精品解析：福建福州市福清市2025-2026学年第二学期高一期末适应性练习数学试卷

2025—2026学年第二学期高一年级期末适应性练习 数学学科 注意事项： 1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2．第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效． 3．考试结束，考生必须将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 样本数据，，，，的平均数为（ ） A. B. C. D. 2. 在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 若复数为纯虚数，则（ ） A. B. C. D. 4. 在正方体中，则异面直线AC与的所成角为（ ） A. B. C. D. 5. 已知平面向量，的夹角为，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 某学校举办数学竞赛，共道不同的题目.甲、乙两位同学依次从中随机抽取一道题（抽后放回），则两人抽到不同题目的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，平行四边形中，，，为线段上的点，且满足，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在三棱锥中，平面，平面平面，，则三棱锥的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题正确的是（ ） A. 一个多面体至少有个面 B. 一个棱柱至少有个面 C. 直四棱柱都是长方体 D. 平行六面体都是长方体 10. 在中，内角，，所对的边分别为，，，且，，，下面说法正确的是（ ） A. 最大内角为 B. C. 的外接圆半径为 D. 是钝角三角形 11. 若，，，则（ ） A. 事件与不互斥 B. 事件与对立 C. 事件与互相独立 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，若，则___________． 13. 若一个球的表面积和体积的数值相等，则该球的半径___________． 14. 数据，，，，，，，，，的第百分位数是___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数的虚部为，模为，且在复平面内对应的点位于第一象限． （1）求复数． （2）若复数是关于的方程的一个根，求实数，的值． 16. 已知平行四边形的三个顶点，，的坐标分别是，，三点． （1）证明：平行四边形为矩形； （2）求与夹角的余弦值． 17. 记锐角的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求的大小； （2）若，，求的周长． 18. 某学校组织全校学生进行了一次“两会知识多少”的问卷测试.已知所有学生的测试成绩均位于区间，从中随机抽取了40名学生的测试成绩，绘制得到频率分布直方图，如图所示. （1）求图中的值； （2）学校团组织利用比例分配的分层随机抽样方法，从和的学生中抽取7人组成宣讲团. （ⅰ）求应从和学生中分别抽取的学生人数； （ⅱ）从选定的7人中随机抽取2人对高一同学进行宣讲，求至少有1人测试成绩位于区间的概率. 19. 如图，在棱长为的正方体中，为上的动点（不含端点）．设． （1）若． （i）证明：平面． （ii）求二面角的正切值． （2）求证：无论取何值，三棱锥的体积为定值，并求出该定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第二学期高一年级期末适应性练习 数学学科 注意事项： 1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2．第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效． 3．考试结束，考生必须将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 样本数据，，，，的平均数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题， 2. 在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，，，由余弦定理得,所以. 3. 若复数为纯虚数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为复数是纯虚数， 所以，解得. 4. 在正方体中，则异面直线AC与的所成角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正方体的特点，将异面直线的夹角转化为共面直线的夹角，角形 为等边三角形，故 与的夹角为，从而得出异面直线的夹角为. 【详解】 正方体中， ，异面直线AC与的所成角即为 与所成的角，而三角形 为等边三角形，故 与的夹角为 ，所以异面直线AC与的所成角为 . 故选：C 【点睛】熟悉正方体的特点，以及求异面直线夹角通常转化为共面直线夹角来解决,注意几何图形的特点. 5. 已知平面向量，的夹角为，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】，， ，， ， ， 因为向量的模长为非负数， 所以． 6. 某学校举办数学竞赛，共道不同的题目.甲、乙两位同学依次从中随机抽取一道题（抽后放回），则两人抽到不同题目的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分步计数，甲任意选题，乙只能选取剩余题目，直接统计符合条件的基本事件求概率. 【详解】由题，有放回抽取，甲6种选择，乙6种选择，总基本事件共种， 甲任选1题，乙选剩下5题，事件数种，则两人抽到不同题目的概率为. 7. 如图，平行四边形中，，，为线段上的点，且满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为， 所以， 所以. 8. 如图，在三棱锥中，平面，平面平面，，则三棱锥的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用面面垂直的性质、线面垂直的性质，结合直角三角形面积公式推理求解. 【详解】取中点，连接，由，得，又平面平面， 平面平面，平面，则平面， 而平面，于是，由平面，平面， 得，又平面，因此平面， 而平面，则，又，则， 所以三棱锥的表面积为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题正确的是（ ） A. 一个多面体至少有个面 B. 一个棱柱至少有个面 C. 直四棱柱都是长方体 D. 平行六面体都是长方体 【答案】AB 【解析】 【详解】对于A：一个多面体至少有个面，为四面体，故A正确； 对于B：一个棱柱至少有个面，为三棱柱，故B正确； 对于C：直四棱柱，上下底面为四边形，不一定是矩形，所以直四棱柱不一定是长方体，故C错误； 对于D：平行六面体可以是斜棱柱，故D错误． 10. 在中，内角，，所对的边分别为，，，且，，，下面说法正确的是（ ） A. 最大内角为 B. C. 的外接圆半径为 D. 是钝角三角形 【答案】BCD 【解析】 【分析】由大边对大角即可判断A；由正弦定理即可判断B；先利用余弦定理求，进而得到，再利用正弦定理求外接圆半径即可判断C；解三角形可得即可判断D． 【详解】，，，最大边为，则最大内角为，故A错误； 由正弦定理，故B正确； ，， ，解得， 则的外接圆半径为，故C正确； ，，则，即是钝角三角形，故D正确． 11. 若，，，则（ ） A. 事件与不互斥 B. 事件与对立 C. 事件与互相独立 D. 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A：因为，即事件与同时发生的概率不为，所以事件与不互斥，故A正确； 对于B：因为事件与不互斥，所以事件与不对立，故B错误； 对于C：因为，所以， 又，所以， 所以事件与互相独立，故C正确； 对于D：可得，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，若，则___________． 【答案】 【解析】 【详解】因为，，，所以，所以. 13. 若一个球的表面积和体积的数值相等，则该球的半径___________． 【答案】3 【解析】 【详解】由题意得，又，解得. 14. 数据，，，，，，，，，的第百分位数是___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用百分位数的定义进行求解. 【详解】数据共有10个数，， 故从小到大排列为， 选择第7个数和第8个数的平均数作为第70百分位数，即为第70百分位数. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数的虚部为，模为，且在复平面内对应的点位于第一象限． （1）求复数． （2）若复数是关于的方程的一个根，求实数，的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 由题意可设， 则，解得． 故． 【小问2详解】 由题意得，， 整理得，， 故， 解得． 16. 已知平行四边形的三个顶点，，的坐标分别是，，三点． （1）证明：平行四边形为矩形； （2）求与夹角的余弦值． 【答案】（1）如图所示，由题意可得，，， 故， 所以，即， 所以平行四边形为矩形． （2） 【解析】 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 如图所示，因为为平行四边形，所以，即， 解得，，则，，， 故， ，， ， 所以向量与夹角的余弦值为. 17. 记锐角的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求的大小； （2）若，，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化为角，再结合三角函数的性质求出角B的大小． （2）先根据三角形面积公式求出的值，再结合余弦定理求出的值，最后求出三角形的周长． 【小问1详解】 由正弦定理及可得，． 因为， 所以， 故， 又因为， 所以． 【小问2详解】 解法一：因为，， 所以，即． 由及余弦定理可得， ， 解得． 所以的周长为． 解法二：因为，， 所以，即． 由， 解得或， 当，时，由余弦定理可得， ， 故． 当，时，同理可得． 所以的周长为． 18. 某学校组织全校学生进行了一次“两会知识多少”的问卷测试.已知所有学生的测试成绩均位于区间，从中随机抽取了40名学生的测试成绩，绘制得到频率分布直方图，如图所示. （1）求图中的值； （2）学校团组织利用比例分配的分层随机抽样方法，从和的学生中抽取7人组成宣讲团. （ⅰ）求应从和学生中分别抽取的学生人数； （ⅱ）从选定的7人中随机抽取2人对高一同学进行宣讲，求至少有1人测试成绩位于区间的概率. 【答案】（1） （2）（ⅰ）5人，2人；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中各组频率之和为1，即可求得的值； （2）（ⅰ）根据两组的频率之比，即可求得每组抽取人数； （ⅱ）依题意即可写出样本空间，根据古典概型的概率公式，即可求得答案. 【小问1详解】 由频率分布直方图可得， 解得； 【小问2详解】 （ⅰ）由图可得和这两组的频率之比为， 故应从学生中抽取的学生人数为（人）， 应从学生中抽取的学生人数为（人）；, （ⅱ）设从中抽取的5人为，从学生中抽取的2人为1，2， 则这个试验的样本空间为 ， 共有21个基本事件； 事件“至少有1人测试成绩位于区间”，事件的个数有11个， 即， 故. 19. 如图，在棱长为的正方体中，为上的动点（不含端点）．设． （1）若． （i）证明：平面． （ii）求二面角的正切值． （2）求证：无论取何值，三棱锥的体积为定值，并求出该定值． 【答案】（1）（i）在正方体中，连接交于，连接， 由四边形为正方形，得为中点，又为中点，则， 又平面，平面，所以平面. （ii） （2）三棱锥的体积即三棱锥的体积， 在正方体中，由平面，得到平面的距离为， 又，因此， 所以无论取何值，三棱锥的体积为定值. 【解析】 【分析】（1）（i）连接交于，利用线面平行的判定推理得证；（ii）利用定义法求出二面角的正切. （2）利用锥体的体积公式，结合等体积法计算即可得证. 【小问1详解】 （i）略 （ii）由（i）得，，而，则， 即为二面角的平面角，在中，，， 则，所以二面角的正切值为. 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $