精品解析：河北秦皇岛市第三中学2025-2026学年高二下学期7月期末考试数学试卷A

秦皇岛市第三中学2025-2026学年度第二学期 期末考试 高二数学试卷A 命题人 李金宇 试卷说明：考试时长为120分钟，满分150分.单选题8个小题，每小题只有一个正确答案，共40分；多选题3个小题，每小题有2个或3个正确答案，共计18分；填空题3个，共计15分；解答题5个，共计77分. 一、单选题 1. 曲线在处的切线的斜率为（ ） A. 4 B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数来求斜率即可. 【详解】由题意得，所以曲线在处的切线的斜率为. 故选：B. 2. 已知，的取值如下表所示，从散点图分析可知与线性相关，若经验回归方程为，则表格中的数据的值为（ ） 0 1 3 4 2.2 4.3 6.7 A. 2.4 B. 4.2 C. 4.8 D. 9.6 【答案】C 【解析】 【分析】根据样本中心点计算求解参数. 【详解】计算得， 经验回归直线过样本中心点， 因此， 由，解得. 3. 用这个数字可以组成没有重复数字三位数的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用分步乘法计数原理，依次确定无重复数字的三位数的百位、十位、个位的可选数字数量，相乘即可得到总个数. 【详解】 由于三位数的百位不能为，且各数位数字不重复，结合分步乘法计数原理计算： 确定百位数字：可从共个非零数字中任选个，共有种选择； 确定十位数字：百位已选个数字，剩余个数字（包含）可选，共有种选择； 确定个位数字：百位和十位共选走个不同数字，剩余个数字可选，共有种选择。 因此满足条件的三位数总个数为. 4. 已知随机变量的分布列为 1 2 3 4 0.2 0.3 0.4 0.1 则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 5. 学校测试智能阅卷，启用了标注为甲，乙，丙的三款评卷系统．平台将随机调用甲，乙，丙的概率依次为，，．若甲，乙，丙批改一道数学题的正确率分别为，，．现随机抽取一道题目，则该题目被正确批改的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设该题目被正确批改为事件, 事件为调用甲系统，概率为，正确率为， 事件为调用乙系统，概率为，正确率为， 事件为调用丙系统，概率为，正确率为， 由全概率公式得：． 6. 的展开式中含项的系数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式求解. 【详解】由， 令，解得：， 所以展开式中含项的系数为：. 7. 某地区有20000名考生参加了高三第二次调研考试.经过数据分析，数学成绩X近似服从正态分布，则数学成绩位于的人数约为（ ） 参考数据：，，. A. 790 B. 2720 C. 430 D. 1360 【答案】C 【解析】 【分析】根据题设条件结合对称性得出数学成绩位于的人数. 【详解】由题意可知，， 则数学成绩位于的人数约为. 故选：C. 8. 若函数在定义域内有两个不同的零点，则实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将零点问题转化为交点问题，数形结合可解. 【详解】函数在内有两个不同的零点， 即在内有两个不等实根. 设，，则， 由解得， 所以为上的减函数，为上的增函数. 则， 而当且时，；当时，. 如下图： 由题可知和有两个不同交点，所以有. 二、多选题 9. （多选）袋子中有2个黑球，1个白球，现从袋子中有放回地随机取球4次，取到白球记0分，黑球记1分，记4次取球的总分数为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】先判断4次取球的总分数服从二项分布，再利用二项分布的概率、期望、方差公式逐一判断选项即可. 【详解】从袋子中有放回地随机取球4次，则每次取球互不影响，并且每次取到的黑球概率相等，故随机变量服从二项分布， 又取到黑球记1分，取4次球的总分数，即为取到黑球的个数，则，故A正确； ，故B错误； 因为，所以，故C正确； 又因，故D正确. 10. 以下是不同成对样本数据的散点图，则下列说法正确的是（ ） A. 图（1）中成对样本数据呈负相关 B. 图（1）中成对样本数据的线性相关程度比图（2）中强 C. 图（1）中成对样本数据的相关系数大于图（2）中成对样本数据的相关系数 D. 若从图（2）样本中抽取一部分，则这部分的相关系数不变 【答案】AB 【解析】 【分析】根据相关系数的定义和意义进行辨析即可. 【详解】对于A：图（1）中，随着增大，整体呈减小趋势，因此成对样本数据呈负相关，A正确； 对于B：图（1）中数据点更贴近直线，线性相关程度比图（2）（数据点分散）强，B正确； 对于C：图（1）的线性相关性强，负相关的相关系数接近−1；图（2）线性相关性弱，相关系数绝对值小（接近 0）. 因此图（1）的相关系数（负数，绝对值大）小于图（2）的相关系数（接近 0），C错误； 对于D：从图（2）中抽取部分样本，数据分布会改变，相关系数会变化，D错误. 故选：AB. 11. 将甲、乙、丙、丁、戊5位教师分配到、、三所学校支教，若每所学校至少分配一位教师，则（ ） A. 共有300种不同的分配方法 B. 甲分配到学校的概率为 C. 若甲、乙两位教师必须分配到同一所学校，则共有36种不同的分配方法 D. 甲不能分配到学校同时乙必须分配到学校的概率为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据计数原理及排列组合知识，结合古典概型的概率计算公式求解即可. 【详解】对于A，5位教师分配到三所学校支教，每所学校至少分配一位教师，有2种分组情况： 分组为1,1,3时，分配方法有种； 分组为2,2,1,时，分配方法有种； 故总分配方法有种，A错误. 对于B，学校只有甲，分配方法有种； 学校有2位老师，分配方法有种； 学校有3位老师，分配方法有种； 故甲分配到学校的总分配方法有种，概率为，B正确. 对于C，将甲乙绑定为1组，共4组，分配方法有种，C正确. 对于D，甲乙均分配到学校，分配方法有种， 甲分配到学校，乙分配到学校时， 3位老师都分配到学校，分配方法有种， 2位老师分配到学校，分配方法有种， 1位老师分配到学校，分配方法有种， 故甲不能分配到学校同时乙必须分配到学校的总分配方法有种，概率为，D正确. 三、填空题 12. 已知，则______. 【答案】5 【解析】 【分析】求出函数的导函数，再代入计算可得. 【详解】因为，所以，则. 故答案为： 13. 甲乙两人比赛投篮，在每局比赛中两人分别投篮两次，若每局投进的次数之和不小于3，则称该局比赛胜利．已知甲乙两人投篮相互独立，且投进的概率均为．记甲乙两人胜利的局数为X，若进行了27局比赛，则______． 【答案】16 【解析】 【分析】先利用相互独立事件的概率公式求出每局游戏中甲乙两名队员获得胜利的概率，再由二项分布的期望公式即可求期望. 【详解】每局游戏中两人分别投篮两次，每局投进的次数之和不少于次则胜利， 每局游戏胜利包括三种情况： 甲投中次，乙投中次，概率为， 甲投中次，乙投中次，概率为， 甲投中次，乙投中次，概率为， 所以每局游戏甲乙两名队员获得胜利的概率为， 若游戏的局数是，为甲乙两名队员获得胜利的局数，则， 所以. 14. 函数f(x)=ax3+bx2+cx的图象如图所示，且f(x)在x=x0与x=－1处取得极值，给出下列判断： ①f(1)+f(－1)=0； ②f(－2)>0； ③函数y=f'(x)在区间(－，0)上是增函数. 其中正确的判断是_________. (写出所有正确判断的序号) 【答案】②③ 【解析】 【分析】由题意得且，求出，判定符号即可，最后根据开口向下，对称轴为的二次函数，可得函数在区间上单调递增，即可得到答案. 【详解】由函数的图象，且在和处取得极值， 则且，则， 所以，所以①不正确； ，所以②正确， 又由是开口向下，对称轴为， 所以函数在区间上单调递增，所以③是正确的， 综上正确命题的序号为②③. 故答案为：②③. 四、解答题 15. 某科研团队为了研究睡眠不足与腹部肥胖之间的关联，邀请了200名志愿者参与研究，这些志愿者都处于久坐环境且食物不限量供应.将志愿者随机分成两组，缺觉组每天只能睡4小时，饱睡组每天睡79小时，保证睡眠充足，持续2周后，得到如下数据. （1）缺觉组、饱睡组的志愿者腹部脂肪面积显著增加的频率分别是多少？ 受试者 腹部脂肪面积 合计 无明显变化 显著增加 缺觉组 20 80 100 饱睡组 80 20 100 合计 100 100 200 （2）根据小概率值的独立性检验，能否推断睡眠不足与腹部肥胖之间有关联？ 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 附：，. 【答案】（1）， （2）有的把握推断睡眠不足与腹部肥胖之间有关联 【解析】 【分析】（1）根据表格中的数据，结合古典概型的概率计算公式，即可求解； （2）根据列联表中的数据，求得，结合附表，即可得到答案. 【小问1详解】 解：由表格中的数据知，缺觉组志愿者共100人，其中腹部脂肪面积显著增加的有80人， 所以缺觉组志愿者腹部脂肪面积显著增加的频率为, 饱睡组的志愿者共100人，其中腹部脂肪面积显著增加的有20人， 所以饱睡组的志愿者腹部脂肪面积显著增加的频率为. 【小问2详解】 解：根据列联表中的数据，可得， 因为，根据小概率值的独立性检验 所以有的把握推断睡眠不足与腹部肥胖之间有关联. 16. 为营造浓厚的全国文明城市创建氛围，积极响应创建全国文明城市号召，提高对创城行动的责任感与参与度，学校号召师生利用周末参与创城志愿活动．高二（1）班某小组有4名男生，3名女生，现从中随机选取3人作为志愿者参加活动． （1）求选取的3人中既有男生又有女生的概率； （2）记参加活动的女生人数为X，求X的分布列及数学期望． 【答案】（1） （2） 0 1 2 3 【解析】 【分析】（1）利用古典概型概率公式，结合对立事件直接求解即可； （2）易判断服从超几何分布，利用超几何分布概率模型求出各变量对应的概率，即可解决问题. 【小问1详解】 由题可知，共有7人，从中随机选取3人有种取法， 全部选取男生有种，全部选取女生有种， 所以，选取的3人中既有男生又有女生的概率. 【小问2详解】 由题可知，X可能的取值有：0，1，2，3，服从超几何分布， 则，，，， 所以X的分布列为： 0 1 2 3 的数学期望. 17. 已知二项式的展开式中，所有项的二项式系数之和为256． （1）求正整数n的值． （2）求展开式中含的项的系数． （3）求展开式中系数最大的项． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用二项式系数和为的性质列方程求解； （2）先写出展开式通项，令的指数为3，判断无符合条件的整数，得对应系数为0； （3）写出各项系数表达式，仅比较偶数项（奇数项系数为负）的大小，找到系数最大时的，代入通项得结果. 【小问1详解】 二项式展开式所有项的二项式系数之和为，由题意得，解得. 【小问2详解】 由得二项式为，其展开式通项为：   ， 令，解得，不满足，故展开式中不含的项，对应系数为. 【小问3详解】 设第项的系数为， 当为奇数时，不可能为最大值，仅需比较为偶数时的系数大小. 令（），相邻偶数项的系数比值为： ， 当时比值大于1，系数递增；当时比值小于1，系数递减， 故即时系数最大. 将代入通项得：  ，即系数最大的项为. 18. 某人工智能科技公司对其产品研发年投资额（单位：百万元）与其年销售量（单位：千件）的数据进行统计，整理后得到如下统计表1和散点图． 表1 1 2 3 4 5 0.5 1 1.5 2.5 4.5 （1）求年销售量关于年投资额的线性经验回归方程； （2）该公司科研团队通过进一步分析散点图的特征后，计划用作为年销售量关于年投资额的非线性经验回归方程，请根据表2的数据，求出此方程； 表2： 1 2 3 4 5 0 0.4 0.9 1.5 （3）请根据表3的数据，用残差平方和比较（1）和（2）中经验回归方程的拟合效果． 表3： 2 3 4 5 的近似值 2.9 4.9 8.4 14.2 参考公式：，； 参考数据：，． 【答案】（1） （2） （3）（2）中经验回归方程的拟合效果好． 【解析】 【分析】（1）根据公式计算出得线性回归方程； （2）求出，再求得系数，代入得非线性回归方程； （3）根据（1）（2）回归方程分别求得，然后计算残差平方和比较可得． 【小问1详解】 由题意得，， ，， 关于的线性经验回归方程为． 【小问2详解】 由题意得，， ，， 关于的线性经验回归方程为， 关于的非线性经验回归方程为． 【小问3详解】 由题意得（1）中的线性经验回归方程为，其残差平方和为 ， （2）中的非线性经验回归方程为，其残差平方和为 因为，所以（2）中经验回归方程的拟合效果好． 19. 已知函数，. （1）当时，求曲线在点处的切线的斜率； （2）当时，讨论函数的单调性； （3）若对任意，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）当时，在上单调递增；当时，在、上单调递增，在上单调递减，其中，，. （3） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义及初等函数的导数求解即可. （2）根据导数与单调性的关系，结合含参数一元二次不等式的求解方法求解即可. （3）通过分离参数，结合导数与单调性及最值的关系求解即可. 【小问1详解】 当时，. 求导得，. 所以曲线在点处的切线的斜率为. 【小问2详解】 的定义域为. 求导得. 令，则，即. 令，因为，则. 当，即时，恒成立，故， 所以在上单调递增. 当，即时，的两根为，，且. 因为，，所以，. 所以当或时，，，单调递增； 当时，，，单调递减. 综上，当时，在上单调递增；当时，在、上单调递增，在上单调递减，其中，，. 【小问3详解】 不等式对任意恒成立等价于对任意恒成立. 令，则. 则. 令，则. 因为，所以，则在上单调递增， 即在上单调递增. 又，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以在处取得最小值，为，所以. 所以实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 秦皇岛市第三中学2025-2026学年度第二学期 期末考试 高二数学试卷A 命题人 李金宇 试卷说明：考试时长为120分钟，满分150分.单选题8个小题，每小题只有一个正确答案，共40分；多选题3个小题，每小题有2个或3个正确答案，共计18分；填空题3个，共计15分；解答题5个，共计77分. 一、单选题 1. 曲线在处的切线的斜率为（ ） A. 4 B. 3 C. D. 2. 已知，的取值如下表所示，从散点图分析可知与线性相关，若经验回归方程为，则表格中的数据的值为（ ） 0 1 3 4 2.2 4.3 6.7 A. 2.4 B. 4.2 C. 4.8 D. 9.6 3. 用这个数字可以组成没有重复数字三位数的个数是（ ） A. B. C. D. 4. 已知随机变量的分布列为 1 2 3 4 0.2 0.3 0.4 0.1 则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 学校测试智能阅卷，启用了标注为甲，乙，丙的三款评卷系统．平台将随机调用甲，乙，丙的概率依次为，，．若甲，乙，丙批改一道数学题的正确率分别为，，．现随机抽取一道题目，则该题目被正确批改的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 的展开式中含项的系数为（ ） A. B. C. D. 7. 某地区有20000名考生参加了高三第二次调研考试.经过数据分析，数学成绩X近似服从正态分布，则数学成绩位于的人数约为（ ） 参考数据：，，. A. 790 B. 2720 C. 430 D. 1360 8. 若函数在定义域内有两个不同的零点，则实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. （多选）袋子中有2个黑球，1个白球，现从袋子中有放回地随机取球4次，取到白球记0分，黑球记1分，记4次取球的总分数为，则（ ） A. B. C. D. 10. 以下是不同成对样本数据的散点图，则下列说法正确的是（ ） A. 图（1）中成对样本数据呈负相关 B. 图（1）中成对样本数据的线性相关程度比图（2）中强 C. 图（1）中成对样本数据的相关系数大于图（2）中成对样本数据的相关系数 D. 若从图（2）样本中抽取一部分，则这部分的相关系数不变 11. 将甲、乙、丙、丁、戊5位教师分配到、、三所学校支教，若每所学校至少分配一位教师，则（ ） A. 共有300种不同的分配方法 B. 甲分配到学校的概率为 C. 若甲、乙两位教师必须分配到同一所学校，则共有36种不同的分配方法 D. 甲不能分配到学校同时乙必须分配到学校的概率为 三、填空题 12. 已知，则______. 13. 甲乙两人比赛投篮，在每局比赛中两人分别投篮两次，若每局投进的次数之和不小于3，则称该局比赛胜利．已知甲乙两人投篮相互独立，且投进的概率均为．记甲乙两人胜利的局数为X，若进行了27局比赛，则______． 14. 函数f(x)=ax3+bx2+cx的图象如图所示，且f(x)在x=x0与x=－1处取得极值，给出下列判断： ①f(1)+f(－1)=0； ②f(－2)>0； ③函数y=f'(x)在区间(－，0)上是增函数. 其中正确的判断是_________. (写出所有正确判断的序号) 四、解答题 15. 某科研团队为了研究睡眠不足与腹部肥胖之间的关联，邀请了200名志愿者参与研究，这些志愿者都处于久坐环境且食物不限量供应.将志愿者随机分成两组，缺觉组每天只能睡4小时，饱睡组每天睡79小时，保证睡眠充足，持续2周后，得到如下数据. （1）缺觉组、饱睡组的志愿者腹部脂肪面积显著增加的频率分别是多少？ 受试者 腹部脂肪面积 合计 无明显变化 显著增加 缺觉组 20 80 100 饱睡组 80 20 100 合计 100 100 200 （2）根据小概率值的独立性检验，能否推断睡眠不足与腹部肥胖之间有关联？ 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 附：，. 16. 为营造浓厚的全国文明城市创建氛围，积极响应创建全国文明城市号召，提高对创城行动的责任感与参与度，学校号召师生利用周末参与创城志愿活动．高二（1）班某小组有4名男生，3名女生，现从中随机选取3人作为志愿者参加活动． （1）求选取的3人中既有男生又有女生的概率； （2）记参加活动的女生人数为X，求X的分布列及数学期望． 17. 已知二项式的展开式中，所有项的二项式系数之和为256． （1）求正整数n的值． （2）求展开式中含的项的系数． （3）求展开式中系数最大的项． 18. 某人工智能科技公司对其产品研发年投资额（单位：百万元）与其年销售量（单位：千件）的数据进行统计，整理后得到如下统计表1和散点图． 表1 1 2 3 4 5 0.5 1 1.5 2.5 4.5 （1）求年销售量关于年投资额的线性经验回归方程； （2）该公司科研团队通过进一步分析散点图的特征后，计划用作为年销售量关于年投资额的非线性经验回归方程，请根据表2的数据，求出此方程； 表2： 1 2 3 4 5 0 0.4 0.9 1.5 （3）请根据表3的数据，用残差平方和比较（1）和（2）中经验回归方程的拟合效果． 表3： 2 3 4 5 的近似值 2.9 4.9 8.4 14.2 参考公式：，； 参考数据：，． 19. 已知函数，. （1）当时，求曲线在点处的切线的斜率； （2）当时，讨论函数的单调性； （3）若对任意，恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $