精品解析：河南省郑州市 惠济区郑北一中学校2022-2023学年 九年级下学期数学开学试题

2022-2023下学期九年级开学摸底考试——数学 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 的相反数是（ ） A. 4 B. C. D. 2. 2022年，在现行标准下，我国9899万农村贫困人口全部脱贫．“9899万”用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 将“我爱美丽播州”六个字分别写在一个正方体的六个面上，正方体的平面展开图如图所示，那么在这个正方体中，与“播”相对的字是（ ） A. 我 B. 州 C. 美 D. 爱 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知直线，把三角板的直角顶点放在直线b上．若，则的度数为（ ） A. 140° B. 130° C. 120° D. 110° 6. 下列说法正确的是（    ） A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 矩形的对角线相等且互相平分 C. 对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形 7. 我校学生期末操行评定从德、智、体、美、劳五方面进行，五方面按2：3：2：2：1确定成绩，小明同学本学期五方面得分如图所示，则他期末操行得分为（　　） A. 9 B. 7 C. 8 D. 10 8. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 9. 如图，在平面直角坐标系中，等腰直角位置如图，，点B的坐标为，每一次将绕点O逆时针旋转，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转得到，第二次旋转得到，…，以此类推，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，将一张边长为1的正方形纸折叠，使得点B始终落在边上，则折起部分面积的最小值为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是__________． 12. 不等式组的解集为______． 13. 如图，激光打靶游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同，若某人用激光枪向打靶游戏板发射激光一次（光点落在游戏板上），则光点落在涂色部分的概率是______． 14. 如图，矩形ABCD中，以A为圆心，AB的长为半径画圆，交CD于点E，再以D为圆心，DA的长为半径画圆，恰好经过点E．已知，，则图中阴影部分的面积为_________． 15. 如图，正方形的边长为3，线段长度为3，图①所示为线段的初始位置，点与点重合，点与点重合．过点作，交于点，过点作于点．如图②，在保证线段长度不变的前提下，点沿向下滑动，当点移动至线段的三等分点时，线段的长度为 __． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：． （2）化简：． 17. 为了解甲､乙两座城市的邮政企业4月份收入的情况，从这两座城市的邮政企业中，各随机抽取了25家邮政企业，获得了它们4月份收入（单位：百万元）的数据，并对数据进行整理､描述和分析．下面给出了部分信息． ．甲城市邮政企业4月份收入的数据的频数分布直方图如下（数据分成5组：）： ．甲城市邮政企业4月份收入的数据在这一组的是：10.0，10.0，10.1，10.9，11.4，11.5，11.6，11.8 ．甲､乙两座城市邮政企业4月份收入的数据的平均数､中位数如下： 平均数 中位数 甲城市 10.8 乙城市 11.0 11.5 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中的值； （2）在甲城市抽取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为．在乙城市抽取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为．比较的大小，并说明理由； （3）若乙城市共有200家邮政企业，估计乙城市的邮政企业4月份的总收入（直接写出结果）． 18. 如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点、． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）若轴上有一点，满足的面积为，求点的坐标． 19. 如图，大渡口义渡古镇某建筑物楼顶立有广告牌，小玲准备利用所学的三角函数知识估测该建筑的高度．由于场地有限，不便测量，所以小玲从点B处沿坡度为的斜坡步行25米到达点C处，测得广告牌底部D的仰角为，广告牌顶部E的仰角为（小玲的身高忽略不计），已知广告牌米．（参考数据：，，） （1）求C处距离水平地面的高度； （2）求建筑物的高度． 20. 某水果店购进甲、乙两种苹果的进价分别为8元/、12元/，这两种苹果的销售额y（单位：元）与销售量x（单位：）之间的关系如图所示． （1）写出图中点B表示的实际意义； （2）分别求甲、乙两种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：）之间的函数解析式，并写出x的取值范围； （3）若不计损耗等因素，当甲、乙两种苹果的销售量均为时，它们的利润和为1500元．求a的值． 21. 如图，已知在ABC中，∠A＝90°． （1）请用圆规和直尺作出⊙P，使圆心P在AC边上，且与AB，BC两边都相切（保留作图痕迹，不写作法和证明）． （2）若AB=4，AC=3，试求（1）中⊙P的半径； 22. 如图，已知二次函数y＝ax2＋3x＋的图像经过点A（－1，－3）． （1）求a的值和图像的顶点坐标． （2）若横坐标为m的点B在该二次函数的图像上． ①当点B向右平移4个单位长度后所得点B′也落在该二次函数图像上时，求m的值； ②若点B到x轴的距离不大于3，请根据图像直接写出m的取值范围． 23. 在△ABC中，AC＝AB，∠BAC＝，D为线段AB上的动点，连接DC，将DC绕点D顺时针旋转得到DE，连接CE，BE． （1）如图1，当＝60°时，求证：△CAD≌△CBE； （2）如图2，当tanα＝时， ①探究AD和BE之间的数量关系，并说明理由； ②若AC＝5，H是BC上一点，在点D移动过程中，CE＋EH是否存在最小值？若存在，请直接写出CE＋EH的最小值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022-2023下学期九年级开学摸底考试——数学 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 的相反数是（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：的相反数是4． 2. 2022年，在现行标准下，我国9899万农村贫困人口全部脱贫．“9899万”用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将9899万化为98990000，再用科学记数法表示即可求解． 【详解】解：， ． 故选：C． 【点睛】本题考查用科学记数法表示绝对值大于10的数，解题的关键是熟记科学记数法一般形式为，其中，n为整数位数减1． 3. 将“我爱美丽播州”六个字分别写在一个正方体的六个面上，正方体的平面展开图如图所示，那么在这个正方体中，与“播”相对的字是（ ） A. 我 B. 州 C. 美 D. 爱 【答案】D 【解析】 【分析】由正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答． 【详解】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， 在原正方体中与“播”相对的字为“爱”． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体是空间图形，从相对面入手，分析及解答问题． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意． 【详解】解：，故选项A错误，不符合题意； ，故选项B错误，不符合题意； ，故选项D正确,符合题意； ，故选项D错误，不符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查合并同类项、积的乘方、同底数幂的除法和单项式乘单项式，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 5. 如图，已知直线，把三角板的直角顶点放在直线b上．若，则的度数为（ ） A. 140° B. 130° C. 120° D. 110° 【答案】B 【解析】 【分析】根据互余计算出，再根据平行线的性质由得到． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键． 6. 下列说法正确的是（    ） A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 矩形的对角线相等且互相平分 C. 对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形 【答案】B 【解析】 【分析】利用平行四边形的判定，矩形的判定和性质，菱形的判定依次判断可求解． 【详解】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，故选项A不符合题意； B、矩形的对角线相等且互相平分，故选项B符合题意； C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故选项C不符合题意； D、一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，故选项D不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定等知识，灵活运用这些判定和性质解决问题是解题的关键． 7. 我校学生期末操行评定从德、智、体、美、劳五方面进行，五方面按2：3：2：2：1确定成绩，小明同学本学期五方面得分如图所示，则他期末操行得分为（　　） A. 9 B. 7 C. 8 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】根据加权平均数的计算公式计算即可得解． 【详解】解：由题意可得，（分）， 故选：A． 【点睛】本题考查了求平均数，熟记加权平均数公式是解题的关键． 8. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的情况与判别式的关系：①方程有两个不相等的实数根；②方程有两个相等的实数根；③方程无实数根，直接列式求解即可得到答案． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，解得：． 故选：A． 【点睛】本题考查一元二次方程根的情况与判别式的关系，熟记①方程有两个不相等的实数根；②方程有两个相等的实数根；③方程无实数根，是解决问题的关键． 9. 如图，在平面直角坐标系中，等腰直角位置如图，，点B的坐标为，每一次将绕点O逆时针旋转，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转得到，第二次旋转得到，…，以此类推，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】是等腰直角三角形，，根据等腰直角三角形的性质，可得点逆时针旋转后可得，同理，依次类推可求得，，，这些点所位于的象限为每4次一循环，根据规律即可求出的坐标． 【详解】解：∵是等腰直角三角形，点B的坐标为， ∴， ∴A点坐标为， 将绕原点逆时针旋转得到等腰直角三角形，且， 再将绕原点逆时针旋转得到等腰直角三角形，且， 依此规律， ∴点A旋转后的点所位于的象限为每4次一循环， 即，，，． ∵， ∴点与同在一个象限内． ∵，，， ∴点． 10. 如图，将一张边长为1的正方形纸折叠，使得点B始终落在边上，则折起部分面积的最小值为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过N作与R，则，连，交于Q．先证明，再利用相似三角形的性质得出的长，再表示出求出梯形面积，进而求出最小值． 【详解】解：如图，过N作与R，则， 连，交于Q． 则由折叠知， 与关于直线对称，即， 有，，． ∵，， ∴， ∴． 设，则，， 代入上式得：． ∵，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴． 故． ∴， 得当时，梯形面积最小，其最小值． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了正方形的折叠问题，相似三角形的判定与性质，二次函数在几何中的应用，全等三角形的判定与性质等知识，得到是解答本题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件进行求解即可． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴，即， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不为零是解题的关键． 12. 不等式组的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】先求得每个一元一次不等式的解集，再求得它们的公共部分即为不等式组的解集． 【详解】解：， 解①得： 解②得： ∴不等式组的解集为：． 故答案为： 【点睛】本题考查解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的解法并正确求解是解答的关键． 13. 如图，激光打靶游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同，若某人用激光枪向打靶游戏板发射激光一次（光点落在游戏板上），则光点落在涂色部分的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据图形平移的性质可得出涂色部分为八个正方形，再根据概率公式计算即可． 【详解】解：如图，将中间涂色部分向右平移即可发现涂色部分共为八个正方形，游戏板总共有十六个正方形， ∴光点落在涂色部分的概率是． 14. 如图，矩形ABCD中，以A为圆心，AB的长为半径画圆，交CD于点E，再以D为圆心，DA的长为半径画圆，恰好经过点E．已知，，则图中阴影部分的面积为_________． 【答案】2 【解析】 【分析】连接AE，根据阴影部分的面积＝△DAE的面积＋扇形EAB的面积−扇形EDA的面积解答即可． 【详解】解：连接AE， 由题意可知： 阴影部分的面积＝△DAE的面积＋扇形EAB的面积−扇形EDA的面积， ∵以A为圆心，AB的长为半径画圆，交CD于点E，， ∴， ∵以D为圆心，DA的长为半径画圆，恰好经过点E，， ∴， ∴△DAE是等腰直角三角形， ∴∠DAE＝∠EAB＝45°， ∴， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了扇形面积的计算，熟练掌握扇形面积公式是解决问题的关键． 15. 如图，正方形的边长为3，线段长度为3，图①所示为线段的初始位置，点与点重合，点与点重合．过点作，交于点，过点作于点．如图②，在保证线段长度不变的前提下，点沿向下滑动，当点移动至线段的三等分点时，线段的长度为 __． 【答案】或 【解析】 【分析】证明得出，当点移动至线段的三等分点时，分两种情况讨论，①，，②，，分别计算即可求解． 【详解】解：在正方形中， ， ， 又 四边形为矩形 正方形的边长为3，线段长度为3， 当点移动至线段的三等分点时，有两种情况： ①，， 则在中， ， 在中， ②， 则在中， ， 在中， 综上所述线段的长度为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，分类讨论是解题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：． （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）先化简绝对值、二次根式，同时乘方运算、零指数幂运算，再加减运算即可求解； （2）利用完全平方公式和单项式乘多项式运算法则计算，再整式的加减运算即可求解． 【详解】解：（1） ； （2） ． 【点睛】本题考查实数的混合运算、整式的混合运算，熟记完全平方公式，掌握运算法则并正确求解是解答的关键． 17. 为了解甲､乙两座城市的邮政企业4月份收入的情况，从这两座城市的邮政企业中，各随机抽取了25家邮政企业，获得了它们4月份收入（单位：百万元）的数据，并对数据进行整理､描述和分析．下面给出了部分信息． ．甲城市邮政企业4月份收入的数据的频数分布直方图如下（数据分成5组：）： ．甲城市邮政企业4月份收入的数据在这一组的是：10.0，10.0，10.1，10.9，11.4，11.5，11.6，11.8 ．甲､乙两座城市邮政企业4月份收入的数据的平均数､中位数如下： 平均数 中位数 甲城市 10.8 乙城市 11.0 11.5 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中的值； （2）在甲城市抽取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为．在乙城市抽取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为．比较的大小，并说明理由； （3）若乙城市共有200家邮政企业，估计乙城市的邮政企业4月份的总收入（直接写出结果）． 【答案】（1）； （2），理由： 由（1）可得：甲城市中位数低于平均数，则最大为12个；乙城市中位数高于平均数，则至少为13个， ∴； （3）乙城市的邮政企业4月份的总收入为2200百万元． 【解析】 【分析】（1）由题中所给数据可得甲城市的中位数为第13个数据，然后问题可求解； （2）由甲、乙两城市的中位数可直接进行求解； （3）根据乙城市的平均数可直接进行求解． 【详解】解：（1）由题意可得m为甲城市的中位数，由于总共有25家邮政企业，所以第13家邮政企业的收入作为该数据的中位数， ∵有3家，有7家，有8家， ∴中位数落在上， ∴； （2）略 （3）由题意得： （百万元）； 答：乙城市的邮政企业4月份的总收入为2200百万元． 【点睛】本题主要考查中位数、平均数及统计与调查，熟练掌握中位数、平均数及统计与调查是解题的关键． 18. 如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点、． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）若轴上有一点，满足的面积为，求点的坐标． 【答案】（1）反比例函数解析式为，一次函数解析式为 （2）或 【解析】 【分析】（1）把B点坐标代入到反比例函数解析式和一次函数解析式，求出反比例函数解析式，一次函数解析式即可； （2）设直线与x轴交于点C，点M的坐标为，求出点C的坐标，点A的坐标，根据的面积为，得到，据此求解即可． 【小问1详解】 解；∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点、， ∴，， ∴， ∴反比例函数解析式为，一次函数解析式为； 【小问2详解】 解：设直线与x轴交于点C，点M的坐标为， ∴点C的坐标为， ∴， 当时，对于，， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴点M的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，反比例函数与几何综合，正确求出一次函数与反比例函数解析式是解题的关键． 19. 如图，大渡口义渡古镇某建筑物楼顶立有广告牌，小玲准备利用所学的三角函数知识估测该建筑的高度．由于场地有限，不便测量，所以小玲从点B处沿坡度为的斜坡步行25米到达点C处，测得广告牌底部D的仰角为，广告牌顶部E的仰角为（小玲的身高忽略不计），已知广告牌米．（参考数据：，，） （1）求C处距离水平地面的高度； （2）求建筑物的高度． 【答案】（1）20米； （2）50米． 【解析】 【分析】（1）过点作于，根据坡比设，用勾股定理求，求解得出即可； （2）过点作于，先证四边形为矩形，得，再利用三角函数解可得的长，从而得解． 【小问1详解】 解：过点作于，如图所示， ， 设， ， ， ， ， 答：点C处距离水平地面的高度为20米； 【小问2详解】 解：过点作于，如图所示， ， 四边形为矩形， ； ， ， ， 设， ， 在中，， ， 即， ， 答：建筑物的高度约为50米． 【点睛】此题考查了解直角三角形的应用：坡比与仰角问题，熟练掌握坡比与仰角的定义、勾股定理、三角函数、矩形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质是解答此题的关键． 20. 某水果店购进甲、乙两种苹果的进价分别为8元/、12元/，这两种苹果的销售额y（单位：元）与销售量x（单位：）之间的关系如图所示． （1）写出图中点B表示的实际意义； （2）分别求甲、乙两种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：）之间的函数解析式，并写出x的取值范围； （3）若不计损耗等因素，当甲、乙两种苹果的销售量均为时，它们的利润和为1500元．求a的值． 【答案】（1）当销售量为60kg时，甲、乙两种苹果的销售额相等 （2）， （3）80 【解析】 【分析】（1）结合图象可知：B点表示的意义为：当销售量为60kg时，甲、乙两种苹果的销售额相等； （2）利用待定系数法求函数解析式即可； （3）分别表示出甲的利润，乙的利润，再根据甲、乙两种苹果的销售量均为时，它们的利润和为1500元建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：由图可知： B表示的实际意义：当销售量为60kg时，甲、乙两种苹果的销售额相等． 【小问2详解】 解：由图可知：过，， 设甲种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：）之间的函数解析式为：， ∴，解得：， ∴甲种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：）之间的函数解析式为：； 当时，乙函数图象过，， 设乙两种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：）之间的函数解析式为：，利用待定系数法得：，解得：， ∴； 当时，乙函数图象过，， 设乙两种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：）之间的函数解析式为：，利用待定系数法得：，解得：， ∴； 综上所述：乙两种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：）之间的函数解析式为； 【小问3详解】 解：甲的利润为：， 乙的利润为： ∴当时， 甲乙的利润和为：，解得（舍去）； 当时， 甲乙的利润和为：，解得； ∴当甲、乙两种苹果的销售量均为时，它们的利润和为1500元． 【点睛】本题考查一次函数图象的实际应用，解题的关键是掌握待定系数法求解析式，结合图象获取有用信息． 21. 如图，已知在ABC中，∠A＝90°． （1）请用圆规和直尺作出⊙P，使圆心P在AC边上，且与AB，BC两边都相切（保留作图痕迹，不写作法和证明）． （2）若AB=4，AC=3，试求（1）中⊙P的半径； 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的性质，作的角平分线交于点，以为圆心为半径作圆，⊙P就是所作圆 （2）设⊙P半径为，根据等面积法即可求解． 【小问1详解】 如图所示： 作的角平分线交于点，以为圆心为半径作圆，⊙P就是所作圆 【小问2详解】 在ABC中，∠A＝90°，AB=4，AC=3， ， 设⊙P半径为， ， ， ， ， 解得． ⊙P半径为． 【点睛】本题考查了切线的性质，角平分线的性质，作角平分线，作圆，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键． 22. 如图，已知二次函数y＝ax2＋3x＋的图像经过点A（－1，－3）． （1）求a的值和图像的顶点坐标． （2）若横坐标为m的点B在该二次函数的图像上． ①当点B向右平移4个单位长度后所得点B′也落在该二次函数图像上时，求m的值； ②若点B到x轴的距离不大于3，请根据图像直接写出m的取值范围． 【答案】（1）a＝－；(3，5) ； （2）①m＝1；②－1≤m≤1或5≤m≤7. 【解析】 【分析】（1）把点A(－1，－3)代入y＝ax2＋3x＋中，即可解得a＝－，再利用配方法转化为顶点式解析式即可解答； （2）①根据题意得到点B，根据“左加右减”原则，得到点B′，将其代入解析式即可解答； ②根据二次函数的对称性，可知其图像也经过点(7，－3)，令y＝3，则－ (x－3)2＋5＝3，解得x＝1或x＝5.结合图像，可知m的取值范围是－1≤m≤1或5≤m≤7. 【小问1详解】 把点A(－1，－3)代入y＝ax2＋3x＋中， 得－3＝a×(－1)2＋3×(－1)＋，解得a＝－. ∴y＝－x2＋3x＋＝－ (x－3)2＋5. ∴图像的顶点坐标为(3，5)； a＝－，顶点坐标为(3，5)； 【小问2详解】 由题意，可知点B， ∴点B′， 把点B′代入二次函数y＝－x2＋3x＋中， 得－m2＋3m＋＝－ (m＋4)2＋3(m＋4)＋，解得m＝1. . ②函数图像经过点A(－1，－3)， 根据二次函数的对称性，可知其图像也经过点(7，－3)， 令y＝3，则－ (x－3)2＋5＝3，解得x＝1或x＝5， 结合图像，可知m的取值范围是－1≤m≤1或5≤m≤7. 【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，涉及配方法、二次函数与一元二次方程的联系等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键. 23. 在△ABC中，AC＝AB，∠BAC＝，D为线段AB上的动点，连接DC，将DC绕点D顺时针旋转得到DE，连接CE，BE． （1）如图1，当＝60°时，求证：△CAD≌△CBE； （2）如图2，当tanα＝时， ①探究AD和BE之间的数量关系，并说明理由； ②若AC＝5，H是BC上一点，在点D移动过程中，CE＋EH是否存在最小值？若存在，请直接写出CE＋EH的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）①＝，理由见解析；②存在， 【解析】 【分析】（1）首先证明△ACB，△CDE都是等边三角形，再根据SAS证明三角形全等即可． （2）①结论：＝．利用相似三角形的性质解决问题即可． ②如图2中，过点C作CJ⊥BE交BE的延长线于J．作点C关于BE的对称点R，连接BR，ER，过点R作RT⊥BC于T．利用相似三角形的性质求出CJ＝，推出点E的运动轨迹是射线BE，利用面积法求出RT，可得结论． 【详解】（1）证明：如图1中， ∵＝60°，AC＝AB， ∴△ABC是等边三角形， ∴CA＝CB，∠ACB＝60°， ∵将DC绕点D顺时针旋转得到DE， ∴DC＝DE，∠CDE＝60°， ∴△CDE是等边三角形， ∴CD＝CE，∠DCE＝∠ACB＝60°， ∴∠ACD＝∠BCE， ∴△CAD≌△CBE（SAS）． （2）解：①结论：＝． 如图2中，过点C作CK⊥AB于K． ∵tan∠CAK＝＝， ∴可以假设CK＝3k，AK＝4k，则AC=AB＝5k，BK＝AB﹣AK＝k， ∴BC＝＝k， ∵∠A＝∠CDE，AC＝AB，CD＝DE， ∴∠ACB＝∠ABC＝∠DCE＝∠DEC， ∴△ACB∽△DCE， ∴＝， ∴＝， ∵∠ACB＝∠DCE， ∴∠ACD＝∠BCE， ∴△ACD∽△BCE， ∴＝＝＝． ②如图2中，过点C作CJ⊥BE交BE的延长线于J．作点C关于BE的对称点R，连接BR，ER，过点R作RT⊥BC于T． ∵AC＝5， 由①可知，AK＝4，CK＝3，BC＝， ∵△CAD∽△BCE，CK⊥AD，CJ⊥BE， ∴＝＝（全等三角形对应边上的高的比等于相似比）， ∴CJ＝， ∴点E的运动轨迹是射线BE， ∵C，R关于BE对称， ∴CR＝2CJ＝， ∵BJ＝＝＝， ∵S△CBR＝•CR•BJ＝•CB•RT， ∴RT＝＝， ∵EC＋EH＝ER＋EH≥RT， ∴EC＋EH≥， ∴EC＋EH的最小值为． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，轴对称最短问题等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，确定点E的运动轨迹是最后一个问题的突破点，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $