河北承德市2025-2026学年高二下学期7月期末数学试题

绝密★启用前 数学 本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知函数，则 A． B． C． D． 2．二项式展开式的中间一项的二项式系数为 A． B． C． D． 3．若直线与曲线（为自然对数的底数）相切于点，则 A． B． C． D． 4．已知函数，则 A． B． C． D． 5．已知随机变量满足，若，则随机变量的数学期望为 A．96 B．100 C．104 D．116 6．已知函数的最大值为1，则 A． B． C． D． 7．已知对线性数据的相关系数，其中向量，，且，．研究表明，人的脂肪含量与年龄（岁）呈线性相关关系．现收集了14个人的年龄和脂肪含量的数据，其中和分别表示第个人的年龄和脂肪含量，则这14对数据的相关系数 （参考数据：已知，，，，．） A．0.92 B．0.94 C．0.95 D．0.96 8．将各位数字之和等于10的四位数称为“好数”，比如2026，则四位数中“好数”个数为 A．219 B．220 C．285 D．286 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数是定义在上的奇函数，函数是定义在上的偶函数，且在单调递减，在单调递增，则下列说法正确的是 A． B．为奇函数 C． D． 10．已知复数，其共轭复数分别为，，则下列说法正确的是 A． B．若，则 C．若，则（为虚数单位） D．若，其中，则 11．已知函数，下列说法正确的是 A．可能为偶函数 B．曲线不可能有对称轴 C．当时，函数有极值 D．当时，若为函数的极大值点，则在单调递增 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分． 12．命题“，”的否定是________． 13．“算两次原理”（又称富比尼原理）是一种重要的数学思想方法，核心是：对同一个量，从两个不同角度或采用两种不同方法分别计算一次，根据结果相同建立等量关系，从而解决问题．请你结合二项式定理，利用等式，计算 ________．（结果用组合数表示） 14．已知函数（为自然对数的底数）在恰好有两个不同的零点，则实数的取值范围为________． 四、解答题：本题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分13分） 已知，且． （1）求的最小值； （2）若对于任意的，均有恒成立，求实数的取值范围． 16．（本题满分15分） 某农业科研课题组探究土壤有机物含量对某蔬菜单株产量的影响，收集到了5组观测数据： 1 4 6.25 9 16 5.5 4 4 3.5 3 （1）通过散点图分析，选用模型拟合与的相关关系，请利用最小二乘法求和； （2）为进一步探究与之间的关联性，课题组扩大了样本量，整理得到下面列联表． 产量 有机质 合计 达标 不达标 高产 18 低产 23 合计 30 30 60 （i）补全上述列联表； （ii）依据小概率值的独立性检验，能否认为土壤有机质达标与该蔬菜高产有关联？ 附1：对于一组数据，，⋯，，其经验回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计分别是，，，． 附2：，其中． 0.100 0.010 0.001 2.706 6.635 10.828 17．（本题满分15分） 某生物实验室做真菌培育试验，每次试验投放6个真菌，假设每个真菌存活率均为． （1）记单次试验中菌种恰好存活3个真菌的概率为，若当时，取得最大值，求的值； （2）以（1）中的作为的值，连续独立再做5次培育试验，记这5次培育试验中菌种存活数大于等于4的试验次数为，求的期望和方差． 18．（本题满分17分） 已知函数． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若函数在上单调递增（为自然对数的底数），求实数的取值范围． 19．（本题满分17分） 已知集合共有个元素． （1）当时，求集合的子集中不含有3的子集个数； （2）当时，从集合的所有非空子集中，等可能地取出一个，记为所取的非空子集的元素最大值，求的分布列和数学期望； （3）从集合中随机取一个数记为，再从，，，⋯，中随机取一数记为，求的数学期望． 数学参考答案与解析 1.A【解析】当时，，故选A． 2.B【解析】展开式共有7项，中间一项是第4项，其二项式系数为，故选B。 3.D【解析】易得切点坐标为，故，而曲线在处的切线方程为，即，故，，所以，故选D． 4.C【解析】，所以被3整除余数为2，，故选C。 5.C【解析】由题意知，，所以，故选C。 6.C【解析】由题意知，所以1为函数极大值点，所以，而，所以由得，经验证满足题意，故选C。 7.A【解析】，故选A。 【命题说明】本题改编入教A版教材选择性必修三第98、99页 8.A【解析】设四位数为，则（，a，b，c，），令，，，则问题转化为：求方程的正整数解的个数，由“隔板法”得共有个，其中当，不合题意，故共有219个，故选A。 9.AB【解析】因为是定义在R上的奇函数且在单调递减，所以在R上单调递减且，故，故A正确； 令，则定义域为R，且，而，所以为R上的奇函数，故B正确； ，而且在单调递减，所以，故C错误； ，而在单调递增，故D错误。综上故选AB。 10.ABD【解析】因为，所以，故A正确； 因为，所以，故，故B正确； 当，时，满足，但不满足，故C错误。 由得，而，所以，即，故D正确。综上故选ABD。 11.BD【解析】由恒成立得，而，故A错误； 当时，若，则；若，则，故当时，曲线无对称轴； 当，若，则；若，则，故当时，曲线无对称轴，故B正确； ，，当时无变号零点，所以此时函数无极值，故C错误； 易得当时，若存在极大值点，则曲线先单调递增，后单调递减，再单调递增，故D正确。 综上故选BD。 12.，（或，） 13.（或）【解析】当时，，等式左侧的系数为；等式右侧的系数为，故所求的值为（或）。 14.【解析】由得，即， 即，令，则。 易得在单调递减，在单调递增，且当时，； 当时，，所以当时，，所以与在恰好有两个不同的交点，易得，故实数a的取值范围为。 15.解：（1）因为，，所以， 所以，即， 当且仅当，即，时等号成立； （2）由得， 所以， 当且仅当，即，时等号成立。 所以的最小值为1。 由得， 解得，所以实数m的取值范围为。 16.解：（1）令，则， 所以，。 故 ， ； （2）（ⅰ） 产量 有机质 合计 达标 不达标 高产 18 7 25 低产 12 23 35 合计 30 30 60 （ⅱ）零假设为：土壤有机质达标与该蔬菜高产相互独立. 根据列联表中的数据，经计算得到， 根据小概率值的独立性检验，没有充分的证据推断不成立，因此可以认为成立，即认为土壤有机质达标与该蔬菜高产没有关联． 17.解：（1）， ， 所以在单调递增，在单调递减， 故当时，取得最大值，所以； （2）当时，设单次培育试验中菌种存活数大于等于4的概率为q， 则． 由题意知， 所以，． 18.解：（1）当时，，， ，， 由得， 故曲线在处的切线方程为， （2）， 由题意知在上恒成立． 令，则在上恒成立， ， 当时，在上单调递增，所以， 由得，故，满足题意。 当时，在上单调递增，所以， 由得或，故或满足题意． 当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以， 由得， 故满足题意． 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 要使在上恒成立，只需要，由得， 故满足题意． 综上所述，实数a的取值范围为． 19.【命题说明】本题改编人教A版教材选择性必修第三34页练习4和第三38页复习参考题第2题 解：（1）集合的子集共有个． 当时，， 集合A的不含有3的子集个数等于集合的子集个数，而集合共有个， 故集合A的子集中不含有3的子集有32个． （2）当时，从集合A的所有非空子集共有个， X可取1，2，3，4，5，6． ，，， ，， 故X的分布列为 1 2 3 4 5 6 所以数学期望； （3）由题意知当时，Y需要从这k个整数中取， 不妨设， 此时， 从而，而， 所以． 故 ． 学科网（北京）股份有限公司 $