精品解析：湖北省黄石市有色中学2023-2024学年九年级上学期期中九年级数学试卷

九年级数学10月份阶段性测试 一、单选题（共10题，共30分） 1. 下列四幅图案是四所大学校徽的主体标识，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若关于x的方程是一元二次方程，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线的对称轴是（ ） A. y轴 B. 直线 C. 直线 D. 直线 4. 不解方程，判别方程的根的情况（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有一个实数根 D. 无实数根 5. 将抛物线y＝﹣2（x﹣1）2﹣3向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线是（　　） A. y＝﹣2（x﹣4）﹣1 B. y＝﹣2（x+2）﹣1 C. y＝﹣2（x﹣4）﹣5 D. y＝﹣2（x+2）﹣5 6. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的分支，主干，分支和小分支的总数是，则每个支干长出（ ）根小分支 A B. C. D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，将点绕原点顺时针旋转90°得到点，则的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 已知抛物线(m为常数)上三点，、、，则、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 已知坐标平面上有二次函数的图形，函数图形与轴相交于、两点，其中．今将此函数图形往上平移，平移后函数图形与轴相交于、两点，其中，判断下列叙述何者正确？（ ） A ， B. ， C. ， D. ， 10. 如图一段抛物线：，记为，它与x轴交于点O和；将绕旋转得到，交x轴于；将绕旋转 得到 ，交x轴于，如此进行下去，直至得到，若点在第8段抛物线上，则m值为（ ） A. 1 B. －1 C. 2 D. －2 二、填空题（共6题，共18分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是_____． 12. 已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______ ． 13. 汽车刹车后行驶的距离s（单位：m）关于行驶的时间t（单位：s）的函数解析式是s＝20t﹣5t2，汽车刹车后停下来前进的距离是_____． 14. 抛物线与x轴交于，，则关于x的一元二次方程的解为____________． 15. 如图，三角形中，，，，，，若，，则线段的长度为______． 16. 抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＜0）经过A（0，3），B（4，3）． 下列四个结论： ①4a+b＝0； ②点P1（x1，y1），P2（x2，y2）在抛物线上，当|x1﹣2|﹣|x2﹣2|＞0时，y1＞y2； ③若抛物线与x轴交于不同两点C，D，且CD≤6，则a； ④若3≤x≤4，对应的y的整数值有3个，则﹣1＜a． 其中正确的结论是_____（填写序号）． 三、解答题（共8题，共72分） 17. 用适当的方法解下列方程： （1） ； （2）． 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知点． （1）画出将绕原点逆时针旋转得到；直接写出的对应点的坐标是___________，的对应点的坐标是___________； （2）画出与关于原点对称的； （3）连接、、，则面积为___________． 19. 已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2+2＝0． （1）若方程总有两个实数根，求m的取值范围； （2）若两实数根x1、x2满足（x1+1）（x2+1）＝8，求m的值． 20. 如图，根据防疫的相关要求，学生入校需晨检，体温超标的同学须进入临时隔离区进行留观．我校要建一个长方形临时隔离区，隔离区的一面利用学校边墙，墙长米，其它三面用防疫隔离材料搭建，与墙垂直的一边还要开一扇米宽的进出口，不需材料，共用防疫隔离材料米． （1）若面积为平方米，隔离区的长和宽分别是多少米？ （2）隔离区的面积能为平方米吗？请说明理由． 21. 已知二次函数y＝x2－（m＋2）x＋2m－1 （1）求证：不论m取何值，该函数图象与x轴总有两个公共点； （2）若该函数的图象与y轴交于点（0，3）． ①求函数图象与x轴的交点坐标； ②当0＜x＜5时，求y的取值范围． 22. 朝阳公司以10元/千克的价格收购一批产品进行销售，经过市场调查发现：日销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）之间是一次函数关系，当销售价格x是10元/千克时，日销售量y是300千克，当销售价格x是20元/千克时，日销售量y是150千克． （1）求y与x之间的函数表达式； （2）朝阳公司应该如何确定这批产品的销售价格，才能使日销售利润W1元最大？ （3）若朝阳公司每销售1千克这种产品需支出a元（a＞0）的相关费用，当20≤x≤25时，公司的日获利W2元的最大值为1215元，求a的值． 23. 如图，在中，，点分别在边上，且，此时成立． （1）将绕点逆时针旋转时，在图中补充图形，并求出的长度； （2）当绕点逆时针旋转一周的过程中，与的数量关系和位置关系是否仍然成立？若成立，请你利用图证明，若不成立请说明理由； （3）将绕点逆时针旋转一周的过程中，当三点在同一条直线上时，请画出图形并直接写出的长度． 24. 在平面直角坐标系中，规定：抛物线的伴随直线为．例如：抛物线的伴随直线为，即． （1）在上面规定下，抛物线顶点坐标为 ，伴随直线为 ，抛物线与其伴随直线的交点坐标为 和 ； （2）如图，顶点在第一象限的抛物线与其伴随直线相交于点A，B（点A在点B的左侧），与x轴交于点C，D． ①若，求m的值； ②如果点是直线上方抛物线上的一个动点，的面积记为S，当S取得最大值时，求m的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级数学10月份阶段性测试 一、单选题（共10题，共30分） 1. 下列四幅图案是四所大学校徽主体标识，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别；根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案． 【详解】解：选项B、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形； 选项A能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形； 故选：A． 2. 若关于x的方程是一元二次方程，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义进行求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， ∴， 故选A． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，一般地，形如的方程叫做一元二次方程． 3. 抛物线的对称轴是（ ） A. y轴 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】B 【解析】 【分析】由二次函数的对称轴为直线，进行求解即可． 【详解】解：由题意得：， 对称轴为直线； 故选：B． 【点睛】本题考查了求二次函数的对称轴，掌握对称轴公式是解题的关键． 4. 不解方程，判别方程的根的情况（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有一个实数根 D. 无实数根 【答案】B 【解析】 【分析】先把方程化为一般式得到，再计算，即可判断方程根的情况． 【详解】解：方程整理得， ， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．熟练应用根的判别式是解题的关键． 5. 将抛物线y＝﹣2（x﹣1）2﹣3向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线是（　　） A. y＝﹣2（x﹣4）﹣1 B. y＝﹣2（x+2）﹣1 C. y＝﹣2（x﹣4）﹣5 D. y＝﹣2（x+2）﹣5 【答案】B 【解析】 【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律解答． 【详解】将抛物线y＝﹣2（x﹣1）2﹣3向左平移3个单位，再向上平移2个单位得到y＝﹣2（x﹣1+3）2﹣3+2．故得到抛物线的解析式为y＝﹣2（x+2）2﹣1． 故选B． 【点睛】此题考查了二次函数图象的平移规律，熟知左加右减，上加下减是解题关键． 6. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的分支，主干，分支和小分支的总数是，则每个支干长出（ ）根小分支 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用；设每个支干长出个小分支，根据“每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是”得出一元二次方程，解方程可得答案． 【详解】解：设每个支干长出个小分支，由题意得：， 解得：（不合题意，舍去）， 故每个支干长出个小分支， 故选：C． 7. 如图，在平面直角坐标系中，将点绕原点顺时针旋转90°得到点，则的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】如图，过P、P′两点分别作x轴，y轴的垂线，垂足为A、B，由旋转90°可知，△OPA≌△OP′B，则P′B=PA=3，BO=OA=2，由此确定点P′的坐标． 【详解】如图，过P、P′两点分别作x轴，y轴的垂线，垂足为A、B， ∵线段OP绕点O顺时针旋转90°， ∴∠POP′=∠AOB=90°， ∴∠AOP=∠P′OB，且OP=OP′，∠PAO=∠P′BO=90°， ∴△OAP≌△OBP′， ∴P′B=PA=3，BO=OA=2， ∴P′(3，-2)， 故选D． 【点睛】本题考查了点的坐标与旋转变换的关系．关键是根据旋转的条件，确定全等三角形． 8. 已知抛物线(m为常数)上三点，、、，则、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图像和性质，根据抛物线的对称轴和开口方向确定增减性是解题的关键．由二次函数解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据点A，B，C与对称轴的距离判断大小关系． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴与对称轴距离越远的点的纵坐标越大， ∵， ∴． 故选：A． 9. 已知坐标平面上有二次函数的图形，函数图形与轴相交于、两点，其中．今将此函数图形往上平移，平移后函数图形与轴相交于、两点，其中，判断下列叙述何者正确？（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数图像对称轴为直线x=-6，平移后对称轴不变，算出和的值，与分别是两函数图像与x轴交点之间的距离，由图像可容易判断<． 【详解】解：如图， 的对称轴是直线，平移后的抛物线对称轴不变， ，， ，， ， ∵与分别是两函数图像与x轴交点之间的距离， 由图像可知<， 故选： A． 【点睛】本题考查二次函数的性质，抛物线与轴的交点，解题的关键是灵活运用二次函数图像对称轴及与x轴交点相关的性质，注意数形结合． 10. 如图一段抛物线：，记为，它与x轴交于点O和；将绕旋转得到，交x轴于；将绕旋转 得到 ，交x轴于，如此进行下去，直至得到，若点在第8段抛物线上，则m的值为（ ） A. 1 B. －1 C. 2 D. －2 【答案】D 【解析】 【分析】求出抛物线与x轴的交点坐标，观察图形可知第偶数号抛物线都在x轴下方，然后求出到抛物线平移的距离，再根据向右平移以及沿x轴翻折，表示出抛物线的解析式，然后把点P的坐标代入计算即可得解． 【详解】解：令，则， 解得， ∴， 由图可知，抛物线在x轴下方， 相当于抛物线向右平移个单位，再沿x轴翻折得到， ∴抛物线解析式为， ∵在第8段抛物线上， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用点的变化确定函数图象的变化更简便，平移的规律：左加右减，上加下减． 二、填空题（共6题，共18分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的特征，熟练掌握相关知识是解题关键．根据“平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数”解答即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是． 故答案为：． 12. 已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______ ． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，由题意可得且，解不等式即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：由题意得，且， 解得且， 故答案为：且． 13. 汽车刹车后行驶的距离s（单位：m）关于行驶的时间t（单位：s）的函数解析式是s＝20t﹣5t2，汽车刹车后停下来前进的距离是_____． 【答案】20m 【解析】 【分析】函数的对称轴为：t＝＝＝2，当t＝2时，函数的最大值，即可求解． 【详解】函数的对称轴为：t＝＝＝2， a＝﹣5＜0，函数有最大值， 当t＝2时，函数的最大值为s＝20×2﹣5×22＝20， 故答案为20m． 【点睛】本题考查的是二次函数的应用，一定要注意审题，弄清楚题意，题目难度不大． 14. 抛物线与x轴交于，，则关于x一元二次方程的解为____________． 【答案】， 【解析】 【分析】先求出将抛物线的对称轴，得到抛物线即为，从而利用平移的性质解答即可． 【详解】解：∵原抛物线与x轴交于，，故其对称轴为直线， ∴抛物线即为，其对称轴为直线， ∴后一个抛物线可以由前一个抛物线向左平移7个单位得到，相应地，把原抛物线与x轴的交点向左平移7个单位，分别得，， ∴它所对应的一元二次方程的根为和． 故答案为：，． 【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的图象与性质、二次函数图象的平移变化，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 15. 如图，三角形中，，，，，，若，，则线段的长度为______． 【答案】4 【解析】 【分析】将绕点A顺时针旋转得到，根据等腰三角形的性质和旋转的性质可得，从而可得，证明，可得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：将绕点A顺时针旋转得到． ∴ ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为4． 【点睛】本题考查旋转的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理、等腰直角三角形的性质，添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 16. 抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＜0）经过A（0，3），B（4，3）． 下列四个结论： ①4a+b＝0； ②点P1（x1，y1），P2（x2，y2）在抛物线上，当|x1﹣2|﹣|x2﹣2|＞0时，y1＞y2； ③若抛物线与x轴交于不同两点C，D，且CD≤6，则a； ④若3≤x≤4，对应的y的整数值有3个，则﹣1＜a． 其中正确的结论是_____（填写序号）． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】将A、B两点坐标代入解析式可判断结论①；抛物线开口向下，由抛物线的对称性，绝对值的意义，可判断结论②；C，D为抛物线与x轴的交点，利用一元二次方程根与系数的关系，计算CD≤6，可以判断结论③；抛物线开口向下，3≤x≤4时函数值递减，由点B（4，3），得到x=3时，y的取值范围便可判断结论④； 【详解】解：将A、B两点坐标代入抛物线得：， 解得，故结论①正确； 抛物线对称轴为=2，函数开口向下， ∵|x1﹣2|﹣|x2﹣2|＞0，即P1（x1，y1）离对称轴更远， ∴y1＜y2，故结论②错误； 设C（x3，0），C（x4，0）， 由根与系数的关系得：x3＋x4=4，x3·x4=， ∴| x3－x4|=， 解得：a，故结论③正确； 由题意知：x=4时，y=3， ∵3≤x≤4，对应的y的整数值有3个，函数开口向下， ∴y对应整数值为：5，4，3， ∴x=3时，对应的y值：5≤y＜6， ∴5≤9a+3b+c＜6，5≤9a－12a+3＜6， 解得﹣1＜a，故结论④正确； 故答案为：①③④； 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，绝对值的意义，一元二次方程根与系数的关系；掌握二次函数的图象和性质是解题关键． 三、解答题（共8题，共72分） 17. 用适当的方法解下列方程： （1） ； （2）． 【答案】（1），． （2），． 【解析】 【分析】（1）用因式分解法求解即可； （2）用公式法求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴，或， ∴，． 【小问2详解】 解：∵ ∴，，， ∴， ∴， ∴，． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键． 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知点． （1）画出将绕原点逆时针旋转得到的；直接写出的对应点的坐标是___________，的对应点的坐标是___________； （2）画出与关于原点对称的； （3）连接、、，则面积为___________． 【答案】（1） （2）见解析 （3）20 【解析】 【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出点、的对应点即可； （2）利用关于原点对称的点的坐标特征得到点、的坐标，然后描点即可； （3）先利用勾股定理计算出的长，然后根据三角形的面积公式计算． 【小问1详解】 如图， 为所作，； 故答案为：； 【小问2详解】 如图，为所作； 小问3详解】 ， 面积 故答案为：． 【点睛】本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形． 19. 已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2+2＝0． （1）若方程总有两个实数根，求m的取值范围； （2）若两实数根x1、x2满足（x1+1）（x2+1）＝8，求m的值． 【答案】（1）;(2) 【解析】 【分析】（1）由方程有两个实数根结合根的判别式，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围； （2）根据根与系数的关系可得出，结合可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，结合m的取值范围即可确定m的值． 【详解】（1）∵关于x的方程总有两个实数根， ∴ ， 解得：． （2）∵为方程的两个根， ∴． ∵， ∴， ∴， 整理，得：，即， 解得：（不合题意，舍去），， ∴m的值为1． 【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是一元二次有两个实数根的等价条件. 20. 如图，根据防疫的相关要求，学生入校需晨检，体温超标的同学须进入临时隔离区进行留观．我校要建一个长方形临时隔离区，隔离区的一面利用学校边墙，墙长米，其它三面用防疫隔离材料搭建，与墙垂直的一边还要开一扇米宽的进出口，不需材料，共用防疫隔离材料米． （1）若面积为平方米，隔离区的长和宽分别是多少米？ （2）隔离区的面积能为平方米吗？请说明理由． 【答案】（1）长为米，宽为米 （2）不能，见解析 【解析】 【分析】（1）设这个隔离区一边长为米，则另一边长为米，根据隔离区面积为平方米，列出方程并解答即可； （2）设这个隔离区一边长为米，则另一边长为米，根据隔离区面积为平方米，列出方程并解答即可． 【小问1详解】 解：设这个隔离区一边长为米，则另一边长为米． 依题意，得：， 解得： 当时，不符合题意，舍去， ∴， 答：若面积为平方米，隔离区的长为米，宽为米． 【小问2详解】 隔离区的面积不能为平方米，理由如下： 设这个隔离区一边长为米，则另一边长为米， 依题意，得：， 整理得：， ， 此方程无实数解， 隔离区的面积不能为平方米． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 21. 已知二次函数y＝x2－（m＋2）x＋2m－1 （1）求证：不论m取何值，该函数图象与x轴总有两个公共点； （2）若该函数的图象与y轴交于点（0，3）． ①求函数图象与x轴的交点坐标； ②当0＜x＜5时，求y的取值范围． 【答案】（1）证明见解析；（2）①，②当0＜x＜5时，y的取值范围为：＜ 【解析】 【分析】（1）令 则再证明＞ 即可得到结论； （2）①先求解的值，再求解抛物线的解析式，再把代入函数解析式，解方程即可；②根据函数的解析式先求解函数的最小值，再分别计算当时的函数值，从而可得答案. 【详解】解：（1）令 则 ＞ 方程总有两个不相等的实数根，即抛物线与轴总有两个交点； （2）① 函数的图象与y轴交于点（0，3）． 抛物线的解析式为： 当 所以抛物线与轴的交点坐标为： ② 抛物线的开口向上，当时，函数的最小值为 当时， 当时， 当0＜x＜5时，y的取值范围为：＜ 【点睛】本题考查的是二次函数与轴，轴的交点，二次函数的性质，掌握利用一元二次方程根的判别式知识解决交点问题是解题的关键. 22. 朝阳公司以10元/千克的价格收购一批产品进行销售，经过市场调查发现：日销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）之间是一次函数关系，当销售价格x是10元/千克时，日销售量y是300千克，当销售价格x是20元/千克时，日销售量y是150千克． （1）求y与x之间的函数表达式； （2）朝阳公司应该如何确定这批产品的销售价格，才能使日销售利润W1元最大？ （3）若朝阳公司每销售1千克这种产品需支出a元（a＞0）的相关费用，当20≤x≤25时，公司的日获利W2元的最大值为1215元，求a的值． 【答案】（1）；（2）这批产品的销售价格定为20元，才能使日销售利润最大；（3）a的值为2． 【解析】 【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可得； （2）先根据“日销售利润（销售价格进价）日销售量”建立与x的函数关系式，再根据二次函数的性质求解即可得； （3）先求出与x的函数关系式，再根据二次函数的性质求解即可得． 【详解】（1）由题意，设y与x的函数表达式为，且函数图象经过点 则，解得 答：y与x之间的函数表达式为； （2）由题意得：日销售利润 整理得： ∵ ∴当时，取得最大值，最大值为1500元 答：这批产品的销售价格定为20元，才能使日销售利润最大； （3）由题意得： 整理得： 则其对称轴为 由二次函数的性质，分以下两种情况： ①当，即时 在内，随x的增大而增大 则当时，有最大值，最大值为 因此有 解得（不符题设，舍去） ②当，即时（因为已知） 在内，随x的增大而增大；在内，随x的增大而减小 则当时，有最大值，最大值为 因此有 解得或（不符题设，舍去） 综上，a的值为2． 【点睛】本题考查了利用待定系数法求一次函数的解析式、二次函数的性质、解一元二次方程等知识点，较难的是题（3），依据二次函数的增减性与对称性，正确分两种情况讨论是解题关键． 23. 如图，在中，，点分别在边上，且，此时成立． （1）将绕点逆时针旋转时，在图中补充图形，并求出的长度； （2）当绕点逆时针旋转一周的过程中，与的数量关系和位置关系是否仍然成立？若成立，请你利用图证明，若不成立请说明理由； （3）将绕点逆时针旋转一周的过程中，当三点在同一条直线上时，请画出图形并直接写出的长度． 【答案】（1）见解析， （2）仍然成立，见解析 （3）见解析，或 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理可得，进而求得结果； （2）延长，交于，交于，证明≌，从而可求得结论； （3）当点在线段上时，作于，可得，进而根据勾股定理求得，从而求得，当点在线段上时，同样得出结果． 【小问1详解】 补充图形如图， 在中，， ； 【小问2详解】 仍然成立，理由如下： 延长，交于，交于， ， ， ， 在和中， ， ≌， ， ， ， ； 【小问3详解】 如图， 当点在线段上时，作于， ， 在中， ， ， 当点图中在线段图中上时， ， 综上所述：或 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了等腰直角三角形性质，全等三角形判定和性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是画出两种情形的图形． 24. 在平面直角坐标系中，规定：抛物线的伴随直线为．例如：抛物线的伴随直线为，即． （1）在上面规定下，抛物线的顶点坐标为 ，伴随直线为 ，抛物线与其伴随直线的交点坐标为 和 ； （2）如图，顶点在第一象限的抛物线与其伴随直线相交于点A，B（点A在点B的左侧），与x轴交于点C，D． ①若，求m的值； ②如果点是直线上方抛物线上的一个动点，的面积记为S，当S取得最大值时，求m的值． 【答案】（1），，， （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的顶点式可直接写出顶点，根据伴随直线的定义即可写出伴随函数，联立直线和抛物线可求出交点坐标； （2）①根据题意写出线的伴随函数，联立求出交点，在求出抛物线与x轴的交点，用勾股定理列出关于m的方程，求出m即可；②先设出点P的坐标，然后表示出的面积，用含m的式子表示出顶点的纵坐标，列出关于m的式子，求出m即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线的顶点坐标为， 根据伴随函数的定义得：， 联立抛物线和直线的解析式，可得：， 解得， ∴交点坐标为，； 故答案为，，，； 【小问2详解】 解：①∵抛物线解析式为， ∴其伴随直线为，即， 联立抛物线与伴随直线的解析式可得， 解得或， ∴， 在中， 令可解得或， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 解得：舍去）或， ∴当时，m的值为； ②设直线BC的解析式为， ∵， ∴，解得， ∴直线解析式为， 过P作x轴的垂线交于点Q，如图， ∵点P的横坐标为x， ∴，， 又∵P是直线上方抛物线上的一个动点， ∴， ∴， ∴当时，△PBC的面积有最大值， ∴S取得最大值时，即， 解得． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，理解新定义，将所求问题转化为直线与抛物线的知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$