精品解析：江苏省南京市鼓楼区求真中学2022-2023学年九年级下学期开学考试数学试卷

2022-2023学年江苏省南京市鼓楼区求真中学 九年级（下）开学数学试卷 一．选择题（共6小题） 1. 在中，，，，则的值是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则（ ） A. sinA＝ B. a＝sinB×c C. cosA＝ D. tanA＝ 3. 如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点，AC与BD相交于点O，则的面积与的面积的比为（ ） A. 1：2 B. C. 1：4 D. 4. 如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B，C在坐标轴上，若点A的坐标为（0，3），tan∠ABO＝，则菱形ABCD的周长为（ ） A. 6 B. 6 C. 12 D. 8 5. 如图，在中，平分，交于点D，过D作的平行线交于M，若，，则（　　） A. B. C. D. 6. 如图，已知等边，点分别是边上的动点，，则图中相似的三角形的对数是(　　) A. 3对 B. 4对 C. 5对 D. 6对 二．填空题（共10小题） 7. 已知，则______． 8. 如图，D是的边BC上一点，，，．如果的面积为15，那么的面积为______． 9. 如图，是以点为位似中心经过位似变换得到的三角形，若的面积与的面积比是，则等于______． 10. 如图，利用标杆测量楼高，点A，D，B在同一直线上，，，垂足分别为E，C．若测得，，，则楼高______m． 11. 在Rt△ABC中∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，c＝3a，则tanA的值为_________ 12. 如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长相同，那么的正弦值为______． 13. 化简______． 14. 在中，，，则_______ ． 15. 如图，中，，顶点，分别在反比例函数与的图象上，则的度数为_____． 16. 如图，点A在半径为6的⊙O内，，P为⊙O上一动点，当取最大值时，的长等于_______． 三．解答题（共4小题） 17. 已知，，是的三边，，，满足等式，且，求的值． 18. 如图，的顶点坐标分别为，，． （1）画出绕点O逆时针旋转后得到的； （2）以点O为位似中心，在第三象限内把按相似比放大(即所画与的相似比为)； （3）在（2）的条件下，若为边上的任意一点，则的边上与点M对应的点的坐标为 ． 19. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4，∠ABC 的平分线交边 AC于点 D，延长 BD 至点 E，且BD=2DE，连接 AE. （1）求线段 CD 的长;（2）求△ADE 的面积. 20. 已知：是的直径，，连结，弦，直线交直线于点D，． （1）证明：直线是的切线； （2）探索线段与线段之间的数量关系，并加以证明； （3）求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022-2023学年江苏省南京市鼓楼区求真中学 九年级（下）开学数学试卷 一．选择题（共6小题） 1. 在中，，，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、锐角三角形函数的定义，先根据勾股定理求出的长，再根据锐角三角函数正切的定义求解即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵， ∴由勾股定理得：， ∴， 故选：． 2. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则（ ） A. sinA＝ B. a＝sinB×c C. cosA＝ D. tanA＝ 【答案】C 【解析】 【分析】根据锐角三角函数的定义逐项进行判断即可． 【详解】解：在△ABC中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c， 因此有：sinA＝，sinB＝，cosA＝，tanA＝， 故A不符合题意；故C符合题意；故D不符合题意； 由sinB＝可得b＝sinB×c，故B不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查锐角三角函数的定义，掌握锐角三角函数的意义是正确判断的前提． 3. 如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点，AC与BD相交于点O，则的面积与的面积的比为（ ） A. 1：2 B. C. 1：4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】设小方格的边长为1，根据等腰直角三角形和勾股定理求出AB和CD的长，再根据 得到 ，然后利用相似三角形的性质来求解． 【详解】解：如下图， 设小方格的边长为1， ∵、分别是边长为1和2的等腰直角三角形， ∴，，． ∵， ∴， ∴． 又∵ ， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查相似三角形面积比与相似比的关系，关键是判断两三角形相似，确定其相似比． 4. 如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B，C在坐标轴上，若点A的坐标为（0，3），tan∠ABO＝，则菱形ABCD的周长为（ ） A. 6 B. 6 C. 12 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】解直角三角形ABO求出BO，利用勾股定理求出AB，由菱形四条边长相等即可求出周长． 【详解】解：∵点A的坐标为（0，3）， ∴AO＝3， 在中，tan∠ABO＝， ∴， ∴， ∴菱形ABCD的周长． 【点睛】本题考查解直角三角形，勾股定理和菱形的性质，坐标与图形，难度较小，熟练利用锐角三角函数解直角三角形是解题的关键． 5. 如图，在中，平分，交于点D，过D作的平行线交于M，若，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平分，，可得，从而得到，再根据，即可求解． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：． 故选B． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定，相似三角形的判定和性质，根据题意得到是解题的关键． 6. 如图，已知等边，点分别是边上的动点，，则图中相似的三角形的对数是(　　) A. 3对 B. 4对 C. 5对 D. 6对 【答案】D 【解析】 【分析】依据等边三角形的性质，结合条件，证明，再根据“有两组角对应相等的两个三角形相似”，即可找到相似三角形． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴且， 又∵， ∴； ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴且， 又∵， ∴， ∵， ∴， 综上所述，图中相似的三角形的对数是6对． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定以及等边三角形的性质的运用，关键是掌握有两组角对应相等的两个三角形相似． 二．填空题（共10小题） 7. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用设法，进行计算即可解答． 【详解】解：设， ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握设法是解题的关键． 8. 如图，D是的边BC上一点，，，．如果的面积为15，那么的面积为______． 【答案】5 【解析】 【分析】先证明△ACD∽△BCA，再根据相似三角形的性质得到：△ACD的面积：△ABC的面积为1：4，再结合△ABD的面积为15，然后求出△ACD的面积即可． 【详解】∵，， ∴， ∵，， ∴ ， ∴的面积， 故答案是：5． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解答本题的关键． 9. 如图，是以点为位似中心经过位似变换得到的三角形，若的面积与的面积比是，则等于______． 【答案】 【解析】 【分析】根据位似变换的概念得到，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得到答案． 【详解】解：是以点为位似中心经过位似变换得到的三角形， ， 的面积与的面积比是， 与的相似比是， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是位似变换，掌握位似图形是相似图形，相似图形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 10. 如图，利用标杆测量楼高，点A，D，B在同一直线上，，，垂足分别为E，C．若测得，，，则楼高______m． 【答案】9 【解析】 【分析】由，，可得，又因为，可得，由相似三角形的性质可得，继而可求得BC. 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即：， 解得：BC=9. 故答案为：9. 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、垂直的定义，解题的关键是证明，并利用相似三角形的性质求解. 11. 在Rt△ABC中∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，c＝3a，则tanA的值为_________ 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理和三角函数即可解答． 【详解】解：已知在Rt△ABC中∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，c＝3a， 设a＝x，则c＝3x，b＝．即tanA＝． 故答案为： 【点睛】本题考查勾股定理和三角函数，熟悉掌握是解题关键． 12. 如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长相同，那么的正弦值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，求解特殊角的三角函数值，根据网格求出三角形的三边，得到是等腰直角三角形，再进行求解． 【详解】解：由勾股定理可得， ，，， ∴，， ∴是等腰直角三角形，且，， ∴， 故答案为：． 13. 化简______． 【答案】 【解析】 【分析】根据完全平方公式变形，再根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：∵， = = = 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，锐角三角函数，解题的关键是掌握sinα与1的大小． 14. 在中，，，则_______ ． 【答案】 【解析】 【详解】解：如图， ∵tanA=2， ∴设AB=x，则BC=2x， AC=， 则有：sinA+cosA=． 故答案为． 15. 如图，中，，顶点，分别在反比例函数与的图象上，则的度数为_____． 【答案】##度 【解析】 【分析】过作轴于点，过作轴于，根据的几何意义得出，，证明，根据面积比得出相似比，根据正切的定义以及特殊角的三角函数值即可求解． 【详解】解：如图，过作轴于点，过作轴于， 则， 顶点，分别在反比例函数与的图象上， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故本题答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，已知特殊角的三角函数值求角度，一次函数与反比例函数综合，综合运用以上知识是解题的关键． 16. 如图，点A在半径为6的⊙O内，，P为⊙O上一动点，当取最大值时，的长等于_______． 【答案】 【解析】 【详解】解：作于H，如图： ∵，OP＝6， ∴当最大时，即时，最大， 此时， 故答案为： 【点睛】本题考查圆上动点问题及解直角三角形，解题的关键是根据直角三角形中锐角正弦值随角度增大逐渐增大得到当最大时取最大． 三．解答题（共4小题） 17. 已知，，是的三边，，，满足等式，且，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，解直角三角形，应把所给的式子进行整理，判断出三角形的形状，进而计算相应角的正弦值的和．理解在直角三角形中，一个角的正弦值等于它的对边与斜边之比是解决问题的关键． 【详解】解：， ， 即：， 是以为斜边的， ， ， 设，则， 中，， ． 18. 如图，的顶点坐标分别为，，． （1）画出绕点O逆时针旋转后得到的； （2）以点O为位似中心，在第三象限内把按相似比放大(即所画与的相似比为)； （3）在（2）的条件下，若为边上的任意一点，则的边上与点M对应的点的坐标为 ． 【答案】（1）如图，即为所作： （2）如图，即为所作： （3） 【解析】 【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C绕点O逆时针旋转后的点D、E、F的位置，然后顺次连接即可； （2）根据位似比，先分别求出点A、B、C对应点的坐标，再顺次连接可得； （3）根据平面直角坐标系中，位似中心为原点的对应点的坐标规律可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：根据位似性质可得：为边上的任意一点， 则的边上与点M对应的点的坐标为． 19. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4，∠ABC 的平分线交边 AC于点 D，延长 BD 至点 E，且BD=2DE，连接 AE. （1）求线段 CD 的长;（2）求△ADE 的面积. 【答案】 (1);（2）. 【解析】 【详解】分析：（1）过点D作DH⊥AB，根据角平分线的性质得到DH=DC根据正弦的定义列出方程，解方程即可； （2）根据三角形的面积公式计算． 详解：（1）过点D作DH⊥AB，垂足为点H．∵BD平分∠ABC，∠C=90°，∴DH=DC=x，则AD=3﹣x．∵∠C=90°，AC=3，BC=4，∴AB=5． ∵，即CD=； （2）． ∵BD=2DE，∴． 点睛：本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 20. 已知：是的直径，，连结，弦，直线交直线于点D，． （1）证明：直线是的切线； （2）探索线段与线段之间的数量关系，并加以证明； （3）求的值． 【答案】（1）证明见解析 （2）；证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）连接，可证得，据此即可证得结论； （2）首先可证得，再由相似三角形性质即可证得结论； （3）首先由相似得出，设．则，由勾股定理得据此即可求得． 【小问1详解】 证明：如图：连接， ， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， ， ， 又是圆O的半径， 是圆O的切线． 【小问2详解】 ． 证明：∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 【小问3详解】 ∵， ∴，即． ∴． 设．则． 在中，由勾股定理，得．即． ∵， ∴． ． ∴． 【点睛】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，求一个角的余弦值，熟练掌握相关性质是解决本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $