精品解析：吉林长春市实验中学2025-2026学年高二下学期期末考试数学试题

长春市实验中学 2025-2026学年度下学期期末考试 高二数学试卷 第Ⅰ卷 选择题 一、单选题.（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若命题“，使得”是假命题，则实数m的取值范围是（     ） A. B. C. D. 4. 已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 5. 设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ） A. B. C. D. 6. 在暑假期间，甲、乙、丙、丁四名实验员到某生物研究所的分子生物学、生态学、遗传学三个实验室实习，每个实验室至少有一人，且每人只去一个实验室.已知甲在分子生物学实验室实习，则甲与乙不在同一实验室实习的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 为正实数，且，当取最小值时，的展开式中项的系数为 （     ） A. B. C. D. 8. 已知不等式 对任意恒成立，则正数的取值范围（ ） A. B. C. D. 二、多选题.（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分） 9. 甲箱中有个红球和个白球，乙箱中有个红球和个白球（两箱中的球除颜色外没有其他区别），先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用事件和表示从甲箱中取出的球是红球和白球；再从乙箱中随机取出两球，用事件表示从乙箱中取出的两球都是红球，则（     ） A. B. C. D. 10. 已知，且，则下列不等式成立的是（     ） A. B. C. D. 11. 已知定义在R上的函数的图象关于直线对称，且∀x∈R，都有，定义在R上的函数为的导函数，则以下结论一定正确的是（     ） A. 是偶函数 B. 为偶函数 C. D. 4是的一个周期 第Ⅱ卷 非选择题 三、填空题.（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 的二项展开式中的常数项为________． 13. 已知是定义在上的奇函数，当时，，则时，的解析式为________________． 14. ，若有且只有两个零点，则实数的取值范围是______________． 四、解答题.（本大题共5个小题，共77分） 15. 已知函数． （1）若，求在上的最值； （2）若在R上单调递减，求a的值． 16. 甲、乙、丙三人各投篮1次．已知甲、乙、丙投篮的命中率分别是0.5，0.6，0.8．每个人能否投中相互独立． （1）在甲、乙、丙三人共投中2次的条件下，求其中有1次是甲投中的概率； （2）记甲、乙、丙三人共投中次，求的分布列和期望． 17. 已知函数. （1）求函数的极值； （2）当时，不等式在上能成立，求整数k的最小值. 18. 有一个摸奖游戏，在一个口袋中装有6个红球和4个黑球，这些球除颜色外完全相同．游戏规定：每位参与者进行次摸球，每次从袋中摸出一个球，有两种摸球方式：一是有放回摸球，每次摸球后将球均放回袋中，再进行下一次摸球，摸到红球的次数记为X；二是不放回摸球，每次摸球后将球均不放回袋中，直接进行下一次摸球，摸到红球的次数记为Y． （1）若， （i）求随机变量Y的分布列和数学期望： （ii）游戏规定摸到的红球数不少于摸到的黑球数则中奖，在这个规则下，设有放回摸球中奖概率为，无放回摸球中奖概率为，求和并比较它们大小． （2）若，求当取得最大值时的k值，并说明理由． 19. 已知函数设是函数图象上一点，在点处的切线为，且与轴的交点为，若是公差为的等差数列. （1）求的解析式； （2）若 （i）若对任意，，求的值； （ii）求证：且， 有. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春市实验中学 2025-2026学年度下学期期末考试 高二数学试卷 第Ⅰ卷 选择题 一、单选题.（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式化简集合，再利用交集的定义求解. 【详解】解不等式，得或，因此或， 所以. 故选：B 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 由不等式的性质，结合充分必要性的判定即可得解. 【详解】解：由，但时不一定成立，例如当， 即“”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 【点睛】本题考查了不等式的性质，重点考查了充分必要条件，属基础题. 3. 若命题“，使得”是假命题，则实数m的取值范围是（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】问题化为，都有为真命题，结合一元二次不等式恒成立求参数范围. 【详解】由“，使得”是假命题， 则，都有为真命题， 当，则，满足， 当，则，满足, 综上，，则实数m的取值范围是. 4. 已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】使用奇偶性的定义与周期性的定义求解. 【详解】. 5. 设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可得选项. 【详解】由题意可得， 对于A，是奇函数，故A正确； 对于B，不是奇函数，故B不正确； 对于C，，其定义域不关于原点对称，所以不是奇函数，故C不正确； 对于D，，其定义域不关于原点对称，不是奇函数，故D不正确. 故选：A. 6. 在暑假期间，甲、乙、丙、丁四名实验员到某生物研究所的分子生物学、生态学、遗传学三个实验室实习，每个实验室至少有一人，且每人只去一个实验室.已知甲在分子生物学实验室实习，则甲与乙不在同一实验室实习的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用排列组合计算各个事件的情况数，根据古典概型以及条件概率，可得答案. 【详解】记事件为“甲在分子生物学实验室实习”，事件为“甲与乙不在同一实验室实习”， 样本点的总数为，， 事件，同时发生的情况种数为， ，. . 故选：D. 7. 为正实数，且，当取最小值时，的展开式中项的系数为 （     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用基本不等式求出当取最小值时的值，再利用二项式的展开式的通项公式求解即可. 【详解】已知为正实数，且，则， 因此， 由基本不等式，得，当且仅当，即时等号成立， 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以当取最小值，有， 由，解得， 所以，其展开式的通项公式为， 令，解得，所以项的系数为，故B正确. 8. 已知不等式 对任意恒成立，则正数的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数后对函数求导，通过分析导数的符号确定函数的单调性，找到函数的最大值，即可求解的范围. 【详解】将原不等式移项整理得：， 构造函数，对求导得：，令，得唯一临界点， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 原不等式对任意恒成立等价于：对任意，都有， 因为任意，都有，，而在上单调递增， 因此等价于： 变形得对任意恒成立，只需， 令，求导得，令得， 时，，单调递增； 时，，单调递减； 因此的最大值为，故. 二、多选题.（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分） 9. 甲箱中有个红球和个白球，乙箱中有个红球和个白球（两箱中的球除颜色外没有其他区别），先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用事件和表示从甲箱中取出的球是红球和白球；再从乙箱中随机取出两球，用事件表示从乙箱中取出的两球都是红球，则（     ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用古典概型、条件概率和全概率公式、贝叶斯公式来分析每个选项. 【详解】依题意可得，，，， 所以，， 故A,B,C正确，D错误，故选ABC. 10. 已知，且，则下列不等式成立的是（     ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，由于，利用基本不等式即可判断；对于B，使用“1”的妙用，结合基本不等式即可求解；对于C,由判断；对于D，由得到，再利用函数的单调性判断. 【详解】对于A,由于，所以即，故A错误； 对于B，由于，且， 所以 （当且仅当即时取等号），故B正确； 对于C,， ，所以， 当且仅当，即时取等号， 由得， 所以当时，，故C正确： 对于D，由得，， 而函数在上单调递增，因此，故D正确. 11. 已知定义在R上的函数的图象关于直线对称，且∀x∈R，都有，定义在R上的函数为的导函数，则以下结论一定正确的是（     ） A. 是偶函数 B. 为偶函数 C. D. 4是的一个周期 【答案】BD 【解析】 【分析】根据定义在R上的函数的图象关于直线对称可得，，再由，可得是周期为的奇函数，函数奇偶性、周期性判断ABD；利用赋值法结合导数运算、函数性质判断C． 【详解】根据定义在R上的函数的图象关于直线对称可得，, 所以，又， 所以，，那么， 即，所以，故的周期为，选项D正确； 所以，，又， 所以，，令，则， 所以，故为奇函数，选项A错误； 对于B，由得，两边求导可得 ， ，故为偶函数，选项B正确； 对于C，对两边求导可得，， 所以，即，故选项C错误. 第Ⅱ卷 非选择题 三、填空题.（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 的二项展开式中的常数项为________． 【答案】160 【解析】 【详解】展开式的通项为，， 令，得， 则的二项展开式中的常数项为. 13. 已知是定义在上的奇函数，当时，，则时，的解析式为________________． 【答案】 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性求解即可. 【详解】已知是定义在上的奇函数，则 当时，， 则时，有，则， 因此. 14. ，若有且只有两个零点，则实数的取值范围是______________． 【答案】 【解析】 【分析】当时，求导得到单调区间，根据平移和翻折得到函数图象，变换得到，根据函数图象得到或，解得答案. 【详解】当时，，， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减，且， 当，， 当时，，其图象可以由的图像向左平移一个单位， 再向下平移个单位，再把轴上方的图象翻折到轴下方得到，画出函数图象， ，当时，，无零点； 当时，，即， 函数有两个零点，即函数与函数的图象有两个交点， 根据图象知：或，解得或. 故实数的取值范围是. 四、解答题.（本大题共5个小题，共77分） 15. 已知函数． （1）若，求在上的最值； （2）若在R上单调递减，求a的值． 【答案】（1）最大值为，最小值为 （2） 【解析】 【分析】（1）当时，求得，得出函数的单调性，进而求得函数的最值； （2）求得，转化为在上恒成立，结合二次函数的性质，列出不等式组，即可求解. 【小问1详解】 解：由时，可得，则， 当时，；当时，；当时，， 所以函数在单调递增，在上单调递减，在单调递增， 又由， 所以函数在区间上的最大值为，最小值为. 【小问2详解】 解：由函数，可得， 因为函数在上单调递减，所以在上恒成立， 则满足，整理得且，解得. 16. 甲、乙、丙三人各投篮1次．已知甲、乙、丙投篮的命中率分别是0.5，0.6，0.8．每个人能否投中相互独立． （1）在甲、乙、丙三人共投中2次的条件下，求其中有1次是甲投中的概率； （2）记甲、乙、丙三人共投中次，求的分布列和期望． 【答案】（1） （2）的分布列为 0 1 2 3 0.04 0.26 0.46 0.24 数学期望为1.9【解析】 【分析】（1）求出甲、乙、丙三人共投中2次的概率，再求出在此条件下有1次是甲投中的概率； （2）写出的所有可能取值，求出对应概率，列出分布列，求出数学期望 【小问1详解】 记“甲、乙、丙三人共投中2次”为事件，“甲投中”为事件． ， ． 【小问2详解】 的所有可能取值为0，1，2，3． ， ， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 0.04 0.26 0.46 0.24 17. 已知函数. （1）求函数的极值； （2）当时，不等式在上能成立，求整数k的最小值. 【答案】（1）当时，无极值；当时，极大值为，无极小值. （2）5 【解析】 【分析】（1）将函数 代入 中，并对 求导，讨论导函数的正负即可得到 的单调性，进一步求函数极值； （2）参变分离，可将不等式转化为 在对任意 能成立，令，则 ，求出 即可. 【小问1详解】 依题意可得 ，所以 . ① 若 在 单调递增; ②若 ，令 ，则 ， 当 时， 在 单调递增， 当 时， 在 单调递减， 所以当时，无极值； 当时，存在极大值，无极小值. 【小问2详解】 当 时， . 因为 ，所以原不等式可化为 ， 即 在 能成立. 令 ，要使原不等式能成立，即 ， 则 ，令 . 则 ，所以 在 上单调递增. 因为 ， 所以，使 ，即 ， 当 时， ，即 ； 当 时， ，即 . 所以 在 上单调递减，在 上单调递增. 由 ，得 ， 得到 所以 ，因为 ，所以 . 18. 有一个摸奖游戏，在一个口袋中装有6个红球和4个黑球，这些球除颜色外完全相同．游戏规定：每位参与者进行次摸球，每次从袋中摸出一个球，有两种摸球方式：一是有放回摸球，每次摸球后将球均放回袋中，再进行下一次摸球，摸到红球的次数记为X；二是不放回摸球，每次摸球后将球均不放回袋中，直接进行下一次摸球，摸到红球的次数记为Y． （1）若， （i）求随机变量Y的分布列和数学期望： （ii）游戏规定摸到的红球数不少于摸到的黑球数则中奖，在这个规则下，设有放回摸球中奖概率为，无放回摸球中奖概率为，求和并比较它们大小． （2）若，求当取得最大值时的k值，并说明理由． 【答案】（1）（i）分布列： Y 0 1 2 3 4 P 数学期望为；（ii），，； （2），理由：当，则，若最大，则， 即，得，又， ，即时，取得最大值． 【解析】 【分析】（1）（i）根据题设有Y可取0，1，2，3，4，应用超几何分布求对应概率并写出分布列，进而求期望；（ii）应用二项分布模型求新规则下随机变量的分布列，进而求期望，比较期望的大小； （2）由独立重复试验的概率求法及不等式法求概率最大时对应参数值即可. 【小问1详解】 （i）对于不放回摸球，各次试验的结果不独立， Y可取0，1，2，3，4，， ， Y服从超几何分布，Y的分布列为： Y 0 1 2 3 4 P ，所以； （ⅱ）由题意得游戏规定摸到的红球数不少于摸到的黑球数则中奖， 在这个规则下，设有放回摸球中奖概率为，无放回摸球中奖概率为， 对于有放回摸球，各次试验的结果互相独立，， 则， 故， 由（i）可知， 因为，所以； 【小问2详解】 略 19. 已知函数设是函数图象上一点，在点处的切线为，且与轴的交点为，若是公差为的等差数列. （1）求的解析式； （2）若 （i）若对任意，，求的值； （ii）求证：且， 有. 【答案】（1） （2）（i）；（ii）由（i）知，因为， 所以，即，当且仅当时等号成立， 当时，， ，，有， 所以. 【解析】 【分析】（1）先求出在点处的切线方程，根据题意得出，代入计算出，故得解析式； （2）（i）通过导数得出，根据题意，设，根据导数得出，得出， （ⅱ）由（i）得出，当时，，则有，，有，故得证. 【小问1详解】 因为，所以， 在点处的切线为， 又与轴的交点为，所以， 因为是公差为的等差数列，所以， 所以，故，即， 故， 【小问2详解】 （i），， ， 则时，，单调递增； 时，，单调递减， 所以， 因为， ① 设，则， 令时，， 时，，单调递减；时，，单调递增. ，所以，所以 ② 由①②知，所以，故， （ⅱ）略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $