精品解析：2022年山东省泰安市泰山区泰山实验中学 九年级 中考数学第三次次模拟考试试题

二0二二年初中学业水平模拟考试（12套） 九年级数学试题2022.5.30 注意事项： 1．本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页，共150分．考试时间120分． 2．考试结束只交答题卡． 第Ⅰ卷（选择题 共48分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的字母代号选出来填涂在答题纸上） 1. 下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式、绝对值、负指数幂及特殊角的三角函数值即可求解． 【详解】A.，故错误； B. ，故错误； C.，正确； D.∵， ∴无意义； 故选C． 【点睛】此题主要考查实数的运算，解题的关键是熟知二次根式、绝对值、负指数幂及特殊角的三角函数值． 2. 计算的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用积的乘方运算法则，以及整式的除法法则计算即可得到结果． 【详解】解：原式． 故选：B． 【点睛】此题考查了整式的除法，以及积的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 3. 下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. 赵爽弦图 B. 笛卡尔心形线 C. 科克曲线 D. 斐波那契螺旋线 【答案】C 【解析】 【分析】根据把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； C．是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确； D．不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； 故选C． 【点睛】此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 4. 中国疫苗撑起全球抗疫“生命线”!中国外交部数据显示，截至2021年3月底，我国已无偿向80个国家和3个国际组织提供疫苗援助．预计2022年中国新冠疫苗产能有望达到50亿剂，约占全球产能的一半，必将为全球抗疫作出重大贡献．数据“50亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合科学记数法的表示方法即可求解． 【详解】解：50亿即5000000000，故用科学记数法表示为， 故答案是：B． 【点睛】本题考查科学记数法的表示方法，难度不大，属于基础题。解题关键即掌握科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为，其中，n为整数．此外熟记常用的数量单位，如万即是，亿即是等． 5. 已知反比例函数的图象如图所示，则一次函数和二次函数在同一直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数的图象得出b＜0，逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口以及对称轴与y轴的关系，抛物线与y轴的交点，即可得出a、b、c的正负，由此即可得出一次函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论． 【详解】解：∵反比例函数的图象在二、四象限， ∴b＜0， A、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，交y轴的负半轴， ∴a＞0，b＜0，c＜0， ∴一次函数图象应该过第一、二、四象限，A错误； B、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴右侧， ∴a＜0，b＞0， ∴与b＜0矛盾，B错误； C、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴右侧， ∴a＜0，b＞0， ∴与b＜0矛盾，C错误； D、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，交y轴的负半轴， ∴a＜0，b＜0，c＜0， ∴一次函数图象应该过第一、二、四象限，D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象与性质，根据函数图象与系数的关系进行判断是解题的关键，同时考查了数形结合的思想． 6. 下列几何体是由4个相同的小正方体搭成的，其中左视图与俯视图相同的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】从物体的前面向后面投射所得的视图称主视图（正视图）——能反映物体的前面形状； 从物体的上面向下面投射所得的视图称俯视图——能反映物体的上面形状； 从物体的左面向右面投射所得的视图称左视图——能反映物体的左面形状． 选项C左视图与俯视图都是如下图所示： 故选：C. 7. 已知直线a∥b，将一块含45°角的直角三角板（∠C=90°）按如图所示的位置摆放，若∠1=55°，则∠2的度数为（　　） A. 80° B. 70° C. 85° D. 75° 【答案】A 【解析】 【分析】如图，先根据三角形外角的性质求出∠4的度数，再根据平行线的性质求出∠5的度数，最后根据邻补角的定义进行求解即可得. 【详解】解:如图， ∵∠1=∠3=55°，∠B=45°， ∴∠4=∠3+∠B=100°， ∵a∥b， ∴∠5=∠4=100°， ∴∠2=180°﹣∠5=80°， 故选A． 【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形的外角的性质、对顶角相等等知识，结合图形灵活运用相关的知识解决问题是关键. 8. 如图，在中，切于点，连接交于点，过点作交于点，连接．若，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，根据与相切易得，在中，已知，可以求出的度数，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半得出的度数，最后根据可得． 【详解】如下图，连接， ∵切于点， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理以及平行线的性质，综合运用以上性质定理是解题的关键． 9. 《九章算术》是中国传统数学最重要的著作之一，其中记载：“今有共买物人出八，盈三；人出七，不足四问人数、物价各几何？”译文：“几个人去购买物品，如果每人出8钱，则剩余3钱；如果每人出7钱，则差4钱问有多少人，物品的价格是多少”？设有m人，物品价格是n钱，下列四个等式：①8m+3＝7m﹣4；②=；③=;④8m﹣3＝7m+4，其中正确的是（　　） A. ①② B. ②④ C. ②③ D. ③④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据钱数可以列出相应的方程或者根据人数列出相应的方程，从而可以解答本题． 【详解】由题意可得， 8m﹣3＝7m+4，故①错误，④正确，，故②错误，③正确， 故选D． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． 10. 若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围为（ ）． A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】先将分式方程化为整式方程，得到关于的表达式，再结合解为正数且原分式方程分母不为，列不等式求的取值范围． 【详解】原方程为 ， ，方程两边同乘最简公分母， 去分母，得 ， 整理得 ， 解得 ， 方程的解为正数，且分式分母不为， 则有， 即 ， 解第一个不等式得 ， 解第二个不等式得 ， 的取值范围是且． 11. 如图，在中，，，，P是AC上的动点．连接，以为边作等边三角形，连接，则线段长的最小值是（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，直角三角形的性质，垂线段最短等知识．取中点E，连接．先证明，得到，即可得到当时，的值最小，在中，求出，即可得到线段长的最小值是2． 【详解】解：如图，取中点E，连接． ∵，，， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴当时，的值最小， 在中，，， ∴， ∴线段长的最小值是2． 故选：A 12. 如图是二次函数（是常数，）图象的一部分，与x轴的交点A在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是．对于下列说法：①；②；③；④当时，，其中正确的是（ ） A. ①②④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①③④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的开口向下可确定a的符号，根据图象知， ，故由a的符号可确定b的符号，根据抛物线与y轴交点的位置可确定c的符号，从而可判定①；由抛物线的对称轴为直线x=1，可得，从而可判定②；根据抛物线的对称轴及抛物线与x轴的交点A的位置，由抛物线的对称性可判定抛物线与x轴的另一个交点的位置范围是在(-1,0)和原点之间，从而可对③作出判断；由抛物线与x轴的两个交点的位置可对④作出判断． 【详解】解：抛物线的开口向下，所以a<0， 根据图象知， ， 所以b>0， 抛物线与y轴交点在y轴的正半轴上，故c>0，从而①正确； 由于抛物线的对称轴为直线x=1，可得，即b+2a=0，从而②正确； 根据抛物线的对称轴及抛物线与x轴的交点A的位置，由抛物线的对称性可知， 抛物线与x轴的另一个交点的位置范围是在点(-1,0)和原点之间， 当x=−1时，y=a-b+c，故点(-1,a-b+c)在x轴的下方，所以③正确； 由抛物线与x轴的两个交点的位置可知，当时，y的值可正可负，故④不正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，数形结合思想，几个常见式子符号的判断：看抛物线的开口方向定a的符号；看抛物线的对称轴是在y轴的左边还是右边定b的符号；看抛物线与y轴交点的位置定c的符号；看抛物线与x轴的交点定的符号． 第Ⅱ卷（非选择题 共102分） 二、填空题（请将答案直接填写在答题纸相应位置） 13. 若关于的一元二次方程的一个根为，则这个一元二次方程的另一个根为_________． 【答案】-2 【解析】 【分析】由题目已知x=1是方程的根，代入方程后求出k的值，再利用一元二次方程的求根方法即可答题． 【详解】解：将x=1代入一元二次方程有：，k=-1， 方程 即方程的另一个根为x=-2 故本题的答案为-2． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程用已知根求方程未知系数以及利用因式分解法解一元二次方程，其中利用已知根代入方程求出未知系数是解题的关键． 14. 如图，在中，，，，D为的中点，连接．以点D为圆心，长为半径作弧，若于点E，于点F，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】先由勾股定理求出，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，再由，，根据等腰三角形三线合一的性质得，，再根据阴影部分的面积等于扇形面积减去矩形的面积，计算即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵D为的中点， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形，，， ∴阴影部分的面积为． 15. 如图，AB是垂直于水平面的建筑物、为测量AB的高度，小红从建筑物底端B点出发，沿水平方向行走了52米到达点C，然后沿斜坡CD前进，到达坡顶D点处，DC＝BC．在点D处放置测角仪，测角仪支架DE高度为0.8米，在E点处测得建筑物顶端A点的仰角∠AEF为27°（点A，B，C，D，E在同一平面内）．斜坡CD的坡度（或坡比）i＝1：2.4，那么建筑物AB的高度约为______米．（参考数据sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51） 【答案】71.8 【解析】 【分析】过点E作EM⊥AB于点M，延长ED交BC于G，根据斜坡CD的坡度（或坡比）i＝1：2.4，可设，则，利用勾股定理求出x的值，进而求出CG，DG的值，可得EG的长，由矩形的判定定理可证四边形EGBM是矩形，故得出，再解直角三角形求出AM的长，进而得出答案． 【详解】 过点E作EM⊥AB于点M，延长ED交BC于G， 斜坡CD的坡度（或坡比）i＝1：2.4，， 设，则， 在中， ，即， 解得， ， ， ，， ， 四边形EGBM是矩形， ， 在中， ， ， ， 建筑物AB的高度约为71.8米， 故答案为：71.8． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键． 16. 如图，在矩形中，，将此矩形折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为，连接，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了矩形的折叠问题，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线构造直角三角形运用勾股定理是解答此题的关键．延长交于点，连接交于点．由勾股定理得的长，由折叠和勾股定理得的长，由，可得．则，解得．则． 【详解】解：延长交于点，连接交于点． 四边形是矩形， ，． ． 将此矩形折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为， ，，，． ， ． ， ． 解得． ． ， ． ，即． 解得． 解得． 故答案为：． 17. 点P（m，n）在以y轴为对称轴的二次函数y=x2+ax+4的图象上，则m-n的最大值为_________． 【答案】#### 【解析】 【分析】先根据二次函数的对称性，可得二次函数解析式为 ，再由点P（m，n）在二次函数y=x2+ax+4的图象上，可得到 ，从而得到，即可求解． 【详解】解：二次函数y=x2+ax+4以y轴为对称轴 ，即 ， 二次函数解析式为 ， 点P（m，n）在二次函数y=x2+ax+4的图象上， ， ， m-n的最大值为 ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的对称性，最值是解题的关键． 18. 在平面直角坐标系中，正方形的位置如图所示，点A的坐标为，点D的坐标为．延长交x轴于点，作第1个正方形；延长交x轴于点，作第2个正方形，…，按这样的规律进行下去，第2022个正方形的面积是__________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用勾股定理求出，再用三角形相似得出，，，…，找出规律，即可求出第2022个正方形的面积． 【详解】解：如图， ∵点A的坐标为，点D的坐标为， ∴，，， ∵正方形，正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得，， 同理可得，， … ∴， ∴， ∴第2022个正方形的面积． 故答案为：． 【点睛】此题考查正方形的性质，坐标与图形性质，相似三角形的判定与性质，解题关键在于找到规律． 三、解答题（请在答题纸相应位置写出必要的步骤） 19. （1）先化简，再求值：，其中； （2）解不等式：． 【答案】（1）；；（2） 【解析】 【分析】（1）先根据分式混合运算法则化简，然后代入条件求值即可； （2）根据解一元一次不等式的步骤求解即可． 【详解】解：（1）原式 当时， 原式； （2） ． 【点睛】本题考查分式的化简求值，解一元一次不等式等，掌握相应的运算法则，注意分母有理化是解题关键． 20. 我市幸福小区居民在“一针疫苗一份心，预防接种尽责任”的号召下，积极联系社区医院进行新冠疫苗接种．为了解接种进度，该小区管理人员对小区居民进行了抽样调查，按接种情况可分如下四类，A类：还没有接种；B类：接种了只需要注射一针的疫苗；C类：接种了需要注射二针，且二针之间要间隔一定时间的疫苗；D类：接种了要注射三针，且每二针之间要间隔一定时间的疫苗；图1与图2是根据此次调查得到的统计图（不完整）． 请根据统计图回答下列问题． （1）此次抽样调查的人数是多少人？ （2）接种B类疫苗的人数的百分比是多少？接种C类疫苗的人数是多少人？ （3）请估计该小区所居住的18000名居民中有多少人进行了新冠疫苗接种． （4）为了继续宣传新冠疫苗接种的重要性，小区管理部门准备在已经接种疫苗的居民中征集2名志愿宣传者，现有3男2女共5名居民报名，要从这5人中随机挑选2人，求恰好抽到一男和一女的概率是多少． 【答案】（1）200人 （2），30人 （3）16200人 （4） 【解析】 【分析】（1）由A类的人数除以所占百分比即可求解； （2）由接种B类疫苗的人数除以此次抽样调查的人数得出接种B类疫苗的人数所占的百分比；再由此次抽样调查的人数乘以接种C类疫苗的人数所占的百分比即可； （3）由该小区所居住的总人数乘以B、C、D三类所占的百分比即可； （4）画树状图，共有20种等可能的结果，恰好抽到一男和一女的结果有12种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：此次抽样调查的人数为：（人）； 【小问2详解】 解：接种B类疫苗的人数的百分比为：， 接种C类疫苗的人数为：（人）； 【小问3详解】 解：（人）， 即估计该小区所居住的18000名居民中有16200人进行了新冠疫苗接种； 【小问4详解】 解：画树状图如图： 共有20种等可能的结果，恰好抽到一男和一女的结果有12种， ∴恰好抽到一男和一女的概率为． 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图像相交于、两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）根据图象，直接写出满足的的取值范围； （3）若点在线段上，且，求点的坐标． 【答案】（1）一次函数的解析式为；反比例函数为；（2）或；（3），． 【解析】 【分析】(1) 将A点坐标代入反比例函数求得，再将B点代入反比例函数求得n，再把A 、B两点坐标代入一次函数求得从而得出两函数解析式； (2)观察图案结合（1）题求得A、B两点坐标即可求出所求x的范围； (3)连接BO、AO，则△AOP和△BOP高相同，面积之比就是底边长度之比，因此BP：AP=4：1，再用AB之间横坐标差值按比例分配求得P点横坐标，再把横坐标代入一次函数求得纵坐标从而求出P点坐标. 【详解】解：（1）反比例函数经过， ， 反比例函数为， 在比例函数的图象上， ， ， 直线经过，， ，解得， 一次函数的解析式为； （2）观察图象，的的取值范围是或； （3）设， ， ， 即， ， 解得，（舍去）， 点坐标为(，)． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合题，涉及了待定系数法，函数与不等式，三角形的面积等，熟练掌握相关知识是解题的关键.注意数形结合思想的应用. 22. 端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元，某商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价50元时，每天可售出100盒；每盒售价提高1元时，每天少售出2盒． （1）求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价； （2）设猪肉粽每盒售价x元表示该商家每天销售猪肉粽的利润（单位：元），求y关于x的函数解析式并求最大利润． 【答案】（1）猪肉粽每盒进价40元，豆沙粽每盒进价30元；（2），最大利润为1750元 【解析】 【分析】（1）设猪肉粽每盒进价a元，则豆沙粽每盒进价元，根据某商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同列方程计算即可； （2）根据题意当时，每天可售100盒，猪肉粽每盒售x元时，每天可售盒，列出二次函数关系式，根据二次函数的性质计算最大值即可． 【详解】解：（1）设猪肉粽每盒进价a元，则豆沙粽每盒进价元． 则 解得：，经检验是方程的解． ∴猪肉粽每盒进价40元，豆沙粽每盒进价30元． 答：猪肉粽每盒进价40元，豆沙粽每盒进价30元． （2）由题意得，当时，每天可售100盒． 当猪肉粽每盒售x元时，每天可售盒．每盒的利润为() ∴， 配方得： 当时，y取最大值为1750元． ∴，最大利润为1750元． 答：y关于x的函数解析式为，且最大利润为1750元． 【点睛】本题主要考查分式方程的实际应用以及二次函数的实际应用，根据题意列出相应的函数解析式是解决本题的关键． 23. 已知：如图，四边形ABCD是矩形，∠ECD＝∠DBA，∠CED＝90°，AF⊥BD于点F． （1）求证：四边形BCEF是平行四边形； （2）若AB＝4，AD＝3，求EC的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质得出∠BAD=90°，DC=AB，DC∥AB，得出∠CDF=∠DBA，证出∠BFA=∠CED=90°．∠CDF=∠ECD，证出EC∥BF，再证明△ECD≌△FBA，得出EC=BF，即可得出结论； （2）由勾股定理得出BD5，，证明△DAB∽△AFB，得出，即可得出BF的长． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝90°，DC＝AB，DC∥AB， ∴∠CDF＝∠DBA． ∵∠ECD＝∠DBA， ∴∠ECD＝∠CDF， ∴EC∥BF， ∵AF⊥BD于点F，∠CED＝90°， ∴∠BFA＝∠CED＝90°． 又∵∠ECD＝∠DBA， ∴∠CDF＝∠ECD， 在△ECD和△FBA中， ， ∴△ECD≌△FBA（AAS）， ∴EC＝BF， 又∵EC∥BF， ∴四边形BCEF是平行四边形； （2）解：∵AB＝4，AD＝3， ∴BD5， ∵AF⊥BD， ∴∠AFB＝90°＝∠BAD， ∵∠ABF＝∠ABD， △DAB∽△AFB， ∴，即， ∴， ∴EC＝BF． 【点睛】本题考查了矩形的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 24. 如图①，在四边形ABCD中，AC⊥BD于点E，AB=AC=BD，点M为BC中点，N为线段AM上的点，且MB=MN. （1）求证：BN平分∠ABE； （2）若BD=1，连结DN，当四边形DNBC为平行四边形时，求线段BC的长； （3）如图②，若点F为AB的中点，连结FN、FM，求证：△MFN∽△BDC. 【答案】（1）∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB， ∵M为BC的中点， ∴AM⊥BC， 在Rt△ABM中，∠MAB+∠ABC=90°， 在Rt△CBE中，∠EBC+∠ACB=90°， ∴∠MAB=∠EBC， 又∵MB=MN， ∴△MBN为等腰直角三角形， ∴∠MNB=∠MBN=45°， ∴∠EBC+∠NBE=45°，∠MAB+∠ABN=∠MNB=45°， ∴∠NBE=∠ABN，即BN平分∠ABE； （2）； （3）证明：∵F是AB的中点， ∴在Rt△MAB中，MF=AF=BF， ∴∠MAB=∠FMN， 又∵∠MAB=∠CBD， ∴∠FMN=∠CBD， ∵， ∴， ∴△MFN∽△BDC． 【解析】 【详解】分析：（1）由AB=AC知∠ABC=∠ACB，由等腰三角形三线合一知AM⊥BC，从而根据∠MAB+∠ABC=∠EBC+∠ACB知∠MAB=∠EBC，再由△MBN为等腰直角三角形知∠EBC+∠NBE=∠MAB+∠ABN=∠MNB=45°可得证； （2）设BM=CM=MN=a，知DN=BC=2a，证△ABN≌△DBN得AN=DN=2a，Rt△ABM中利用勾股定理可得a的值，从而得出答案； （3）F是AB的中点知MF=AF=BF及∠FMN=∠MAB=∠CBD，再由即可得证． 详解：（1）略 （2）设BM=CM=MN=a， ∵四边形DNBC是平行四边形， ∴DN=BC=2a， 在△ABN和△DBN中， ∵， ∴△ABN≌△DBN（SAS）， ∴AN=DN=2a， 在Rt△ABM中，由AM2+MB2=AB2可得（2a+a）2+a2=1， 解得：a=±（负值舍去）， ∴BC=2a=； （3）略 点睛：本题主要考查相似形的综合问题，解题的关键是掌握等腰三角形三线合一的性质、直角三角形和平行四边形的性质及全等三角形与相似三角形的判定与性质等知识点． 25. 如图，二次函数的图象交x轴于点，，交y轴于点C，点是x轴上的一动点，轴，交直线于点M，交抛物线于点N． （1）求这个二次函数的表达式； （2）若点P仅在线段上运动，如图，求四边形面积的最大值； （3）若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）四边形面积的最大值为 （3）点Q的坐标为或或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）先利用待定系数法求出直线的解析式，分别用含的代数式表示出、的坐标，进而可得，再根据，构建二次函数，然后利用二次函数的性质求最大值； （3）分四种情形：当点M在线段上，，四边形是菱形时；当是菱形的对角线时，四边形是正方形；当点M在延长线上时，，四边形是菱形时；当点M在延长线上时，，四边形是菱形．分别求解即可． 【小问1详解】 解：把，代入中，得， 解得，， ∴这个二次函数的表达式为y； 【小问2详解】 解：对于二次函数的表达式，令，则， ∴， 设直线的表达式为， 把，代入，得 ，解得， ∴直线的表达式为， 设， ∵轴． ，， ∴ ∴ ， ∴当时，有最大值； 【小问3详解】 解：∵，，，， ∴，，，， 分以下三种情况： ①如图中，当点M在线段上，，四边形是菱形时． ，， ， 解得或（舍去） ． ， ， ． ②如图，当是菱形的对角线时， 根据菱形的性质可得， ∴， ∴四边形是正方形， ∴，， ， 解得或0（舍去）， ∴． ③如图，当点M在延长线上时，，四边形是菱形时， 则有， 解得或0（舍去）， ， ， ． ④如图，当点M在延长线上时，，四边形是菱形，此时，，， 则有， 解得或， 都不满足， 综上所述，满足条件的点Q的坐标为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 二0二二年初中学业水平模拟考试（12套） 九年级数学试题2022.5.30 注意事项： 1．本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页，共150分．考试时间120分． 2．考试结束只交答题卡． 第Ⅰ卷（选择题 共48分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的字母代号选出来填涂在答题纸上） 1. 下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 2. 计算的结果为（ ） A. B. C. D. 3. 下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. 赵爽弦图 B. 笛卡尔心形线 C. 科克曲线 D. 斐波那契螺旋线 4. 中国疫苗撑起全球抗疫“生命线”!中国外交部数据显示，截至2021年3月底，我国已无偿向80个国家和3个国际组织提供疫苗援助．预计2022年中国新冠疫苗产能有望达到50亿剂，约占全球产能的一半，必将为全球抗疫作出重大贡献．数据“50亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 已知反比例函数的图象如图所示，则一次函数和二次函数在同一直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 6. 下列几何体是由4个相同的小正方体搭成的，其中左视图与俯视图相同的是（　　） A. B. C. D. 7. 已知直线a∥b，将一块含45°角的直角三角板（∠C=90°）按如图所示的位置摆放，若∠1=55°，则∠2的度数为（　　） A. 80° B. 70° C. 85° D. 75° 8. 如图，在中，切于点，连接交于点，过点作交于点，连接．若，则为（ ） A. B. C. D. 9. 《九章算术》是中国传统数学最重要的著作之一，其中记载：“今有共买物人出八，盈三；人出七，不足四问人数、物价各几何？”译文：“几个人去购买物品，如果每人出8钱，则剩余3钱；如果每人出7钱，则差4钱问有多少人，物品的价格是多少”？设有m人，物品价格是n钱，下列四个等式：①8m+3＝7m﹣4；②=；③=;④8m﹣3＝7m+4，其中正确的是（　　） A. ①② B. ②④ C. ②③ D. ③④ 10. 若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围为（ ）． A. B. C. 且 D. 且 11. 如图，在中，，，，P是AC上的动点．连接，以为边作等边三角形，连接，则线段长的最小值是（ ） A. 2 B. 4 C. D. 12. 如图是二次函数（是常数，）图象的一部分，与x轴的交点A在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是．对于下列说法：①；②；③；④当时，，其中正确的是（ ） A. ①②④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①③④ 第Ⅱ卷（非选择题 共102分） 二、填空题（请将答案直接填写在答题纸相应位置） 13. 若关于的一元二次方程的一个根为，则这个一元二次方程的另一个根为_________． 14. 如图，在中，，，，D为的中点，连接．以点D为圆心，长为半径作弧，若于点E，于点F，则图中阴影部分的面积为________． 15. 如图，AB是垂直于水平面的建筑物、为测量AB的高度，小红从建筑物底端B点出发，沿水平方向行走了52米到达点C，然后沿斜坡CD前进，到达坡顶D点处，DC＝BC．在点D处放置测角仪，测角仪支架DE高度为0.8米，在E点处测得建筑物顶端A点的仰角∠AEF为27°（点A，B，C，D，E在同一平面内）．斜坡CD的坡度（或坡比）i＝1：2.4，那么建筑物AB的高度约为______米．（参考数据sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51） 16. 如图，在矩形中，，将此矩形折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为，连接，则的长为_______． 17. 点P（m，n）在以y轴为对称轴的二次函数y=x2+ax+4的图象上，则m-n的最大值为_________． 18. 在平面直角坐标系中，正方形的位置如图所示，点A的坐标为，点D的坐标为．延长交x轴于点，作第1个正方形；延长交x轴于点，作第2个正方形，…，按这样的规律进行下去，第2022个正方形的面积是__________． 三、解答题（请在答题纸相应位置写出必要的步骤） 19. （1）先化简，再求值：，其中； （2）解不等式：． 20. 我市幸福小区居民在“一针疫苗一份心，预防接种尽责任”的号召下，积极联系社区医院进行新冠疫苗接种．为了解接种进度，该小区管理人员对小区居民进行了抽样调查，按接种情况可分如下四类，A类：还没有接种；B类：接种了只需要注射一针的疫苗；C类：接种了需要注射二针，且二针之间要间隔一定时间的疫苗；D类：接种了要注射三针，且每二针之间要间隔一定时间的疫苗；图1与图2是根据此次调查得到的统计图（不完整）． 请根据统计图回答下列问题． （1）此次抽样调查的人数是多少人？ （2）接种B类疫苗的人数的百分比是多少？接种C类疫苗的人数是多少人？ （3）请估计该小区所居住的18000名居民中有多少人进行了新冠疫苗接种． （4）为了继续宣传新冠疫苗接种的重要性，小区管理部门准备在已经接种疫苗的居民中征集2名志愿宣传者，现有3男2女共5名居民报名，要从这5人中随机挑选2人，求恰好抽到一男和一女的概率是多少． 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图像相交于、两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）根据图象，直接写出满足的的取值范围； （3）若点在线段上，且，求点的坐标． 22. 端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元，某商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价50元时，每天可售出100盒；每盒售价提高1元时，每天少售出2盒． （1）求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价； （2）设猪肉粽每盒售价x元表示该商家每天销售猪肉粽的利润（单位：元），求y关于x的函数解析式并求最大利润． 23. 已知：如图，四边形ABCD是矩形，∠ECD＝∠DBA，∠CED＝90°，AF⊥BD于点F． （1）求证：四边形BCEF是平行四边形； （2）若AB＝4，AD＝3，求EC的长． 24. 如图①，在四边形ABCD中，AC⊥BD于点E，AB=AC=BD，点M为BC中点，N为线段AM上的点，且MB=MN. （1）求证：BN平分∠ABE； （2）若BD=1，连结DN，当四边形DNBC为平行四边形时，求线段BC的长； （3）如图②，若点F为AB的中点，连结FN、FM，求证：△MFN∽△BDC. 25. 如图，二次函数的图象交x轴于点，，交y轴于点C，点是x轴上的一动点，轴，交直线于点M，交抛物线于点N． （1）求这个二次函数的表达式； （2）若点P仅在线段上运动，如图，求四边形面积的最大值； （3）若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $