3.1抛物线及其标准方程教学设计-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学教学设计聚焦抛物线的定义及标准方程，通过高空抛物、投篮轨迹等生活实例导入，渗透德育教育，结合已学的椭圆、双曲线知识，以类比方式构建从具体到抽象的学习支架。 此资料亮点在于以生活情境培养数学眼光，用几何画板动态演示抛物线生成过程发展直观想象，通过小组探究推导标准方程强化逻辑推理。例题与变式训练提升数学运算能力，多样教学方法助学生深化概念理解，也为教师提供清晰教学路径。

教学设计：高中数学《3.1抛物线及其标准方程》 一、教材分析 本节课选自《人教版高中数学选择性必修第一册》第三章《圆锥曲线的方程》,本节课主要学习抛物线及其标准方程. 在经历了椭圆和双曲线的学习后再学习抛物线,是在学生原有认知的基础上从几何与代数两个角度去认识抛物线.教材在抛物线的定义这个内容的安排上是：先从直观上认识抛物线,再从画法中提炼出抛物线的几何特征,由此抽象概括出抛物线的定义,最后是抛物线定义的简单应用.这样的安排不仅体现出 《课程标准》中要求通过丰富的实例展开教学的理念,而且符合学生从具体到抽象的认知规律,有利于学生对概念的学习和理解. 坐标法的教学贯穿了整个“圆锥曲线方程”一章,是学生应重点掌握的基本数学方法 运动变化和对立统一的思想观点在这节知识中得到了突出体现,我们必须充分利用好这部分教材进行教学 二、学情分析 我们高级学生刚刚学习了椭圆,双曲线的定义和标准方程,对于曲线与方程的对应关系有了一定的认识,但由于抛物线涉及的是到一个点与一条直线的距离相等的点的轨迹,和已经学过的椭圆和双曲线的定义有区别,处理起来可能会有点困难；同时我们高级层次的学生已经初步尝试过坐标法在解析几何中的应用,对于简单的问题可以用坐标法求解,但对于坐标系的选取,式子的变形与化简等方面经验不足,需要进一步的指导和强化练习。另外,态度上学生对解析几何中数形结合的思想存在一定的畏难情绪,不愿在画图,运算等方面进行尝试,需要一定的成功经验激励学生. 三、课程目标 1. 掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念． 2.掌握抛物线的标准方程及其推导过程． 3.明确的几何意义,并能解决简单的求抛物线标准方程问题． 四、学科素养 1.数学抽象：抛物线的定义 2.逻辑推理：抛物线标准方程的推导 3.数学运算：根据条件求抛物线标准方程 4.直观想象：抛物线的定义的运用 五、教学重难点 重点：抛物线的定义及其标准方程 难点：运用定义推导抛物线标准方程 六、教学方法 启发探究法、讲授法、小组讨论法 七、教学准备 PPT,几何画板软件,三角板,教案 八、教学过程 (一)引入 让学生观察图片,引入新课内容 情景问题一：观察图片,同学们发现了什么？ 生：高空抛物 师：非常好,同学的观察的很仔细 1、高空抛物是一件十分危险的事情,据研究一枚鸡蛋25楼坠下砸碎头骨,空可乐罐15楼掉落等同石头,半块西瓜皮从8楼飞出能让人当场昏迷. 2、法律层面《中华人民共和国刑法》第二百九十一条之二,从建筑物或者其他高空抛掷物品,情节严重的处一年以下有期徒刑,拘役或者罚金. 3、高空抛物中,物体的运动轨迹就是抛物线. 情景问题二：你能列举生活中与之类似抛物线的例子吗？ 投篮：篮球运动轨迹,喷泉：水花的轨迹等； 设计意图：抛物线与我们的生活息息相关,让同学们认识生活中的抛物线,渗透德育思想：高空抛物不可取 (二)教授新课 1、问题探究 已知直线的方程为,定点动点到直线的距离与到定点的距离相等,求动点的轨迹方程. 独立思考,小组讨论回答问题： 1、 求动点轨迹的步骤是什么？ 2、 的轨迹方程是什么,是否为我们熟悉的方程？ 3、 你能画出动点的大致图象吗？ 4、你能由此题猜想得出一般抛物线的定义吗？ 解：设 点到直线的距离, 由题, 化解得：即 所以的轨迹为是顶点在原点开口向上的抛物线. 设计意图：采取小组合作探究的形式从特殊问题出发,数形结合归纳猜想得出抛物线的定义,增强学生数学抽象能力，为后续推导抛物线的标准方程做铺垫,激发学生的学习兴趣. 2、 抛物线的定义 （1）观察抛物线的画法（几何画板）,给出抛物线的定义. 可以发现,点随着运动的过程中,始终有,即点与点和定直线的距离相等.点生成的轨迹是曲线的形状.(如图),我们把这样的一条曲线叫做抛物线. （2）抛物线的定义 我们把平面内与一个定点和一条定直线（不经过点）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点叫做抛物线的焦点,直线叫做抛物线的准线. 设计意图：结合计算机软件直观地让学生感知抛物线的画法,进而得出抛物线的定义. 3.抛物线的标准方程 (1)焦点位于轴,开口向右的抛物线的标椎方程的推导（类比问题探究） 问1：问题探究中抛物线顶点在什么位置？焦点在什么位置？ 生：顶点在原点；焦点在轴上； 师：非常好,顶点在原点,焦点在轴正半轴上更准确（鼓励加分）. 问2：在该题目中能否为我们提供方法？ 生：能、轴是抛物线的一条对称轴可以为建立空间直角坐标系提供思路. 师：非常棒（全班鼓掌）,下面先独立思考,我们在共同探究 ①设则 ②设点的坐标为 ③由定义可知, ④化简得. 设计意图：有了前面问题探究作为铺垫,推导过程时教师引导学生进行类比,可放手让学生完成,培养学生的动手操作能力,教师作为指导. (2)抛物线的标准方程 把方程 叫做抛物线的标准方程. 它表示焦点在轴正半轴上,焦点坐标是,准线方程为：的抛物线. 追问1：开口向左,向上,向下的抛物线标准方程又是怎样的呢？ 方程 图象 焦点 (,0) (,0) (0,) (0,) 准线 方程 追问2：抛物线标准方程中在图形中表示什么,你能归纳这几种标椎方程的特点吗？ 的几何意义:抛物线的焦点到准线的距离 方程的特点:(1)左边是二次式；(2)右边是一次式,决定了焦点的位置与抛物线对称轴. 设计意图：有了开口向右的抛物线标准方程后,引导学生通过对称变换、翻折变换快速在表格填入相应的标准方程,焦点坐标,准线方程并由图直观感知的几何意义,归纳4种类型方程的特点. (三)例题讲解,深化概念 例题 :已知抛物线的标准方程为,求它的焦点坐标和准线方程； 已知抛物线的焦点是,求它的标准方程. 解：因为,抛物线的焦点在轴正半轴上,所以它的焦点坐标是,准线方程是. 因为抛物线的焦点在轴负半轴上,且,所以抛物线的准线方程是. 设计意图：巩固知识,加深抛物线方程的理解,培养学生分析问题解决问题的能力,教师板书例题演示,规范学生作答. 变式训练：分别根据下列条件,求下列曲线的方程. 抛物线的焦点是,求抛物线的标准方程； 到轴的距离比到点的距离少的点的轨迹方程. 先抽一学生口述解题方法（若学生逻辑清楚,给学生加分鼓励）. 再抽个中等生板演（各做一题,根据板书情况,给学生全班鼓掌奖励） 全班齐练 解：由题可设抛物线标准方程为, ∴抛物线的标准方程为. 由题设动点到的距离与它到的距离相等,是焦点为的抛物线.设标准方程为,, ∴,∴动点的轨迹方程为：. 设计意图：先请学生口述方法后,再由2个学生上台板演证明思路,其他学生在练习本书写,让学生写,发现问题,规范过程,加深学生对抛物线的定义与方程及图象的记忆理解,学生分享方法、完成解题过程,促进交流与实践,进而让学生从动脑到动手,完成一个完整的逻辑过程. (4) 课堂练习（学生掌握情况反馈） 设计意图：学生动手,再次巩固所学知识,及时发现学生存在的问题并给与指导,同时增强学生的运算能力. (五)总结反馈（由学生回答总结） 1.本节课学了抛物线的定义,你能叙述一遍吗？ 2.抛物线的标准方程与其焦点、准线,你还记得吗? 3.本节课你学习了什么数学思想方法？ 设计意图：巩固重点知识,强化理解记忆,反馈学生知识掌握情况,及时查漏补缺.强调知识联系和应用,帮助学生构建知识体系,形成数学思想方法,提高应用能力. (六)作业反馈 1．已知抛物线的焦点为,若点在该抛物线上,则（  ） ．2 ． ．4 ．5 2．若椭圆过抛物线的焦点,且与双曲线有相同的焦点,则该椭圆的方程是（  ） ． ． ． ． 3．（多选）已知点在抛物线上,点为抛物线的焦点,则（  ） ．焦点的坐标为 ．抛物线的准线方程为 ．若,则 ． 4、分别根据下列条件,求抛物线的标准方程和准线方程 抛物线的焦点到轴的距离是,而且焦点在轴的正半轴上； 抛物线的焦点是双曲线的焦点之一. 5．已知抛物线,其焦点为,是上的一点. (1)求； (2)直线交于两点,且的面积为,求直线的方程. 设计意图：课后练习题巩固知识,规范答题格式,培养严谨学习习惯,增强知识应用意识,锻炼书面表达能力,激发学习兴趣. 九、板书设计 3.3.1 抛物线及其标准方程 1、抛物线的定义 2、 抛物线的标准方程 3、例题 例1 例2（学生板书） 十、教学反思 本节课我的设计理念遵循：以”问题串“为主线展开,以学生为主体,独立思考,合作探究为手段,以提高能力为目的.整堂课我比较重视概念的提取和知识的形成,培养学生的运算和逻辑思维能力.在课堂教学中,让学生动脑动口又动手,让学生进一步体会“坐标法”,感受几何坐标的美. 第 7 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $