第4讲　基本不等式巩固练习-2027届高三数学一轮复习（适用于艺体生）

**基本信息** 面向基础薄弱学生的基本不等式专项训练，以概念填空筑基，通过基础题型强化应用，知识逻辑从公式到条件再到最值求解，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |重知识·牢地基|3个核心知识点|概念填空（公式、条件、最值结论）|从基本不等式公式到成立条件，再到重要不等式及最值求法，形成概念→性质→应用的逻辑链| |强练习·熟应用|14题（单选8/多选3/填空3）|基础应用与辨析（直接求最值、等号条件判断、函数最值）|覆盖“积定求和”“和定求积”等核心考法，通过不同情境巩固概念应用，强化推理意识|

2027届新高考高三第一轮复习 高三数学备课组 新课标 · 新高考2027届高三第一轮复习 复习课后巩固练习 第4讲　基本不等式 （基础版：专门面向数学基础较弱学生、艺体生的练习） 班级：_________ 学号：_________ 姓名：_________ 分数：_________ ❀ 重知识 · 牢地基 ❀ 1.基本不等式:__________________ (1)基本不等式成立的条件:a>0，b>0. (2)等号成立的条件:当且仅当______时取等号. (3)其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数. 2.两个重要的不等式 (1)a2＋b2≥______(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号. (2)ab≤(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号. 3.利用基本不等式求最值 (1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值______. (2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值______. ❀ 强练习 · 熟应用 ❀ 一、单选题 1.已知m>0，n>0，mn＝81，则m＋n的最小值是(　　) A.9 B.18 C.9 D.27 2.若x>0，y>0，且2x＋3y＝12，则xy的最大值为(　　) A.9 B.6 C.3 D. 3.下列几个不等式中，不能取到等号的是(　　) A.≥2(x>0) B.|x|＋≥2(x≠0) C.－≥1(x<0) D.≥2(x∈R) 4.若x>0，则函数y＝的最小值为(　　) A.6 B.7 C.10 D.11 5.若a，b是正数，则这四个数的大小顺序是(　　) A.≤≤≤ B.≤≤≤ C.≤≤≤ D.≤≤≤ 6.已知正数x，y满足＝2，则x＋y的最小值为(　　) A.2 B.4 C.2＋ D.2＋ 7.已知a>0，b>0，且a＋2b＝，则a＋2b的最大值为(　　) A. B. C.3 D.4 8.(2026·济宁模拟)若a>0>b，且a－b＝2，则的最小值为(　　) A. B. C.3 D.4 二、多选题 9.(2026·南通调研)下列函数中最小值为4的是(　　) A.y＝ln x＋ B.y＝2x＋22－x C.y＝4|sin x|＋ D.y＝ 10.已知a，b∈R，且ab>0，则下列不等式一定成立的是(　　) A.≥ab B.ab≤ C.≥2 D.≤ 11.设正实数a，b满足a＋b＝1，则(　　) A.ab≥ B.≤ C.a2＋b2≥ D.≥ 三、填空题 12.2＋x＋(x<0)的最大值为　　　　.  13.已知正数a，b满足a2－2ab＋4＝0，则b－的最小值为　　　　.  14.函数f(x)＝在(1，＋∞)上的最大值为　　　　.  第 2 页 共 8 页 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $2027届新高考高三第一轮复习 高三数学备课组 新课标 · 新高考2027届高三第一轮复习 复习课后巩固练习 第4讲　基本不等式 （基础版：专门面向数学基础较弱学生、艺体生的练习） 班级：_________ 学号：_________ 姓名：_________ 分数：_________ ❀ 重知识 · 牢地基 ❀ 1.基本不等式:≤ (1)基本不等式成立的条件:a>0，b>0. (2)等号成立的条件:当且仅当a＝b时取等号. (3)其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数. 2.两个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号. (2)ab≤(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号. 3.利用基本不等式求最值 (1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2. (2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2. ❀ 强练习 · 熟应用 ❀ 一、单选题 1.已知m>0，n>0，mn＝81，则m＋n的最小值是(　　) A.9 B.18 C.9 D.27 答案　B 解析　因为m>0，n>0， 由基本不等式m＋n≥2得， m＋n≥18，当且仅当m＝n＝9时，等号成立， 所以m＋n的最小值是18. 2.若x>0，y>0，且2x＋3y＝12，则xy的最大值为(　　) A.9 B.6 C.3 D. 答案　B 解析　因为x>0，y>0，且2x＋3y＝12， 所以xy＝·2x·3y≤＝6， 当且仅当2x＝3y，即x＝3，y＝2时，等号成立， 所以xy的最大值为6. 3.下列几个不等式中，不能取到等号的是(　　) A.≥2(x>0) B.|x|＋≥2(x≠0) C.－≥1(x<0) D.≥2(x∈R) 答案　D 解析　对于A，当且仅当，即x＝1时等号成立; 对于B，当且仅当|x|＝，即x＝±时等号成立; 对于C，当且仅当－＝－，即x＝－8时等号成立; 对于D，当且仅当， 即x2＝－2，无解，等号不成立. 4.若x>0，则函数y＝的最小值为(　　) A.6 B.7 C.10 D.11 答案　D 解析　∵x>0，∴y＝＝x＋＋1≥2＋1＝11， 当且仅当x＝，即x＝5时，等号成立， ∴函数y＝的最小值为11. 5.若a，b是正数，则这四个数的大小顺序是(　　) A.≤≤≤ B.≤≤≤ C.≤≤≤ D.≤≤≤ 答案　C 解析　∵a，b是正数， ∴≤， 而≤， 又a2＋b2≥2ab⇔2(a2＋b2)≥(a＋b)2⇔≥， ∴≤， 因此≤≤≤，故选C. 6.已知正数x，y满足＝2，则x＋y的最小值为(　　) A.2 B.4 C.2＋ D.2＋ 答案　D 解析　因为正数x，y满足＝2， 所以x＋y＝(x＋y) ＝≥ ＝2＋，当且仅当， 即x＝，y＝时等号成立， 所以x＋y的最小值为2＋. 7.已知a>0，b>0，且a＋2b＝，则a＋2b的最大值为(　　) A. B. C.3 D.4 答案　A 解析　∵a>0，b>0，a＋2b＝， ∴(a＋2b)2＝2ab＋4＝a·2b＋4≤＋4， 化简得(a＋2b)2≤， 解得0<a＋2b≤， 当且仅当 即a＝2b＝时取等号， 故a＋2b的最大值为. 8.(2026·济宁模拟)若a>0>b，且a－b＝2，则的最小值为(　　) A. B. C.3 D.4 答案　B 解析　因为a>0>b，所以－b>0， 又a－b＝2，则a＋1＋(－b)＝3， 即＝1， 故 ＝ ＝ ≥2， 当且仅当a＋1＝－b且a－b＝2，即a＝，b＝－时，等号成立，故，故选B. 二、多选题 9.(2026·南通调研)下列函数中最小值为4的是(　　) A.y＝ln x＋ B.y＝2x＋22－x C.y＝4|sin x|＋ D.y＝ 答案　BCD 解析　当x＝时，ln x＝－1， 可得y＝ln x＋＝－5<4， 所以y＝ln x＋的最小值不为4，故A错误; 因为2x>0，22－x>0， 所以y＝2x＋22－x≥2＝4， 当且仅当2x＝22－x，即x＝1时，等号成立， 所以y＝2x＋22－x的最小值为4，故B正确; y＝4|sin x|＋ ≥2·＝4， 当且仅当4|sin x|＝，即|sin x|＝时，等号成立， 所以y＝4|sin x|＋的最小值为4，故C正确; 因为y＝， 且≥1，则y＝ ≥2＝4， 当且仅当， 即x＝±时，等号成立，所以y＝的最小值为4，故D正确.故选BCD. 10.已知a，b∈R，且ab>0，则下列不等式一定成立的是(　　) A.≥ab B.ab≤ C.≥2 D.≤ 答案　BC 解析　因为ab>0，故当a<0，b<0时，不等式≥ab不成立，故A不正确; 由基本不等式得ab≤恒成立， 当且仅当a＝b时，等号成立，故B正确; 因为ab>0，所以>0，>0， 则≥2＝2，当且仅当a＝b时，等号成立，故C正确; 因为a2＋b2≥2ab，所以(a＋b)2≥4ab， 当a<0，b<0时满足ab>0，但a＋b<0，此时≤，故D不正确. 11.设正实数a，b满足a＋b＝1，则(　　) A.ab≥ B.≤ C.a2＋b2≥ D.≥ 答案　BCD 解析　因为a，b为正实数，对于A，ab≤， 当且仅当a＝b＝时取得等号，故A错误; 对于B，()2＝a＋b＋2≤2(a＋b)＝2， 故≤，当且仅当a＝b＝时取得等号，故B正确; 对于C，≥， 所以a2＋b2≥， 当且仅当a＝b＝时取得等号，故C正确; 对于D，[(a＋1)＋(b＋1)]·≥， 当且仅当a＝b＝时取得等号，故D正确. 三、填空题 12.2＋x＋(x<0)的最大值为　　　　.  答案　2－2 解析　∵x<0，∴－x>0，∴2＋x＋＝2－. 又∵－x－≥2＝2. ∴2＋x＋＝2－≤2－2， 当且仅当－x＝－.且x<0，即x＝－时，等号成立， ∴2＋x＋(x<0)的最大值为2－2. 13.已知正数a，b满足a2－2ab＋4＝0，则b－的最小值为　　　　.  答案　 解析　∵a>0，b>0，a2－2ab＋4＝0， 则b＝，∴b－≥2， 当且仅当，即a＝2时，等号成立，此时b＝. 14.函数f(x)＝在(1，＋∞)上的最大值为　　　　.  答案　 解析　因为f(x)＝，x∈(1，＋∞)， 令x－1＝t，则t>0， 则f(t)＝≤， 当且仅当2t＝，t＝1， 即x＝2时，等号成立. 故f(x)在 (1，＋∞)上的最大值为. 第 2 页 共 8 页 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $