精品解析：湖北省黄冈市 武穴市花桥镇中学2022-2023学年九年级上学期数学竞赛试题

九年级数学竞赛试题（2022.11） 一、选择题（每题5分，共25分） 1. 已知实数a满足，那么的值是（ ） A. 2009 B. 2010 C. 2011 D. 2012 2. 已知三角形的三边的长都是整数，且， 如果，则这样的三角形共有（ ） A. 12个 B. 14个 C. 15个 D. 21个 3. 若实数m、n满足，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 4. 设k为实数，且方程的两实根为a、b，则的最小值为（ ） A. 0 B. 8 C. 12.25 D. 18 5. 已知，则a，b，c，d的大小关系是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题5分，共25分） 6. 关于的方程有实数根，则的取值范围是________． 7. 二次函数在上有最小值，则的值为______． 8. 若实数a、b满足，，则_______． 9. 如图,已知P是正方形外一点，且， ，则的最大值是________； 10. 如图：已知AB=10，点C、D在线段AB上且AC=DB=2； P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△AEP和等边△PFB，连接EF，设EF的中点为G；当点P从点C运动到点D时，则点G移动路径的长是________． 三、解答题（共50分） 11. 已知实数a、b、c满足，，求a、b、c的值． 12. 阅读下面材料： 小伟遇到这样一个问题：如图1，在△ABC（其中∠BAC是一个可以变化的角）中，AB=2，AC=4，以BC为边在BC的下方作等边△PBC，求AP的最大值． 小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合．他的方法是以点B为旋转中心将△ABP逆时针旋转60°得到△A′BC，连接A′A，当点A落在A′C上时，此题可解（如图2）． 请你回答：AP的最大值是　 　． 参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题： 如图3，等腰Rt△ABC．边AB=4，P为△ABC内部一点，则AP+BP+CP的最小值是　 　．（结果可以不化简） 13. 已知二次函数． （1）随着m的变化，该二次函数图象的顶点P是否都在某条抛物线上？如果是，请求出该抛物线的函数表达式；如果不是，请说明理由． （2）如果直线经过二次函数图象的顶点P，求此时m的值． 14. 在黄州服装批发市场，某种品牌的时装当季节将来临时，价格呈上升趋势，设这种时装开始时定价为20元，并且每周（7天）涨价2元，从第6周开始保持30元的价格平稳销售；从第12周开始，当季节即将过去时，平均每周减价2元，直到第16周周末，该服装不再销售． （1）试建立销售价y与周次x之间的函数关系式； （2）若这种时装每件进价Z与周次x次之间的关系为Z=﹣0.125（x﹣8）2+12，1≤x≤16，且x为整数，试问该服装第几周出售时，每件销售利润最大？最大利润为多少？ 15. 中，，，，分别以，边所在的直线建立平面直角坐标系，D点为x轴正半轴上的一点，以为一边在第一象限内作等边． （1）如图（1），当E点恰好落在线段上时，求E点坐标； （2）在（1）问的条件下，将在线段上向右平移如图，图中是否存在一条与线段始终相等的线段？如果存在，请指出这条线段，并加以证明；如果不存在，请说明理由； （3）若点D从原点出发沿x轴正方向移动，设点D到原点的距离为x，与重叠部分的面积为y，请直接写出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学竞赛试题（2022.11） 一、选择题（每题5分，共25分） 1. 已知实数a满足，那么的值是（ ） A. 2009 B. 2010 C. 2011 D. 2012 【答案】D 【解析】 【分析】本题先根据二次根式有意义的条件确定的取值范围，再去掉绝对值符号化简等式，最后整理得到的值． 【详解】解：∵有意义， ∴，即， ∴， ∴， 将代入原等式得： 整理得 两边同时平方得 移项得． 2. 已知三角形的三边的长都是整数，且， 如果，则这样的三角形共有（ ） A. 12个 B. 14个 C. 15个 D. 21个 【答案】C 【解析】 【分析】根据题目给出的边长关系，结合三角形三边关系，即两边之和大于第三边，对的所有可能取值分类计数，统计每个对应的符合条件的的个数，求和得到总三角形个数． 【详解】已知三边均为整数，满足，， ，且为正整数， 的可能取值为 由三角形三边关系得， 又， 因此得 , 对每个计算符合条件的整数的个数： 当时，，无符合条件的，共个； 当时，，仅符合，共个； 当时，，符合，共个； 当时，，符合，共个； 当时，，符合，共个； 当时，，符合，共个； 总个数为， 即这样的三角形共有个． 3. 若实数m、n满足，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根据题意可得关于n的一元二次方程有解，则，进而得到，再由乘法的运算法则可得或，解不等式组即可得到答案． 【详解】解：∵关于n的一元二次方程有解， ∴， ∴， ∴， ∴或 解得或， 故选：D． 4. 设k为实数，且方程的两实根为a、b，则的最小值为（ ） A. 0 B. 8 C. 12.25 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】本题先根据方程有两个实根，利用判别式求出k的取值范围，再将所求代数式展开变形，结合根与系数的关系化为关于k的二次函数，最后根据二次函数性质求出给定范围内的最小值即可． 【详解】解：∵方程有两个实根， ∴判别式， 化简得， 因式分解得， 解得或， 由一元二次方程根与系数的关系得，， ， 将，代入上式得： 原式 ， 而是开口向上的二次函数，对称轴为直线， ∵k的取值范围为或，两个范围内离对称轴最近的点分别为和， 当时，， 当时，， ∵， ∴ 的最小值为． 5. 已知，则a，b，c，d的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题先计算各数的最高次指数，化简各数后，利用幂的性质比较大小：同底数且底数大于1时，指数越大幂越大；同正指数时，底数越大幂越大． 【详解】解：∵ ，，， ∴ ，，， ① 比较和：底数，指数，∴ ； ② 比较和：，同指数，底数，∴ ，即； ③ 比较和：，， ∵ ，∴ ，即； 综上可得 ，故选C． 二、填空题（每题5分，共25分） 6. 关于的方程有实数根，则的取值范围是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程与二次函数的关系，分式方程的根的含义，设，则，可得，再进一步求解即可． 【详解】解：设，则， 原方程可化为： ∴， ∵关于的方程有实数根， ∴有实数根， ∴， 解得， ∵，， ∴二次函数图象的对称轴为：直线， ∴当时，，当时，， ∴的取值范围是． 故答案为： 7. 二次函数在上有最小值，则的值为______． 【答案】5或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的增减性和二次函数最值的求法：分三种情况考虑：对称轴在的左边，对称轴在到2的之间，对称轴在的右边，当对称轴在的左边和对称轴在的右边时，可根据二次函数的增减性来判断函数取最小值时的值，然后把此时的的值与代入二次函数解析式即可求出的值；当对称轴在到2的之间时，顶点为最低点，令顶点的纵坐标等于，列出关于的方程，求出方程的解即可得到满足题意的值．此题是一道综合题．求二次函数最值时应注意顶点能否取到． 【详解】解：分三种情况： 当，即时，二次函数在上为增函数， 所以当时，有最小值为，把代入中解得：； 当，即时，二次函数在上为减函数， 所以当时，有最小值为，把代入中解得：，舍去； 当，即时，此时抛物线的顶点为最低点， 所以顶点的纵坐标为，解得：或，舍去． 综上，的值为5或． 故答案为：5或 8. 若实数a、b满足，，则_______． 【答案】438 【解析】 【分析】先化简，得，同理化简得，再把它们整体进行加减运算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 得， ∴， 则， ∴， ∵， ∴． 9. 如图,已知P是正方形外一点，且， ，则的最大值是________； 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质，解题的关键是构造全等三角形，把求的长转换为求的长．过点B作使点E在正方形的外部，且，连接、、，然后求出，再求出，然后利用“边角边”证明和全等，可得，再根据可知点A、P、E三点共线时最大，也就是最大，此时，即可求得答案． 【详解】解：如图，过点B作，且，连接、、， ∵，，， ∴， ∵正方形， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴当点A、 P、E三点共线时，最大，此时， ∵， ∴， 即的最大值为． 故答案为：． 10. 如图：已知AB=10，点C、D在线段AB上且AC=DB=2； P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△AEP和等边△PFB，连接EF，设EF的中点为G；当点P从点C运动到点D时，则点G移动路径的长是________． 【答案】3 【解析】 【分析】分别延长AE、BF交于点H，易证四边形EPFH为平行四边形，得出G为PH中点，则G的运行轨迹为三角形HCD的中位线MN．再求出CD的长，运用中位线的性质求出MN的长度即可． 【详解】如图，分别延长AE、BF交于点H． ∵∠A=∠FPB=60°， ∴AH∥PF， ∵∠B=∠EPA=60°， ∴BH∥PE， ∴四边形EPFH为平行四边形， ∴EF与HP互相平分． ∵G为EF的中点， ∴G也正好为PH中点，即在P的运动过程中，G始终为PH的中点，所以G的运行轨迹为三角形HCD的中位线MN． ∵CD=10-2-2=6， ∴MN=3，即G的移动路径长为3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了等腰三角形及中位线的性质，以及动点问题，解题的关键是掌握中位线的性质． 三、解答题（共50分） 11. 已知实数a、b、c满足，，求a、b、c的值． 【答案】， 【解析】 【分析】先对进行变形得：①，由已知得：②，将②代入①，整理得③．根据一元二次方程根与系数的关系，由②、③可知a、b是关于t的方程④的两个实数根，即，整理得到，结合，求出，将代入④得：，解方程即可求出． 【详解】解：∵， ∴①， 由已知得， ∴②， 将②代入①，整理得③． 由②、③可知a、b是关于t的方程④的两个实数根， ∴， 整理得：， ∵， ∴， 即， ∴． 将代入④得：， ∴， 即． ∴，． 12. 阅读下面材料： 小伟遇到这样一个问题：如图1，在△ABC（其中∠BAC是一个可以变化的角）中，AB=2，AC=4，以BC为边在BC的下方作等边△PBC，求AP的最大值． 小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合．他的方法是以点B为旋转中心将△ABP逆时针旋转60°得到△A′BC，连接A′A，当点A落在A′C上时，此题可解（如图2）． 请你回答：AP的最大值是　 　． 参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题： 如图3，等腰Rt△ABC．边AB=4，P为△ABC内部一点，则AP+BP+CP的最小值是　 　．（结果可以不化简） 【答案】（1）6；（2） 【解析】 【分析】（1）由旋转得到△A′BC，有△A′BA是等边三角形，当点A′A、C三点共线时，A′C=AA′+AC，最大即可； （2）由旋转得到结论PA+PB+PC=P1A1+P1B+PC，只有，A1、P1、P、C四点共线时，（P1A+P1B+PC）最短，即线段A1C最短，根据勾股定理，即可． 【详解】解：（1）如图2， ∵△ABP逆时针旋转60°得到△A′BC， ∴∠A′BA=60°，A′B=AB，AP=A′C ∴△A′BA是等边三角形， ∴A′A=AB=BA′=2， 在△AA′C中，A′C＜AA′+AC，即AP＜6， 则当点A′A、C三点共线时，A′C=AA′+AC，即AP=6，即AP的最大值是：6； 故答案是：6． （2）如图3， ∵Rt△ABC是等腰三角形，∴AB=BC． 以B为中心，将△APB逆时针旋转60°得到△A'P'B．则A'B=AB=BC=4，PA=P′A′，PB=P′B， ∴PA+PB+PC=P′A′+P'B+PC． ∵当A'、P'、P、C四点共线时，（P'A+P'B+PC）最短，即线段A'C最短， ∴A'C=PA+PB+PC， ∴A'C长度即为所求． 过A'作A'D⊥CB延长线于D． ∵∠A'BA=60°（由旋转可知）， ∴∠1=30°． ∵A'B=4， ∴A1D=2，BD=2 ∴CD=4+2； 在Rt△A1DC中，A1C=． ∴AP+BP+CP的最小值是：（或不化简为）． 【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了图形的旋转的性质，画出图形是解本题的关键，也是难点． 13. 已知二次函数． （1）随着m的变化，该二次函数图象的顶点P是否都在某条抛物线上？如果是，请求出该抛物线的函数表达式；如果不是，请说明理由． （2）如果直线经过二次函数图象的顶点P，求此时m的值． 【答案】（1）是， （2）0或 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的函数表达式求得该函数的顶点坐标P (，)，利用代换法即可求得顶点坐标所在的函数表达式； （2）因为直线经过二次函数图象的顶点P，所以顶点坐标也满足直线方程，故而将其代入直线方程，求解即可； 【小问1详解】 解：P是在某条抛物线上， ∵二次函数，m是常数， ∴ ， ∴顶点坐标是． 设 ， 则， ∴ ， ∴所在轨迹的函数表达式是； 【小问2详解】 解：∵直线经过该二次函数的顶点， ∴ ， ∴， ∴或， ∴若直线经过该二次函数的顶点， m的值是−2或0； 14. 在黄州服装批发市场，某种品牌的时装当季节将来临时，价格呈上升趋势，设这种时装开始时定价为20元，并且每周（7天）涨价2元，从第6周开始保持30元的价格平稳销售；从第12周开始，当季节即将过去时，平均每周减价2元，直到第16周周末，该服装不再销售． （1）试建立销售价y与周次x之间的函数关系式； （2）若这种时装每件进价Z与周次x次之间的关系为Z=﹣0.125（x﹣8）2+12，1≤x≤16，且x为整数，试问该服装第几周出售时，每件销售利润最大？最大利润为多少？ 【答案】（1）；（2）第11周出售时，每件销售利润最大，最大利润为19元． 【解析】 【分析】由于y与x之间的函数关系式为分段函数，则W与x之间的函数关系式亦为分段函数．分情况解答即可． 【详解】（1）依题意得，可建立的函数关系式为： ； 即 ； （2）设利润为W，则W=售价﹣进价 故W， 化简得W= ①当W=时． ∵当x≥0，函数W随着x增大而增大． ∵1≤x＜6， ∴当x=5时，W有最大值，最大值=． ②当W=时． ∵W=，当x≥8时，函数W随x增大而增大， ∴在x=11时，函数有最大值为； ③当W=时． ∵W=， ∵12≤x≤16，当x≤16时，函数W随x增大而减小， ∴在x=12时，函数有最大值为18． 综上所述：当x=11时，函数有最大值为． 【点睛】本题考查的是二次函数的运用，由于计算量大，考生在做这些题的时候要耐心细心．难度中上．此题是分段函数，题目所涉及的内容在求解过程中，要注意分段函数问题先分段解决，最后再整理、归纳得出最终结论，另外还要考虑结果是否满足各段的要求，这是解此类综合应用题目的特点． 15. 中，，，，分别以，边所在的直线建立平面直角坐标系，D点为x轴正半轴上的一点，以为一边在第一象限内作等边． （1）如图（1），当E点恰好落在线段上时，求E点坐标； （2）在（1）问的条件下，将在线段上向右平移如图，图中是否存在一条与线段始终相等的线段？如果存在，请指出这条线段，并加以证明；如果不存在，请说明理由； （3）若点D从原点出发沿x轴正方向移动，设点D到原点的距离为x，与重叠部分的面积为y，请直接写出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． 【答案】（1） （2）解：存在线段，证明如下： ∵是等边三角形， ∴． ∵，， ∴， ∴． ∵由（1）可知， 又∵将在线段上向右平移， ∴， ∵是等边三角形， ∴， 即． ∵，， ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）作于点H．由是等边三角形，可知，结合已知条件，，可得，．运用“在直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半”以及勾股定理，求出，，从而求得E点坐标； （2）存在线段，证明如下：先证，再证，最后由，通过化简整理可得 ； （3）分四种情况依次讨论，分别是：当时，设与y轴交于点F，则与重叠部分即为的面积；当时，设与y轴交于点F，则与重叠部分即为四边形的面积；当时，设与交于点G，与交于点F，则与重叠部分即为四边形的面积；当时，如图4，设与交于点F，则与重叠部分即为的面积． 【小问1详解】 解：如图，作于点H． ∵是等边三角形， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴． ∵是直角三角形，且， ∴，． ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由（1）可知，等边中，，， ∴ ， ①当时，如图1，设与y轴交于点F，则与重叠部分即为的面积． ∵，，， ∴， ∴． ②当时，如图2，设与y轴交于点F，则与重叠部分即为四边形的面积． ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． ③当时，如图3，设与交于点G，与交于点F，则与重叠部分即为四边形的面积． ∵，， ∴， 由（2）可知，． ∵， 由（2）可知，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴． ④当时，如图4，设与交于点F，则与重叠部分即为的面积． ∵，， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴． 综上：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $