精品解析：云南省楚雄第一中学2025-2026学年高二下学期期末模拟数学试题

楚雄一中2025——2026学年高二期末模拟试题 数学 注意事项： 1. 答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2. 每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 的展开式的第3项的系数为（ ） A. 10 B. C. 40 D. 【答案】C 【解析】 【分析】写出二项式的通项即可求得. 【详解】写出的通项，，第三项，即令，则 ，所以第三项的系数为40. 故选：C 2. 已知等差数列的首项为1，公差不为0，且成等比数列，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列的通向公式和等比中项的性质列式求解即可. 【详解】因为等差数列的首项为1，公差不为0，且成等比数列， 设的公差为，则，解得， 所以. 故选：B 3. 已知某圆锥的轴截面是边长为6的等边三角形，则该圆锥的内切球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用轴截面的性质及平面几何知识即可求出内切球半径，再根据球的表面积公式即可求解. 【详解】如图，设该圆锥内切球的球心为，半径为， 球切该圆锥的母线于点，为该圆锥底面圆的圆心， 则，，因为，所以，又， ，则，解得， 故该圆锥的内切球的表面积为. 故选：C 4. 若，，，则事件与事件满足（ ） A. 互为对立事件 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】A，通过对立条件判断；B，通过并集的概率公式求解；C,D，通过条件概率公式求解并判断. 【详解】选项A，因为，所以，又，所以，两者不为对立事件，错误. 选项B，，错误. 选项C，，所以，正确. 选项D，，错误. 5. 某班组织5名同学到三个不同社区志愿服务，每位同学只去一个社区且每个社区至少1人最多2人，则不同的安排方法有（ ）种. A. 90 B. 60 C. 150 D. 140 【答案】A 【解析】 【分析】先确定分配人数只能是2，2，1，分组时注意除以消除重复，最后将3组全排列到3个不同社区 【详解】5人只能按照2，2，1分组，分组方法有，将分好的3组分别派往3个不同社区：， 则不同安排方法共有 6. 已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点.若，则椭圆与双曲线的离心率之积的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，由椭圆、双曲线的定义得到，，再结合余弦定理即可求解. 【详解】根据椭圆、双曲线的对称性，不妨设焦点分别为左、右焦点，点在第一象限， 设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为， 根据椭圆及双曲线的定义，得，， ∴，， 设，在中，∵， 由余弦定理，得， 化简得，两边同除以，得. 又∵，∴，解得，当且仅当， 即时等号成立， ∴椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为， 故选：B. 7. 函数在上没有零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的单调性，列出条件解出即可. 【详解】易得是上的增函数，则，即， 解得或. 故选： 8. 已知双曲线的两条渐近线分别为，点分别为双曲线的左、右焦点，以原点O为圆心且过两焦点的圆与交于点P(P在第一象限)，点Q为线段的中点，且，则双曲线的离心率为（       ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设于，作轴于H，利用，即可求出. 【详解】设于，作轴于H， 联立与，得， 因为P在第一象限，所以， 由渐近线的对称性可知，， 又，所以， 则， 又在中，，所以， 即，则，解得双曲线的离心率为. 故选：B 9. 已知是等差数列的前项和，且满足，则（ ） A. 25 B. 35 C. 45 D. 55 【答案】B 【解析】 【分析】由等差数列的基本量法及前项和定义求得公差，然后计算出，再由等差数列的性质求得． 【详解】设数列的公差为，则，∴， ∴，． 故选：B 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 10. 已知等比数列的前项和为，公比为，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【详解】，， 所以解得，，A错误. 因此,解得，B正确. ， ，解得，C错误. ，D正确. 11. 下列结论正确的是（ ） A. 样本数据12，13，15，18，19，21，23，24，26，27的第70百分位数为23 B. 若一组样本数据的方差，则这组样本数据的总和为60 C. 若随机变量服从二项分布，则 D. 若随机变量服从正态分布，且，则 【答案】BCD 【解析】 【详解】选项A，样本共个数据，，为整数，第百分位数为第项和第项数据的平均值，即，A错误 选项B，方差，因为，故样本均值,样本总和，B正确 选项C，若，则，根据期望性质，得，C正确 选项D，正态分布的对称轴为，由对称性得，则，D正确 12. 在平行六面体中，，，则（ ） A. B. 平面 C. D. 三棱锥的外接球表面积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】取定空间的一个基底，利用空间位置关系的向量证明推理判断AB；利用空间向量数量积运算律计算判断C；求出三棱锥外接球半径求解判断D. 【详解】在平行六面体中，令，则为空间的一个基底， ， 对于A，，不成立，A错误； 对于B，由，得，由菱形， 得，而平面，则平面，B正确； 对于C，，则，C正确； 对于D，依题意，三棱锥为正四面体，令正的重心为，则平面， ，，令正四面体外接球半径为， 则，解得，所以三棱锥的外接球表面积为，D正确. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 13. 若曲线存在斜率为0的切线，则实数a的取值范围是_______ 【答案】 【解析】 【分析】先求导，存在，使得. 【详解】由题意可得， 即，使得，解得，因为， 因此. 14. 袋中装有大小相同的五个小球，其编号分别为1，2，3，4，5．每次从袋中随机摸出一个小球，记下编号后放回袋中，搅拌均匀再进行摸取，设第次摸取小球的编号为，则在中：圆的个数的方差为________． 【答案】## 【解析】 【分析】由题意知若表示圆，则，计算出，则，利用二项分布的方差计算公式即可得解. 【详解】若表示圆，则， 则符合的情况有：，，，，， 则， 又， 所以. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知抛物线：（）的焦点到其准线的距离为2. （1）求的值和抛物线的准线方程； （2）直线与抛物线交于，两点，以为直径的圆经过坐标原点，求实数的值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的几何性质可得； （2）利用韦达定理，结合求解可得. 【小问1详解】 抛物线的焦点为，准线方程为， 因为焦点F到准线的距离为2，所以. 故抛物线的标准方程为： 【小问2详解】 由（1）可得抛物线方程为，联立得， 因为直线与抛物线C有两个交点， 所以，，解得且， 设，则， 得， 因为以为直径的圆经过坐标原点，所以， 所以，解得. 16. 在四棱锥中，，，，，，分别为线段和的中点． （1）证明：平面； （2）若，求平面与平面夹角的正弦值； （3）若为线段中点，在线段上且为靠近点的三等分点，证明：，，，四点共面． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）证明为正方形从而得到，再证明从而证明，即可得证； （2）以为坐标原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，求出平面及平面的法向量，利用向量法即可求解； （3）以为基底表示，从而得到，根据共面定理即可证明. 【小问1详解】 连接， 因为为中点，所以， 又，，所以且， 所以四边形为平行四边形， 又，， 所以四边形为正方形， 所以，， 又因为，， 所以，所以， 又因为分别为线段和的中点，所以， 所以， 又，平面， 所以平面. 【小问2详解】 因为，， 所以，所以， 由（1）知， 又，平面， 所以平面， 又，，所以， 所以两两垂直， 以为坐标原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 则，令，则，， 则， 由（1）知平面， 所以平面的一个法向量为， 设平面与平面夹角为， 所以， 所以， 所以平面与平面夹角的正弦值. 【小问3详解】 因为分别为线段和的中点， 所以，， 因为为的中点，所以， 在线段上且为靠近点的三等分点， 所以， 所以， ， ， 所以， 故，，，四点共面. 17. 已知数列的首项，的前项和为，且. （1）证明数列是等比数列； （2）令，求函数在点处的导数. 【答案】（1） 因为，所以， 所以， 又，即， 所以数列是公比和首项均为2的等比数列. （2） 【解析】 【分析】（1）利用等比数列的定义即可证明； （2）对进行求导，再利用错位相减法即可求出. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1），所以， 所以， 所以， 设 所以， 所以， 所以， 又，所以. 18. 在某数字通信中，信号的传输包含发送与接收两个环节．每次信号只发送0和1中的某个数字，由于随机因素干扰，接收到的信号数字有可能出现错误，已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为，；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为．假设每次信号的传输相互独立． （1）当连续三次发送信号均为0时，设其相应三次接收到的信号数字均相同的概率为，求的最小值； （2）当连续四次发送信号均为1时，设其相应四次接收到的信号数字依次为，记其中连续出现相同数字的次数的最大值为随机变量（中任意相邻的数字均不相同时，令），若，求的分布列和数学期望． 【答案】（1） （2）的分布列为 1 2 3 4 期望为【解析】 【分析】（1）由独立乘法、互斥加法得函数表达式，进一步即可求解最小值； （2）的可能取值为1，2，3，4．有独立乘法、互斥加法公式求出对应的概率，进而得分布列以及数学期望. 【小问1详解】 由题可知， 因为，所以当时，的最小值为． 【小问2详解】 由题设知，的可能取值为1，2，3，4． ①当时，相应四次接收到的信号数字依次为0101或1010． 因此，， ②当时，相应四次接收到的信号数字依次为0010，或0100，或1101，或1011，或1001，或0110，或1100，或0011． 因此，， ③当时，相应四次接收到的信号数字依次为1110，或0111，或0001，或1000． 因此，， ④当时，相应四次接收到的信号数字依次为0000，或1111． 因此，． 所以的分布列为 1 2 3 4 因此，的数学期望． 19. 已知一系列椭圆：的右焦点为，上顶点为，，是等腰三角形，． （1）求椭圆的方程； （2）求数列的通项公式； （3）若数列的前项和为，若对任意的，都有（，），求的最小值． 【答案】（1） （2） （3）1 【解析】 【分析】（1）根据已知条件求出，由等腰三角形求出，进而根据椭圆定义求出椭圆方程.（2）先根据等比数列的通项公式列出，进而得到，最后得出.（3）根据的通项公式进行转化，利用裂项求和法求出，计算，转化为三角函数求最值. 【小问1详解】 因为，所以， 因为是等腰三角形，且， 所以必有，即， 则， 因此， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 点，设， 因为为等腰三角形， 所以，， 因此， 由题意知，所以， 所以， 所以，所以. 【小问3详解】 因为，， 所以 ， ， 因此 ， 因为， 所以， 所以的最大值为1，的最小值为2， 的最小值为1． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 楚雄一中2025——2026学年高二期末模拟试题 数学 注意事项： 1. 答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2. 每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 的展开式的第3项的系数为（ ） A. 10 B. C. 40 D. 2. 已知等差数列的首项为1，公差不为0，且成等比数列，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 已知某圆锥的轴截面是边长为6的等边三角形，则该圆锥的内切球的表面积为（ ） A. B. C. D. 4. 若，，，则事件与事件满足（ ） A. 互为对立事件 B. C. D. 5. 某班组织5名同学到三个不同社区志愿服务，每位同学只去一个社区且每个社区至少1人最多2人，则不同的安排方法有（ ）种. A. 90 B. 60 C. 150 D. 140 6. 已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点.若，则椭圆与双曲线的离心率之积的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 7. 函数在上没有零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线的两条渐近线分别为，点分别为双曲线的左、右焦点，以原点O为圆心且过两焦点的圆与交于点P(P在第一象限)，点Q为线段的中点，且，则双曲线的离心率为（       ） A. B. C. D. 9. 已知是等差数列的前项和，且满足，则（ ） A. 25 B. 35 C. 45 D. 55 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 10. 已知等比数列的前项和为，公比为，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 下列结论正确的是（ ） A. 样本数据12，13，15，18，19，21，23，24，26，27的第70百分位数为23 B. 若一组样本数据的方差，则这组样本数据的总和为60 C. 若随机变量服从二项分布，则 D. 若随机变量服从正态分布，且，则 12. 在平行六面体中，，，则（ ） A. B. 平面 C. D. 三棱锥的外接球表面积为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 13. 若曲线存在斜率为0的切线，则实数a的取值范围是_______ 14. 袋中装有大小相同的五个小球，其编号分别为1，2，3，4，5．每次从袋中随机摸出一个小球，记下编号后放回袋中，搅拌均匀再进行摸取，设第次摸取小球的编号为，则在中：圆的个数的方差为________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知抛物线：（）的焦点到其准线的距离为2. （1）求的值和抛物线的准线方程； （2）直线与抛物线交于，两点，以为直径的圆经过坐标原点，求实数的值. 16. 在四棱锥中，，，，，，分别为线段和的中点． （1）证明：平面； （2）若，求平面与平面夹角的正弦值； （3）若为线段中点，在线段上且为靠近点的三等分点，证明：，，，四点共面． 17. 已知数列的首项，的前项和为，且. （1）证明数列是等比数列； （2）令，求函数在点处的导数. 18. 在某数字通信中，信号的传输包含发送与接收两个环节．每次信号只发送0和1中的某个数字，由于随机因素干扰，接收到的信号数字有可能出现错误，已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为，；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为．假设每次信号的传输相互独立． （1）当连续三次发送信号均为0时，设其相应三次接收到的信号数字均相同的概率为，求的最小值； （2）当连续四次发送信号均为1时，设其相应四次接收到的信号数字依次为，记其中连续出现相同数字的次数的最大值为随机变量（中任意相邻的数字均不相同时，令），若，求的分布列和数学期望． 19. 已知一系列椭圆：的右焦点为，上顶点为，，是等腰三角形，． （1）求椭圆的方程； （2）求数列的通项公式； （3）若数列的前项和为，若对任意的，都有（，），求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $