第三节 基本不等式 专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 以“概念-技巧-综合”为逻辑链，系统整合1的代换、换元法等核心方法，通过分层题型实现从基础应用到跨模块综合的能力提升，培养数学思维与问题解决能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|9题（5单选+4填空）|对勾函数、1的代换、不等式求最值|从基本不等式概念出发，掌握和积最值基本模型| |综合应用|1题（解答题）|结合解三角形、余弦定理|关联三角知识，强化跨模块综合应用能力| |拓展提升|7题（附加难题）|换元法、构造函数、向量坐标法|深化复杂情境下的方法迁移，构建“技巧-模型-应用”逻辑链|

基本不等式 这部分内容可以简单也可以难，但是这么多的试卷里面，考到基本不等式基本上都是选择题第七题和填空后两题的位置，但是基本的一些东西依然要掌握最简单的应用如对勾函数肯定是会的，还有1的代换，（看到这种形式就要想到是不是可以求出）还有给出关系式要能判断和的最大值（例如设为实数，若，求的最大值）以及积的最小值（若正数，满足，求最小值），这些可能不会单独出题但是可能会出现在大题里面 一、单选题 1．已知正项等比数列满足，若存在两项，使得，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知的内角的对边分别为，，则的最大值为（   ） A． B． C． D．3 3．等腰直角中，，，点M在外接圆上运动，若，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D．3 4．如图，是的中线，G为的中点，过点G的直线分别与交于点，且，，其中，则的最小值为（   ） A．4 B．9 C． D． 5．已知随机变量，且，则的最小值为（   ） A． B． C．16 D．48 二、填空题 6．若a，b∈R＋，满足a＋b＋3＝ab，则a＋b的取值范围是________. 7．已知，且，若不等式恒成立，则实数的最大值为______． 8．在中，，，则的最小值为_____． 9．已知，则的最大值为___________． 三、解答题 10．在中，角，，所对的边分别为，，，满足. (1)求角； (2)若恒成立，求实数的最小值. 下面给一些比较难的题看看是否想挑战自己，征服基本不等式 1． （换元）（这个要会）已知，，且，则的最小值为________. 1.【解析】令，，则，，且， ， 而，当且仅当，即时，等号成立．的最小值为， ． 2． 设为实数，若，则的最大值是________ 2.【解析】将变形为， 因为， 所以，当且仅当时，等号成立， 设，则，即，即， 所以的最大值是. 3．设，为正数，且，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 3.【解析】当时， ， 当且仅当时，即取等号， .故选：D 4．已知 ，且，则的最小值为( ) A． B． C． D． 4.【解析】由x+y＝（x+1）+y﹣1＝[（x+1）+y]•1﹣1 ＝[（x+1）+y]•2（）﹣1＝2（21 ≥3+47．当且仅当x，y＝4取得最小值7．故选C． 5．若正数a，b满足，则的最小值为（ ） A．16 B．25 C．36 D．49 5.【解析】由得：，代入得到： 当且仅当：即时取等号.故选：A 6．已知，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 6.【解析】∵ ， ∴ ，，，， ∴ ，当且仅当，即，时取等号. 故选：D. 7.若正数，满足，求的取值范围 7.，所以， 所以，所以， 所以.（当且仅当取等号），所以的取值范围为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 基本不等式答案 题号 1 2 3 4 5 答案 B B B D C 1．B 【分析】先由条件可得公比和,进而再用基本不等式可得最小值. 【详解】设正项等比数列的公比为，通项为. 由 ，代入通项得： 两边同除以， 整理得： , 解得正根（负根舍去）. 再由得： ，整理得： 化为指数形式： 即，得： . 等号成立条件：且，解得，均为正整数，符合条件. 因此的最小值为. 2．B 【分析】利用正弦定理、两角和的正弦公式、两角和的正切公式以及基本不等式求解即可. 【详解】因为，由正弦定理得：， 又，则，所以， 即, 所以， 由，则， 因为为边长，所以，所以， 所以角为钝角，，所以角为锐角即，此时， 所以由， 所以， 即， 因为，所以， 所以， 当且仅当即时，等号成立， 所以的最大值为. 3．B 【分析】建立平面直角坐标系，求出外接圆方程，再根据向量关系得到点M坐标，代入圆方程，最后利用不等式求解的最大值. 【详解】以直角顶点A为原点，AB为x轴，AC为y轴，建立平面直角坐标系， 则：，，， 外接圆圆心为斜边BC的中点O，坐标为，半径为， 故外接圆方程为：． 又因为，其中，， 则． 将代入圆的方程得， 即， ， ∴， 解得，当且仅当时取得的最大值2． 故选：B. 4．D 【分析】根据平面向量的线性运算用表示出，由平面向量基本定理可知，其系数和为1，可得到关于的等式，利用基本不等式中“1”的妙用即可求得的最小值. 【详解】因为G为的中点，所以， 又是的中线，即为的中点，所以， 所以. 由，，其中，得，， 所以. 因为三点共线，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为. 故选：D. 5．C 【分析】先根据正态分布的性质确定的值，再利用基本不等式求最小值. 【详解】因为，正态曲线关于直线对称， 又，所以，解得. 所以， 因为，所以， 当且仅当，即时取等号. 故选：C 6． 【分析】由，再解一元二次不等式得出a＋b的取值范围. 【详解】， ∴(a＋b)2－4(a＋b)－12≥0，解得a＋b≥6，当且仅当a＝b＝3时取等号 故答案为： 7． 【分析】由可对不等式同除，然后求不等式右边的最小值.利用诱导公式和和差角公式化简右边代数式，分析得到右式在时取到最小值，此时再次化简右边等式，利用换元法得到代数式，构造函数，利用导数得到函数的最大值，从而得到右边代数式的最小值，然后得到实数的最大值. 【详解】∵，∴， 原式等价于， 化简得右式 以作为主元可得右式在时取到最小值， 此时右式， 令，则右边， 令，， 即函数在上单调递增，在上单调递减， ∴，因此． 故答案为：. 8．/ 【分析】将两边平方，结合余弦定理可得，由结合正弦定理可得，两者结合利用基本不等式求最值. 【详解】由可得， 两边平方得：，又， 所以，即， 所以，所以， 由，根据正弦定理角化边得，所以， 所以， 故答案为：. 9．/ 【分析】令，则，将所求式转化为，利用 “1” 的代换和均值不等式求出括号内式子的最小值，从而得到原表达式的最大值。 【详解】令，则，且， ， 由得， 所以 ， 当且仅当时取等号，结合，解得， 即时取等号， 所以，即的最大值为， 故答案为：. 10．(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理边化角，再根据及三角恒等变换即可求解； （2）根据题意可得恒成立，利用三角形面积公式及余弦定理可将右式化为，利用基本不等式求出最大值即可求出答案. 【详解】（1）由， 由正弦定理得，， 又， 所以， 即， 又因为，所以，所以， 又，所以. （2）恒成立， 即恒成立，即求的最大值， 由余弦定理得， 所以， 因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以， 所以实数的最小值为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $