14.2 课时5 用HL判定直角三角形全等 教案 2026-2027学年人教版数学八年级上册

该教案聚焦“用‘HL’判定直角三角形全等”核心知识点，通过复习SAS、ASA、AAS、SSS四种一般三角形全等判定方法，引出直角三角形是否有独特判定方法的问题，搭建从一般到特殊的学习支架。 资料亮点在于以作图探究和逻辑推理（体现逻辑推理）抽象出HL定理（数学抽象），结合路段中点实际问题培养模型意识，采用启发式与讲练结合，助学生理解“从一般到特殊”思想，规范证明，也为教师提供完整教学流程与分层练习。

14.2 三角形全等的判定 课时5 用“HL”判定直角三角形全等 课题 14.2 三角形全等的判定（课时5） 课型 新授课 课时 1课时（45分钟） 教材版本 人教版八年级上册 教学方法 启发式教学、合作探究、讲练结合 教学用具 多媒体课件、直尺、圆规 教材分析：本节是人教版八年级上册第十四章第二节第5课时，核心内容是“斜边、直角边”（HL）判定直角三角形全等。在学完SAS、ASA、AAS、SSS四种一般三角形全等判定方法后，本节研究直角三角形这种特殊三角形的全等判定方法。通过探究“已知一直角边和斜边”的情况，发现HL判定定理，并应用于证明问题。本节强调“直角”这个特殊条件对三角形全等判定带来的变化，体现“从一般到特殊”的数学思想。 学情分析：学生已经掌握了SAS、ASA、AAS、SSS四种一般三角形全等的判定方法，并知道SSA不能判定一般三角形全等。但“已知一直角边和斜边”的情况实际上就是“两边一角”中的SSA情况，学生容易产生困惑：为什么SSA在一般三角形中不成立，但在直角三角形中成立？通过探究过程，学生能理解“直角”这个条件如何影响了三角形的唯一确定性。学生已有尺规作图的基础，能通过作图直观感知。 教材分析 本节是人教版八年级上册第十四章第二节第5课时，核心内容是“斜边、直角边”（HL）判定直角三角形全等。在学完SAS、ASA、AAS、SSS四种一般三角形全等判定方法后，本节研究直角三角形这种特殊三角形的全等判定方法。 通过探究“已知一直角边和斜边”的情况，发现HL判定定理，并应用于证明问题。本节强调“直角”这个特殊条件对三角形全等判定带来的变化，体现“从一般到特殊”的数学思想。 学情分析 学生已经掌握了SAS、ASA、AAS、SSS四种一般三角形全等的判定方法，并知道SSA不能判定一般三角形全等。但“已知一直角边和斜边”的情况实际上就是“两边一角”中的SSA情况，学生容易产生困惑。 通过探究过程，学生能理解“直角”这个条件如何影响了三角形的唯一确定性。学生已有尺规作图的基础，能通过作图直观感知HL判定的成立。 一、核心素养目标 1. 数学抽象 能从“已知斜边和一条直角边”这一具体条件中抽象出直角三角形全等的HL判定定理，归纳出“斜边、直角边相等⇒两个直角三角形全等”的数学模型。 能将实际问题（如路段中点问题）抽象为直角三角形全等的数学模型，并用HL判定进行证明。 2. 逻辑推理 能通过作图探究的过程，运用“外角性质”“垂线段最短”等知识，逻辑推理出“已知斜边和一条直角边的两个直角三角形全等”的结论。 能运用HL判定定理解决证明问题，写出规范的几何证明过程。 3. 直观想象 通过作图探究“已知斜边和一条直角边”的两个直角三角形是否全等，直观感知三角形的唯一确定性，培养几何直观感知能力。 能在复杂图形中识别直角三角形并判断是否可用HL判定。 4. 数学运算 能根据已知条件，准确选择HL判定方法证明两个直角三角形全等，并规范书写几何语言。 能综合运用HL与其他全等判定方法（如AAS）解决多步证明问题。 二、教学重难点 教学重点：理解并掌握“斜边、直角边”（HL）判定直角三角形全等的条件，能运用HL判定解决证明问题。 教学难点：探究HL判定定理的过程，理解为什么“斜边、直角边”可以判定直角三角形全等；在复杂图形中识别并应用HL判定。 三、教学过程 环节一：复习导入（3分钟） 【教师活动】同学们，前面我们学习了哪些判定三角形全等的方法？请一起回顾。 【学生活动】边角边（SAS）、角边角（ASA）、角角边（AAS）、边边边（SSS）。 【教师活动】很好！这四种方法对于一般三角形都适用。那么问题来了：前面学过的四种判定三角形全等的方法，对直角三角形是否也适用呢？ 【学生活动】适用！直角三角形是特殊的三角形，一般三角形的判定方法对直角三角形也肯定适用。 【教师活动】对！但直角三角形作为一种特殊的三角形，“直角”这个特征会不会给它带来独特的全等判定方法呢？今天我们就来研究这个问题。 【设计意图】通过回顾已学的四种全等判定方法，自然引出“直角三角形是否有独特的全等判定方法”这一核心问题，激发学生的探究欲望。 环节二：探究HL判定定理（10分钟） 【过渡语】直角三角形有一个直角，这个条件能否让“两边一角”的情况变得唯一确定呢？让我们通过作图来探究。 1. 提出问题 【教师活动】我们知道，证明一般的三角形全等不存在“SSA”定理——两边和其中一边的对角分别相等，不能判定两个三角形全等。但是，如果这个“对角”是直角呢？ 【教师活动】如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠B=∠B′=90°，且AB=A′B′，AC=A′C′，这两个三角形全等吗？ 【学生活动】这就是“两边一角”的情况，但这个“角”是直角，跟一般的SSA不一样。我觉得应该是全等的。 【教师活动】说得很好！那我们通过作图来验证一下。请同学们跟我一起用直尺和圆规作图。 2. 作图探究 【教师活动】第一步：先画∠DC′E=90°。 【教师活动】第二步：在射线C′E上截取B′C′=BC。 【教师活动】第三步：以点B′为圆心，AB为半径作弧，交射线C′D于点A′。 【教师活动】第四步：连接A′B′。这样我们就得到了△A′B′C′。 【学生活动】（跟着教师一步步作图，得到△A′B′C′） 【教师活动】现在问题来了：这个作出来的△A′B′C′与△ABC全等吗？也就是说，点A′是否一定会与点A重合呢？ 3. 逻辑推理 【教师活动】为了判断点A′与点A是否重合，我们讨论射线CA上除点C、A外的点与点B的连线和边AB的大小关系。 【教师活动】①设点M在直角边AC上（不包括端点），连接BM，则∠BMA是什么角？ 【学生活动】∠BMA是△ABM的外角，∠BMA＞∠A。而∠A是直角三角形的一个锐角，∠BCA是直角，所以∠BMA是铝角。因此BM＜AB。 【教师活动】②若过点B且垂直于AC的直线与线段AB相交于点M′，则有BM′≥垂线段，且垂线段≤AB。 【教师活动】③设点N在线段CA的延长线上，连接BN，同理可得BN＞AB。 【教师活动】因此，在射线CA上，与点B的连线长度等于AB的点只有一个。再由点A′在射线CA上，且A′B′=AB，可知点A′与点A重合。 【学生活动】原来如此！因为直角这个特殊条件，使得射线CA上与点B的连线长度等于AB的点只有一个，所以三角形是唯一确定的。 【教师活动】非常好！由此可知，△A′B′C′的三个顶点与△ABC的三个顶点分别重合，因而△A′B′C′≅△ABC。 【教师活动】这就证明了：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。 【知识点】直角三角形全等的特殊判定方法：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。简写成“斜边、直角边”或“HL”。 重点强调：HL判定仅适用于直角三角形。“H”代表斜边（Hypotenuse），“L”代表直角边（Leg）。使用HL时必须先证明两个三角形都是直角三角形。 【设计意图】通过“提出问题→作图探究→逻辑推理”的递进式教学，让学生从“SSA不成立”到“直角使得SSA成立”，深刻理解“从一般到特殊”的数学思想。 环节三：HL判定定理——几何语言（5分钟） 【过渡语】探究完成了，现在让我们用规范的几何语言来表述HL判定定理。 【教师活动】斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。简写成“斜边、直角边”或“HL”。 【教师活动】几何语言如下： 【教师活动】注意：书写时要先写明“在Rt△……和Rt△……中”，然后列出斜边相等和直角边相等两个条件，最后得出全等结论并标注HL。 易错提示：HL判定只需要两个条件（斜边相等、一条直角边相等），而不是三个条件。但“两个三角形都是直角三角形”这个前提必须先确认。注意：不要把HL与SAS搞混——SAS是两边夹角，而HL是斜边和直角边。 【知识点】HL判定定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。简写：HL。 【设计意图】通过规范的几何语言书写，帮助学生建立清晰的证明模板，为下面的例题学习做好铺垫。 【过渡语】掌握了HL判定定理，现在让我们用它来解决实际问题。 环节四：例题——运用HL证明全等（8分钟） 【教师活动】例1：如图，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C、D，AC=BD。求证BC=AD。 【教师活动】请同学们分析一下：要证明BC=AD，可以通过什么方法？ 【学生活动】可以证明△ABC≅△BAD。因为全等三角形的对应边相等，就能得到BC=AD。 【教师活动】很好！那这两个三角形是直角三角形吗？已知什么条件？ 【学生活动】∵AC⊥BC，BD⊥AD，∴∠C=∠D=90°。所以△ABC和△BAD都是直角三角形。已知AC=BD（直角边相等），AB=BA（公共边，也就是斜边相等）。 【教师活动】非常好！这就满足了HL的条件——斜边相等、一条直角边相等。请同学们完整地写出证明过程。 【学生活动】证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD，∴∠C=∠D=90°。在Rt△ABC和Rt△BAD中，AB=BA（公共边），AC=BD（已知），∴Rt△ABC≅Rt△BAD（HL）。∴BC=AD。 【教师活动】完全正确！注意这里AB是两个直角三角形的公共斜边，这是HL证明中常见的模型。 【教师活动】解题思路总结：要证明线段相等，先找它们所在的三角形，判断是否为直角三角形，然后找斜边和直角边的对应关系，最后用HL证全等。 【知识点】例1解题模型：证明线段相等→找所在三角形→判断是否为直角三角形→找斜边和直角边→用HL证全等→得出结论。 【设计意图】通过例6的解题过程，帮助学生建立HL证明的规范步骤，突出“公共斜边”这一常见模型。 【过渡语】例1让我们掌握了HL的基本证明模式，现在让我们用它来解决一个实际问题。 环节五：巩固练习（5分钟） 【教师活动】如图，C是路段AB的中点，两人从C同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达D、E两地，且DA⊥AB，EB⊥AB。D、E到路段AB的距离相等吗？为什么？ 【教师活动】请同学们思考：“以相同的速度同时出发并同时到达”说明了什么？ 【学生活动】说明CD=CE（速度相同、时间相同，路程相等）。 【教师活动】“C是AB的中点”又说明了什么？ 【学生活动】说明AC=BC。 【教师活动】“DA⊥AB，EB⊥AB”呢？ 【学生活动】说明∠A=∠B=90°，两个三角形都是直角三角形。 【教师活动】现在请同学们完整地写出证明过程。 【学生活动】解：D、E到路段AB的距离相等，理由如下：由题意得CD=CE。∵C是AB的中点，∴AC=BC。∵DA⊥AB，EB⊥AB，∴∠A=∠B=90°。在Rt△ACD和Rt△BCE中，CD=CE，AC=BC，∴Rt△ACD≅Rt△BCE（HL）。∴AD=BE，即D、E到路段AB的距离相等。 【教师活动】非常好！这道题将实际问题转化为数学模型，用HL判定解决。注意“速度相同、同时出发、同时到达”转化为“路程相等”是关键。 【知识点】实际应用题解题策略：①将实际问题转化为数学问题；②找出直角三角形；③判断斜边和直角边是否对应相等；④用HL证全等。 【设计意图】通过实际应用题，培养学生将生活问题数学化的能力，同时巩固HL判定的应用。 【过渡语】基本知识和应用都学完了，现在让我们来系统总结一下。 环节六：知识小结（2分钟） 【教师活动】同学们，今天我们学习了什么新的判定方法？ 【学生活动】斜边、直角边（HL）判定直角三角形全等。 【教师活动】HL判定的前提条件是什么？ 【学生活动】两个三角形都必须是直角三角形，才能使用HL。 【教师活动】它需要哪两个条件？ 【学生活动】斜边相等和一条直角边相等。 【教师活动】很好！现在我们已经学了五种判定三角形全等的方法：SAS、ASA、AAS、SSS、HL，其中HL是直角三角形独有的判定方法。 知识框架：直角三角形全等的判定方法： 一、普通方法：SAS、ASA、AAS、SSS（适用于所有三角形） 二、特殊方法：HL（仅适用于直角三角形） ——条件：斜边和一条直角边分别相等 ——前提：两个三角形都是直角三角形 ——特点：只需找除直角外的两个条件（至少有一条对应边相等） 【设计意图】通过系统总结，帮助学生梳理五种全等判定方法的关系，建立完整的知识体系。 【过渡语】知识已经学完，下面通过练习题来检验大家的学习效果。 环节七：课堂练习（9分钟） 【教师活动】练习1：如图，OD⊥AB于D，OP⊥AC于P，且OD＝OP，则△AOD与△AOP全等的理由是（　　） A. SSS B. ASA C. SSA D. HL 【学生活动】选D。∵OD⊥AB，OP⊥AC，∴∠ADO=∠APO=90°。∴△AOD和△AOP都是直角三角形。又OD=OP（一条直角边相等），OA=OA（公共斜边），∴Rt△AOD≅Rt△AOP（HL）。C选项SSA不是判定定理，不能选。 【教师活动】分析得很好！这道题考查的是HL判定的基本应用，注意判断直角三角形和找斜边、直角边。 【教师活动】练习2：如图，在△ABC中，∠C＝90°，ED⊥AB于点D，BD＝BC，若AC＝6cm，则AE＋DE等于（　　） A. 4cm B. 5cm C. 6cm D. 7cm 【学生活动】选C。∵∠C=90°，ED⊥AB，∴∠C=∠BDE=90°。在Rt△BCE和Rt△BDE中，BE=BE（公共斜边），BC=BD（已知直角边），∴Rt△BCE≅Rt△BDE（HL）。∴CE=DE。∴AE+DE=AE+CE=AC=6cm。 【教师活动】非常漂亮！这道题的关键是先用HL证明两个直角三角形全等，得到CE=DE，然后用等量代换将AE+DE转化为AE+CE=AC。 【教师活动】练习3：如图，AB=CD，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，CE=BF。求证AE=DF。 【教师活动】请同学们先分析条件：CE=BF能推出什么？ 【学生活动】∵CE=BF，∴CE-EF=BF-EF，即CF=BE。这样就得到了一对直角边相等。 【教师活动】对！这是一个常见的技巧——利用等式性质转化条件。现在请完整证明。 【学生活动】证明：∵CE=BF，∴CE-EF=BF-EF，即CF=BE。∵AE⊥BC，DF⊥BC，∴∠CFD=∠BEA=90°。在Rt△CDF和Rt△ABE中，CD=AB（已知斜边），CF=BE（已证直角边），∴Rt△CDF≅Rt△ABE（HL）。∴AE=DF。 【教师活动】证明得很规范！注意先证CF=BE是这道题的关键一步。 【教师活动】练习4：如图，AB=CD，AF=CE，AF⊥AC，CE⊥AC。求证：BD平分EF。 【教师活动】这道题有点难度，请同学们先思考：要证明BD平分EF，就是要证明什么？ 【学生活动】要证明GF=GE，就是要证明G是EF的中点。 【教师活动】对！要证明GF=GE，可以证明哪两个三角形全等？ 【学生活动】△GBF和△GDE。但这两个三角形不是直角三角形，不能用HL。可以用AAS。 【教师活动】很好！但要用AAS证明△GBF≅△GDE，需要什么条件？ 【学生活动】需要BF=DE。而BF=DE可以通过证明Rt△ABF≅Rt△CDE（HL）来得到。 【教师活动】思路非常清晰！先用HL证Rt△ABF≅Rt△CDE得到BF=DE，再用AAS证△GBF≅△GDE得到GF=GE。请同学们完整地写出证明过程。 【学生活动】证明：∵AF⊥AC，CE⊥AC，∴∠A=∠C=90°。在Rt△ABF和Rt△CDE中，AB=CD，AF=CE，∴Rt△ABF≅Rt△CDE（HL）。∴BF=DE。在△GBF和△GDE中，∠BFG=∠DEG（已证全等），∠BGF=∠DGE（对顶角相等），BF=DE（已证），∴△GBF≅△GDE（AAS）。∴GF=GE，即BD平分EF。 解题思路总结：本节课练习题覆盖了HL判定的多种应用场景：①基本判定应用；②等量代换转化；③利用等式性质转化条件；④多步证明中的HL与其他判定方法的综合运用。 【设计意图】四道练习题由浅入深，从基本判定到等量代换、条件转化、多步综合证明，全面检验学生对HL判定的掌握程度。 环节八：课堂小结（3分钟） 【教师活动】同学们，今天我们学习了用“HL”判定直角三角形全等。让我们来回顾一下。 【教师活动】今天学习的新判定方法是什么？ 【学生活动】斜边、直角边（HL）判定直角三角形全等。 【教师活动】HL判定的条件是什么？和SSA有什么关系？ 【学生活动】HL实质上是“两边一角”中的SSA情况，但因为“角”是直角，使得三角形唯一确定，所以成立。这体现了“从一般到特殊”的数学思想。 【教师活动】总结得非常好！到目前为止，我们已经学了五种判定三角形全等的方法，其中SAS、ASA、AAS、SSS适用于所有三角形，HL仅适用于直角三角形。请同学们课后认真完成课本习题，巩固今天所学内容。 【设计意图】通过课堂小结，梳理本节知识框架，强化学生对“从一般到特殊”数学思想的理解，建立五种全等判定方法的完整体系。 四、板书设计 14.2 三角形全等的判定（课时5） 用“HL”判定直角三角形全等 一、探究HL判定 已知：∠B=∠B′=90°，AB=A′B′，AC=A′C′ 作图探究→逻辑推理→△A′B′C′≅△ABC 原理：直角使得“两边一角”情况唯一确定 二、HL判定定理 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 简写：“斜边、直角边”或“HL” 前提：两个三角形都是直角三角形 三、例6：运用HL证明 条件：AC⊥BC，BD⊥AD，AC=BD 证：Rt△ABC≅Rt△BAD(HL)→BC=AD 模型：公共斜边 + 已知直角边 四、综合应用 实际问题→数学模型→HL证全等 多步证明：HL先证全等→得边相等→AAS再证全等 五、全等判定方法汇总 SAS、ASA、AAS、SSS（所有三角形） HL（仅直角三角形） 课题：人教版 八年级上册 14.2 课时5 用“HL”判定直角三角形全等 五、教学反思 1. 学生从“SSA不成立”到“HL成立”的认知转变是否顺利？探究过程中的逻辑推理（外角性质、垂线段最短）学生是否能理解？ 2. 作图探究环节中，学生跟着教师用直尺和圆规作图的效果如何？是否每个学生都能独立完成作图？ 3. 学生在书写HL证明过程时，是否能规范地先写明“在Rt△……和Rt△……中”？是否容易忘记标注“HL”？ 4. 学生是否容易将HL与SAS搞混？是否能清楚区分“两边夹角”和“斜边、直角边”的不同？ 5. 练习4（多步综合证明）的难度是否适中？学生能否独立想到“先用HL证全等得边相等，再用AAS证全等”的两步思路？ 6. 本节课时间分配是否合理？探究环节是否占用了过多时间？练习题的讲评时间是否充足？ 学科网（北京）股份有限公司 $