精品解析：吉林省吉林市船营区桃源路中学2025-2026学年七年级下学期7月期末数学试题

八中桃源路联合中学初中数学七年级下册期末试卷 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 下列各数是无理数的是（ ） A. B. 0 C. D. 2. 在下列各组由运动项目的图标组成的图形中，能将其中一个图形只经过平移得到另一个图形的是（ ） A. B. C. D. . 3. 在平面直角坐标系中，点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 若，则下列不等式不一定成立的是 （ ） A. B. C. D. 5. 下列命题中，假命题的是（ ） A. 内错角相等 B. 同角的余角相等 C. 对顶角相等 D. 邻补角是互补的角 6. 为了解学生上学、放学途中的用时情况，合理安排学生进、离校时间，学校随机抽取了20名学生，收集了他们某一天上学、放学途中的用时(单位：分钟)数据．根据数据绘制的统计图如右图所示． 下面有四个推断： ①这20名学生上学途中用时均没有超过； ②这20名学生放学途中用时最短为； ③这20名学生放学途中用时在以内的人数超过一半； ④根据图中散点的分布情况，可以推断该校学生上学途中用时和放学途中用时比较接近． 所有合理推断的序号是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 比较大小：_____3. 8. 投壶是我国古代宴会时礼节性的游戏．如图，游戏时宾客依次将箭矢投入一个特制的壶中，投中多者为胜．若四位投壶者分别站在直线上的点，，，处往点处的壶内投箭矢，小明认为站在点处的投壶者更容易获胜，其中蕴含的数学道理是_________． 9. 进行数据的调查收集，一般可分为以下六个步骤，但它们的顺序弄乱了，正确的顺序是__________．(用字母按顺序写出即可)A．明确调查问题；B．记录结果；C．得出结论；D．确定调查对象；E．展开调查；F．选择调查方法. 10. 我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？”意思是：现有人和车若干，若每辆车坐3个人，则空出两辆车；若每辆车坐2个人，则有9个人需要步行，问人和车各有多少？如果设有x个人，y辆车，那么可列方程组为______________． 11. 在数学游艺会上，某同学负责一个游戏项目，她准备了50张同样的卡片，上面分别写有1，2，3，…，49，50，游戏规则是：先将卡片顺序打乱，参与者从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上（如图），这五张卡片分别记为A，B，C，D，E．她依次将相邻两张卡片上的数的和告诉参与者，请参与者猜出其中哪张卡片上的数字最大．下表是其中一个参与者抽取的五张卡片中相邻两张卡片上的数的和，则这五张卡片上数字最大的是______（填A，B，C，D，E） 卡片编号 A，B B，C C，D D，E E，A 两数的和 50 62 55 67 44 三、解答题（本题共11小题，共87分） 12. 计算： 13. 解不等式组：，并在数轴上表示其解集． 14. 把下面的推理过程补充完整． 如图，点E，F分别在，上，于点O，． 求证：． 证明：（已知）， ______________（______________）． （已知）， ______________（________________________）， ∴______________（________________________）， ． 15. 在平面直角坐标系中，已知，，．过点作轴的垂线，垂足为，在的延长线上取一点，使得，平移线段，使点移动到点，点的对应点是点． （1）在平面直角坐标系中描出点； （2）结合题意，画出线段，； （3）直接写出，两点的坐标为______________； （4）直接写出三角形的面积为______________． 16. 如图，已知点A，B是数轴上两点，，点B在点A的右侧，点A表示的数为，设点B表示的数为m． （1）实数m的值是______； （2）求的值； （3）在数轴上有C，D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的平方根． 17. 【定义新知】给定两个不等式P和Q，若不等式P的任意一个解，都是不等式Q的一个解，则称不等式P为不等式Q的“子集”． 例如：不等式是不等式的子集．同理，给定两个不等式组M和N，若不等式组M的任意一个解，都是不等式组N的一个解，则称不等式组M为不等式组N的“子集”，例如：不等式组是不等式组的子集． 【新知应用】 （1）请写出不等式的一个子集_____________________； （2）若不等式组，不等式组，则其中不等式组______________是不等式组的“子集”（填：A或B）； （3）若关于x的不等式组是不等式组的“子集”，则a的取值范围是______________； 18. 推进生态文明建设是践行绿色可持续发展的核心举措．我国明确提出：力争2030年前实现碳达峰、2060年前实现碳中和．为积极响应低碳发展理念，我们可以通过节约资源、绿色出行等方式减少（备注：为二氧化碳）排放，也可以借助植树造林，利用植物的光合作用吸收，最终实现排放与吸收的动态平衡，助力绿色生态发展．生活中的用电、用水、交通出行都会产生碳排放，各项碳排放量核算公式如下： 家居用电的排放量耗电量； 家用自来水排放量自来水使用量； 乘公交车的排放量行驶距离； 驾私家车的排放量行驶距离． （1）清越家某月的家居用电和家用自来水两项共产生排放，已知该月耗电量与自来水使用量的数值之和为105，求清越家该月的耗电量与自来水使用量分别是多少？ （2）清越想为我国“碳中和”的实现贡献自己的力量，她决定上下学时由乘坐私家车改为乘公交车．已知清越每天上下学的往返距离共为（乘坐私家车或公交车路程不变），与乘坐私家车相比，每天乘公交车上下学可以减少产生碳排放量______________； （3）树木通过光合作用吸收，将其转化为氧气和有机物，中和碳排放．已知一棵树一年大约吸收．若清越决定在2025—2026学年均乘公交车上下学，已知该学年到校时间共193天，那么她减少的碳排放量大约相当于种植了______________棵树（精确到个位）． 19. 阅读材料：善于思考的乐乐同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法．把，看成一个整体，设，，则原方程组可化为，解得，即，解得． （1）学以致用，模仿乐乐同学的“整体换元”的方法，解方程组． （2）拓展提升，已知关于x，y的方程组的解为，请直接写出关于m、n的方程组的解是______． 20. 2026吉林市马拉松于5月31日在吉林市人民广场鸣枪开赛，赛事官方称总参赛规模为3万人赛后大量参赛选手在吉林市游玩赏景，记者对大家的游览首选地进行了调查，有以下五个：A．吉林陨石博物馆；B．北山风景区；C．松花湖风景名胜区；D．朱雀山国家森林公园；E．吉林西站．某校数学研究小组同学对记者的调查数据进行整理，并根据统计结果，绘制如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中信息，解答下列问题： （1）①此次调查一共随机调查了______________名选手； ②补全条形统计图； ③扇形统计图中圆心角______________度； （2）依据本次抽样调查结果，估算本届30000名参赛选手中，首选朱雀山国家森林公园的选手总人数． （3）现有四名同学对本次统计调查作出如下判断，判断合理的有______________． ①本次调查只抽取了400人，样本容量太小，无法反映任何参赛选手的景点偏好； ②本次调查在马拉松比赛结束后开展，未考虑选手赛后疲劳、行程变动等情况，统计结果可能存在偏差； ③若直接使用本次2026年的调查数据预估2027年选手游览偏好，忽略天气、景区开放政策、客流活动等变量，预估结果会存在误差； ④本次调查的总体是3万名参赛选手的景点偏好，抽样方法如果科学，样本数据可以用来估计总体的景点偏好． 21. 2026年5月24日神舟二十三号载人飞船发射任务圆满成功，七年级（1）班很多同学都是航天爱好者，他们计划采购甲、乙两款神舟二十三号仿真飞船模型用于班级收藏．已知购买1件甲种模型和1件乙种模型共需40元；购买2件甲种模型和3件乙种模型一共花费95元． （1）求甲、乙两种飞船模型的销售单价； （2）班委会决定一共采购两款模型共计15件，且总采购预算低于320元，则最多能购进______________件甲种飞船模型； （3）供货商针对甲模型推出阶梯优惠：采购数量不超过5件按原价销售，采购数量超出5件时，超出部分每件优惠6元，乙模型售价保持不变．若仍一共采购15件模型． ①当购买甲模型为7件时，所花费用需要______________元； ②班委会决定同时购买两种模型，所用资金高于280元且不超过295元．请通过计算说明共有多少种购买方案？ 22. 【问题情境】在劳动课上，陈老师带同学们制作手工艺品． 活动一：张华先通过折纸折出一个框架，折纸过程如下：图①-图②-图③-图④． （1）通过上述的折纸过程，图②的折痕与直线的位置关系是______；如图④，因为，所以，依据是______． 活动二：张华在框架做好以后，他在P、Q两点处安装了两个小射灯，射灯P发出的射线从开始，绕点P以每秒的速度顺时针旋转，每次碰到后立即原路返回，若射线转动20秒后，射灯Q发出的射线从开始，绕点Q以每秒的速度顺时针旋转，每次碰到后立即原路返回． （2）在射线第一次到达之前，当射灯Q转动t秒时，射线转动到如图⑤的位置． ①______用含t的式子表示； ②记射线与射线的交点为点O，在图⑥中画出秒时的图形，求此时的度数． 【问题探究】 （3）在（2）的条件下，求当t为何值时． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八中桃源路联合中学初中数学七年级下册期末试卷 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 下列各数是无理数的是（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义，熟练掌握定义是解题的关键．根据无理数指的是无限不循环小数，一般无理数有三种形式：含的式子、带根号且开不尽方的数、无限不循环小数，逐项判断即可． 【详解】解：A、属于有理数，不符合题意； B、0属于有理数，不符合题意； C、，属于有理数，不符合题意； D、属于无理数，符合题意； 故选：D． 2. 在下列各组由运动项目的图标组成的图形中，能将其中一个图形只经过平移得到另一个图形的是（ ） A. B. C. D. . 【答案】B 【解析】 【详解】A、方向改变，不能通过平移得到； B、可以通过平移得到； C、大小不同，不能通过平移得到； D、方向改变，不能通过平移得到. 3. 在平面直角坐标系中，点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了判断点所在的象限，坐标系中每个象限内点的符号特点如下：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限，据此即可求解 【详解】解：∵，横坐标小于0，纵坐标大于0 ， ∴点位于第二象限， 故选：B． 4. 若，则下列不等式不一定成立的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质．根据不等式的性质进行解答． 【详解】A. 由，两边加1，不等号方向不变，故成立，不符合题意； B. 由，两边乘，不等号方向改变，故成立，不符合题意； C. 由，两边减去b，不等号的方向不变，故成立，不符合题意； D. 当时，同时除以b，不等号的方向改变，故，故原式不一定成立，符合题意； 故选：D． 5. 下列命题中，假命题的是（ ） A. 内错角相等 B. 同角的余角相等 C. 对顶角相等 D. 邻补角是互补的角 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行线性质，余角、对顶角、邻补角的定义和性质，逐一判断各选项命题的真假． 【详解】解：A、∵只有两条平行直线被第三条直线所截，得到的内错角才相等，命题中缺少“两直线平行”的条件，∴该命题是假命题； B、根据余角的性质，同角的余角相等，该命题是真命题； C、对顶角相等是对顶角的基本性质，该命题是真命题； D、邻补角的和为，符合互补角的定义，该命题是真命题． 6. 为了解学生上学、放学途中的用时情况，合理安排学生进、离校时间，学校随机抽取了20名学生，收集了他们某一天上学、放学途中的用时(单位：分钟)数据．根据数据绘制的统计图如右图所示． 下面有四个推断： ①这20名学生上学途中用时均没有超过； ②这20名学生放学途中用时最短为； ③这20名学生放学途中用时在以内的人数超过一半； ④根据图中散点的分布情况，可以推断该校学生上学途中用时和放学途中用时比较接近． 所有合理推断的序号是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了从图象获取信息. 根据图中信息，逐项分析即可求解. 【详解】解：根据在坐标系中点的位置，可知： 这名学生上学途中所有用时都是没有超过的，故①说法正确； 这名学生放学途中用时最段的时间大于，故②说法错误； 这名学生上学途中用时在以内的人数为：人，超过一半，故③说法正确； 根据图中散点的分布情况，可以推断该校学生上学途中用时和放学途中用时比较接近，故④说法正确； 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 比较大小：_____3. 【答案】＜. 【解析】 【分析】根据题目特点知此题可选用平方法，即将两数分别平方后再比较大小，平方后两数大小关系就是原来两数的大小关系. 【详解】将两数分别平方，有 ()2=6，3 2=9， 因为6＜9， 所以＜3. 故答案为:＜. 【点睛】此题考查实数大小比较，解题关键在于掌握比较方法. 8. 投壶是我国古代宴会时礼节性的游戏．如图，游戏时宾客依次将箭矢投入一个特制的壶中，投中多者为胜．若四位投壶者分别站在直线上的点，，，处往点处的壶内投箭矢，小明认为站在点处的投壶者更容易获胜，其中蕴含的数学道理是_________． 【答案】垂线段最短 【解析】 【分析】本题主要考查了垂线的性质．根据直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短求解即可． 【详解】解：若四位投壶者分别站在直线上的点，，，处往点处的壶内投箭矢，小明认为站在点处的投壶者更容易获胜，其中蕴含的数学道理是垂线段最短， 故答案为：垂线段最短． 9. 进行数据的调查收集，一般可分为以下六个步骤，但它们的顺序弄乱了，正确的顺序是__________．(用字母按顺序写出即可)A．明确调查问题；B．记录结果；C．得出结论；D．确定调查对象；E．展开调查；F．选择调查方法. 【答案】ADFEBC 【解析】 【详解】数据的收集调查分为以下6个步骤，明确调查问题，根据调查问题确定调查对象，然后根据这些选择调查方法，然后展开调查，记录结果进行分析，最后得出结论； 所以正确地顺序是ADFEBC． 故答案为：ADFEBC 10. 我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？”意思是：现有人和车若干，若每辆车坐3个人，则空出两辆车；若每辆车坐2个人，则有9个人需要步行，问人和车各有多少？如果设有x个人，y辆车，那么可列方程组为______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题干给出的两个等量关系，找出关于人数和车辆数的等式，即可列出二元一次方程组． 【详解】解：根据题意，当每辆车坐个人，空出辆车，实际使用车辆数为，则； 当每辆车坐个人，有个人步行，实际坐车人数为，则； 综上可列方程组为． 11. 在数学游艺会上，某同学负责一个游戏项目，她准备了50张同样的卡片，上面分别写有1，2，3，…，49，50，游戏规则是：先将卡片顺序打乱，参与者从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上（如图），这五张卡片分别记为A，B，C，D，E．她依次将相邻两张卡片上的数的和告诉参与者，请参与者猜出其中哪张卡片上的数字最大．下表是其中一个参与者抽取的五张卡片中相邻两张卡片上的数的和，则这五张卡片上数字最大的是______（填A，B，C，D，E） 卡片编号 A，B B，C C，D D，E E，A 两数的和 50 62 55 67 44 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等式的性质和不等式的应用，熟练掌握等式的性质和不等式的应用是解答本题的关键．由题意得到关于①②③④⑤的方程，然后作差利用不等式的性质，最后根据题意得结论． 【详解】解：设A，B，C，D，E卡片上对应的数分别为a，b，c，d，e， 则，，，，， 得：，； 得：，； 得：，； 得：，； 得：，； ，且， B卡片上的数最大． 故答案为：B． 三、解答题（本题共11小题，共87分） 12. 计算： 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 ． 13. 解不等式组：，并在数轴上表示其解集． 【答案】 ，在数轴上表示解集如图 【解析】 【分析】先分别求出不等式组中两个一元一次不等式的解集，再取两个解集的公共部分得到不等式组的最终解集，最后将解集在数轴上表示即可； 【详解】解：， 解不等式①得， 解不等式②得， 不等式组的解集为， 在数轴上表示解集略． 14. 把下面的推理过程补充完整． 如图，点E，F分别在，上，于点O，． 求证：． 证明：（已知）， ______________（______________）． （已知）， ______________（________________________）， ∴______________（________________________）， ． 【答案】 证明：；垂直的定义；；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补 【解析】 【分析】利用平行的判定和性质，即可得到答案． 【详解】略 15. 在平面直角坐标系中，已知，，．过点作轴的垂线，垂足为，在的延长线上取一点，使得，平移线段，使点移动到点，点的对应点是点． （1）在平面直角坐标系中描出点； （2）结合题意，画出线段，； （3）直接写出，两点的坐标为______________； （4）直接写出三角形的面积为______________． 【答案】（1）如图所示，点即为所求作； （2）如图所示，线段，即为所求作； （3）， （4） 【解析】 【分析】（1）根据点的坐标，在图中描出点的位置； （2）根据题目要求，过点作轴的垂线，垂足为，在的延长线上取一点，使得，平移线段，使点移动到点，点的对应点是点，连接； （3）根据平移规律直接写出，两点的坐标； （4）根据的面积等于直角梯形的面积减去旁边两个直角三角形的面积，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：如图， ． 16. 如图，已知点A，B是数轴上两点，，点B在点A的右侧，点A表示的数为，设点B表示的数为m． （1）实数m的值是______； （2）求的值； （3）在数轴上有C，D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的平方根． 【答案】（1） （2） （3）的平方根为 【解析】 【分析】本题考查的是实数与数轴，非负数的性质，平方根的含义； （1）根据数轴上两点之间的距离可得答案； （2）由数轴可知：，再根据绝对值的意义化简即可； （3）根据非负数的性质求解，，再进一步求解即可． 【小问1详解】 解：∵点B在数轴上点A右右侧，点A表示的数为，， ∴， 【小问2详解】 解：由数轴可知：， ∴，， ∴； 【小问3详解】 解：∵与互为相反数， ∴， 又，均为非负数，故且， 即，， ∴， ∴的平方根为． 17. 【定义新知】给定两个不等式P和Q，若不等式P的任意一个解，都是不等式Q的一个解，则称不等式P为不等式Q的“子集”． 例如：不等式是不等式的子集．同理，给定两个不等式组M和N，若不等式组M的任意一个解，都是不等式组N的一个解，则称不等式组M为不等式组N的“子集”，例如：不等式组是不等式组的子集． 【新知应用】 （1）请写出不等式的一个子集_____________________； （2）若不等式组，不等式组，则其中不等式组______________是不等式组的“子集”（填：A或B）； （3）若关于x的不等式组是不等式组的“子集”，则a的取值范围是______________； 【答案】（1）（答案不唯一） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用“子集”的定义解答即可； （2）先解出两个不等式组的解集，然后根据定义判断即可； （3）先解不等式组，然后根据定义解答即可． 【小问1详解】 解：根据定义，只要不等式的所有解都满足，就是的子集， 例如，任意解都满足，因此是符合要求的子集（答案不唯一）． 【小问2详解】 解：解不等式组，得， 解不等式组，得， ∵不等式组的解集为， ∴不等式组的任意一个解，都是不等式组的一个解， ∴不等式组是不等式组的“子集”； 【小问3详解】 解：解不等式组，得， ∵关于的不等式组是不等式组的“子集”， ∴． 18. 推进生态文明建设是践行绿色可持续发展的核心举措．我国明确提出：力争2030年前实现碳达峰、2060年前实现碳中和．为积极响应低碳发展理念，我们可以通过节约资源、绿色出行等方式减少（备注：为二氧化碳）排放，也可以借助植树造林，利用植物的光合作用吸收，最终实现排放与吸收的动态平衡，助力绿色生态发展．生活中的用电、用水、交通出行都会产生碳排放，各项碳排放量核算公式如下： 家居用电的排放量耗电量； 家用自来水排放量自来水使用量； 乘公交车的排放量行驶距离； 驾私家车的排放量行驶距离． （1）清越家某月的家居用电和家用自来水两项共产生排放，已知该月耗电量与自来水使用量的数值之和为105，求清越家该月的耗电量与自来水使用量分别是多少？ （2）清越想为我国“碳中和”的实现贡献自己的力量，她决定上下学时由乘坐私家车改为乘公交车．已知清越每天上下学的往返距离共为（乘坐私家车或公交车路程不变），与乘坐私家车相比，每天乘公交车上下学可以减少产生碳排放量______________； （3）树木通过光合作用吸收，将其转化为氧气和有机物，中和碳排放．已知一棵树一年大约吸收．若清越决定在2025—2026学年均乘公交车上下学，已知该学年到校时间共193天，那么她减少的碳排放量大约相当于种植了______________棵树（精确到个位）． 【答案】（1）清越家该月的耗电量为，自来水使用量为 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意找出等量关系，列一元一次方程即可求解； （2）用每千米减少的碳排放量每天上下学的往返距离即可求解； （3）用整个学年减少的总碳排放量一棵树一年吸收的量即可求解． 【小问1详解】 解：设清越家该月的耗电量为，自来水使用量为， 由题意得，， 解得，， 则自来水使用量为， 答：清越家该月的耗电量为，自来水使用量为； 【小问2详解】 解：每天乘公交车上下学可以减少产生碳排放量； 【小问3详解】 解：她减少的碳排放量大约相当于种植了． 19. 阅读材料：善于思考的乐乐同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法．把，看成一个整体，设，，则原方程组可化为，解得，即，解得． （1）学以致用，模仿乐乐同学的“整体换元”的方法，解方程组． （2）拓展提升，已知关于x，y的方程组的解为，请直接写出关于m、n的方程组的解是______． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据题意所给材料可令，则原方程组可化为，解出m，n，代入，再解出关于x，y的方程组即可； （2）根据题意所给材料可得出，再解出这个方程组即可． 【小问1详解】 解：对于，令， 则原方程组可化为， 解得：， ∴，即， 解得：； 【小问2详解】 解：∵方程组的解是， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查二元一次方程组的特殊解法—“整体换元法”．读懂题干，理解题意，掌握“整体换元法”的步骤是解题关键． 20. 2026吉林市马拉松于5月31日在吉林市人民广场鸣枪开赛，赛事官方称总参赛规模为3万人赛后大量参赛选手在吉林市游玩赏景，记者对大家的游览首选地进行了调查，有以下五个：A．吉林陨石博物馆；B．北山风景区；C．松花湖风景名胜区；D．朱雀山国家森林公园；E．吉林西站．某校数学研究小组同学对记者的调查数据进行整理，并根据统计结果，绘制如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中信息，解答下列问题： （1）①此次调查一共随机调查了______________名选手； ②补全条形统计图； ③扇形统计图中圆心角______________度； （2）依据本次抽样调查结果，估算本届30000名参赛选手中，首选朱雀山国家森林公园的选手总人数． （3）现有四名同学对本次统计调查作出如下判断，判断合理的有______________． ①本次调查只抽取了400人，样本容量太小，无法反映任何参赛选手的景点偏好； ②本次调查在马拉松比赛结束后开展，未考虑选手赛后疲劳、行程变动等情况，统计结果可能存在偏差； ③若直接使用本次2026年的调查数据预估2027年选手游览偏好，忽略天气、景区开放政策、客流活动等变量，预估结果会存在误差； ④本次调查的总体是3万名参赛选手的景点偏好，抽样方法如果科学，样本数据可以用来估计总体的景点偏好． 【答案】（1）①名， ②首选地为A的人数：名， 首选地为C的人数：名， 补全条形统计图，如下图所示， ③； （2）人 （3）②③④ 【解析】 【分析】（1）利用条形统计图和扇形统计图的信息提取与互推，即可求解； （2）通过样本中某类别的占比，估计总体中对应类别的数量； （3）根据样本容量的意义、抽样的随机性与偏差来源、总体与样本的关系、抽样结果的适用范围与误差分析． 【小问1详解】 解：①（名）， ②首选地为A的人数：（名）， 首选地为C的人数：（名）， 补全条形统计图略， ③； 【小问2详解】 解：（人）， 答：首选朱雀山国家森林公园的选手总人数为人； 【小问3详解】 解：①判断不合理，总体为30000，样本容量为400，只要抽样方法科学，样本可以有效估计总体； ②判断合理，本次调查在马拉松比赛结束后开展，未考虑选手赛后疲劳、行程变动等情况，统计结果可能与平时选择存在偏差； ③判断合理，忽略天气、景区开放政策、客流活动等变量，直接采用2026年的调查数据预估2027年选手游览偏好，预估结果可能会存在一定误差； ④判断合理，若抽样方法合理科学，样本数据可以估计总体特征． 21. 2026年5月24日神舟二十三号载人飞船发射任务圆满成功，七年级（1）班很多同学都是航天爱好者，他们计划采购甲、乙两款神舟二十三号仿真飞船模型用于班级收藏．已知购买1件甲种模型和1件乙种模型共需40元；购买2件甲种模型和3件乙种模型一共花费95元． （1）求甲、乙两种飞船模型的销售单价； （2）班委会决定一共采购两款模型共计15件，且总采购预算低于320元，则最多能购进______________件甲种飞船模型； （3）供货商针对甲模型推出阶梯优惠：采购数量不超过5件按原价销售，采购数量超出5件时，超出部分每件优惠6元，乙模型售价保持不变．若仍一共采购15件模型． ①当购买甲模型为7件时，所花费用需要______________元； ②班委会决定同时购买两种模型，所用资金高于280元且不超过295元．请通过计算说明共有多少种购买方案？ 【答案】（1）甲种模型的销售单价为元、乙种模型的销售单价元； （2）9 （3）①；②共4种方案 【解析】 【分析】（1）题目给出两组甲乙搭配购买的总价等量关系，可设单价建立二元一次方程组求解； （2）设甲采购数量为未知数，结合总件数表示乙的数量，根据总预算低于元列不等式，取满足条件的最大整数； （3）①甲采购7件超出5件，分段计算甲的费用，再结合乙的采购数量算出乙费用，两者相加得到总花费；②分甲采购量不超过5件、超过5件两种优惠情况列出总费用表达式，结合资金范围解不等式，筛选合法整数取值得到方案数． 【小问1详解】 解：设甲种模型的销售单价为、乙种模型的销售单价为， ， 解得：， 答：甲种模型的销售单价为元、乙种模型的销售单价为元； 【小问2详解】 解：设购进甲种模型件，则购进乙种模型件， 由题意得：， 解得：， 因为为正整数， 所以的最大值为； 【小问3详解】 解：①当购买甲模型为7件时， 前5件按原价：元； 超出的2件每件优惠6元：元； 乙模型的数量为， 费用：元， 所花费用需要：元； ②设购买甲种模型件，则乙种模型件， 当时， ， 解得：， ， 故此情况无解； 当时， ， 解得：， 为正整数，故，共4种方案． 22. 【问题情境】在劳动课上，陈老师带同学们制作手工艺品． 活动一：张华先通过折纸折出一个框架，折纸过程如下：图①-图②-图③-图④． （1）通过上述的折纸过程，图②的折痕与直线的位置关系是______；如图④，因为，所以，依据是______． 活动二：张华在框架做好以后，他在P、Q两点处安装了两个小射灯，射灯P发出的射线从开始，绕点P以每秒的速度顺时针旋转，每次碰到后立即原路返回，若射线转动20秒后，射灯Q发出的射线从开始，绕点Q以每秒的速度顺时针旋转，每次碰到后立即原路返回． （2）在射线第一次到达之前，当射灯Q转动t秒时，射线转动到如图⑤的位置． ①______用含t的式子表示； ②记射线与射线的交点为点O，在图⑥中画出秒时的图形，求此时的度数． 【问题探究】 （3）在（2）的条件下，求当t为何值时． 【答案】（1）垂直，内错角相等，两直线平行；（2）①；②；（3）10或 【解析】 【分析】根据翻折的性质进行判断即可，根据平行线的判定定理进行判断即可； ①根据角度=转动速度时间列出代数式即可； ②分别计算此时的和，再图中画出O点，过O作，利用平行线的性质求解即可； 计算t的取值范围，根据平行线的性质进行解答即可． 本题主要考查了平行线的判定与性质，根据角的数量关系列出方程是本题解题的关键． 【详解】解：由折叠的性质可知，， ， 内错角相等，两直线平行； 故答案为：垂直，内错角相等，两直线平行； ①当时，， 转动过程中，， 故答案为：； ②当时，，， 如图： 作， ， ， ，， ； 当时，运动停止， ， ， ①当时，在垂直方向右侧，如图： ， ， ， ， ， 即， ， 解得：； ②当时，如图： 同理可得：， ， 解得：； ③当时，如上图， 同理可得：， ， 解得：，不符合题意； 综上所述，或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $