精品解析：内蒙古自治区乌兰察布市集宁区第二中学2025-2026学年高一下学期7月期末数学试题

集宁二中2025－2026学年下学期高一年级期末考卷 数学 注意： 本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷.第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置. 第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卡的相应位置. 答案写在试卷上均无效，不予记分. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本大题共8小题，共40分 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合运算即可求解. 【详解】因为,则, 故选：B. 2. 在复平面内，对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【详解】复平面内，对应的点的坐标为，在第二象限. 3. 已知向量，，若，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为向量，，且，则，解得. 4. 某城市文旅部门统计了今年“五一”假期12家网红露营地的单日接待游客数量（单位：百人），其数据为5，7，9，8，12，8，6，9，11，7，9，11，则这组数据的第75百分位数是（ ） A. 7 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】C 【解析】 【详解】将这组数据按从小到大的顺序排列为5，6，7，7，8，8，9，9，9，11，11，12． 因为，所以这组数据的第75百分位数是． 5. 某校有高中生2000人，其中高一年级600人，高二年级700人，高三年级700人．为了解学生的视力情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为100的样本，则应抽取高一年级的人数为（ ） A. 20 B. 30 C. 35 D. 40 【答案】B 【解析】 【详解】由分层抽样的等比例性质，应抽取高一年级的人数为人. 6. 设偶函数在区间上单调递增，则（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据偶函数的性质得到，再根据函数的单调性判断即可. 【详解】因为为偶函数，所以， 又在区间上单调递增，， 所以， 则. 7. 已知6名学生中有4名男生，从中选出3名代表，则选出的代表中有2名男生的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】选择三名代表的可能性有种，选出的代表中有2名男生的可能性为， 所以. 8. 已知球的体积为，、、、四点均在球的球面上，为等边三角形，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出球的半径长，分析可知三棱锥为正三棱锥，设点在底面内的射影为点，则点为等边的中心，球心在直线上，设为球的一条直径，利用等面积法求出的长，据此得出，结合三角形的面积公式求解即可. 【详解】设球的半径为，则球的体积为，解得， 因为为等边三角形，，则三棱锥为正三棱锥， 设点在底面内的射影为点，则点为等边的中心， 故球心在直线上，设为球的一条直径，则， 由球的几何性质可知， 由勾股定理可得， 易知，因为， 故， 因为为等边三角形的中心， 所以，。 则， 故. 二、多选题：本大题共3小题，共18分 9. 已知事件和事件的概率，，下列结论中正确的是（ ） A. 若事件和事件独立，则 B. 若事件和事件独立，则 C. 若事件和事件互斥，则 D. 若事件和事件互斥，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据事件相互独立的定义和互斥事件的加法公式逐项判断. 【详解】对于A：因为事件和事件独立，所以，A正确； 对于B：由A，，所以，B正确； 对于C：若事件和事件互斥，则，所以，C错误； 对于D：若事件和事件互斥，则，D正确. 10. 某学校为了解同学们某天上学的交通方式，在高一年级开展了随机调查，将学生某天上学的交通方式归为四类：A为家人接送，B为乘坐地铁，C为乘坐公交，D为其他方式，学校把收集到的数据整理绘制成条形图和扇形图，如图只给出了其中部分信息，根据图中信息，下列说法正确的是（ ） A. 若该校高一年级有学生2000人，则高一年级约有1200人乘坐公共交通工具上学 B. 估计该校高一年级有的学生某天家人接送上学 C. 扇形图中的占比为 D. 估计该校学生上学交通方式为乘坐地铁或者其他方式的人数占全校学生的一半 【答案】ABD 【解析】 【分析】由条形图及扇形图的特点求解即可． 【详解】因为C为乘坐公交的调查人数为60，所占比例为25%， 所以调查的总人数为， 对于A选项：，所以A选项正确， 对于B选项：，所以B选项正确， 对于C选项：，所以C选项错误， 对于D选项：，所以D选项正确. 故选：ABD. 11. （多选）在以下命题中，不正确的命题是（ ） A. 已知A，B，C，D是空间任意四点，则 B. 是共线的充要条件 C. 若与共线，则表示与的有向线段所在直线平行 D. 对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若（其中），则P，A，B，C四点共面 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据空间向量线性运算、模、平行、共面等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】，故A正确； 若，同向共线，则，故B不正确； 若与共线，则表示与的有向线段所在直线重合或平行，故C不正确； D选项中，只有时，才有P，A，B，C四点共面，故D不正确． 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本大题共3小题，共15分 12. 已知（，，i为虚数单位），则_________. 【答案】0 【解析】 【详解】依题意， 则，解得，所以. 13. 在如图所示的电路图中，开关a，b，c正常工作的概率分别为，且是相互独立的，则灯亮的概率是__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用相互独立事件同时发生乘法公式，结合对立事件来求解即可. 【详解】设“开关a，b，c正常工作”分别为事件，由题意可知事件是相互独立的， 则灯亮这一事件为，所以 故答案为：. 14. 学校为了解学生身高(单位：cm)情况，采用按比例分层随机抽样的方法从3000名学生中抽取了一个容量为100的样本，其中男女生人数之比为，统计数据得到男生平均身高为176，方差为164，女生平均身高为161，方差为169，用样本估计总体，则该学校学生身高的方差为________ 【答案】220 【解析】 【分析】先根据分层抽样的比例求出样本中男、女的人数，再结合已知条件，代入分层抽样的平均数与方差公式计算求解. 【详解】根据题意，由于男女生人数之比为，则样本中男女生人数之比为， 其中，男生平均身高为176，方差为164，女生平均身高为161，方差为169， 则样本的平均数， 样本的方差， 用样本估计总体，则该学校学生身高的方差为220． 四、解答题：本大题共5小题，共77分 15. （1）已知向量求； （2）向量与平行，求k的值. 【答案】 (1) ; (2) 【解析】 【分析】（1）根据向量数量积的坐标运算即可求解， （2）根据共线满足的坐标关系即可求解. 【详解】（1）由则. （2）由,, 因为与平行，所以,解得. 16. 设的内角的对边分别为，且. （1）求角的大小; （2）若，，求的面积. 【答案】（1） ； （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理将条件化为角的关系，化简得，即得结果； （2）由三角形面积公式结合（1）得解. 【小问1详解】 ，由正弦定理得， 在中，， ，即. 【小问2详解】 由（1）得，所以的面积为. 17. 从含有两件正品和一件次品的三件产品中，每次任取一件． （1）若每次取后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率； （2）若每次取后放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）不放回抽样：先列出所有可能的样本点，确定恰有一件次品的样本点，根据古典概型概率公式计算即可； （2）放回抽样：先列出所有可能的样本点，确定恰有一件次品的样本点，根据古典概型概率公式计算即可. 【小问1详解】 每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的样本点有6个， 即． 其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品．基本事件个数为6，而且可以认为这些样本点是等可能的． 设事件＝“取出的两件中恰有一件次品”， 所以，所以， 所以 【小问2详解】 有放回地连续取出两件，其所有可能的结果为共9个样本点组成． 由于每一件产品被取到的机会均等，因此可以认为这些样本点的出现是等可能的． 设事件B＝“恰有一件次品”，则，所以， 所以. 18. 中国大模型正处于一个技术进步迅速、市场规模快速增长的爆发式发展阶段．为了了解中国大模型用户的年龄分布，A公司调查了500名中国大模型用户，统计他们的年龄（都在内），按照，，，，进行分组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求的值； （2）求这500名中国大模型用户的年龄在内的人数； （3）估计这500名中国大模型用户年龄的平均数（各组数据以该组区间的中点值作代表）． 【答案】（1）0.015 （2）200人 （3）37.5 【解析】 【分析】（1）由所有频率之和为1求解； （2）由年龄在内的频率计算求解； （3）由频率分布直方图的平均数计算公式计算求解. 【小问1详解】 由题可知组距为10，则：，解得：； 【小问2详解】 这500名中国AI大模型用户的年龄在内的频率为：， 所以这500名中国AI大模型用户的年龄在内的人数为：人； 【小问3详解】 估计这500名中国AI大模型用户年龄的平均数为：. 19. 如图，在空间四边形OABC中，点D、E分别为BC、AD的中点，设，，． （1）试用向量，，表示向量； （2）若，，，求的值． 【答案】（1） （2）11 【解析】 【分析】（1）运用向量加法的线性运算及中点向量公式，通过两次中点（D为BC中点，E为AD中点）逐步将所求向量用已知基底表示； （2）利用向量模长与夹角余弦值求各基底向量间的数量积，再代入第一问结果进行向量数量积的分配律展开并求值. 【小问1详解】 由题可得向量； 【小问2详解】 由题，， 由（1）得， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 集宁二中2025－2026学年下学期高一年级期末考卷 数学 注意： 本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷.第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置. 第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卡的相应位置. 答案写在试卷上均无效，不予记分. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本大题共8小题，共40分 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知向量，，若，则实数（ ） A. B. C. D. 4. 某城市文旅部门统计了今年“五一”假期12家网红露营地的单日接待游客数量（单位：百人），其数据为5，7，9，8，12，8，6，9，11，7，9，11，则这组数据的第75百分位数是（ ） A. 7 B. 9 C. 10 D. 11 5. 某校有高中生2000人，其中高一年级600人，高二年级700人，高三年级700人．为了解学生的视力情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为100的样本，则应抽取高一年级的人数为（ ） A. 20 B. 30 C. 35 D. 40 6. 设偶函数在区间上单调递增，则（    ） A. B. C. D. 7. 已知6名学生中有4名男生，从中选出3名代表，则选出的代表中有2名男生的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知球的体积为，、、、四点均在球的球面上，为等边三角形，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本大题共3小题，共18分 9. 已知事件和事件的概率，，下列结论中正确的是（ ） A. 若事件和事件独立，则 B. 若事件和事件独立，则 C. 若事件和事件互斥，则 D. 若事件和事件互斥，则 10. 某学校为了解同学们某天上学的交通方式，在高一年级开展了随机调查，将学生某天上学的交通方式归为四类：A为家人接送，B为乘坐地铁，C为乘坐公交，D为其他方式，学校把收集到的数据整理绘制成条形图和扇形图，如图只给出了其中部分信息，根据图中信息，下列说法正确的是（ ） A. 若该校高一年级有学生2000人，则高一年级约有1200人乘坐公共交通工具上学 B. 估计该校高一年级有的学生某天家人接送上学 C. 扇形图中的占比为 D. 估计该校学生上学交通方式为乘坐地铁或者其他方式的人数占全校学生的一半 11. （多选）在以下命题中，不正确的命题是（ ） A. 已知A，B，C，D是空间任意四点，则 B. 是共线的充要条件 C. 若与共线，则表示与的有向线段所在直线平行 D. 对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若（其中），则P，A，B，C四点共面 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本大题共3小题，共15分 12. 已知（，，i为虚数单位），则_________. 13. 在如图所示的电路图中，开关a，b，c正常工作的概率分别为，且是相互独立的，则灯亮的概率是__________. 14. 学校为了解学生身高(单位：cm)情况，采用按比例分层随机抽样的方法从3000名学生中抽取了一个容量为100的样本，其中男女生人数之比为，统计数据得到男生平均身高为176，方差为164，女生平均身高为161，方差为169，用样本估计总体，则该学校学生身高的方差为________ 四、解答题：本大题共5小题，共77分 15. （1）已知向量求； （2）向量与平行，求k的值. 16. 设的内角的对边分别为，且. （1）求角的大小; （2）若，，求的面积. 17. 从含有两件正品和一件次品的三件产品中，每次任取一件． （1）若每次取后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率； （2）若每次取后放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率． 18. 中国大模型正处于一个技术进步迅速、市场规模快速增长的爆发式发展阶段．为了了解中国大模型用户的年龄分布，A公司调查了500名中国大模型用户，统计他们的年龄（都在内），按照，，，，进行分组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求的值； （2）求这500名中国大模型用户的年龄在内的人数； （3）估计这500名中国大模型用户年龄的平均数（各组数据以该组区间的中点值作代表）． 19. 如图，在空间四边形OABC中，点D、E分别为BC、AD的中点，设，，． （1）试用向量，，表示向量； （2）若，，，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $