精品解析：福建省福清市2023-2024学年高一下学期期末质量检测数学试题

2023—2024学年第二学期高一年期末质量检测 数学学科试卷 （完卷时间：120分钟；满分：150分） 注意事项： 1．答题前、考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2．第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效． 3．考试结束，考生必须将答题卡交回． 第I卷 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数（为虚数单位），则（ ） A. B. 2 C. D. 1 2. 下列命题一定正确的是（ ） A. 一条直线和一个点确定一个平面 B. 如果两条平行直线中一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行 C. 垂直于同一条直线的两条直线互相平行 D. 若直线与平面平行，则直线与平面内任意一条直线都没有公共点 3. 数据，，，…，的平均数为，方差，则数据，，，…，的标准差为（ ） A. 6 B. 7 C. 12 D. 36 4. 某同学参加知识竞赛，位评委给出分数为，则该组分数的第百分位数为（ ） A. B. C. D. 5. 在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则（ ） A. B. C. 2 D. 1 6. 甲和乙两位同学准备在体育课上进行一场乒乓球比赛，假设甲对乙每局获胜的概率都为，比赛采取三局两胜制（当一方获得两局胜利时，该方获胜，比赛结束），则甲获胜的概率为（ ） A. 5 B. C. D. 7. 如图所示，圆锥的底面半径和高都等于球的半径，则下列选项中错误的是（ ） A. 圆锥的轴截面为直角三角形 B. 圆锥的表面积大于球的表面积的一半 C. 圆锥侧面展开图的圆心角的弧度数为π D. 圆锥的体积与球的体积之比为 8. 如图直四棱柱的体积为8，底面为平行四边形，的面积为，则点A到平面的距离为（　　） A. 1 B. C. D. 2 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么互斥的两个事件是（ ） A. “至少有一个黑球”与''都黑球” B. 至少有一个黑球''与“至少有一个红球” C. 恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球” D. “至少有一个黑球”与“都是红球” 10. 已知，，均为非零向量，则下列结论中正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若非零向量，满足，则与的夹角是 11. 在棱长为 1 的正方体中，分别为棱的中点，则（ ） A. 直线与异面直线 B. 直线与所成的角是 C. 直线平面 D. 平面截正方体所得的截面面积为. 第II卷 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中的横线上． 12. 已知平面平面，直线，下列说法正确的是________（填序号） ①与内任一直线平行； ②与内无数条直线平行； ③与内任一直线不垂直； ④与无公共点． 13 已知，，，则________. 14. 瑞云塔是福清市古街打卡的景点．某同学为了测量瑞云塔ED的高，他在山下A处测得塔尖D的仰角为，再沿AC方向前进15米到达山脚点B，测得塔尖点D的仰角为，塔底点E的仰角为，那么瑞云塔高为________米．（答案保留根号形式） 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知O为坐标原点，向量，，，若A、B、C三点共线，且，求实数的值． 16. 正方体中，，分别是，的中点. （1）求异面直线与所成角； （2）求证：平面 17. 某小区为了提高小区内人员的读书兴趣，特举办读书活动，准备进一定量的书籍丰富小区图书站，由于不同年龄段需看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现对小区内看书人员进行年龄调查，随机抽取了名读书者进行调查，将他们的年龄分成段：后得到如图所示的频率分布直方图． （1）估计在名读书者中年龄分布在的人数； （2）求名读书者年龄的平均数和中位数； （3）若从年龄在的读书者中任取2名，求这两名读书者年龄恰有1人在的概率． 18. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，． （1）求c； （2）设D为BC边上一点，且，求的面积． 19. 如图，四棱锥的底面是边长为的正方形，． （1）证明：平面平面； （2）若，且与平面的夹角为 （i）证明； （ii）求二面角的正弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年第二学期高一年期末质量检测 数学学科试卷 （完卷时间：120分钟；满分：150分） 注意事项： 1．答题前、考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2．第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效． 3．考试结束，考生必须将答题卡交回． 第I卷 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数（为虚数单位），则（ ） A. B. 2 C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数模长公式计算. 【详解】由复数得，. 故选：A 2. 下列命题一定正确的是（ ） A 一条直线和一个点确定一个平面 B. 如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行 C. 垂直于同一条直线的两条直线互相平行 D. 若直线与平面平行，则直线与平面内任意一条直线都没有公共点 【答案】D 【解析】 【分析】根据推论1可判断A选项；由线线平行与线面平行关系可判断B选项；由垂直于同一条直线的两条直线的位置关系可判断C选项；线面平行的定义可判断D选项. 【详解】对于A：推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面，故A错误； 对于B：如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行或在此平面内，故B错误； 对于C：垂直于同一条直线的两条直线互相平行或异面或相交，故C错误； 对于D：若直线与平面平行，则直线与平面无公共点，故D正确. 故选：D. 3. 数据，，，…，的平均数为，方差，则数据，，，…，的标准差为（ ） A. 6 B. 7 C. 12 D. 36 【答案】A 【解析】 【分析】利用方差的性质计算可得答案. 【详解】数据，，，…，的方差，则数据，，，…，的方差为，标准差为. 故选：A. 4. 某同学参加知识竞赛，位评委给出的分数为，则该组分数的第百分位数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将分数按照从小到大顺序排列，根据百分位数的求法直接求解即可. 【详解】将位评委给出的分数按照从小到大顺序排序为：， ，该组数据的第百分位数为. 故选：D. 5. 在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则（ ） A. B. C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】首先求出，再由正弦定理计算可得. 【详解】因为，，则， 由正弦定理，即，解得. 故选：D 6. 甲和乙两位同学准备在体育课上进行一场乒乓球比赛，假设甲对乙每局获胜的概率都为，比赛采取三局两胜制（当一方获得两局胜利时，该方获胜，比赛结束），则甲获胜的概率为（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】按照相互独立事件的概率乘法法则，分类计算求和即可. 【详解】分三类： ①甲直接获得前两局胜利，不进行第三局，此时甲获胜的概率为：； ②甲输第一局，赢后两局，此时甲获胜的概率为：； ③甲赢第一局和第三局，输第二局，此时甲获胜的概率为：. 故甲获胜的概率为：. 故选：B. 7. 如图所示，圆锥的底面半径和高都等于球的半径，则下列选项中错误的是（ ） A. 圆锥的轴截面为直角三角形 B. 圆锥的表面积大于球的表面积的一半 C. 圆锥侧面展开图圆心角的弧度数为π D. 圆锥的体积与球的体积之比为 【答案】C 【解析】 【分析】对于A，由圆锥的底面半径和高都等于球的半径， 可得，即可判断；对于B，算出圆锥的表面积和球的表面积，可得它们的面积关系，即可判断；对于C，求出圆锥的母线长，底面周长，可得圆锥侧面展开图中圆心角的弧度数，即可判断；对于D，分别求出圆锥的体积和球的体积，可得它们的体积之比，即可判断. 【详解】 对于A，设球的半径为，则如图所示：， 所以，故A正确； 对于B，圆锥的表面积为， 球的表面积为，所以，故B正确； 对于C，在中，圆锥的母线长为，底面周长为， 所以圆锥侧面展开图中圆心角的弧度数为，故C错误； 对于D，，，故D正确. 故选：C. 8. 如图直四棱柱的体积为8，底面为平行四边形，的面积为，则点A到平面的距离为（　　） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】先得到，设点A到平面的距离为h，得到方程，求出答案. 【详解】设点A到平面的距离为h，因为直四棱柱的体积为8， 则直三棱柱的体积为4，故， 即， 又因为， 所以，故点A到平面的距离为. 故选：B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么互斥的两个事件是（ ） A. “至少有一个黑球”与''都是黑球” B. 至少有一个黑球''与“至少有一个红球” C. 恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球” D. “至少有一个黑球”与“都是红球” 【答案】CD 【解析】 【分析】根据互斥事件的定义逐一对四个选项进行分析即可. 【详解】“至少有一个黑球”中包含“都是黑球，A错误； “至少有一个黑球”与“至少有一个红球”可能同时发生，B错误； “恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”不可能同时发生，C正确； “至少有一个黑球”与“都是红球”不可能同时发生，D正确. 故选：CD 10. 已知，，均为非零向量，则下列结论中正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若非零向量，满足，则与的夹角是 【答案】BD 【解析】 【分析】根据向量的线性运算以及坐标运算即可求解. 【详解】，当与的夹角为时，也符合题意，所以选项A错误； ，又因为，所以，所以选项B正确； 若，，，所以，则，但，所以选项C错误； ，因为，所以， 所以， 所以， 因为向量夹角范围为，所以，所以选项D正确； 故选：BD. 11. 在棱长为 1 的正方体中，分别为棱的中点，则（ ） A. 直线与是异面直线 B. 直线与所成的角是 C. 直线平面 D. 平面截正方体所得的截面面积为. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据异面直线成角，线面垂直的判定定理，梯形面积公式逐项判断即可. 【详解】对于A，由于平面，平面， 故直线与是异面直线，故A正确； 对于B，如图，连接，因为分别为棱的中点，所以， 所以直线与所成的角即为直线与所成的角， 又因为是等边三角形，所以直线与所成的角为， 故直线与所成的角是，故B正确； 对于C，如图，假设直线平面，又因平面，所以，而，这三边不能构成直角三角形， 所以与不垂直，故假设错误，故C错误； 对于D，如图，连接，因为，所以， 所以平面截正方体所得的截面为梯形， 且，所以梯形的高为， 所以截面面积为，故D正确. 故选：ABD. 第II卷 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中的横线上． 12. 已知平面平面，直线，下列说法正确的是________（填序号） ①与内任一直线平行； ②与内无数条直线平行； ③与内任一直线不垂直； ④与无公共点． 【答案】②④ 【解析】 【分析】根据直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系判断可得答案. 【详解】①如图，平面平面，，，但不与平行，故错误； ②如图，若平面平面，直线，， 则，因为在平面有无数条直线与平行， 所以在平面有无数条直线与平行，故正确； ③如图，长方体中，若平面平面，直线，，则，故错误； ④若平面平面，则平面与平面无公共点， 因为直线，所以与无公共点，故正确． 故答案为：②④. 13. 已知，，，则________. 【答案】 【解析】 【分析】由向量数量积公式算得结果，注意这两个向量夹角不是，而是它的补角 【详解】 故答案为： 14. 瑞云塔是福清市古街打卡的景点．某同学为了测量瑞云塔ED的高，他在山下A处测得塔尖D的仰角为，再沿AC方向前进15米到达山脚点B，测得塔尖点D的仰角为，塔底点E的仰角为，那么瑞云塔高为________米．（答案保留根号形式） 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理求出，再结合直角三角形边角关系求解即得. 【详解】在中，，则，， 由正弦定理得，则， 在中，，则， 在中，，则，又， 因此，， 所以瑞云塔高约为米. 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知O为坐标原点，向量，，，若A、B、C三点共线，且，求实数的值． 【答案】或． 【解析】 【分析】根据已知条件及向量的线性运算，利用向量平行的条件即可求解. 【详解】因为向量，，，所以，， 因为A，B，C三点共线，所以，平行， 所以，即， 将代入中，得或． 16. 正方体中，，分别是，的中点. （1）求异面直线与所成角； （2）求证：平面 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）连接，，即可得到，则或其补角为异面直线与所成的角，结合正方体的性质求出； （2）取的中点，连接，，即可证明平面平面，从而得证. 【小问1详解】 连接，， 因且，所以四边形为平行四边形， 所以，则或其补角为异面直线与所成的角， 在正方体中，可得，即为等边三角形， 所以，所以异面直线与所成角为； 【小问2详解】 取的中点，连接，， 因为，分别是，的中点， 所以，， 而，所以， 又因为平面，平面，平面， 平面， 所以平面，平面， 又，平面， 所以平面平面， 因为平面， 所以平面． 17. 某小区为了提高小区内人员的读书兴趣，特举办读书活动，准备进一定量的书籍丰富小区图书站，由于不同年龄段需看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现对小区内看书人员进行年龄调查，随机抽取了名读书者进行调查，将他们的年龄分成段：后得到如图所示的频率分布直方图． （1）估计在名读书者中年龄分布在的人数； （2）求名读书者年龄的平均数和中位数； （3）若从年龄在的读书者中任取2名，求这两名读书者年龄恰有1人在的概率． 【答案】（1）24 （2）平均数54，中位数为55． （3）． 【解析】 【分析】（1）依据频率分布直方图的性质直接求解即可. （2）利用频率分布直方图中平均数和中位数的求法处理即可. （3）找到基本事件数和符合条件的事件数，利用古典概型的概率公式求解即可. 【小问1详解】 由频率分布直方图得： 年龄分布在的频率为， ∴名读书者中年龄分布在人数为． 【小问2详解】 由频率分布直方图得：名读书者年龄的平均数为； ∵，， ∴中位数位于，可设中位数为，则， 解得，即名读书者年龄的中位数为55． 【小问3详解】 由频率分布直方图知：年龄在的有人， 记为；年龄在的有人，记为；从中任取2人， 则有， ，共15种情况； 其中恰有1人在的情况有， 共8种情况，且设概率为， ∴恰有1人在的概率． 18. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，． （1）求c； （2）设D为BC边上一点，且，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据已知求角再应用余弦定理求边长即可； （2）先应用余弦求边长再结合面积公式求解. 【小问1详解】 ∵，∴， ∵，∴， 由余弦定理可得，即， 即，解得（舍去）或， 故． 【小问2详解】 ∵，即， 则，∴， 所以， ∴. 19. 如图，四棱锥的底面是边长为的正方形，． （1）证明：平面平面； （2）若，且与平面的夹角为 （i）证明； （ii）求二面角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）（i）证明见解析；（ii） 【解析】 【分析】（1）连接，可证和，根据线面垂直的判定定理即可得平面，最后根据面面垂直的判定定理即可证明； （2）（）过点作交于点，结合，根据线面垂直的判定定理可得平面，即为与平面所成的角，故得解； （）过点作交于点，连接，证明，即知即为二面角的平面角，再根据三角形平行线定理和勾股定理求出、的长，最后由锐角三角函数即可得解. 【小问1详解】 如图①所示，设，连接， 因为四边形为正方形，所以， 又因为为的中点，且， 所以， 又，，平面， 所以平面， 又平面， 所以平面平面； 【小问2详解】 （）如图②所示，在平面中过点作交于点， 因为平面，又平面， 所以， 又，，平面， 所以平面， 所以即为与平面所成的角， 即， 所以； （）因为，且， 所以， 如图②所示，过点作交于点，连接， 又平面，平面， 所以， 又，，平面， 所以平面， 又平面，所以， 所以即为二面角的平面角， 又， 所以 因为四边形为正方形， 所以， 又因为 所以， 所以， 即，， 解得，， 又平面，平面， 所以， 所以， 所以， 所以二面角的正弦值为． 【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何的综合应用，解题的关键是熟练掌握线面、面面垂直的判断定理和性质定理，以及线面角、二面角的定义和求法. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$