得，解得，即集合， 又因为集合，所以. 2. 设，且是成立的充分不必要条件，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设满足条件p，q的集合分别为集合，，由p是q成立的充分不必要条件，则集合是集合的真子集，根据集合的包含关系可得答案. 【详解】由得或，设. 设满足的集合为，则， 由p是q成立的充分不必要条件，则集合是集合的真子集， 所以，所以的取值范围是. 故选：B 3. 设等比数列的前n项和为，若，，则公比 q=（ ） A. 2 B. C. 1或  D. 2 或 −1 【答案】C 【解析】 【详解】若，则，， 符合； 若，则，解得， ，代入， 得到，即得 即，因，则得， 解得. 综上可得，或. 4. 若函数（且），则函数的图象恒过定点（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意可知， 令，得，代入得， 故函数的图象恒过定点. 5. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数的单调性判断的大小，然后利用1作为不等式关系的过渡，最终得到. 【详解】构造函数，令，解得. ，单调增. ，单调减. 因为，所以，即，故. 考虑在单调减， 所以. 又因为指数函数的性质可知，，故有. 6. 已知，则下列不等式不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为， 对于A，，则，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，则，故C正确； 对于D，，则，所以，故D正确． 7. 某高校为提升科研能力，计划逐年加大科研经费投入，若该高校2023年全年投入科研经费1300万元，在此基础上，每年投入的科研经费比上一年增长，则该高校全年投入的科研经费开始超过2000万元的年份是（ ）（参考数据：，，） A. 2025年 B. 2026年 C. 2027年 D. 2028年 【答案】C 【解析】 【分析】取2024年是第1年，根据题意得第n年该高校全年投入的科研经费，根据条件列出不等式，解得n的范围即可． 【详解】取2024年是第1年，根据题意得第n年该高校全年投入的科研经费为， 令，即，即， 两边取对数可得：，即， 则， 则第4年，即2027年该高校全年投入的科研经费开始超过2000万元． 故选：C． 8. 是定义在上的奇函数，当时，有，且时，，则下列说法正确的是（ ） A. 是以为周期的周期函数 B. 的图象关于对称 C. 函数有个零点 D. 【答案】D 【解析】 【分析】A选项，根据分段函数，推导的周期，结合定义域，即可进行判断；B选项，通过特殊值验证即可判断的图象不满足对称性；C选项，借助图象，数形结合 ，即可找出零点个数；D选项，借助的周期性，即可求解. 【详解】对于A：当时，因为，所以， 所以时，周期为4； 因为当时，，令，则， 则，所以， 又因为是奇函数且， 则的图象如图所示： 因，所以在定义域内不是以为周期的周期函数，故A错误； 对于B：因为，， 而，即不满足对称关系， 所以的图象关于不对称，故B错误； 对于C：函数的零点，即的解： 当时，的最大值为1，时，，仅在存在1个零点； 当时，的最小值为， 时，， 仅在存在1个零点，所以函数有2个零点，故C错误； 对于D：因为， 所以每连续4个整数点的和为， 又因为当时，函数以4为周期， 所以，故D正确. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列选项中说法正确的是（ ） A. 函数的单调递增区间为 B. 幂函数为偶函数，则 C. 函数的定义域为，则函数的定义域为 D. 的导函数为，则是的充分不必要条件 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，借助复合函数的单调性即可求解；B选项，先根据幂函数的定义求解，再根据奇偶性进行验证即可；C选项，借助函数定义即可求解抽象函数的定义域；D选项，借助求导法则进行判定即可. 【详解】对于A：由函数有意义，可得，解得或. 令，外层函数在上为增函数， 内层函数的对称轴为，在上单调递增， 根据复合函数“同增异减”原则，所以的单调递增区间为，故A错误； 对于B：因为为幂函数，所以，解得或， 当时，为偶函数，满足条件； 当时，不是偶函数，不满足条件，所以，故B正确； 对于C：因为函数的定义域为，则对于函数需使， 解得，故函数的定义域为，故C正确； 对于D：由，两边求导可得：，所以充分性成立； 由，则（为待定常数），所以必要性不成立， 即是的充分不必要条件，故D正确. 10. 若实数，，且，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最大值为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据给定等量关系，应用基本不等式、“1”的代换及柯西不等式求各项对应代数式的最值，注意取值成立条件. 【详解】A：由均值不等式，得， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为，错误， B：因为，则， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为，正确， C：由题设， 由，得， 当且仅当，即时取等号，错误， D：设，问题化为，求的最大值， 根据柯西不等式， 所以，当且仅当即时等号成立， 此时，代入，解得，符合的条件， 所以的最大值为，正确. 11. 定义在上的可导函数，满足，且，，则下列结论正确的有（ ） A. 图象关于点中心对称 B. 为奇函数 C. 的导函数为偶函数 D. 的图象没有对称中心 【答案】ABC 【解析】 【分析】先根据已知等式消去推导的对称性、周期性，再推导的奇偶性与周期性，结合函数性质逐一判断各选项. 【详解】对于A， 由得，则有 代入，整理得. 则可得，即对任意，， 故 图象关于点中心对称，故A正确. 对于B， 由可得 ，代入得， 则有，两式相减得， 可得 ，故是以4为周期的周期函数. ∵ ，∴ ， 又，代入得， 又定义域为，故为奇函数. ∵ ，定义域为， ∴ ， 故为奇函数，B正确. 对于C， 由两边对求导得，即. 又是周期为4的周期函数，故也是周期为4的周期函数，即， ∴ ，故的导函数为偶函数，C正确. 对于D，， ∵ ，∴ ， ∵ 关于点中心对称，即， ∴ ， ∴ 的图象关于点中心对称，故D错误. 【点睛】方法归纳：本题考查函数对称性、奇偶性、周期性与导函数奇偶性的综合应用，核心是通过消元法先推导的基本性质，再推导的性质，结合求导法则判断导函数奇偶性. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在答题卡相应的位置上． 12. 若用二分法求函数在区间上零点的近似值，第一次取区间的中点为，则第二次应该取区间的中点为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用零点存在定理可求答案. 【详解】设，因为所以零点在区间内， 所以第二次应该取区间的中点为. 故答案为： 13. 已知，，则__________． 【答案】1 【解析】 【详解】由可得，又， 则. 14. 若关于的方程有三个不等实数根，，．且，则实数的取值范围是_________；______________． 【答案】 ①. ②. 1 【解析】 【分析】令，则原方程可化为，分析的单调性和最值，可知关于的方程有两个不同的根，且，结合二次函数零点分布求实数的取值范围；整理可得，利用韦达定理求运算求解. 【详解】已知方程， 因为，方程两边同时除以可得，， 令，则原方程可化为. 对求导得. 令，即，解得. 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减. 所以时，取得最大值. 又因为当时，；当时，，且. 因为关于的方程有三个不等实数根，，．且， 所以有两个不同的值（负的对应1个，正的对应2个）， 即关于的方程有两个不同的根，且. 令，则有. 解得. 由于，所以. 因为是方程的两个根， 根据韦达定理得. 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）时，求的单调区间； （2）当时，若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）单调递增区间，单调递减区间 （2） 【解析】 【分析】（1）当时，，求导，令导数大于0得增区间，令导数小于0得减区间； （2）分离参数，构造函数，转化为函数的最值. 【小问1详解】 当时，，定义域为， ，令，得， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减. 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问2详解】 当时，恒成立， 即，整理得，在上恒成立. 令，， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 因此时，取极小值，也是最小值. ，所以， 即实数的取值范围为. 16. 已知等差数列与公比为正数的等比数列满足，，． （1）求数列，的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列基本量的运算得到，，再求通项即可； （2）根据等比数列及等差数列的求和公式，分组求和即可． 【小问1详解】 设等差数列的公差为，等比数列的公比为． 由题意可得，解得，， 则． 【小问2详解】 由（1）可知，， 故 17. 已知抛物线：，直线与抛物线有且只有一个交点． （1）求抛物线的方程； （2）若直线与抛物线交于异于原点的两点，，若，过作的垂线，垂足为，求证：直线恒过定点，并求出的取值范围． 【答案】（1） （2）直线恒过定点 的取值范围为 【解析】 【分析】（1）联立直线与抛物线方程，根据，求的值； （2）设出直线的方程，与抛物线方程联立，根据，结合根与系数的关系确定直线恒过定点；求出点的轨迹方程，利用几何意义确定的取值范围． 【小问1详解】 联立直线与抛物线方程： ，消去得， 因为直线与抛物线仅有一个交点，所以，即， 因为，所以， 所以抛物线的标准方程为. 【小问2详解】 设直线，，，. 联立，得， 根据根与系数的关系得，. 由 ，得，即， 其中，故， 所以得，，因为，所以， 因此直线，恒过定点. 因为点在直线上，所以， 又，，故，即. 将及代入， 得，整理得，，即， 又直线不过原点，所以点的轨迹方程为.其轨迹为圆心，半径为2的圆，去除点. 令，得， 由，解得，因为，所以， 因此的取值范围为. 18. 已知函数定义在区间内，，，时，恒有． （1）证明：为奇函数； （2）若数列满足，，． （ⅰ）证明：数列为等比数列，并求出数列的通项公式； （ⅱ）设，若对恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）证明：由题意知的定义域为，关于原点对称．且， 令 ，则，故． 再令，则， 所以，故为奇函数． （2）（i）证明：由题意得， 又， 所以，即，所以， 故是首项为，公比为2的等比数列，所以； （ii） 【解析】 【分析】（1）利用函数的奇偶性的定义即可证明； （2）（i）根据得到，进而得到是等比数列，从而得到数列的通项公式； （ii）再利用错位相减法得到．代入恒成立求解. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 （i）略； （ii）因为， 所以， 所以， 两式相减得， 所以． 则对恒成立，即恒成立， 即恒成立． 设，则， 所以数列单调递增． 当n为奇数时，，当时，有最大值，故 ； 当n为偶数时，，当时，有最小值，故． 综上，的取值范围是． 19. 已知函数． （1）若，求曲线在处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； （3）若函数有两个极值点、（），则当恒成立时，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求切线方程即可； （2）根据已知对函数求导，应用分类讨论及导数的符号研究函数的区间单调性； （3）根据已知有，令，将问题化为上恒成立，导数研究右侧上界，即可得. 【小问1详解】 当时，， 则，所以，， 则在处的切线方程为，即； 【小问2详解】 由， 则（）， 所以， 令，得，， 当时，在上，在上， 故在上单调递增，在上单调递减； 当时，在或上，在上， 故在和上单调递增，在上单调递减； 当时，恒成立，故在上单调递增； 当时，在或上，在上， 故在和上单调递增，在上单调递减， 综上， 当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； 【小问3详解】 函数有两个极值点，即有两个不等的正根， 则，，即， 令，则​，即有两个根， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 且时，时，， 所以，要使有两个根，则，且，即， 令，又，得，且， 由，则，化简得，， 由题设，而，所以，则， 令，，则， 令，则， 令，则， 令，则，即在上单调递减， 所以，即， 所以在上单调递减，且， 所以在上单调递减，且， 所以在上恒成立，即在上单调递减， 因此，，故只需， 综上，实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈三中2025—2026学年度下学期高二学年期末考试数学试题 考试说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，且是成立的充分不必要条件，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 3. 设等比数列的前n项和为，若，，则公比 q=（ ） A. 2 B. C. 1或  D. 2 或 −1 4. 若函数（且），则函数的图象恒过定点（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则下列不等式不成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 某高校为提升科研能力，计划逐年加大科研经费投入，若该高校2023年全年投入科研经费1300万元，在此基础上，每年投入的科研经费比上一年增长，则该高校全年投入的科研经费开始超过2000万元的年份是（ ）（参考数据：，，） A. 2025年 B. 2026年 C. 2027年 D. 2028年 8. 是定义在上的奇函数，当时，有，且时，，则下列说法正确的是（ ） A. 是以为周期的周期函数 B. 的图象关于对称 C. 函数有个零点 D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列选项中说法正确的是（ ） A. 函数的单调递增区间为 B. 幂函数为偶函数，则 C. 函数的定义域为，则函数的定义域为 D. 的导函数为，则是的充分不必要条件 10. 若实数，，且，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最大值为 11. 定义在上的可导函数，满足，且，，则下列结论正确的有（ ） A. 图象关于点中心对称 B. 为奇函数 C. 的导函数为偶函数 D. 的图象没有对称中心 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在答题卡相应的位置上． 12. 若用二分法求函数在区间上零点的近似值，第一次取区间的中点为，则第二次应该取区间的中点为________． 13. 已知，，则__________． 14. 若关于的方程有三个不等实数根，，．且，则实数的取值范围是_________；______________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）时，求的单调区间； （2）当时，若恒成立，求实数的取值范围． 16. 已知等差数列与公比为正数的等比数列满足，，． （1）求数列，的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前项和． 17. 已知抛物线：，直线与抛物线有且只有一个交点． （1）求抛物线的方程； （2）若直线与抛物线交于异于原点的两点，，若，过作的垂线，垂足为，求证：直线恒过定点，并求出的取值范围． 18. 已知函数定义在区间内，，，时，恒有． （1）证明：为奇函数； （2）若数列满足，，． （ⅰ）证明：数列为等比数列，并求出数列的通项公式； （ⅱ）设，若对恒成立，求的取值范围． 19. 已知函数． （1）若，求曲线在处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； （3）若函数有两个极值点、（），则当恒成立时，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $