精品解析：海南文昌中学2025-2026学年高一下学期期末考试数学试题

2025-2026学年度第二学期高一期考试题 数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设复数，则的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在平行四边形中，连结，下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 为调查海南某旅游景点“五一”假期游客的满意度，计划从3000名省外游客和2000名省内游客中，采用分层随机抽样的方法抽取一个容量为250的样本.则样本中省外游客的人数为（ ） A. 100 B. 120 C. 150 D. 180 4. 在中，点在边上，且，，，的面积为，则的长为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 6. 设是两个平面，是两条直线，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 7. 已知平面向量，，满足，，，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知正三棱台上、下底面的边长分别是，侧棱长为，则正三棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）. 9. 有关复数，，为虚数单位，下列命题中正确的是（ ） A. 是纯虚数 B. 若，则 C. 若复数，则， D. 在复平面内关于实轴对称的复数为 10. 已知函数，将其图象向右平移个单位后得到的图象，的最小正周期为，则下列选项正确的是（ ） A. 函数的图象关于对称 B. 函数的图象关于对称 C. 函数的图象可由的图象向右平移个单位得到 D. 若且，则 11. 如图所示，在棱长为的正方体中，是线段上动点，则下列说法正确的是（ ） A. 平面平面 B. 若是线段的中点，则与平面所成角的正弦值 C. 若直线与所成角的余弦值为，则 D. 取最小值时，三棱锥外接球的体积为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若一组数据为2，3，5，5，7，8，则该组数据的中位数为__________. 13. 如图，测量河对岸的塔高时，选取与塔底在同一水平面的两点，，测得，，米，在点测得塔顶的仰角为，求塔高__________米. 14. 已知垂直于矩形所在的平面，，则二面角的正切值为__________． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 如图，矩形与梯形所在的平面互相垂直，，，，，为的中点，求证： （1）平面； （2）平面. 16. 已知函数，，又且图象的相邻的两个对称中心之间的距离为. （1）求函数的解析式； （2）设函数，，求函数的最值及取最值时的值. 17. 随着海南自由贸易港建设的蓬勃发展，某旅游网站为了解游客对“三亚一日游”的满意度，现统计参与调查的游客年龄层次，将这200人按年龄（岁）（年龄最大不超过65岁，最小不低于15岁的整数）分为5组，依次为，，，，，并得到频率分布直方图如下： （1）求实数的值； （2）估计这200人年龄的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）； （3）估计这200人年龄的第75百分位数. 18. 在中，内角，，的对边分别为，，，已知，且. （1）证明：是锐角三角形； （2）若，求的周长； （3）在（2）的条件下，点是边上的一点，记的面积为，的面积为，求当取得最小值时，的长. 19. 已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，称点为点绕点沿逆时针方向旋转角得到的点. （1）已知点，点，把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点，求点的坐标； （2）已知点为坐标原点，点，点在单位圆：上，点是点绕点沿逆时针方向旋转得到的点. （i）设，，试用表示； （ii）若点在圆上运动时，与的夹角为，求的最大值及此时点的坐标. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期高一期考试题 数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设复数，则的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由 , 根据共轭复数的定义可得：. 2. 如图，在平行四边形中，连结，下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量加法、减法的几何意义、平面向量共线的性质，结合平行四边形的性质逐一判断即可. 【详解】A：因为，所以本选项运算不正确； B：因为，所以本选项运算不正确； C：因为四边形是平行四边形，所以，因此本选项运算正确； D：因为四边形是平行四边形，所以，所以本选项运算不正确. 3. 为调查海南某旅游景点“五一”假期游客的满意度，计划从3000名省外游客和2000名省内游客中，采用分层随机抽样的方法抽取一个容量为250的样本.则样本中省外游客的人数为（ ） A. 100 B. 120 C. 150 D. 180 【答案】C 【解析】 【详解】由题意得总人数为，且抽样比为， 可得样本中省外游客的人数为，故C正确. 4. 在中，点在边上，且，，，的面积为，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先在等腰直角中求出、，结合面积比可求得，进而得到的长度，最后在中用余弦定理计算的长， 【详解】 在中，因为，，所以为等腰直角三角形， 又因为，所以，则面积， 又因为的面积为，所以， 又因为，所以，即， 因此， 在中，由余弦定理得， 故. 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】，，得. ，， ，得； ，解得. ，. 6. 设是两个平面，是两条直线，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】作出满足条件的图，举出反例，排除ABD选项，作出满足条件的图，并证明，得到C选项正确. 【详解】A选项：如图： 在正方体中，，此时与夹角为，A选项错误； B选项：如图： 在正方体中，，此时，B选项错误； D选项：如图： 在正方体中：，此时，D选项错误； C选项：如图： 过作平面，使得，，∵，∴，则， 又∵，∴，∴，C选项正确. 故选：C. 7. 已知平面向量，，满足，，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由平面向量的数量积公式求解． 【详解】因为，所以， 由，得， 得， 则，显然， 得 8. 已知正三棱台上、下底面的边长分别是，侧棱长为，则正三棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由棱台的定义可知延长侧棱交于一点， 如图，过点作平面，分别交平面，平面于点， 由题意可知三棱锥和三棱锥为正三棱锥， 因为，所以，所以 所以，， 所以，， 所以. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）. 9. 有关复数，，为虚数单位，下列命题中正确的是（ ） A. 是纯虚数 B. 若，则 C. 若复数，则， D. 在复平面内关于实轴对称的复数为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据纯虚数的定义、复数模的运算公式、实数的性质，结合复数在复平面对应点的特征逐一判断即可. 【详解】A：当时，即当时，为零，不是纯虚数，A不正确； B：因为，所以，B正确； C：因为只有当两个复数都是实数时才能比较大小，C正确； D：在复平面内对应的点坐标为，该点关于实轴对称点的坐标为， 所以在复平面内关于实轴对称的复数为，D正确. 10. 已知函数，将其图象向右平移个单位后得到的图象，的最小正周期为，则下列选项正确的是（ ） A. 函数的图象关于对称 B. 函数的图象关于对称 C. 函数的图象可由的图象向右平移个单位得到 D. 若且，则 【答案】AD 【解析】 【分析】先利用辅助角公式化简，结合平移规则和周期求出，得到和的解析式，再根据三角函数的对称性、图象变化、函数值求解逐一判断选项即可. 【详解】因为， 将其图象向右平移个单位后得， 由的最小正周期为，得，即， 因此，. 对于A：因为，为的最大值， 故的图象关于对称，A正确； 对于B：因为， 故不是的对称中心，B错误； 对于C：将的图象向右平移个单位， 得到，故C错误； 对于D：令，即， 当时，，所以或， 对应，，所以，故D正确. 11. 如图所示，在棱长为的正方体中，是线段上动点，则下列说法正确的是（ ） A. 平面平面 B. 若是线段的中点，则与平面所成角的正弦值 C. 若直线与所成角的余弦值为，则 D. 取最小值时，三棱锥外接球的体积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据线面垂直以及面面垂直的判定即可求解A，根据线面角的定义即可根据三角形的边角关系求解B，根据异面直线所成角的定义即可结合余弦定理求解C，根据正方体的外接球即可求解D. 【详解】对于A，由于平面，平面，故平面平面，A正确， 对于B, 由于平面，故为与平面所成的角， ，B正确， 对于C，在棱上取一点，使得，则， 故直线与所成角为与所成的角， 则，解得，故C错误, 对于D， ， 当且仅当时取到等号，此时重合， 三棱锥为三棱锥，三棱锥的外接球与正方体的外接球相同， 正方体的外接球的半径为，因此球的体积为，D正确. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若一组数据为2，3，5，5，7，8，则该组数据的中位数为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先确认给定数据是否按从小到大顺序排列，由数据为偶数个，取中间两个数据的平均数即为中位数. 【详解】因为数据2，3，5，5，7，8已按从小到大顺序排列，共有6个数据，则中位数为第三个数和第四个数的平均数，即. 13. 如图，测量河对岸的塔高时，选取与塔底在同一水平面的两点，，测得，，米，在点测得塔顶的仰角为，求塔高__________米. 【答案】 【解析】 【分析】先在中利用三角形内角和定理求出，再利用正弦定理求出的长，最后在Rt中利用三角函数求出塔高. 【详解】在中，，，所以. 由正弦定理得，即， 所以. 在Rt中，，， 所以. 故塔高为米. 14. 已知垂直于矩形所在的平面，，则二面角的正切值为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】过作于，连接，由二面角的定义可得为二面角的平面角，在直角三角形中，可得,，再由计算即可. 【详解】解：如图所示： 过作于，连接， 因为平面，平面，所以， 又因为，平面 ， 所以平面，平面，所以， 所以为二面角的平面角， 在直角三角形中，因为， 所以,， 在直角三角形中，. 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 如图，矩形与梯形所在的平面互相垂直，，，，，为的中点，求证： （1）平面； （2）平面. 【答案】（1）取的中点，连接， 由于为的中点，故且， 又，,故且，即四边形为平行四边形， 故， 平面，平面， 故平面； （2）由于故，即, 又矩形与梯形所在的平面互相垂直，且两平面的交线为,平面， 故平面，平面，故， 平面，故平面. 【解析】 【分析】（1）根据线线平行先证明为平行四边形，即可根据线面平行的判定求解， （2）根据面面垂直的性质可得线面垂直，以及勾股定理得线线垂直，即可根据线面垂直的判定求证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 16. 已知函数，，又且图象的相邻的两个对称中心之间的距离为. （1）求函数的解析式； （2）设函数，，求函数的最值及取最值时的值. 【答案】（1） （2）最大值 ，此时 ；最小值 ，此时 . 【解析】 【分析】（1）利用周期公式可求，再由，结合范围，可求的值， 即可得解函数解析式； （2）化简得，根据余弦函数的单调性即可计算得解 【小问1详解】 因为图象的相邻的两个对称中心之间的距离为， 所以，得， 又，得，由，得， 故函数的解析式为：． 【小问2详解】 ， 因为，所以， 当，即时，取得最大值为1， 当，即时，取得最小值为． 17. 随着海南自由贸易港建设的蓬勃发展，某旅游网站为了解游客对“三亚一日游”的满意度，现统计参与调查的游客年龄层次，将这200人按年龄（岁）（年龄最大不超过65岁，最小不低于15岁的整数）分为5组，依次为，，，，，并得到频率分布直方图如下： （1）求实数的值； （2）估计这200人年龄的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）； （3）估计这200人年龄的第75百分位数. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 因为，所以， 【小问2详解】 设这200人年龄的样本平均数为， ， 所以. 【小问3详解】 因为年龄在的频率为， 而年龄在的频率为， 所以设这200人年龄的第75百分位数为，则， 则， 解得. 18. 在中，内角，，的对边分别为，，，已知，且. （1）证明：是锐角三角形； （2）若，求的周长； （3）在（2）的条件下，点是边上的一点，记的面积为，的面积为，求当取得最小值时，的长. 【答案】（1）证明：， 化简整理，可得 ， 根据正弦定理 ，可得 即， 根据余弦定理可知 ，，故为锐角， 又，， 所以为锐角，， 所以， ，， 所以为锐角,故是锐角三角形. （2）. （3）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化简为，再利用余弦定理求得，最后由于，利用余弦的和角公式求得，从而证明是锐角三角形； （2）利用第（1）问中已知，，的三角函数值，结合正弦定理即可求解; （3）由,所以利用“1”的妙用，使用基本不等式得到当取得最小值时，即，求得的长，最后使用余弦定理计算的长. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得，， 根据正弦定理 ， 所以的周长为 . 【小问3详解】 由于，故 , 当且仅当即时取得最小值， 即,所以， 在中， ， 所以. 19. 已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，称点为点绕点沿逆时针方向旋转角得到的点. （1）已知点，点，把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点，求点的坐标； （2）已知点为坐标原点，点，点在单位圆：上，点是点绕点沿逆时针方向旋转得到的点. （i）设，，试用表示； （ii）若点在圆上运动时，与的夹角为，求的最大值及此时点的坐标. 【答案】（1） （2）（i）；（ii）的最大值为，此时点的坐标为 【解析】 【分析】（1）由题知，再结合旋转公式与旋转角得，最后根据向量坐标方法求解即可得答案； （2）（i）由题知，进而根据旋转角公式得，再计算即可； （ii）先计算，再根据夹角公式得，，令，，，设，则，，代入化简，并结合基本不等式求解即可求得答案. 【小问1详解】 解：由，点，得 旋转角，，，代入旋转公式得： 设，则， 所以，即. 【小问2详解】 (i) 因为点在单位圆：上，且，所以， 又，则 因为点是点绕点沿逆时针方向旋转得到的点. 所以旋转角，，，代入旋转公式得： 所以 （ii）由（i）得，，， 所以 所以与的夹角为满足： 令，，，则 设，则，，代入化简得： 由基本不等式，当且仅当时取等号， 所以，，此时，代入得， 所以，要使取最大值，需分子，即， 所以，当时，，对应点坐标为. 综上，的最大值为，此时点的坐标为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $