精品解析：云南德宏州芒市第一中学2025-2026学年下学期期末考试高二数学试卷

芒市第一中学2026年春季学期期末考试 高二数学试卷 考试时间：120分钟满分：150分 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的） 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 3. 若向量，都是单位向量，且满足，则（ ） A. B. C. D. 1 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知正四棱台的上、下底面边长分别为2，4，体积为28，则该正四棱台的侧棱长为（ ） A. B. C. D. 6. 有政治、历史、地理、物理、化学、生物这6门学科的学业水平考试成绩，现要从中选3门考试成绩，如果物理和历史恰有1门被选，那么不同的选法共有（ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 24 7. 已知双曲线的一条渐近线方程为，则其离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 设函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论错误的是（ ） A. B. 为奇函数 C. 在上是减函数 D. 方程仅有个实数解 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对1个的得2分，选对2个的得4分，有选错的得0分） 9. 如图所示，PA垂直于以AB为直径的圆O所在的平面，C为圆上异于A，B的任一点，则下列关系中正确的是（ ） A. PA⊥BC B. AC⊥PB C. BC⊥平面PAC D. PC⊥PB 10. 设为等差数列的前n项和，已知，，则（ ） A. 数列的公差为2 B. C. D. 当取得最大值时，或7 11. 已知直线，圆，则下列说法中正确的是（ ） A. 圆心坐标为 B. 对，直线与圆一定相交 C. 直线被圆截得的最短弦长为 D. 当时，圆上存在着4个点到直线的距离为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 数列的前项和为，若，则__________. 13. 已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为__________. 14. 已知三棱锥中，面，，，，则三棱锥的外接球的体积为_______． 四、解答题（本题共5小题，15题13分，16题、17题每题15分，18题、19题每题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在中,角,,所对的边分别为,,,且. （1）求； （2）若,的面积为,求. 16. 为了调查高一年级选科意愿，某学校随机抽取该校100名高一学生进行调查，拟选报物理和历史的人数统计如下表： 物理（人） 历史（人） 男 50 5 女 25 20 （1）能否有99%的把提认为选科与性别有关？ （2）若用样本频率作为概率的估计值，在该校高一学生中任选3人，记为三人中选物理的人数，求的分布列和数学期望． 附：． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 17. 已知四棱锥，⊥面，底面为正方形，，为的中点． （1）求证：面； （2）求直线与面所成的角． 18. 设椭圆的左焦点坐标为，且其离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）若在轴上的截距为2的直线与椭圆分别交于，两点，为坐标原点，且直线，的斜率之和等于12，求的面积． 19. 已知函数，曲线在点处的切线与直线垂直．（其中e为自然对数的底数） （1）求m的值； （2）求证：，恒成立； （3）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 芒市第一中学2026年春季学期期末考试 高二数学试卷 考试时间：120分钟满分：150分 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的） 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】集合，即， 因为集合， 所以，故选项B正确. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由复数四则运算以及共轭复数的概念即可得解. 【详解】因为，所以. 故选：C. 3. 若向量，都是单位向量，且满足，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量模的平方等于向量自身平方的性质，结合单位向量模长为1的条件展开等式计算即可 【详解】因为向量，都是单位向量，所以， 因为，两边同时平方，得：， 则 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把给定等式两边平方，利用同角公式、二倍角的正弦公式计算作答. 【详解】因，则有，即，解得， 所以. 故选：D 5. 已知正四棱台的上、下底面边长分别为2，4，体积为28，则该正四棱台的侧棱长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由棱台体积公式求出棱台的高，再利用正四棱台的结构特征求出侧棱长. 【详解】在正四棱台中，作于，则即为棱台的高， 由棱台的体积为28，得，解得， 在等腰梯形中，， 所以该正四棱台的侧棱长为. 故选：C 6. 有政治、历史、地理、物理、化学、生物这6门学科的学业水平考试成绩，现要从中选3门考试成绩，如果物理和历史恰有1门被选，那么不同的选法共有（ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】先从物理和历史恰有1门被选，再剩余4门学科中选2门，结合组合数运算求解. 【详解】若物理和历史恰有1门被选，则有种不同方法； 再从剩余4门学科中选2门，则有种不同方法； 所以不同的选法共有种. 故选：B. 7. 已知双曲线的一条渐近线方程为，则其离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由渐近线方程可得等量关系，据此可得答案. 【详解】因双曲线的一条渐近线方程为，则. 8. 设函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论错误的是（ ） A. B. 为奇函数 C. 在上是减函数 D. 方程仅有个实数解 【答案】C 【解析】 【分析】根据与的奇偶性可判断函数的对称性与周期性，从而作出函数图像，数形结合判断各选项. 【详解】为奇函数，即，关于点对称， 又为偶函数，即，关于直线对称， 所以，即， 所以， 即函数的最小正周期为， A选项：，A选项正确； B选项：，所以为奇函数，B选项正确； C选项：由当时，，所以，所以在上单调递增，C选项错误； D选项：由，得 作出函数及图像如图所示， 由已知函数的值域为，且， 当时，，函数与无公共点， 当时，由图像可知函数与函数有个公共点， 即有个解，D选项正确； 故选：C. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对1个的得2分，选对2个的得4分，有选错的得0分） 9. 如图所示，PA垂直于以AB为直径的圆O所在的平面，C为圆上异于A，B的任一点，则下列关系中正确的是（ ） A. PA⊥BC B. AC⊥PB C. BC⊥平面PAC D. PC⊥PB 【答案】AC 【解析】 【分析】由题意，平面，则由线面垂直的性质可得A对；而，则由线面垂直的判定定理可得平面，即C对；B采用反证法排除；由平面可得，故D错． 【详解】解：由题意有，平面， ∵平面， ∴，故A对； 而，且，平面， ∴平面，故C对； 若，因为，可得平面，则，与题目矛盾，故B错； 由平面可得，，则为直角三角形， 若，则重合，与已知矛盾，故D错； 故选：AC． 【点睛】本题主要考查线面垂直的判定与性质，属于基础题． 10. 设为等差数列的前n项和，已知，，则（ ） A. 数列的公差为2 B. C. D. 当取得最大值时，或7 【答案】BC 【解析】 【分析】先通过等差数列的基本量的运算求出和公差，确定数列的通项和前n项和，再求得取得最大值时的值． 【详解】设数列的公差为d，则解得，，故A错误； ，故B正确； ，故C正确； 当取得最大值时，或，故D错误． 11. 已知直线，圆，则下列说法中正确的是（ ） A. 圆心坐标为 B. 对，直线与圆一定相交 C. 直线被圆截得的最短弦长为 D. 当时，圆上存在着4个点到直线的距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，将圆一般方程化为标准方程，据此可得圆心坐标；对于B，注意到直线过定点，由定点与圆关系可判断选项正误；对于C，设直线到圆心距离为，求出的最大值，可得弦长最小值；对于D，计算出直线到圆心距离，结合图形可判断选项正误. 【详解】对于A：，从而圆心坐标为，故A正确； 对于B：，则直线过定点，又， 则定点在圆内，则过该定点直线一定与圆相交，故B正确； 对于C：设直线到圆心距离为，直线被圆所截弦长为，圆半径为.由AB分析可得，直线过定点且该点到圆心距离为， 当直线与定点和圆心连线垂直时，最大为，则直线被圆截得的最短弦长为，故C错误； 对于D：当时，直线到圆心距离为，如下图，设直线与圆交于，中点为， 连接并延长交圆于，由垂径定理可得.易得， 则在劣弧上存在两点到直线的距离为，在优弧上也存在两点到直线的距离为， 综上圆上存在着4个点到直线的距离为，故D正确. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 数列的前项和为，若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】 根据题意，得到，结合裂项求和法，即可求解. 【详解】由题意，数列中，满足，可得， 所以. 故答案为：. 13. 已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用导函数研究函数单调性再结合指数函数的值域计算即可. 【详解】因为在区间上单调递增， 所以当时，恒成立， 即在恒成立， 又，所以. 故答案为：. 14. 已知三棱锥中，面，，，，则三棱锥的外接球的体积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】三棱锥可补形为一个长宽高分别为的长方体，则三棱锥的外接球与长方体的外接球相同，据此求得外接球的半径，然后确定其体积即可. 【详解】如图所示，三棱锥可补形为一个长宽高分别为的长方体，则三棱锥的外接球与长方体的外接球相同， 设外接球半径为R，则：，则， 外接球的体积：. 故答案为： 【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径. 四、解答题（本题共5小题，15题13分，16题、17题每题15分，18题、19题每题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在中,角,,所对的边分别为,,,且. （1）求； （2）若,的面积为,求. 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】(1)利用正弦定理边角互化,结合两角和的正弦公式化简求解即可. (2)根据三角形的面积公式可得,再代入余弦定理求解即可. 【详解】解：（1）由正弦定理得, 所以, 则, 又因为,所以,, 所以； （2）的面积为,所以, 解得, 由, 所以. 【点睛】本题主要考查了解三角形与三角恒等变换的运用,需要根据题意选择合适的公式进行化简.属于基础题. 16. 为了调查高一年级选科意愿，某学校随机抽取该校100名高一学生进行调查，拟选报物理和历史的人数统计如下表： 物理（人） 历史（人） 男 50 5 女 25 20 （1）能否有99%的把提认为选科与性别有关？ （2）若用样本频率作为概率的估计值，在该校高一学生中任选3人，记为三人中选物理的人数，求的分布列和数学期望． 附：． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）有99%的把握认为选科与性别有关 （2）分布列见解析；期望为 【解析】 【分析】（1）根据表格代入公式，结合题意与临界值6.635比较；（2）由题意可得，结合二项分布计算分布列和期望． 【小问1详解】 由表中数据可知， 因为 故而有99%的把握认为选科与性别有关 【小问2详解】 依题意可知选该校高一学生选物理的频率为 由题意可得，则的所有可能取值为0，1，2，3 又， ， ∴的分布列如下： 0 1 2 3 所以的期望是 17. 已知四棱锥，⊥面，底面为正方形，，为的中点． （1）求证：面； （2）求直线与面所成的角． 【答案】（1）证明：因为面，平面， 所以⊥， 因为四边形为正方形， 所以⊥， 又，平面， 故⊥平面， 因为平面， 所以⊥， 又，故， 因为为的中点， 所以， 因为，平面， 故平面； （2）30° 【解析】 【分析】（1）由线面垂直得到⊥，结合⊥，得到线面垂直，⊥，结合三线合一得到的，证明出线面垂直； （2）方法1：证明线面平行，得到点B到面的距离就是点到面距离，且结合（1）得点A到面距离为．从而求出直线与面所成角的正弦值，得到答案； 方法2：利用等体积法求出点B到面的距离，进而得到直线与面所成角的正弦值，得到答案； 方法3：建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用空间向量夹角的余弦值得到线面角的正弦值，得到答案： 方法4：作出辅助线，并得到面，故为直线与面所成的角，记为，根据边长关系得到，求出答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 方法1：因为，平面，平面， 所以平面， 点B到面的距离就是点到面距离， 由勾股定理得， 又， 由（1）得点A到面距离为． 记直线与面所成角为，故， 故； 方法2：设，则，， 故， 且， 因为， 所以， ， 记直线与面所成角为，， ； 方法3：设， 以为轴，为轴，为轴建立直角坐标系， ， 故，， 设平面的法向量为， 则， 解得，令，则， 故， 记直线与面所成角为，， ． 方法4：将四棱锥还原为立方体，取的中点，连接， 因为且， 故四边形为平行四边形，故， 由（1）知，平面， 故面， 为直线与面所成的角，记为， 且，故， . 18. 设椭圆的左焦点坐标为，且其离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）若在轴上的截距为2的直线与椭圆分别交于，两点，为坐标原点，且直线，的斜率之和等于12，求的面积． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由题可列出关于的方程，再结合即可求解； （2）由题意可设：，将直线的方程与椭圆的方程联立，利用斜率公式结合韦达定理可求得的值，可得出直线的方程，然后利用弦长公式，点到直线的距离公式及三角形面积公式即得. 【小问1详解】 因为椭圆的左焦点坐标为，且其离心率为， 所以，解得， 所以， 故所求椭圆方程为； 【小问2详解】 若直线垂直于轴，则、的斜率都不存在，不合题意， 所以直线斜率存在，设：，、， 联立，化简可得， 由，解得或， 所以，， 所以 ， 解得， 所以直线的方程为， 此时，， 所以， 点到直线的距离为， 所以的面积为. 19. 已知函数，曲线在点处的切线与直线垂直．（其中e为自然对数的底数） （1）求m的值； （2）求证：，恒成立； （3）证明：． 【答案】（1）． （2）证明：由（1）得， ， 易知在上单调递增，且 ∴由零点存在性定理得，存在唯一实数使得， 且时，， ，， ∴在处取得极小值，也是最小值， ， ． 故恒成立． （3）证明：由（2）知，， ． ∴． ． ． 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求出导数得到斜率的表达式，再利用与垂直得到斜率相乘等于，即可求出结果. （2）对函数求导，求出单调区间以及最小值即可证明结论. （3）由（2）知，，再利用等比数列前项和公式计算可得证明得出结论. 【小问1详解】 ∵， ∴， ∵直线的斜率为． ∴曲线在点处的切线斜率． 解得． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $