精品解析：吉林四平市第三高级中学2025-2026学年高二下学期期末考试数学试卷

2026年春季学期期末考试 高二数学学科试卷 第Ⅰ卷 客观题 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 设函数的导数为，且，则在时的瞬时变化率为（ ） A. 3e3 B. e3 C. 0 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据复合函数求导法则及导数运算律计算求解. 【详解】由，得， 令，得，解得， 故在时的瞬时变化率为． 2. 某次考试有10000人参加，若他们的成绩近似服从正态分布，则分数在100-120之间的考生约有（ ）（参考数据：若，则有） A. 1360人 B. 1570人 C. 2720人 D. 3410人 【答案】A 【解析】 【详解】由成绩近似服从正态分布，得， 则 ，则， 所以分数在100-120之间的考生约有1360人. 3. 已知变量x和变量y的一组成对样本数据为，其中，其回归直线方程为，当增加两个样本数据和后，重新得到的回归直线方程斜率为3，则在新的回归直线方程的估计下，样本数据所对应的残差为（    ）（残差=观察值－估计值） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先计算新的数据的平均值，后得到经验回归方程，再结合残差概念计算即可. 【详解】∵， ∴增加两个样本点后的平均数为； ∵，∴， ∴增加两个样本点后y的平均数为， ∴，解得， ∴新的经验回归方程为，则当时，， ∴样本点的残差为 故选：B. 4. 某实验室的6名成员分别参加物理、化学、生物学科的学术研讨会，要求每个学科都有人参会，每人只能选择一科参会，物理学科至少2人参会，则不同的参会方案共有（ ） A. 630种 B. 360种 C. 240种 D. 180种 【答案】B 【解析】 【分析】分物理学科2人参会，3人参会和4人参会进行求解. 【详解】根据题意，物理学科2人参会，则化学和生物分别有1人和3人，各2人或3人和1人参会， 有种， 物理学科3人参会，则化学和生物分别有1人和2人，或2人和1人参会， 有种， 物理学科4人参会，则化学和生物分别有1人参会， 有种， 所以共有种不同的参会方案. 故选：B 5. 某学校举办足球赛，将6支球队平均分成甲、乙两组，则两支较强的球队被分在不同组的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出两支较强的球队被分在不同组的分法，在求出总的分法，根据古典概型概率公式求解即可. 【详解】由题意可知，两支较强的球队被分在不同组的分法有种，所有的分法有种， 结合古典概型概率计算公式可得所求概率为. 故选:C. 6. 点M在曲线上移动，设曲线在点M处切线的倾斜角为，则角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数的几何意义求出切线斜率的取值范围，再求解切线的倾斜角的取值范围. 【详解】因为，所以， 由于，因此，可得 ， 即切线斜率， 因为切线的倾斜角为，且，斜率，分两种情况讨论： 当时，即，可得 当时，即，结合正切函数在上单调递增且，可得 综合以上两种情况，倾斜角的取值范围是：. 7. 已知随机变量，则为（ ） A. B. 1150 C. D. 60 【答案】C 【解析】 【详解】 由题意可知，， . 8. 若函数恰有两个极值点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出函数的导数，求出函数有两个变号零点的的范围即可. 【详解】函数的定义域为R，求导得， 由函数恰有两个极值点，得函数有两个变号零点， 即方程有两个不等实根，令，因此函数的图象与直线有两个交点， 求导得，当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 因此函数在处取得最小值， 而，，且当时，恒成立， 在同一坐标系内作出直线与函数的图象，如图： 观察图象知，当时，函数的图象与直线有两个交点， 所以实数的取值范围是. 故选：C 二、多选题（每小题6分，共18分） 9. 某地区从某一年开始进行了环境污染整治，得到了如下的数据： 第x年 1 2 3 4 5 污染指数y 5.7 5.0 4.5 4.1 3.2 附： 已知与线性相关，回归直线方程为，下列说法正确的是（ ） A. 与线性负相关 B. 若删掉第3年数据，则回归直线方程中的变小 C. 若y关于x的回归方程为，估计该地区第10年的污染指数为0.37 D. 地区政府加大整治力度后重新检测得到新的一组数据，新数据都在直线上，这组新数据的样本相关系数为1 【答案】AC 【解析】 【分析】根据表中数据与的变化关系可判断A；根据删掉第3年数据为样本中心结合最小二乘法计算公式可判断B；结合B计算后，计算即可判断C；根据新直线方程结合相关系数可判断D. 【详解】对于A，由题中表格数据可知，污染指数随着年份的增大而减小，所以与线性负相关，故A正确； 对于B，，即回归方程的样本中心为， 所以删掉第3年数据为样本中心，由最小二乘法计算公式可知不变，故B错误； 对于C，由B可知，，即回归方程为， 所以地区第10年的污染指数为0.37，故C正确； 对于D，若新数据都在直线上， 则与线性负相关，故这组新数据的样本相关系数为，故D错误. 故选：AC 10. 我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了杨辉三角，杨辉三角是中国数学史上一项重要研究成果·从不同的角度观察杨辉三角，能得到很多优美的规律，如图是一个7阶的杨辉三角，则下列说法正确的是（ ） A. 第2026行的第1013个数最大 B. 第10行所有数字之和为 C. 从第4行起到第19行，每一行的第4个数字之和为 D. 第48行的所有数字之和被7除的余数为1 【答案】BCD 【解析】 【分析】由组合数的性质计算可判断A，由杨辉三角的每行系数和性质可判断B， 将所求和转化为组合数相加，通过在首项加上并在末尾减去1并结合即可求解，求和后转化为，利用二项式定理展开可判断D. 【详解】对于A，由杨辉三角图可知，第行有个数字， 如果是奇数，则第和第个数字中最大，且这两个数字一样大； 如果是偶数，则第个数字最大，故第行的第个数最大，故A错误， 对于B，由杨辉三角的每行系数和性质可知， 第0行所有数字之和为，第行所有数字之和为， 第2行所有数字之和为，第3行所有数字之和为， 以此类推，第10行所有数字之和为，故B正确， 对于C，由题意可得 ，故C正确， 对于D，由上知第行的所有数字之和为 ， 由于能被7整除， 故第行的所有数字之和被7除的余数为1，故D正确. 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若方程有两个不相等的实数根，则 C. 存在，使 D. 若不等式恒成立，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A：利用导数求解出函数的单调性，结合函数的单调性和最值求解结果，选项B：由，得，所以然后进行换元，将问题转化为与有两个交点，得到，选项C：因为，且当时，,则转化为得到结果，选项D: 将问题表述通过代数变形转化为即． 利用的单调性结合， 等价于，转化为求解即可. 【详解】因为，所以， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以． 由在上单调递减，得，所以A正确． 由，得，所以． 易知函数在上单调递增．令，则，所以，即与有两个交点，所以，故B正确． 因为，且当时，，所以由，得，故C错误． 由，得，所以，即． 令，易知函数在上单调递增． 因为，所以，所以，所以，，故正确． 故选：ABD. 第Ⅱ卷 主观题 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 在的展开式中，含的项的系数是________. 【答案】-15. 【解析】 【分析】在的展开式中含的项即从5个因式中取4个，1个常数即可写出含的项，则可得到答案. 【详解】在的展开式中含的项即从5个因式中取4个，1个常数, 所以含的项为. 所以展开式中，含的项的系数是-15. 13. 已知一个随机试验中有两个事件，且，，则___________． 【答案】 【解析】 【详解】因为，则， 又因为，则， 所以. 14. 有个编号分别为1，2，…，的盒子，第1个盒子中有3个白球1个黑球，其余盒子中均为1个白球1个黑球，现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，以此类推，从第个盒子中取到白球的概率是_________． 【答案】 【解析】 【分析】记事件表示从第个盒子里取出白球，即可得到，然后构造等比数列，求通项公式即得. 【详解】记事件表示从第个盒子里取出白球，则，， 所以， ， 进而可得，， 所以， 又，，， 所以是首项为，公比为的等比数列， 所以，即， 故答案为：. 四、解答题（共5小题，共77分） 15. 已知的展开式二项式系数和为64． （1）求n的值； （2）求展开式中的常数项； （3）求展开式中二项式系数最大的项． 【答案】（1） （2）60 （3） 【解析】 【分析】（1）根据二项式系数和公式得到方程，求出答案； （2）得到展开式通项公式，进而得到展开式中的常数项为； （3）二项式系数最大的项为第四项，由（2）可知，得到答案. 【小问1详解】 由题意得，故； 【小问2详解】 的展开式通项公式为 ， 令，解得， 所以展开式中的常数项为； 【小问3详解】 ，展开式共有7项，二项式系数最大的项为第四项， 由（2）可知， 故展开式中二项式系数最大的项为. 16. 近年来，新能源汽车发展迅速，某研发部随机抽取2000名新能源汽车用户进行了满意度问卷调查，统计如下表： 满意 不满意 合计 男性用户 400 400 800 女性用户 800 400 1200 合计 1200 800 2000 （1）根据小概率值的独立性检验，分析满意度是否与用户性别有关？ （2）已知从不满意的用户样本中随机抽取了5名男性用户、2名女性用户，再从这7名用户中随机抽取3名深入调研，设抽取的3名用户中女性用户的人数为，求的分布列和数学期望. 附： 0.10 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 【答案】（1）有关； （2）分布列见解析，. 【解析】 【分析】（1）提出零假设满意度与用户性别无关，再计算出的观测值，结合临界值表可得出结论； （2）分析可知的可能取值有，根据超几何分布的知识求出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值. 【小问1详解】 零假设为满意度与用户性别无关， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，所以满意度与用户性别有关. 【小问2详解】 由题意知的可能取值为， 则，，， 所以的分布列为： 则. 17. 已知函数． （1）若，求函数在上的最值； （2）求函数的单调区间． 【答案】（1） 最小值，最大值. （2）时，在上单调递减； 时，单调递减区间，单调递增区间； 时，单调递增区间，单调递减区间. 【解析】 【分析】（1）根据导数的正负得出其单调性，进而分析其最值. （2）求出函数的导数，分类讨论的取值，讨论函数的单调区间. 【小问1详解】 若，则，. 令，则. 当，则，当，则. 因此在上单调递减，在上单调递增，则最小值为. 因为，所以最大值为. 【小问2详解】 对求导得. 由于恒成立，的符号由决定，分类讨论如下： 当时：恒成立，因此的单调递减区间为，无单调递增区间. 当时：令，解得.时，，单调递减； 时，，单调递增. 当时，同理解得，时，，单调递增； 时，，单调递减. 综上，时，在上单调递减； 时，单调递减区间，单调递增区间； 时，单调递增区间，单调递减区间. 18. 某电台举办有奖知识竞答比赛，选手答题规则相同．甲每道题自己有把握独立答对的概率为，若甲自己没有把握答对，则在规定时间内连线亲友团寻求帮助，其亲友团每道题能答对的概率为，假设每道题答对与否互不影响． （1）当时，甲答了4道题，记甲答对题目的个数为随机变量，求和． （2）乙答对每道题的概率为（含亲友团），现甲乙两人各答两个问题，若甲答对题目的个数比乙答对题目的个数多的概率不低于，求甲的亲友团每道题答对的概率的最小值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）使用二项分布的期望公式与方差公式求解； （2）使用互斥事件概率公式和独立事件概率公式求解. 【小问1详解】 因为甲每道题答对的概率均为，则， 所以，． 【小问2详解】 记事件为“甲答对了道题”，事件为“乙答对了道题”， 其中甲答对某道题的概率为，答错某道题的概率为， 则，， ，， 所以甲答对题数比乙多的概率为： ，解得， 所以甲的亲友团答对的概率的最小值为． 19. 已知函数． （1）若曲线在点处的切线经过点，求实数的值； （2）若恰有两个零点，求实数的取值范围； （3）证明：当时，． 【答案】（1） （2） （3）当时，要证成立，即证成立， 记，则，． 记，， 和在上均单调递减， 在上单调递减， 又，， 存在，使得，即， ，， 当时，，即， 在上单调递增，当时，，即， 在上单调递减， ， ，故成立，原命题得证． 【解析】 【分析】（1）对函数求导，利用导数的几何性质求出切线方程，结合已知条件求出； （2）令，得，构造函数，求导，利用导数分析函数的单调性和极值，结合极限分析求出实数的取值范围； （3）把不等式转化为，构造函数，求导并分析函数单调性，求出的最大值，进而得出，命题得证． 【小问1详解】 函数的定义域为， 所以， ，， 曲线在点处的切线方程为， 把代入，得． 【小问2详解】 令，得， 令，则， 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 当时，， 当且趋近于0时，趋近于； 当趋近于时，且趋近于0， 要使函数有两个零点，只需，即实数的取值范围为． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春季学期期末考试 高二数学学科试卷 第Ⅰ卷 客观题 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 设函数的导数为，且，则在时的瞬时变化率为（ ） A. 3e3 B. e3 C. 0 D. 3 2. 某次考试有10000人参加，若他们的成绩近似服从正态分布，则分数在100-120之间的考生约有（ ）（参考数据：若，则有） A. 1360人 B. 1570人 C. 2720人 D. 3410人 3. 已知变量x和变量y的一组成对样本数据为，其中，其回归直线方程为，当增加两个样本数据和后，重新得到的回归直线方程斜率为3，则在新的回归直线方程的估计下，样本数据所对应的残差为（    ）（残差=观察值－估计值） A. 2 B. C. D. 4. 某实验室的6名成员分别参加物理、化学、生物学科的学术研讨会，要求每个学科都有人参会，每人只能选择一科参会，物理学科至少2人参会，则不同的参会方案共有（ ） A. 630种 B. 360种 C. 240种 D. 180种 5. 某学校举办足球赛，将6支球队平均分成甲、乙两组，则两支较强的球队被分在不同组的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 点M在曲线上移动，设曲线在点M处切线的倾斜角为，则角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知随机变量，则为（ ） A. B. 1150 C. D. 60 8. 若函数恰有两个极值点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每小题6分，共18分） 9. 某地区从某一年开始进行了环境污染整治，得到了如下的数据： 第x年 1 2 3 4 5 污染指数y 5.7 5.0 4.5 4.1 3.2 附： 已知与线性相关，回归直线方程为，下列说法正确的是（ ） A. 与线性负相关 B. 若删掉第3年数据，则回归直线方程中的变小 C. 若y关于x的回归方程为，估计该地区第10年的污染指数为0.37 D. 地区政府加大整治力度后重新检测得到新的一组数据，新数据都在直线上，这组新数据的样本相关系数为1 10. 我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了杨辉三角，杨辉三角是中国数学史上一项重要研究成果·从不同的角度观察杨辉三角，能得到很多优美的规律，如图是一个7阶的杨辉三角，则下列说法正确的是（ ） A. 第2026行的第1013个数最大 B. 第10行所有数字之和为 C. 从第4行起到第19行，每一行的第4个数字之和为 D. 第48行的所有数字之和被7除的余数为1 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若方程有两个不相等的实数根，则 C. 存在，使 D. 若不等式恒成立，则 第Ⅱ卷 主观题 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 在的展开式中，含的项的系数是________. 13. 已知一个随机试验中有两个事件，且，，则___________． 14. 有个编号分别为1，2，…，的盒子，第1个盒子中有3个白球1个黑球，其余盒子中均为1个白球1个黑球，现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，以此类推，从第个盒子中取到白球的概率是_________． 四、解答题（共5小题，共77分） 15. 已知的展开式二项式系数和为64． （1）求n的值； （2）求展开式中的常数项； （3）求展开式中二项式系数最大的项． 16. 近年来，新能源汽车发展迅速，某研发部随机抽取2000名新能源汽车用户进行了满意度问卷调查，统计如下表： 满意 不满意 合计 男性用户 400 400 800 女性用户 800 400 1200 合计 1200 800 2000 （1）根据小概率值的独立性检验，分析满意度是否与用户性别有关？ （2）已知从不满意的用户样本中随机抽取了5名男性用户、2名女性用户，再从这7名用户中随机抽取3名深入调研，设抽取的3名用户中女性用户的人数为，求的分布列和数学期望. 附： 0.10 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 17. 已知函数． （1）若，求函数在上的最值； （2）求函数的单调区间． 18. 某电台举办有奖知识竞答比赛，选手答题规则相同．甲每道题自己有把握独立答对的概率为，若甲自己没有把握答对，则在规定时间内连线亲友团寻求帮助，其亲友团每道题能答对的概率为，假设每道题答对与否互不影响． （1）当时，甲答了4道题，记甲答对题目的个数为随机变量，求和． （2）乙答对每道题的概率为（含亲友团），现甲乙两人各答两个问题，若甲答对题目的个数比乙答对题目的个数多的概率不低于，求甲的亲友团每道题答对的概率的最小值． 19. 已知函数． （1）若曲线在点处的切线经过点，求实数的值； （2）若恰有两个零点，求实数的取值范围； （3）证明：当时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $