课时作业(13) 一元二次不等式的应用(习题课)（Word练习）-【金榜题名】2025-2026学年高一数学必修第一册高中同步学案（北师大版）

课时作业(十三)　一元二次不等式的应用(习题课) [基础达标练] 1．若集合A＝{x|－1≤2x＋1≤3}，B＝，则A∩B等于(　　) A．{x|－1≤x＜0} B．{x|0＜x≤1} C．{x|0≤x＜2} D．{x|0≤x≤1} 答案：B 2．当x>0时，ax2－3x＋a≥0恒成立，则a的取值范围是(　　) A． B． C． D． 解析：选C　当a＝0时，不等式不恒成立； 当a>0时，Δ＝9－4a2≤0，解得a≥； 当a<0时，ax2－3x＋a≥0不恒成立． 综上，a的取值范围是. 3．某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式为y＝3000＋20x－0.1x2(0＜x＜240，x∈N)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是(　　) A．100台　　　　　B．120台 C．150台 D．180台 答案：C 4．不等式≥1的解集为________． 答案： 5．若不等式x2－4x＋m<0的解集为空集，则不等式x2－(m＋3)x＋3m≥0的解集为________． 解析：由题意知16－4m≤0，∴m≥4， ∴x2－(m＋3)x＋3m＝(x－3)(x－m)≥0， ∴x≥m或x≤3. 答案：{x|x≥m或x≤3} 6．若不等式mx2＋x－1≤0恒成立，则实数m的取值范围是________． 解析：当m＝0时，不等式可化为x－1≤0，不恒成立． 当m≠0时，有 解得m≤－. 所以m≤－. 答案： 7．已知关于x的不等式kx2－2x＋6k<0. (1)若不等式的解集为(2，3)，求实数k的值； (2)若k>0，且不等式对一切2<x<3都成立，求实数k的取值范围． 解：(1)不等式kx2－2x＋6k<0的解集为(2，3)，所以2和3是方程kx2－2x＋6k＝0的两根且k>0，由根与系数的关系得，2＋3＝，解得k＝. (2)令y＝kx2－2x＋6k，则原问题等价于当x＝2和3时，y≤0， 即解得k≤， 又k>0，所以实数k的取值范围是0<k≤. 8．某工厂生产商品M，若每件定价80元，则每年可销售80万件，税务部门对市场销售的商品要征收附加税．为了既增加国家收入，又有利于市场活跃，必须合理确定征收的税率．据市场调查，若政府对商品M征收的税率为P%(即每百元征收P元)时，每年的销售量减少10P万件，据此，问： (1)若税务部门对商品M每年所收税金不少于96万元，求P的范围； (2)在所收税金不少于96万元的前提下，要让厂家获得最大的销售金额，应如何确定P值； (3)若仅考虑每年税收金额最高，又应如何确定P值． 解：税率为P%时，销售量为(80－10P)万件， 即f(P) ＝80(80－10P)，税金为80(80－10P)·P%，其中0<P<8. (1)由 解得2≤P≤6.故P的范围为[2，6]. (2)∵f(P)＝80(80－10P)(2≤P≤6)为减函数， ∴当P＝2时，厂家获得最大的销售金额，f(2)＝4800(万元). (3)∵0<P<8， g(P) ＝80(80－10P)·P%＝－8(P－4)2＋128， ∴当P＝4时，国家所得税金最高，为128万元． [能力提升练] 9．若关于x的不等式x2－4x－m≥0对任意x∈(0，1]恒成立，则m的最大值为(　　) A．1 B．－1 C．－3 D．3 解析：选C　由已知可得m≤x2－4x对一切x∈(0，1]恒成立，又f(x)＝x2－4x在(0，1]上为减函数， ∴f(x)min＝f(1)＝－3，∴m≤－3. 10．在R上定义运算：x*y＝x(1－y).若不等式(x－a)*(x＋a)＜1对任意实数x恒成立，则(　　) A．－1＜a＜1 B．0＜a＜2 C．－＜a＜ D．－＜a＜ 解析：选C　依题意得x－a－x2＋a2 <1恒成立， 即x2－x－a2＋a＋1>0恒成立， 所以Δ＝4a2－4a－3<0恒成立， 解得－<a<. 11．当1＜x＜2时，不等式x2＋mx＋4＜0恒成立，则m的取值范围是________． 解析：设f(x)＝x2＋mx＋4，要使1<x<2时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立． 则有f(1)≤0，f(2)≤0，即1＋m＋4≤0，4＋2m＋4≤0.解得m≤－5. 答案：(－∞，－5] 12．某辆汽车以x km/h的速度在高速公路上匀速行使(考虑到高速公路行车安全，要求60≤x≤120)时，每小时的油耗(所需要的汽油量)为L，其中k为常数．若汽车以120 km/h的速度行驶时，每小时的油耗为11.5 L，则k＝________．欲使每小时的油耗不超过9 L，则速度x的取值范围为________. 解析：由于“汽车以120 km/h的速度行驶时，每小时的油耗为11.5 L”，所以＝11.5，解得k＝100，故每小时油耗为－20，依题意－20≥9，解得45≤x≤100，依题意60≤x≤120，故60≤x≤100.所以速度x的取值范围为[60，100]. 答案：100　[60，100] 13．关于x的方程x2－2(m＋2)x＋m2－1＝0. (1)m为何实数时，方程有两正实数根？ (2)m为何实数时，方程有一正实数根、一负实数根？ 解：(1)由已知，得 解得－≤m＜－1或m＞1， 即m的取值范围是∪(1，＋∞). (2)由已知，得 解得－1＜m＜1. 所以m的取值范围是(－1，1). [素养拓展练] 14．汽车智能辅助驾驶已开始得到应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离(并结合车速转化为所需时间)，当此距离等于报警距离时就开启报警提醒，等于危险距离时就自动刹车．某种算法(如图所示)将报警时间划分为4段，分别为准备时间t0、人的反应时间t1、系统反应时间t2、制动时间t3，相应的距离分别为d0，d1，d2，d3，当车速为v(米/秒)，且0≤v≤33.3时，通过大数据统计分析得到下表(其中系数k随地面湿滑程度等路面情况而变化，且0.5≤k≤0.9). 阶段 0.准备 1.人的反应 2.系统反应 3.制动 时间 t0 t1＝0.2秒 t2＝0.8秒 t3 距离 d0＝20米 d1 d2 d3＝v2米 (1)请写出报警距离d(米)与车速v(米/秒)之间的函数关系式；并求k＝0.9时，若汽车达到报警距离，仍以此速度行驶，则汽车撞上固定障碍物的最短时间； (2)若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于80米，则汽车的行驶速度应限制在多少米/秒以下？合多少千米/时？ 解：(1)根据题意，得d＝d0＋d1＋d2＋d3＝20＋0.8v＋0.2v＋＝20＋v＋， 所以所求函数关系式为d＝20＋v＋， 当k＝0.9时，t＝＝＋1＋＝＋＋1≥2＋1＝(秒)， 当且仅当v2＝360，即v＝6时等号成立， 所以汽车撞上固定障碍物的最短时间是秒． (2)若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于80米， 则路况最糟糕时也需满足， 即k＝0.5时，d＝20＋v＋<80， 即v2＋10v－600<0， 解得0≤v<20，又20米/秒＝72千米/时， 所以汽车的行驶速度应限制在20米/秒以下，合72千米/时． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$