精品解析：2022年湖南省娄底市新化县鹅塘中学 中考数学冲刺试卷（一）

湖南省娄底市新化县鹅塘中学2022年中考数学冲刺试卷（一） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1. 2022的相反数是（ ） A. B. C. 2022 D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 北京冬奥会期间，共有近1.9万名赛会志愿者和20余万人次城市志愿者参与服务，他们默默奉献并积极传递正能量，共同用实际行动生动地诠释了“奉献、友爱、互助、进步”的志愿精神．将1.9万用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 4. 某商场从周末顾客中抽取20名对员工服务态度进行评价，评分如表所示： 员工得分 6 7 8 9 10 顾客人数 3 6 5 4 2 这些员工得分的众数、中位数分别是（ ） A. 7，7 B. 7，8 C. 8，8 D. 8，7 5. 如图，一副三角板放在直线上，，，，点，和点在直线上，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 2020年初，新冠病毒引发疫情．一方有难，八方支援．危难时刻，全国多家医院纷纷选派医护人员驰援武汉．下面是四家医院的图案标志，其中轴对称图形是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知AB是⊙O的直径，C、D是圆周上两点，若∠ABD＝66°，则∠BCD＝（　　） A. 54° B. 56° C. 24° D. 46° 8. 如图，菱形的对角线相交于点O，过点O作交于点H，若，，则菱形的面积为（ ） A. 12 B. 20 C. 24 D. 48 9. 小楠参观中国国家博物馆时看到两件“王字铜衡”，这是我国古代测量器物重量的一种比较准确的衡器，体现了杠杆原理．小楠决定自己也尝试一下，她找了一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来，在中点的左侧距离中点处挂了一个重的物体，在中点的右侧挂了一个苹果，当苹果距离中点时木杆平衡了，可以估计这个苹果的重大约是（ ） A. B. C. D. 10. 填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据这种规律，m的值应是（　　） A. 134 B. 136 C. 140 D. 144 11. 直线：与直线：在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 无法确定 12. 已知二次函数，将该二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数的图像（如图所示），当直线与新图象有3个或4个交点时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）本精四 13. 如图，点在反比例函数的图象上，连接，作轴于点，为的中线，若的面积为，则的值为______． 14. 2022年2月4日北京冬奥会开幕后，冬奥会吉祥物冰墩墩彻底火了．小明和小华各自从短道速滑﹑花样滑冰、跳台滑雪三类冰墩墩徽章中随机购买一枚，他们购买的徽章类型相同的概率是______． 15. 如图，A、B的坐标分别为，若将线段平移至，的坐标分别为，则的立方根为_____． 16. 如图所示是某几何体的三视图，根据图中数据计算，这个几何体的侧面积为_______． 17. 设，是方程的两个实数根，则的值为______． 18. 在平面直角坐标系中，点P坐标为，点Q为图形M上一点，则我们将线段长度的最大值与最小值之间的差定义为点P视角下图形M的“宽度”．现有，O为原点，半径为2，则点P视角下的“宽度”为___________． 三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分） 19. 计算：（﹣）×﹣（）﹣1+|1﹣|﹣2sin60°． 20. 先化简，再求值：，其中． 四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 21. 国家实施“双减”政策后，为了解学生学业负担的减轻情况，学校随机抽取部分学生进行问卷调查，调查设置“显著”，“一般”，“略有”，“未有”四个减轻程度的等级，根据收集到的数据绘制不完整的条形统计图和扇形统计图． （1）本次共调查了多少名学生？补全条形统计图； （2）扇形统计图中，“略有”所对应扇形的圆心角度数为多少？ （3）若该校共有1800名学生，请根据抽样调查结果，估算该校学生学业负担“显著”和“一般”减轻的总人数． 22. 某社团的同学使用卷尺和自制测角仪测量观景台的高度．如图所示，他们在地面一条水平步道MP上架设测角仪，先在点M处测得观景台最高点A的仰角为22°，然后沿MP方向前进15m到达点N处，测得点A的仰角为45°．测角仪的高度为1.6m．求观景台最高点A距离地面的高度（结果精确到1m，参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 23. 对于企业来说：科学技术永远是第一生产力，在某市地铁6号线建设过程中，某知名运输集团承包了地铁6号线多标段的土方运输任务，该集团为了出色完成承接任务，拟派出该集团自主研发的A、B两种新型运输车运输土方．已知4辆A型运输车与3辆B型运输车一次共运输土方64吨，2辆A型运输车与4辆B型运输车一次共运输土方52吨 （1）请问一辆A型运输车和一辆B型运输车一次各运输土方多少吨？ （2）该运输集团决定派出A、B两种型号新型运输车共18辆参与运输土方，若每次运输土方总量不小于169吨，且B型运输车至少派出4辆，则有几种派车方案，并写出派车方案． 24. 如图，在△ABC中，AB＝AC，DE⊥AC交BA的延长线于点E，交AC于点F． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若AC＝6，tanE＝，求AF的长． 六、综合题（本大题共2小题，每小题10分，共20分） 25. 如图，在正方形中，点是的中点，连接，于点，交于点． （1）求证：； （2）若正方形的边长为4，求的长； （3）在（2）的条件下，连接并延长交于点，求的值． 26. 抛物线经过点和点，与y轴交于点C． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）点P是该抛物线上的动点，且位于y轴的左侧． ①如图1，过点P作轴于点D，作轴于点E，当时，求的长； ②如图2，该抛物线上是否存在点P，使得？若存在，请求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省娄底市新化县鹅塘中学2022年中考数学冲刺试卷（一） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1. 2022的相反数是（ ） A. B. C. 2022 D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：2022的相反数等于． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用合并同类项的法则、乘法公式、同底数幂的乘法法则、积的乘方运算法则分别判断即可． 【详解】解：A、2a+3a=5a，原式运算错误，不符合题意； B、，原式运算错误，不符合题意； C、，原式运算正确，符合题意； D、，原式运算错误，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查合并同类项的法则、乘法公式、同底数幂的乘法和积的乘方等知识，解题关键是弄清运算法则． 3. 北京冬奥会期间，共有近1.9万名赛会志愿者和20余万人次城市志愿者参与服务，他们默默奉献并积极传递正能量，共同用实际行动生动地诠释了“奉献、友爱、互助、进步”的志愿精神．将1.9万用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】绝对值大于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为a×10n，为正整数，且比原数的整数位数少1，据此可以解答． 【详解】解：∵1.9万=19000， ∴1.9万用科学记数法表示应为． 故选：C 【点睛】本题考查用科学记数法表示较大的数，熟练掌握科学记数法表示较大的数一般形式为，其中，是正整数，正确确定的值和的值是解题的关键． 4. 某商场从周末顾客中抽取20名对员工服务态度进行评价，评分如表所示： 员工得分 6 7 8 9 10 顾客人数 3 6 5 4 2 这些员工得分的众数、中位数分别是（ ） A. 7，7 B. 7，8 C. 8，8 D. 8，7 【答案】B 【解析】 【分析】根据众数和中位数的定义：众数是一组数据中出现次数最多的数据，中位数是一组数据中处在最中间的那个数据或处在最中间的两个数据的平均数，进行求解即可． 【详解】解：∵得分为7的有6人，人数最多， ∴员工得分的众数为7， ∵得分处在第10名和第11名的分数为8分和8分， ∴员工得分的中位数分， 故选B． 【点睛】本题主要考查了求中位数和众数，熟知二者的定义是解题的关键． 5. 如图，一副三角板放在直线上，，，，点，和点在直线上，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据可得，，在Rt△DEF中可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴． 在Rt△DEF中，， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】此题考查了平行线的性质以及直角三角形两锐角互余，解题的关键是掌握相关基础性质． 6. 2020年初，新冠病毒引发疫情．一方有难，八方支援．危难时刻，全国多家医院纷纷选派医护人员驰援武汉．下面是四家医院的图案标志，其中轴对称图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念求解． 【详解】A、是轴对称图形，故此选项符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合． 7. 如图，已知AB是⊙O的直径，C、D是圆周上两点，若∠ABD＝66°，则∠BCD＝（　　） A. 54° B. 56° C. 24° D. 46° 【答案】C 【解析】 【分析】先由是的直径得到，再根据互余得到，然后根据圆周角定理求解． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，熟悉相关性质是解题的关键． 8. 如图，菱形的对角线相交于点O，过点O作交于点H，若，，则菱形的面积为（ ） A. 12 B. 20 C. 24 D. 48 【答案】C 【解析】 【分析】利用菱形的性质得到，根据平行线的性质推出，由此证得，根据余角的性质推出，得到，勾股定理求出，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求出面积． 【详解】解：∵菱形的对角线相交于点O， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵, ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的面积为． 9. 小楠参观中国国家博物馆时看到两件“王字铜衡”，这是我国古代测量器物重量的一种比较准确的衡器，体现了杠杆原理．小楠决定自己也尝试一下，她找了一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来，在中点的左侧距离中点处挂了一个重的物体，在中点的右侧挂了一个苹果，当苹果距离中点时木杆平衡了，可以估计这个苹果的重大约是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得：物体的重量与力矩成反比，设：苹果的重量为，根据题意列出方程，即可求解． 【详解】解：由题意得：物体的重量与力矩成反比， 设：苹果的重量为， 则：， 解得：． 10. 填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据这种规律，m的值应是（　　） A. 134 B. 136 C. 140 D. 144 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得左上角的数分别为1＝21﹣1，2＝22﹣1，4＝23﹣1，8＝24﹣1，则左上角第n个数为2n﹣1（n为正整数）；左下角的数分别为：2＝2×1，4＝2×2，6＝2×3，8＝2×4，则左下角第n个数为：2n；右上角的数分别为：4＝2×1+2，6＝2×2+2，8＝2×3+2，10＝2×4+2，则右上角第n个数为：2n+2；右下角的数分别为：7＝2×4﹣1，22＝4×6﹣1，44＝6×8﹣4，72＝8×10﹣8，则右下角第n个数为：2n（2n+2）﹣2n﹣1，据此求解即可． 【详解】解：由题意得：左上角的数分别为1＝21﹣1，2＝22﹣1，4＝23﹣1，8＝24﹣1， 则左上角第n个数为2n﹣1（n为正整数）； 左下角的数分别为：2＝2×1，4＝2×2，6＝2×3，8＝2×4， 则左下角第n个数为：2n； 右上角的数分别为：4＝2×1+2，6＝2×2+2，8＝2×3+2，10＝2×4+2， 则右上角第n个数为：2n+2； 右下角的数分别为：7＝2×4﹣1，22＝4×6﹣1，44＝6×8﹣4，72＝8×10﹣8， 则右下角第n个数为：2n（2n+2）﹣2n﹣1， 根据排列规律，得：2n﹣1＝32，解得：n＝6， ∴m＝2×6×（2×6+2）﹣32＝168﹣32＝136， 故选B． 【点睛】本题主要考查了数字类的规律型问题，解题的关键在于能够根据题意找到规律进行求解． 11. 直线：与直线：在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】由一次函数的性质，再结合题图即可判断． 【详解】解：根据题图，时，； 时，； ∴关于x的不等式的解集是； 故选：A． 【点睛】本题主要考查根据一次函数的交点求不等式的解集，掌握相关知识是解题的关键． 12. 已知二次函数，将该二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数的图像（如图所示），当直线与新图象有3个或4个交点时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解方程-x2+x+6=0得A(-2，0)，B(3，0)，再利用折叠的性质求出折叠部分的解析式为y=(x+2)(x-3)，即y=x2-x-6(-2≤x≤3)，然后求出直线y=x+m经过点B(3，0)时m的值和当直线y=x+m与抛物线y=x2-x-6(-2≤x≤3)有唯一公共点时m的值，从而得到当直线y=x+m与新图象有3个或4个交点时，m的取值范围． 【详解】解：如图，当时，，解得， ∴A(-2，0)，B(3，0)， 将该二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方，则下方对应的解析式为， ∵y=x为第一、三象限的角平分线，直线y=x+m可以看成是y=x上下平移m个单位得到， ∴当直线y=x+m刚好经过B点时，此时新函数图像与y=x+m恰好有3个交点，如上图中的 直线y=x+m1所示， ∴，解得； 当直线y=x+m刚好经过C点时，此时新函数图像与y=x+m恰好有3个交点，如上图中的 直线y=x+m2所示， ∴联立方程组，整理得到：， ∵直线y=x+m2和y=x2-x-6(-2≤x≤3)有唯一公共点C， ∴方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：， 当新函数图像与y=x+m有4个交点时，， 综上所述：直线y=x+m与新图象有3个或4个交点时，m的取值范围是． 【点睛】本题考查了抛物线与坐标轴的交点坐标的求法及二次函数的图像和性质，考查了二次函数图像的坐标变化，本题的关键是求出沿x轴翻折后对应的解析式． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）本精四 13. 如图，点在反比例函数的图象上，连接，作轴于点，为的中线，若的面积为，则的值为______． 【答案】6 【解析】 【分析】根据中线的性质，得到，根据，计算即可． 【详解】解：为的中线， ∴， 的面积为， ∴=3， ∵， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数k的几何意义，三角形中线的性质，熟练掌握k的几何意义是解题的关键． 14. 2022年2月4日北京冬奥会开幕后，冬奥会吉祥物冰墩墩彻底火了．小明和小华各自从短道速滑﹑花样滑冰、跳台滑雪三类冰墩墩徽章中随机购买一枚，他们购买的徽章类型相同的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意用树状图列出所有可能性，即可得到购买的徽章类型相同的概率 【详解】设小明和小华分别用甲、乙表示，短道速滑、花样滑冰、跳台滑雪分别用、、表示，画树状图如下： 由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中小明和小华购买的徽章类型相同的有3种结果，即，，三种结果，所以小明和小华购买的徽章类型相同的概率为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了用列举法求概率，解答本题的关键是理解题意并画出树状图． 15. 如图，A、B的坐标分别为，若将线段平移至，的坐标分别为，则的立方根为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先利用点A平移到得到平移的规律，再按此规律平移B点得到，从而得到点的坐标，于是可求出a、b的值，然后计算即可． 【详解】解：∵点先向上平移1个单位，再向右平移1个单位得到点， ∴线段先向上平移1个单位，再向右平移1个单位得到线段， ∴点先向上平移1个单位，再向右平移1个单位得到点， ∴， ∴． ∴的立方根为． 16. 如图所示是某几何体的三视图，根据图中数据计算，这个几何体的侧面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据该几何体的三视图可得这个几何体为圆锥，再根据圆锥的侧面积公式，即可求解． 【详解】解：根据该几何体的三视图得：这个几何体为圆锥， 根据题意得：该圆锥的侧长为， 所以这个几何体的侧面积为． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了几何体的三视图，求圆锥的侧面积，熟练掌握简单几何体的三视图特征，圆锥的侧面积公式是解题的关键． 17. 设，是方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解及根与系数的关系，代数式求值，一元二次方程的解的定义及根与系数的关系可得，，进而代入代数式计算即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 18. 在平面直角坐标系中，点P坐标为，点Q为图形M上一点，则我们将线段长度的最大值与最小值之间的差定义为点P视角下图形M的“宽度”．现有，O为原点，半径为2，则点P视角下的“宽度”为___________． 【答案】4 【解析】 【分析】连接PA，PB，连接PO并延长，交⊙O于点E，F，利用图形的“宽度”的定义分别求出这点到图形的长度的最大值与最小值即可得出结论． 【详解】解：连接PA，PB，连接PO并延长，交⊙O于点E，F，如图， 则PE，PF为点P到⊙O的长度的最大值与最小值， ∴在点P视角下，⊙O的“宽度”为PF−PE＝EF＝4. 故答案为：4． 【点睛】本题考查了点和圆的位置关系，本题是新定义型题目，熟练运用新定义是解题的关键． 三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分） 19. 计算：（﹣）×﹣（）﹣1+|1﹣|﹣2sin60°． 【答案】--5 【解析】 【分析】根据实数的性质化简即可求解． 【详解】原式=--4+-1-2× =--4+-1- =--5． 【点睛】此题主要考查实数的混合运算，解题的关键是熟知特殊角的三角函数值． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先把括号外的分式的分母因式分解，同时把括号内通分以及除法运算转化为乘法运算得到原式，然后中括号内根据同分母的减法进行运算，结果与相乘并约分得到，然后把x的值代入计算即可． 【详解】解：原式 当时， 原式 ． 【点睛】本题考查了分式的化简求值：先把各分子或分母因式分解，再把括号内通分，然后进行乘除运算(除法运算转化为乘法运算)，约分后得到最简分式或整式，最后把满足条件的字母的值代入计算． 四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 21. 国家实施“双减”政策后，为了解学生学业负担的减轻情况，学校随机抽取部分学生进行问卷调查，调查设置“显著”，“一般”，“略有”，“未有”四个减轻程度的等级，根据收集到的数据绘制不完整的条形统计图和扇形统计图． （1）本次共调查了多少名学生？补全条形统计图； （2）扇形统计图中，“略有”所对应扇形的圆心角度数为多少？ （3）若该校共有1800名学生，请根据抽样调查结果，估算该校学生学业负担“显著”和“一般”减轻的总人数． 【答案】（1）150名，见解析 （2）36゜ （3）1260名 【解析】 【分析】（1）根据条形统计图与扇形统计图中“未有”减轻的人数及所占的百分比，即可求得本次总共调查的学生总人数；由条形统计图即可求得“一般”减轻的人数，即可补全条形统计图； （2）求得“略有”所占的百分比，即可求得它对应扇形的圆心角度数； （3）求得该校学生学业负担“显著”和“一般”减轻所占的百分比，即可估算该校学生学业负担“显著”和“一般”减轻的总人数． 【小问1详解】 条形统计图中“未有”减轻的人数为30名，扇形统计图中“未有”减轻的人数所占的百分比为20%，则本次共调查的学生数为：30÷20%=150（名） 调查的学生中“一般”减轻的人数为150−(45+15+30)=60（名） 补全的条形统计图如下： 【小问2详解】 “略有”所占调查人数的百分比为 则“略有”所对应扇形的圆心角度数为360゜×10%=36゜ 【小问3详解】 该校学生学业负担“显著”和“一般”减轻所占的百分比为： 估算该校学生学业负担“显著”和“一般”减轻的总人数为：（名） 【点睛】本题考查了条形统计图与扇形统计图，求扇形统计图中扇形的圆心角，用样本的百分比估计总体数量，关键在于从两个统计图中获取所需的信息． 22. 某社团的同学使用卷尺和自制测角仪测量观景台的高度．如图所示，他们在地面一条水平步道MP上架设测角仪，先在点M处测得观景台最高点A的仰角为22°，然后沿MP方向前进15m到达点N处，测得点A的仰角为45°．测角仪的高度为1.6m．求观景台最高点A距离地面的高度（结果精确到1m，参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）． 【答案】11.6 【解析】 【分析】过A作AD⊥PM于D，延长BC交AD于E，则四边形BMNC，四边形BMDE是矩形，于是得到BC＝MN＝15m，DE＝CN＝BM＝1.6m，求得CE＝AE，设AE＝CE＝x，得到BE＝15＋x，解直角三角形即可得到结论； 【详解】解：过A作AD⊥PM于D，延长BC交AD于E， 则四边形BMNC，四边形BMDE是矩形， ∴BC＝MN＝15m，DE＝CN＝BM＝1.6m， ∵∠AEC＝90°，∠ACE＝45°， ∴△ACE是等腰直角三角形， ∴CE＝AE， 设AE＝CE＝x， ∴BE＝15＋x， ∵∠ABE＝22°， ∴AE＝BE•tan22°，即x＝（15＋x）×0.40， ∴x=10（m）， ∴AD＝10＋1.6＝11.6（m）， 答：观星台最高点A距离地面的高度约为11.6m． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用−−仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 23. 对于企业来说：科学技术永远是第一生产力，在某市地铁6号线建设过程中，某知名运输集团承包了地铁6号线多标段的土方运输任务，该集团为了出色完成承接任务，拟派出该集团自主研发的A、B两种新型运输车运输土方．已知4辆A型运输车与3辆B型运输车一次共运输土方64吨，2辆A型运输车与4辆B型运输车一次共运输土方52吨 （1）请问一辆A型运输车和一辆B型运输车一次各运输土方多少吨？ （2）该运输集团决定派出A、B两种型号新型运输车共18辆参与运输土方，若每次运输土方总量不小于169吨，且B型运输车至少派出4辆，则有几种派车方案，并写出派车方案． 【答案】（1）一辆A型运输车和一辆B型运输车一次各运输土方10吨，8吨 （2）一共有两种派车方案：方案一：派出A型号车辆14辆，派出B型号车辆4辆；方案二：派出A型号车辆13辆，派出B型号车辆5辆 【解析】 【分析】（1）设一辆A型运输车和一辆B型运输车一次各运输土方x吨，y吨 ，根据4辆A型运输车与3辆B型运输车一次共运输土方64吨，2辆A型运输车与4辆B型运输车一次共运输土方52吨列出方程组求解即可； （2）设派出B型号车辆m辆，则派出A型号车辆辆，根据每次运输土方总量不小于169吨，且B型运输车至少派出4辆列出不等式组进行求解即可． 【小问1详解】 解：设一辆A型运输车和一辆B型运输车一次各运输土方x吨，y吨 ， 由题意得，， 解得， 答：一辆A型运输车和一辆B型运输车一次各运输土方10吨，8吨； 【小问2详解】 解：设派出B型号车辆m辆，则派出A型号车辆辆， 由题意得，， 解得， ∵m是正整数， ∴当时，， 当时，， ∴一共有两种派车方案：方案一：派出A型号车辆14辆，派出B型号车辆4辆；方案二：派出A型号车辆13辆，派出B型号车辆5辆． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意找到等量关系和不等关系列出方程组和不等式组是解题的关键． 24. 如图，在△ABC中，AB＝AC，DE⊥AC交BA的延长线于点E，交AC于点F． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若AC＝6，tanE＝，求AF的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由等腰三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=∠OBD=∠ODB，可证OD∥AC，可得OD⊥DE，可得结论； （2）由锐角三角函数可求DE=4，在直角三角形ODE中，由勾股定理可求OE=5，通过证明△AEF∽△OED，可得，即可求解． 【小问1详解】 如图，连接OD， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵OB＝OD， ∴∠OBD＝∠ODB， ∴∠ODB＝∠ACB， ∴AC∥OD， ∴∠DFC＝∠ODF， ∵DE⊥AC， ∴∠DFC＝∠ODF＝90°， ∴OD⊥DE， ∴DE是⊙O的切线； 【小问2详解】 ∵AC＝6＝AB， ∴AO＝OB＝3＝OD， ∵OD⊥DE，tanE＝， ∴＝， ∴DE＝4， ∴OE＝＝＝5， ∴AE＝OE﹣OA＝2， ∵AC∥OD， ∴△AEF∽△OED， ∴， ∴， ∴AF＝． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，锐角三角函数，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，求出OE的长是解题的关键． 六、综合题（本大题共2小题，每小题10分，共20分） 25. 如图，在正方形中，点是的中点，连接，于点，交于点． （1）求证：； （2）若正方形的边长为4，求的长； （3）在（2）的条件下，连接并延长交于点，求的值． 【答案】（1）证明：四边形是正方形， ，， ， ，， ∵， ， 在和中， ， ， ； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）由四边形是正方形得，，利用同角的余角相等得，从而证明即可得结论； （2）在中，利用勾股定理求得，再证明，利用相似三角形的性质即可求出的长； （3）由，可得，然后证明，利用相似三角形的性质即可求出，根据正切定义即可求出答案． 【小问1详解】 证明：略 【小问2详解】 解：四边形是正方形，点是的中点，正方形的边长为4， ，， ， ， ，， ， ，即， ； 【小问3详解】 解：，， ， 四边形是正方形， ， ， ， 即， ， ． 26. 抛物线经过点和点，与y轴交于点C． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）点P是该抛物线上的动点，且位于y轴的左侧． ①如图1，过点P作轴于点D，作轴于点E，当时，求的长； ②如图2，该抛物线上是否存在点P，使得？若存在，请求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）①2或；②或 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）①设则，排除当点在轴上的情况，然后分当点在第三象限时；当点在第二象限时，分别表示出点P的坐标，然后建立方程求解即可；②过点作于点，交直线于点，证明可得．过点作轴于点，证明，求出 的值，然后分点P在第三象限和点P在第二象限求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点， ， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：①设则． ∵点是抛物线上的动点且位于轴左侧， ∴当点在轴上时，点与重合，不合题意，故舍去， 如图，当点在第三象限时，则点坐标为或， ∴，即， 解得(舍去)， ； 如图，当点在第二象限时，则点坐标为或， ∴，即， 解得(舍去) ， ， 综上所述，的长为或； 存在点，使得，理由如下： 在中，当时，， ， ， 在中， ． 过点作于点，交直线于点， 则， 又∵， ∴， ． 过点作轴于点，则， ， ， ， ，即， ， 如图3，当点在第三象限时，点的坐标为， 由和得，直线的解析式为， 联立，解得或（舍去）， 点的坐标为； 如图4，当点在第二象限时，点的坐标为， ∴直线的解析式为， 联立，解得或（舍去）， 点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，相似三角形的判定与性质，以及分类讨论的数学思想，分类讨论是解答本题的关键．本题难度较大，属中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $