精品解析：海南海口英雅盛彼德高级中学2025-2026学年第二学期高一数学期末检测试题

海南海口英雅盛彼德高级中学 2025-2026学年第二学期高一数学期末检测试题 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分) 1. 已知向量，，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 2. 若复数，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知圆锥的母线长l为5，体积V为，底面半径r，高为，该圆锥的表面积为（ ） A. B. C. D. 4. 某工厂生产两种不同型号的产品，产量之比为，现用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，若样本中型号的产品有40件，则（ ） A. 60 B. 80 C. 100 D. 120 5. 设，则等于（ ） A. -2 B. 2 C. -4 D. 4 6. 设是平面，，，是三条不同的直线，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 7. 在四边形ABCD中，，设，则（ ） A. B. C. D. 8. 在长方体中，，，点是的中点，点为线段的中点，则直线与平面所成角的正弦值是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9. 亚运会期间，宁波市要选拔射击运动员参加比赛，已知射击标靶的环数是0到10环，若要求连续10次射击均不小于7环．下面是四位选手各自连续10次的射击情况的数据特征，其中肯定能通过选拔的是（） A. 甲选手：平均数为8，众数为7 B. 乙选手：平均数为9，方差为1 C. 丙选手：中位数为7，众数为8 D. 丁选手：中位数为9，极差为2 10. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则为锐角三角形 C. 若，则为等腰三角形 D. 若，，这样的三角形有两个，则a的取值范围为 11. 如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是的中点，Q是侧面内的动点（含边界），则下列结论正确的是（ ） A. 四点共面 B. 异面直线与所成的角为 C. 当点Q在线段上运动时，三棱锥的体积为定值 D. 当时，点Q的运动轨迹的长度为 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 12. 将一个半径为2的铁球熔化后，浇铸成一个正四棱台形状的铁锭，若这个铁锭的上、下底面边长分别为1和2，则它的高为______________. 13. 如图，一台发电机产生的电流是正弦式电流，即电压U（单位：V）和时间t（单位：s）满足.在一个周期内，电压的绝对值超过的时间为______.（答案用分数表示）. 14. 目前，中国已经建成全球最大的5G网络，无论是大山深处还是广袤平原，处处都能见到5G基站的身影．某同学在一条水平公路上观测对面山顶上的一座5G基站，已知基站高，该同学眼高（眼睛到地面的距离），该同学在初始位置处（眼睛所在位置）测得基站底部的仰角为，测得基站顶端的仰角为，求得山高为__________m（用参考数据进行计算，山高为到地面的距离）；当该同学面向基站前行时，记该同学所在位置处到基站所在直线的距离为，且记在处观测基站底部的仰角为，观测基站顶端的仰角为．试问当__________（保留精确值）时，观测基站的视角最大？（数据：，，，） 四、解答题 15. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求函数的解析式； （2）求在上的单调递增区间； （3）将函数的图象上所有的点向右平移个单位长度，所得图象经过点，求的最小值. 16. 矩形中，，为线段的中点，将沿折起，使得平面平面．在新构造的四棱锥中，解以下问题： （1）证明：面； （2）在上是否存在点使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由． 17. 某学校为了了解高二年级学生数学运算能力，对高二年级的200名学生进行了一次测试.已知参加此次测试的学生的分数全部介于45分到95分之间（满分100分），该校将所有分数分成5组：，，…，，整理得到如下频率分布直方图（同组数据以这组数据的中间值作为代表）． （1）求的值，并估计此次校内测试分数的平均值； （2）学校要求按照分数从高到低选拔前20名的学生进行培训，试估计这20名学生的最低分数； （3）试估计这200名学生的分数的方差，并判断此次得分为52分和94分的两名同学的成绩是否进入到了范围内？ （参考公式：，其中为各组频数；参考数据：） 18. 如图，在四棱锥中，平面平面，底面是直角梯形，，，且，，，为的中点． （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积； （3）求二面角的余弦值． 19. 已知中，，，所对的边为，，，向量，，且． （1）求角的大小； （2）若边，且为锐角三角形，求周长的取值范围； （3）若为中点，，且面积为，求边． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海南海口英雅盛彼德高级中学 2025-2026学年第二学期高一数学期末检测试题 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分) 1. 已知向量，，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【详解】. 因为，解得， 所以. 2. 若复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】， . 3. 已知圆锥的母线长l为5，体积V为，底面半径r，高为，该圆锥的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆锥的体积公式，结合圆锥的表面积公式进行求解即可. 【详解】圆锥体积：，化简得． 由母线长，得，把代入， 整理得 或，解得，， 因为，所以，或， 又， 当时，，不符题意舍去， 综上，，， 所以圆锥的表面积为． 故选：C 4. 某工厂生产两种不同型号的产品，产量之比为，现用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，若样本中型号的产品有40件，则（ ） A. 60 B. 80 C. 100 D. 120 【答案】C 【解析】 【分析】根据分层抽样的原理，样本中各类别的比例应与总体中的比例一致，可得答案. 【详解】根据题意，得：， 解得：，即. 故选：C 5. 设，则等于（ ） A. -2 B. 2 C. -4 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】先用两角差的正切公式可求出的值，再用两角和的正切公式即可求解 【详解】因为，所以， 故， 故选：C． 6. 设是平面，，，是三条不同的直线，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据线面垂直的判定定理可判断A；判断可能在内，即可判断B；根据线面垂直的性质可判断C；判断直线可能的位置关系，即可判断D. 【详解】对于A，，，，，但不能保证为相交直线， 故推不出，A错误； 对于B，，，则，又，可能在内，不能推出，B错误； 对于C，，，则，又，则，C正确； 对于D，，，则可能相交、平行或异面，D错误； 故选：C 7. 在四边形ABCD中，，设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题设可得， ，即，结合，得， 故. 8. 在长方体中，，，点是的中点，点为线段的中点，则直线与平面所成角的正弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接交于点，连接，得到直线与平面所成角，构造直角三角形计算即可. 【详解】连接交于点，连接， 因为长方体中，平面，所以， 由，所以平面， 所以平面平面，所以点在平面上的投影落在直线上， 所以直线与平面所成角为与所成角， 取的中点，连接，则，所以，， 又，所以， 则直线与平面所成角的正弦值为，故C正确. 二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9. 亚运会期间，宁波市要选拔射击运动员参加比赛，已知射击标靶的环数是0到10环，若要求连续10次射击均不小于7环．下面是四位选手各自连续10次的射击情况的数据特征，其中肯定能通过选拔的是（） A. 甲选手：平均数为8，众数为7 B. 乙选手：平均数为9，方差为1 C. 丙选手：中位数为7，众数为8 D. 丁选手：中位数为9，极差为2 【答案】BD 【解析】 【分析】根据选项，结合平均数，方差，中位数，极差的定义逐选项判断即可. 【详解】对于A，平均数为8，众数为7，则总环数为，假如存在一个6环， 则其余9个环数需满足和为，则平均环数为环， 其可能为：6，7，7，7，7，8，9，9，10，10，此时众数为7，平均数为8，但存在6环，故A不符题意； 对于B，平均数为9，方差为1，则总环数为，假如存在一个6环， 则其余9个环数需满足和为，则平均环数为环， 此时方差，所以不可能存在6环，故B正确； 对于C，中位数为7，众数为8，则第5，6个数为7，且8环次数最多， 可能为，0，1，2，7，7，7，8，8，8，8，故C不符题意； 对于D，中位数为9，极差为2，则从小大排列环数时，第5，6位上数为9，最大值为9，最小值为7，故D正确， 故选：BD. 10. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则为锐角三角形 C. 若，则为等腰三角形 D. 若，，这样的三角形有两个，则a的取值范围为 【答案】AD 【解析】 【分析】对于ABC，由正弦定理边角互化结合题意可判断选项正误；对于D，由余弦定理可得，然后由关于c的方程有两个不同正根可判断选项正误. 【详解】对于A，由正弦定理可得：，又三角形中“大边对大角”，则，故A正确； 对于B，由正弦定理边角互化可得：， 则C为钝角，即为钝角三角形，故B错误； 对于C，由正弦定理边角互化可得， 或，则为等腰三角形或直角三角形，故C错误； 对于D，由余弦定理可得， 因这样的三角形有两个，则对应方程有两个正数解，则， 解得，故D正确. 故选：AD 11. 如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是的中点，Q是侧面内的动点（含边界），则下列结论正确的是（ ） A. 四点共面 B. 异面直线与所成的角为 C. 当点Q在线段上运动时，三棱锥的体积为定值 D. 当时，点Q的运动轨迹的长度为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，由题可得，，得得证；对B，连接，可得异面直线与所成的角为，求解判断；对C，由等体积法，可得，求解判断；对D，由题可得点Q的运动轨迹是在侧面内以的中点为圆心，半径的圆弧，求解判断. 【详解】对于A，如图1，在正方体中，易知． 又P，N分别是的中点，则，所以，即四点共面，故A正确； 对于B，如图2，分别连接，由题意，易知， 则异面直线与所成的角为，易知为等边三角形，故，故B错误； 对于C，如图3，由等体积法，得． 因为，可得平面，又点Q在线段上运动， 所以点Q到平面的距离为定值．又也为定值， 所以为定值，即为定值， 且，故C正确； 对于D，如图4，取的中点，易得平面， 当时，点Q的运动轨迹是在侧面内以的中点为圆心，半径的圆弧， 在中，由，，可得，同理，， 所以圆弧圆心角为，所以点Q的运动轨迹的长度为，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 12. 将一个半径为2的铁球熔化后，浇铸成一个正四棱台形状的铁锭，若这个铁锭的上、下底面边长分别为1和2，则它的高为______________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据铁球与正四棱台铁锭的体积相等列方程，即可求得铁锭的高. 【详解】依题意，正四棱台形状的铁锭的体积等于铁球的体积， 设正四棱台形状的铁锭的高为，则得， 解得. 13. 如图，一台发电机产生的电流是正弦式电流，即电压U（单位：V）和时间t（单位：s）满足.在一个周期内，电压的绝对值超过的时间为______.（答案用分数表示）. 【答案】s 【解析】 【分析】由图象求出函数解析式，然后求得的解，结合图象可得． 【详解】由已知，，， . 在区间内，令，或， 可得，； 同理令，可得，. 综上，电压的绝对值超过的时间为（s）. 故答案为：s． 14. 目前，中国已经建成全球最大的5G网络，无论是大山深处还是广袤平原，处处都能见到5G基站的身影．某同学在一条水平公路上观测对面山顶上的一座5G基站，已知基站高，该同学眼高（眼睛到地面的距离），该同学在初始位置处（眼睛所在位置）测得基站底部的仰角为，测得基站顶端的仰角为，求得山高为__________m（用参考数据进行计算，山高为到地面的距离）；当该同学面向基站前行时，记该同学所在位置处到基站所在直线的距离为，且记在处观测基站底部的仰角为，观测基站顶端的仰角为．试问当__________（保留精确值）时，观测基站的视角最大？（数据：，，，） 【答案】 ①. 145.65 ②. 【解析】 【分析】利用正弦定理及直角三角形边角关系求解；利用直角三角形边角关系及差角的正切公式，结合基本不等式求出取得最大值，借助正切函数单调性求解. 【详解】由已知，如图， 在中，由正弦定理，， 则， 在中，. 所以山高为（）. 因为，，且. 观测基站的视角， 且. 因为，当且仅当，即时取等号. 此时取得最大值，即观测基站的视角最大. 四、解答题 15. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求函数的解析式； （2）求在上的单调递增区间； （3）将函数的图象上所有的点向右平移个单位长度，所得图象经过点，求的最小值. 【答案】（1） （2）和. （3）. 【解析】 【分析】（1）根据最值以及周期即可求解， （2）利用整体法得到不等式组，解出后，再合理赋值求解即可， （3）利用函数图像的平移变换，即可结合图像经过求解. 【小问1详解】 由题意知函数的最大值为2，最小值为－2，故， 函数的最小正周期，又，所以， 由，所以，，解得，，又，得， 所以. 【小问2详解】 令，，解得，， 因为，所以令，得，又，所以； 令，得， 又，所以， 所以函数在上的单调递增区间为和. 【小问3详解】 将函数图象上所有的点向右平移个单位长度得到， 又图象经过点，所以，， 解得，，所以，即的最小值是. 16. 矩形中，，为线段的中点，将沿折起，使得平面平面．在新构造的四棱锥中，解以下问题： （1）证明：面； （2）在上是否存在点使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）如图，连接，在矩形中，，为线段的中点， ，， ，， 又平面平面，平面，平面平面， 平面； （2）存在，是线段上靠近点 的三等分点. 【解析】 【分析】（1）通过勾股定理逆定理证明，再利用面面垂直的性质推出线面垂直； （2）设交于点，可证，因此只要，就有，进而可得平面． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 存在，是线段上靠近点 的三等分点. 如图所示，连接、，设交于点， ，且， ． 取的三等分点，使，连接、、，则， 又平面，平面， 平面． 故存在满足条件的点，且是线段上靠近点的三等分点． 17. 某学校为了了解高二年级学生数学运算能力，对高二年级的200名学生进行了一次测试.已知参加此次测试的学生的分数全部介于45分到95分之间（满分100分），该校将所有分数分成5组：，，…，，整理得到如下频率分布直方图（同组数据以这组数据的中间值作为代表）． （1）求的值，并估计此次校内测试分数的平均值； （2）学校要求按照分数从高到低选拔前20名的学生进行培训，试估计这20名学生的最低分数； （3）试估计这200名学生的分数的方差，并判断此次得分为52分和94分的两名同学的成绩是否进入到了范围内？ （参考公式：，其中为各组频数；参考数据：） 【答案】（1）m 0.024，75分 （2）90 分 （3），得分为52分的同学的成绩没有进入到范围，得分为94分的同学的成绩进入到范围了 【解析】 【分析】（1）先由各组的频率和为1，求出，然后利用平均数的定义可求出， （2）先求出这 20 名学生的最低分数就是该次校内测试分数的90%分位数，然后利用百分位的定义求解即可， （3）先利用方差公式求出方差后再判断即可 【小问1详解】 ∵(0.006 0.014 m 0.036 0.020)10 1 ∴ m 0.024 ∴该次校内考试测试分数的平均数的估计值为： 50 0.06 60 0.14 70 0.24 80 0.36 90 0.2 75分； 【小问2详解】 ∵ ， ∴这 20 名学生的最低分数就是该次校内测试分数的90%分位数， ∵0.06 0.14 0.24 0.36 0.8 0.9， 0.06 0.14 0.24 0.36 0.2 1 0.9 ， ∴该次校内考试测试分数的90% 分位数为 . ∴这 20 名学生的最低分数的估计值为90 分； 【小问3详解】 ∵ ∴ s 11.4 ， ∴ 2s 52.2 ， 2s 97.8 ， ∴得分为52分的同学的成绩没有进入到[52.2,97.8]内， 得分为94分的同学的成绩进入到了[52.2,97.8]内. 即：得分为52分的同学的成绩没有进入到范围， 得分为94分的同学的成绩进入到范围了. 18. 如图，在四棱锥中，平面平面，底面是直角梯形，，，且，，，为的中点． （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积； （3）求二面角的余弦值． 【答案】（1）取中点，连接， 因为为的中点，为中点，所以，且 又，，所以，且， 则四边形为平行四边形，得， 又平面，平面，所以平面． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取中点，求证即可； （2）利用等体积计算； （3）取的中点，过作于，求证为二面角的平面角即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为为的中点， 所以， 又，，，，故， 又平面平面，且平面平面，平面， 所以平面， 又底面是直角梯形，，， 可得，，即，则 则； 【小问3详解】 由（2）知平面，取的中点，连接， 在中，，分别为，的中点，所以，则平面， 因为平面，所以， 过作于，连接， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以， 所以为二面角的平面角， 由（2）知，且， 又，， 在中，， 即二面角的余弦值为． 19. 已知中，，，所对的边为，，，向量，，且． （1）求角的大小； （2）若边，且为锐角三角形，求周长的取值范围； （3）若为中点，，且面积为，求边． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由，得到，由正弦定理，化简得到，结合余弦定理，即可求解； （2）运用正弦定理边化角，运用三角函数计算范围即可； （3）由，求得，根据，利用向量的数量积的运算律，求得，结合余弦定理，即可求解． 【小问1详解】 由向量，， 因为，可得， 又由正弦定理得，整理得， 由余弦定理，可得， 又因为，所以． 【小问2详解】 由于为锐角三角形，，所以， 即，由正弦定理得， 则 , 因为，则，所以， 所以周长. 【小问3详解】 因为，可得，即，所以， 又因为，可得， 即，可得， 所以，所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $